初中数学最值问题典型例题

考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）

问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：

条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小

例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；

（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。

例2、如图13，抛物线y=ax 2

＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0）

A

B

A '

P

l

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN ∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）

（1）求S△DBF;

(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;

(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如

果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线

1

y=x+1

2

与抛物线2

y=ax+bx3

-交于A，B两点，

点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

（1）求a，b及sin ACP

∠的值

（2）设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.

例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=,抛物线经过点A(4,0)与点（-2,6）.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单

位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴BA=BE，∠ABE=60°．

∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．

又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）

解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小．（9分）

理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，

∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）

例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：2

(1)4y a x =-+，依题意，将点B （3，0）代

入，得： 2(31)40a -+= 解得：a ＝－1∴所求抛物线的解析式为：2

(1)4y x =--+

（2）如图6，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称， 在x 轴上取一点H ，连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE ，则HF ＝HI …………………① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），

∵点E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将x ＝2代入抛物线2

(1)4y x =--+，得 2

(21)43y =--+= ∴点E 坐标为（2，3）

又∵抛物线2

(1)4y x =--+图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D ∴当y ＝0时，2(1)40x --+=，∴x ＝－1或x ＝3 当x ＝0时，y ＝－1＋4＝3,

∴点A （－1，0），点B （3，0），点D （0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x ＝1，

∴点D 与点E 关于PQ 对称，GD ＝GE …………………② 分别将点A （－1，0）、点E （2，3）代入y ＝kx ＋b ，得： 023k b k b -+=⎧⎨

+=⎩ 解得： 1

1k b =⎧⎨=⎩

过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝x ＋1 ∴当x ＝0时，y ＝1 ∴点F 坐标为（0，1） ∴DF =2………………………………………③ 又∵点F 与点I 关于x 轴对称， ∴点I 坐标为（0，－1）

∴EI =

==