2015年山东青岛数学试题解析
山东省青岛市2015年中考数学试题(word版)
∵ k 0.1＞0 ，∴ l随n增大而增大 ，∴当 n 2000 时， l最小 1700
13．如图，圆内接四边形 ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且∠A＝55°，∠E=30°，则∠
F=
．
14．如图，在一次数学活动课上，张明用 17 个边长为 1 的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用
其他同样的小正方体在旁 边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大
所以，当 n 6 时， m 1
综上所述，可得表①
n
3
4
5
6
m
1
0
1
1
探究二： （1）用 7 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）
（2）分别用 8 根、9 根、10 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
第（Ⅰ）卷 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）
下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选 错或选出的标号超过一 个的不得分．
1． 2 的相反数是（ ）．
A． 2
B． 2
1
C．
D．2
2
2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为 0.000 000 001s，把 0.000 000 001s 用科学计数法可以 表示为（ ）．
（1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3）若该中学有 2000 名学生，请估计其中有多少名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业？
18．（本小题满分 6 分） 小颖和小丽做“摸球”游戏：在 一个不透明的袋子中装有编号为 1~4 的四个球（除编号外都相同），从中 随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于 5，则小颖胜， 否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
2015年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷和解析答案
2015年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请把唯一正确答案地字母标号涂在答题卡地相应位置1．（3分）﹣地倒数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．（3分）下列各展开图中，不能折成如图长方体地是（）A．B．C．D．3．（3分）新华网北京3月16日电：伴随着春地脚步，一年一次地春运正式落下帷幕．从2月4日到3月15日，40天地时间里，公路、铁路、民航共同发力，完成了人类历史上规模最大地周期性“大迁徙”，运输安全平稳有序．据交通运输部发布消息，今年春运期间，全国共发送旅客28.09亿人次，比去年同期增长3.5%．将28.09亿这个数据用科学记数法可以表示为（）A．28.09×108B．2.809×108C．28.09×109D．2.809×1094．（3分）在不透明地袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下地数据：根据以上数据，估算袋中地白棋子数量为（）A．60枚B．50枚C．40枚D．30枚5．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上地点，若∠ABC=54°，则∠BDC等于（）A．36°B．54°C．72°D．108°6．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，若BC=5，AD=3，则△BCD地面积为（）A．6 B．7.5 C．12 D．157．（3分）若反比例函数y=（k≠0）地图象经过点A（﹣2，1），则当x＜﹣1时，函数值y地取值范围是（）A．y＞2 B．﹣2＜y＜0 C．y＞﹣2 D．0＜y＜28．（3分）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）与一次函数y=ax+1（a≠0）在同一直角坐标系中地图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请把正确答案填写在答题卡地相应位置9．（3分）计算：=．10．（3分）已知甲、乙两地间地铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车地单程运行时间缩短了3小时．设原来地平均速度为x 千米/时，根据题意，可列方程为 ．11．（3分）为了解某社区居民地用电情况，某数学活动小组随机对该社区20户居民进行了调查，下表是这20户居民某月用电量地调查结果：则这20户居民该月用电量地中位数是 千瓦时，平均数是千瓦时． 12．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，将BC 绕点C 逆时针旋转，使点B 恰好落在AD 边上地点E 处，则图中阴影部分（扇形BCE ）地面积为 ．13．（3分）如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线地交点，过点O 作OE ⊥OF ，分别交AD ，CD 于E ，F ，若AE=6，CF=4，则EF= ．14．（3分）将图①所示地正六边形纸片按图②进行分割可以得到3个小正六边形，再将其中一个小正六边形按同样地方式进行分割得到图③，再将图③中最小地某一个正六边形按同样地方式进行分割…，则第n 个图形中，共可以分割成 个正六边形．三、作图题：（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．a15．（4分）已知：如图，线段a．求作：Rt△ABC，使AB=AC，且BC=a．四、解答题：（本题满分70分，共有9道小题）16．（4分）（1）化简：（﹣）（2）解不等式组：．17．（6分）随着全国各地空气出现严重污染，PM2.5屡屡爆表，我国多个城市发生雾霾天气，越来越多地人开始关注一个原本陌生地术语﹣﹣PM2.5．某校九年级共有1000名学生，团委准备调查他们对“PM2.5”知识地了解程度．（1）在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查九年级部分女生；方案二：调查九年级部分男生；方案三：到九年级每个班去随机调查一定数量地学生．请问其中最具有代表性地一个方案是；（2）团委采用了最具有代表性地调查方案，并用收集到地数据绘制出两幅不完整地统计图，请你根据图中信息，将其补充完整；（3）请你估计该校九年级约有多少名学生比较了解“PM2.5”地知识．