光子轨道角动量的物理解释及其产生方法

轨道角动量的物理性质及其产生方法
轨道角动量的物理性质
早在1909年波印廷就预言圆偏振光具有能量比为σħ的角动量。

而且如果有线偏光转化为圆偏光，则必定存在与光学系统角动量的交换。

这一假说最终被Beth在实验中证实。

他将一个半波片用石英光纤悬挂起来，然后将一束右旋圆偏光耦合进光纤中，最终传输到半波片上的光由原来左旋圆偏光改变为左旋圆偏光。

根据动量守恒条件，光束中每个光子的2ħ的旋转角动量就会被传递到半波片上。

实验结果表明半波片的扭矩在大小和正负号上与光的波动和量子理论结果完全一致，这就证实了圆偏光具有旋转角动量（spin angular momentum，SAM）。

根据光的量子理论，一束光具有的旋转角动量为：J=±Nħ（N为光子的个数），一束光具有的能量为：W=Nħω（ω为光的频率，N为光子的个数），所以光子的旋转角动量与能量的比值为1/ω，而Beth的方法也被用于测量光子的旋转角动量。

在二十世纪五十年代以前，科研工作者将原子都看做是二能级系统，也就是说每一个辐射的光子载有ħ大小的角动量。

后来人们发现原子有更高能级的跃迁，例如有的原子有四能级跃迁。

为了保持动量守恒，要求辐射的光子载有数倍于ħ的角动量。

因此除了旋转角动量以外，还存在独立于它的一个角动量，人们把它名为轨道角动量（orbital angular momentum，OAM）。

在Allen等人1992年发表的一篇文章中证实了OAM是所有具有螺旋相位（exp⁡(−ilϕ)）的光束的自然属性，而且这种光束也很容易产生。

螺旋波阵面会形成一个个分布在光束中心轴线上的相位奇点。

相位奇点的能量和动量的大小为零，因此也就不存在角动量。

所以相位奇点本身并没有轨道角动量，而是围绕相位奇点的光线具有轨道角动量。

光具有波粒二象性，它的粒子特性告诉我们每个光子具有ħk0大小的动量，我们把它称作线性动量。

对于圆偏光而言，还具有大小为±ħ的旋转角动量。

而当光具有exp⁡(−ilϕ)的螺旋相位时，则它具有大小为lħ的轨道角动量。

从这里我们可以看出轨道角动量数倍于角动量。

角动量与线性动量的关系可以用数学表达式表述为L⃗=r×p⃗，这里r为光子的矢径，p⃗= mv⃗为光子的线性动量，×代表叉乘。

从这里我们可以看出，在光的传输方向上没有角动量。

只有当光束具有横向动量时（若把光的传输方向定义为z方向，具有横向动量就是说在xoy 平面上有线性动量）。

角动量密度为j=r×p0⃗⃗⃗⃗ 。

p0⃗⃗⃗⃗ =ε0E⃗×B⃗，为线性动量密度，ε0为介电常数，E⃗、B⃗为分别为光束的电磁场。

从上述公式中我们可以看出，横向平面波的线性动量在光的传输方向z轴上，这也就是说如果一束光具有在z轴方向上的角动量，那么这束光必定有在z轴方向的电磁场，或者是在z轴方向上的电磁场分量。

通过以上讨论我们可以看出均匀平面波由于电磁场始终存垂直于光的传输方向，所以即使是它的圆偏振态也不具有任何平行于z轴的角动量。

但是实际上并不存在均匀平面波，因为它们要么是受到自身范围的限制，要么受到测试系统的限制。

这些有限的孔径会使均匀平面波的电磁场产生轴向分量。

就圆偏光而言，在光束或者测试系统的边缘肯定会由强度的径向梯度而产生电磁场的轴向分量。

对于边缘效应用严格的几何解释可以返回大小为±ħ的一个对于整个光束的积分的角动量的值，正负号都分别代表右旋或左旋圆偏光。

为什么具有ϕ(r,ϕ)=exp⁡(−ilϕ)的螺旋相位的光束一定具有平行于光束传输方向的角动量呢？其中ϕ为角坐标，l为任意整数，代表了螺旋线的条数，而l的正负号则代表了螺旋线是左旋还是右旋。

