一元二次方程解法大全

知识精要复习引入：

1、问题（1）如图，如果AC CB

AB AC

，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

B

C

A

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．

整理得：_________．

问题（2）绿苑小区住宅设计，•准备在每两栋楼房之间开辟面积为900m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？

问题（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，•求这两年的年平均增长率？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

整理，得：________．

请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？

总结：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

2、把方程ax2+c＝0(a≠0)，

这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

小结：直接开平方法适用于)0(2

≥=d d x 形式的一元二次方程的求解。这里的x 既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变形可以转化为

)0(2≥=d d x 形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。

3、因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法

因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程．

即0a b =，则00a b ==或

4、用配方法解一元二次方程

()002≠=++a c bx ax 的一般步骤是： （1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为()

是已知数、q p q px x =+2

的形式

（2）通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程q 2

=+px x 的左边配成一个关

于x 的完全平方式，方程化为.

222

2q p p x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

（3）当022

≥+⎪

⎭⎫

⎝⎛q p 时，再利用开平方法解方程；当022

q p +⎪⎭⎫ ⎝⎛，原方程无实数根。

1、判断下列方程是不是一元二次方程：

① 3x 2

-13y=0；②253x -=1；③2xy-7=0；④3x=x 2

+4；⑤232

x -+5＝3x ；

⑥（a-1）x 2

-1

3

x=6

明确一元二次方程必须具备三个条件：①方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是2．

2、把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项、一次项及常数项．

⑴5x 2=3x ； ⑵（2-1）x+x 2

-3=0；

⑶（7x-1）2

-3=0； ⑷（2x -1）（2

x

+1）=0； ⑸（6m-5）（2m+1）=m 2

．

3、把方程x 2-4x-6=0配方，化为（x+m ）2

= n 的形式应为 （ ） （A ）（x-4）2

=6 （B ）（x-2）2

=4 （C ）（x-2）2

=10 （D ）（x-2）2

=0 4、已知x 2

-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2

-8x+（-4）2

=31 B ．x 2

-8x+（-4）2

=1 C ．x 2

+8x+42

=1 D ．x 2

-4x+4=-11

5、填空：①方程2x ＝-3x 2

+5中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项

是 ．

②关于x 的方程（m 2

-4）x 2

-（m-2）x-1=0，当m 时是一元二次方程；当m 时是一元一次方程．

③把关于x 的一元二次方程（m+1）x 2

-2m （1-x ）+1=0化成一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．

④关于x 的方程ax 2

-2m-3=x （2-x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是 6、解下列方程：

（1）2

(1)9x -=； （2）2

3920x x -+=

（3）2

3920x x -+=． (4)10x 2

－x －3＝0；

1、下列关于x的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，•请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项．

⑴ax2-4x+2=0（a≠0）；⑵5x2=8px；

⑶（m+1）x2-6mx=3m+1；⑷（k2+1）x2+kx-k=9．

2、方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；②是一元一次方程．

3、x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．

4、已知x是实数，求y=x2-4x+5的最小值．

运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．