运筹学第4章整数规划习题.doc

第四章 整数规划

4.1 某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？（只建模不求解）

解：设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立模型如下：

2123max x x z +=

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧≥≤+≤+为整数

21212121,0,5

.45.01432x x x x x x x x

4.2 2197max x x z +=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤+-且为整数

0,35

76

3.212121x x x x x x t s 割平面法求解。（下表为最优表）

线性规划的最优解为：

63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x

由最终表中得：

2

7

221227432=++

x x x

④ 将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为；

2

132********+=++x x x

移项后得：

①②③④

①②③

即：

2

1221227212212274343-≤--→≥+x x x x 只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。

由x 1行得：

7

32

7171541=

-+

x x x 将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和：

74476715541+=+-+x x x x

得到新的约束条件： 74

767154-≤--x x

7

47671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解：

则最优解为3,421

==x x ，最优目标函数值为z *=55。

4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧=≥+≥++≤+-10,,13

344352.32132

321321或x x x x x x x x x x x t s 隐枚举法 解：（1）先用试探的方法找出一个初始可行解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。满足约束条件，选其作为初始可行解，目标函数z 0＝2。

（2）附加过滤条件

以目标函数0z z ≥作为过滤约束：

2234321≥++x x x

原模型变为：

max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥++≥+≥++≤+-1

0,,22341

3344

352321321

32321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所示。

所以该0－1规划最优解为9,1**3*2*1

====z x x x 。 4.4 某公司拟在市东、西、南三区中建立门市部，有7个点A i （i ＝1，2，…，7）可供选择，

要求满足以下条件：

（1）在东区，在A 1，A 2，A 3三个点中至多选两个； （2）在西区，A 4，A 5两个点中至少选一个； （3）在南区，A 6，A 7两个点为互斥点。 （4）选A 2点必选A 5点。

若A i 点投资为b i 万元，每年可获利润为c i 万元，投资总额为B 万元，试建立利润最大化的0－1规划模型。

解：设决策变量为

7,,2,1,

0,1Λ=⎩⎨

⎧=i A A x i i i 点未被选用

当点被选用当

建立0－1规划模型如下：

①②③④

i i i x c x c x c x c z ∑

==

+++=7

1

772211max Λ

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧==≤-=+≥+≤++≤⋅∑

=7

,,2,1,1001

12.5276

543217

1

Λi x x x x x x x x x x B x b t s i i i i ，或 4.5 某城市消防队布点问题。该城市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15 分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表4－9，请帮助该市制定一个布点最少的计划。

i 6,,2,1,

0,1Λ=⎩⎨

⎧=i i i x i 不设消防站

表示在地区设消防站表示在地区

目标函数为

min z ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6

本问题的约束方程是要保证每个地区都有一个消防站在15分钟行程内。如地区1，由表4－9可知，在地区1及地区2内设消防站都能达到此要求，即

x 1＋x 2≥1

因此本问题的数学模型为：

min z ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6

x 1＋x 2 ≥1 x 1＋x 2 ＋x 6≥1 x 3＋x 4 ≥1 x 3＋x 4＋x 5 ≥1 x 4＋x 5＋x 6 ≥1 x 2 ＋x 5＋x 6 ≥1 x i ＝1或0 （i ＝1， (6)

4.7 一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等，每种物品的重量及重要性系数见表4－10所示，能携带的最大重量为25 kg ，试选择该队员所应携带的物品。

s.t