图1-1中分别为l=0，l=1，l=2，l=3的螺旋波阵面。

那是因为垂直
于波阵面的电磁场具有轴向分量，也就是说平行于波阵面曲面法线的波印廷矢量有环绕光束传输方向的径向分量，所以在光束轴线上具有角动量。

图1- 1l=0，l=1，l=2，l=3的螺旋波阵面
为什么轨道角动量为ħ的整数倍呢？这可以通过几何方法和求解麦克斯韦方程两种方式来解决。

几何求解方式：在半径为r的情况下，波阵面或者是波印廷矢量相对于光束轴线的倾斜度为lλ/2πr。

所以每个光子线性动量的方位角分量为ħk0⃗⃗⃗⃗ lλ/2πr。

又考虑到若周长为λ，则
)=lħ的轨道角动量，而旋半径为λ/2π。

那么根据公式L⃗=r×p⃗，则得到大小为r×(ħk0⃗⃗⃗⃗ lλ
2πr⃗
)×ħk0⃗⃗⃗⃗ =ħ。

在旁轴近似的条件下可以看出，OAM与SAM的区别。

求解麦转角动量为(λ
2π
克斯韦方程方式：通过麦克斯韦方程组的求解，可以得到螺旋波阵面角动量的能量比为l/ω，圆偏光角动量的能量比为σ/ω。

σ为±1代表了圆偏光的左旋或者右旋偏振态。

分别乘上每个光子的能量ħω，就可以得到螺旋波阵面的角动量为lħ，圆偏光的角动量为±ħ。

轨道角动量的产生方式
前面介绍了轨道角动量的原理，那么我们怎么样才能够获得具有螺旋波阵面的光束呢？在这里我主要介绍两种产生螺旋波正面的方式和一种将厄米特-高斯光束转变为拉盖尔-高斯光束的模式转换器。

螺旋相位阶梯板产生螺旋波阵面
让平面波光束透过如图1-2的具有螺旋表面的光学器件，就会产生一束具有螺旋波阵面的光。

图1- 2 将l=0转变为l=2的螺旋相位平板
光学厚度-方位角的比率为lλθ/2π(n−1)，n为介质的折射系数。

这个器件需要非常高的螺旋面倾斜度的精度，采取的方式是将更大物理阶数的螺旋相位阶梯板浸入系数匹配的液体浴中，通过控制液浴的温度来精确调整阶梯板的厚度以达到想要的结果。

螺旋相位阶梯板向我们很好的展示了具有螺旋相位的光束会有轨道角动量。

让一束光沿着与阶梯板表面法线垂直的方向入射，在阶梯板的另一侧，光线沿着这一表面的法线出射。

因此出射光束将会获得一个沿着出射表面的方位角的线性动量分量，所以出射光束具有沿着光束传输方向的角动量。

在半径为r的情况下，螺旋面的方位角为lλ/2π(n−1)。

根据菲涅尔公式，透射光线偏
=l/k0⃗⃗⃗⃗ r，然后乘上每个光子的线性动量ħk0⃗⃗⃗⃗ ，就可以得到单位离原来光线的角度为(n−1)lλθ
2π(n−1)
矢径下每个光子的角动量为lħ。

叉形光栅产生轨道角动量
螺旋相位因子exp⁡(−ilϕ)可以将一束高斯激光转换为l重螺旋的螺旋相位激光，如图1-3图1- 3 将一束高斯激光转变为3重螺旋的螺旋相位激光
所示。