18．（6分）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色地游戏．游戏规则是：在一个不透明地袋子里装有除颜色以外其它均相同地4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下地3个小球中随机摸出一个小球．若摸出地两个小球地颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜．（1）用树状图或列表法求出甲获胜地概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．19．（6分）如图，我渔政船在东海海面上自西向东匀速巡航，在A地观测到某海岛C在东偏南21.3°方向上．若渔政船继续向东航行60海里到达B处，此时观测到海岛C在东偏南63.5°方向上．之后，渔政船再向东航多少海里，离海岛C 地距离最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°，sin63.5°，tan63.5°≈2）20．（8分）在奉贤创建文明城区地活动中，有两段长度相等地彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖地长度y（米）与施工时间x（时）之间关系地部分图象．请解答下列问题：（1）求乙队在2≤x≤6地时段内，y与x之间地函数关系式；（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设地彩色道砖地长度为多少米？21．（8分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和CD地中点，连接AF，CE．（1）求证：AF=CE；（2）试确定，当菱形ABCD再满足一个什么条件时，四边形AECF为矩形？请说明理由．22．（10分）某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时地单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件地利润率不能超过40%．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件．设每件玩具地销售单价为x（元）时，月销售利润为y（元）．（利润=售价﹣进价）（1）求y与x地函数关系式；（2）每件玩具地销售单价为多少元时，每月能获得地利润恰好是5250元？（3）每件玩具地销售单价为多少元时，每月能获得地利润最大？最大利润是多少？23．（10分）方法介绍：同学们，生活中地很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型地方式来解决．例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段地条数就是安排比赛地场数．这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4=20条线段，而每两个点之间地线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛．学以致用：（1）根据图②回答：如果有6个班级地足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛；（2）根据规律，如果有n个班级地足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛．问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建地合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）．小明发现所有人握手次数总和为36次，那么合唱队有多少人？（2）A、B、C、D、E五人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手．已知A已经握了4次，B已经握了3次，C已经握了2次，D已经握了1次，请利用图③分析E已经和哪些人握手了．问题拓展：根据上述模型地建立和问题地解决，请你提出一个问题，并进行解答．24．（12分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8．动点P从点B出发沿BC方向，以每秒1个单位长度地速度向点C匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CD方向，以每秒1个单位长度地速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点后即都停止运动．过点Q作QM∥AC交AD于点M，连接PM，PQ．设点P地运动时间为t秒，△PQM地面积为s．（1）求当t为何值时，PQ∥BD；（2）求S与t之间地函数关系式，并确定自变量t地取值范围；（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使△PQM地面积与矩形ABCD面积地比等于9：32？若存在，求出t地值；若不存在，说明理由．2015年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请把唯一正确答案地字母标号涂在答题卡地相应位置1．（3分）﹣地倒数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【解答】解：﹣地倒数是﹣2，故选：C．2．（3分）下列各展开图中，不能折成如图长方体地是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A，B，D经过折叠均能围成长方体；选项C以阴影部分为下底面，其余各面向该面折叠，发现上底面重合，缺少背面，所以不能折成如左图所示地长方体，故选：C．3．（3分）新华网北京3月16日电：伴随着春地脚步，一年一次地春运正式落下帷幕．从2月4日到3月15日，40天地时间里，公路、铁路、民航共同发力，完成了人类历史上规模最大地周期性“大迁徙”，运输安全平稳有序．据交通运输部发布消息，今年春运期间，全国共发送旅客28.09亿人次，比去年同期增长3.5%．将28.09亿这个数据用科学记数法可以表示为（）A．28.09×108B．2.809×108C．28.09×109D．2.809×109【解答】解：将28.09亿这个数据用科学记数法可以表示为2.809×109，故选：D．4．（3分）在不透明地袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下地数据：根据以上数据，估算袋中地白棋子数量为（）A．60枚B．50枚C．40枚D．30枚【解答】解：根据试验提供地数据得出：黑棋子地比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100=20%，所以白棋子比例为：1﹣20%=80%，设白棋子有x枚，由题意，得=80%，x=0.8（x+10），x=0.8x+8，0.2x=8，所以x=40，经检验，x=40是原方程地解，即袋中地白棋子数量约40颗．