实际上我们是将拓扑荷为l的螺旋相位叠加正弦光栅上，形成一个拓扑荷为l的叉形光栅。

如图1-4所示。

叉形光栅产生的一级衍射光束就是所需的具有螺旋相位的光束。

图1- 4 拓扑荷l=3的螺旋相位加上正弦光栅构成拓扑荷为3的叉形光栅
叉形光栅实际上是理想光学器件的全息图，也被称之为计算全息图。

为了产生具有螺旋相位的光束，我们既可以用叉形光栅，也可以用螺旋菲涅尔透镜。

这项技术既可以调控生成光束的l值，也可以调控它的p值。

这种全息法之所以受到广泛的应用，是因为空间光调制器（spatial light modulators, SLMs）已经实现了商业化生产。

用柱面透镜形成的模式转换器
通过对柱面透镜望远镜的特殊设计，可以使透镜实现厄米特-高斯模式（Hermit-Gaussian, HG）和拉盖尔-高斯（Laguerre-Gaussian，LG）模式的转换。

LG模式的产生基于以下原理：HG模式在45o的情况下可以分解为一组HG模式，当它在透镜中进行相位重构的时，结合形成一个特定的LG模式。

之所以会在棱镜中发生相位重构，是因为高斯光束的古伊相移因不同的模式指数和不同的入射角度不同而不同。

柱面透镜模式转换器主要分为两种，一种是π/2的模式转换器，一种是π的模式转换器。

它们的数学函数分别和双折射中的四分之一玻片和半波片类似。

π/2的模式转换器可以将任何与柱面透镜成45o角的指数为m,n的HG模式的光束转换为指数为l,p的LG模式(l=m−n,p=min⁡(m,n))。

而π的模式转换器和道威棱镜一样可以将任何模式转换为它本身的镜像。

具有轨道角动量的光束的相干条件
一束纯粹的偏振光在时间和空间上是不连续的，这也就是说我们可以使从白炽灯发出来的光偏振。

由于螺旋相位波阵面的相位围绕相位奇点连续变化，所以具有轨道角动量的光和白炽灯发出来的光不一样。

让一个空间不连续扩展光源照射在一块螺旋相位阶梯板上，如图1-5所示。

实验结果表明透射光束被分成了多个环形区域。

半径较小的区域能够通过螺旋相位阶梯板透射一系列的光线，从而导致远场的光学漩涡区域彼此没有连续性，这就是说这一区域的时间平均强度不为零。

而且这一区域每个光子的方位角能量额动量与区域的半径成正比，就好像一个实心体一样。

在半径相对交大的区域，由每个源产生的螺旋波阵面相似，而且每个光子的方位角能量和动量和区域半径成反比。

从以上实验结果我们可以看出，判断一个光源是否具有空间连续性可以通过观察它产生的光学漩涡在轴上的强度是否为零来进行判断，为零则代表具有空间连续性，不为零则代表不具有空间连续性
图1- 6 空间不连续扩展光源照射螺旋相位阶梯平板产生轴上强度不为零的漩涡光束
即使光源是连续的，它也会有很宽的光谱范围。

众所周知白光的干涉条纹可见度为零，这是由于白光中的不同波长的单色光在不同位置处发生干涉相消，导致干涉场一片均匀。

白光的小孔衍射图样的颜色非常丰富。

把螺旋相位阶梯板的高度设计成只适合单一波长的光，所以它的工作范围仅仅是一束单色光。

与此类似，如果在叉形衍射光栅中引入一个角色散，也就是说它对不同波长的光的角色散大小不一样。

在以上的光学设计的情况下，不同波长的光学漩涡就会按照从空间上按照蓝绿色、洋红色、黄色的过渡方式进行分离。

上述空间角度的偏移也可以用棱镜进行补偿。

最终得到的结果是，每一个拥有螺旋波阵面的不同波长的光被聚焦在同一点，如图1-6所示
图1- 5 用光谱范围很大的光源照射叉形衍射光栅获得白光漩涡。