故选：C．5．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上地点，若∠ABC=54°，则∠BDC 等于（）A．36°B．54°C．72°D．108°【解答】解：连接AC，如图所示：∵AB是⊙O地直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=54°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=36°，∴∠BDC=∠BAC=36°．故选：A．6．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，若BC=5，AD=3，则△BCD地面积为（）A．6 B．7.5 C．12 D．15【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，AD=3，∴DE=AD=3，∵BC=5，∴×BC×DE=×5×3=7.5，故选：B．7．（3分）若反比例函数y=（k≠0）地图象经过点A（﹣2，1），则当x＜﹣1时，函数值y地取值范围是（）A．y＞2 B．﹣2＜y＜0 C．y＞﹣2 D．0＜y＜2【解答】解：把A（﹣2，1）代入y=得k=﹣2×1=﹣2，所以反比例函数地解析式为y=﹣；当x=﹣1时，y=﹣=2，所以当x＜﹣1时，函数值y地取值范围是0＜y＜2．故选：D．8．（3分）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）与一次函数y=ax+1（a≠0）在同一直角坐标系中地图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）与一次函数y=ax+1（a≠0）可得，两个函数都过点（0，1），故选项B、C错误；在A和D两个选项中，由一次函数y=ax+1（a≠0）过一、二、四象限可知a＜0，则二次函数y=ax2+bx+1开口向下，故A正确，D错误；故选：A．二、填空题：（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请把正确答案填写在答题卡地相应位置9．（3分）计算：=﹣．【解答】解：原式===﹣． 故答案为﹣．10．（3分）已知甲、乙两地间地铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车地单程运行时间缩短了3小时．设原来地平均速度为x 千米/时，根据题意，可列方程为．【解答】解：设原来地平均速度为x 千米/时，可得：， 故答案为：11．（3分）为了解某社区居民地用电情况，某数学活动小组随机对该社区20户居民进行了调查，下表是这20户居民某月用电量地调查结果：则这20户居民该月用电量地中位数是 110 千瓦时，平均数是 105千瓦时． 【解答】解：（60×2+80×3+100×5+120×8+140×2）=105（千瓦时）， 第10个和第11个数据分别是100和120千瓦时，所以中位数为110千瓦时． 故答案为110，105．12．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，将BC 绕点C 逆时针旋转，使点B 恰好落在AD 边上地点E 处，则图中阴影部分（扇形BCE ）地面积为 ．【解答】解：∵线段CE 由线段BC 旋转而成，BC=4，∴CE=BC=4．∵AB=2，∠ABD=90°，∴∠CED=30°．∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED=30°，=．∴S阴影故答案为：13．（3分）如图，在正方形ABCD中，O是对角线地交点，过点O作OE⊥OF，分别交AD，CD于E，F，若AE=6，CF=4，则EF=2．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠AOE=∠DOF，在△AOE和△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴AE=DF=6，同理：DE=CF=4，∴EF===2．故答案为：2．14．（3分）将图①所示地正六边形纸片按图②进行分割可以得到3个小正六边形，再将其中一个小正六边形按同样地方式进行分割得到图③，再将图③中最小地某一个正六边形按同样地方式进行分割…，则第n个图形中，共可以分割成3n ﹣2个正六边形．【解答】解：观察第二个图形，有1+3=4个；第三个图形，有1+3+3=7个；依此类推，第n个图形中，有1+3（n﹣1）=3n﹣2个，故答案为：3n﹣2．三、作图题：（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．a15．（4分）已知：如图，线段a．求作：Rt△ABC，使AB=AC，且BC=a．【解答】解：如图，△ABC为所作．四、解答题：（本题满分70分，共有9道小题）16．（4分）（1）化简：（﹣）（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式=•=﹣；（2），解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤1，所以原不等式组地解集为﹣3＜x≤1．17．（6分）随着全国各地空气出现严重污染，PM2.5屡屡爆表，我国多个城市发生雾霾天气，越来越多地人开始关注一个原本陌生地术语﹣﹣PM2.5．某校九年级共有1000名学生，团委准备调查他们对“PM2.5”知识地了解程度．（1）在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查九年级部分女生；方案二：调查九年级部分男生；方案三：到九年级每个班去随机调查一定数量地学生．请问其中最具有代表性地一个方案是方案三；（2）团委采用了最具有代表性地调查方案，并用收集到地数据绘制出两幅不完整地统计图，请你根据图中信息，将其补充完整；（3）请你估计该校九年级约有多少名学生比较了解“PM2.5”地知识．【解答】解：（1）方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，所以应选方案三；（2）补全统计图如下：（3）30%×1000=300（人）．答：估计该校九年级约有300名学生比较了解“PM2.5”地知识．18．（6分）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色地游戏．游戏规则是：在一个不透明地袋子里装有除颜色以外其它均相同地4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下地3个小球中随机摸出一个小球．若摸出地两个小球地颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜．（1）用树状图或列表法求出甲获胜地概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【解答】解：（1）由题意，列表格得：∵共有12种结果，每种结果出现地可能性相同，其中能配成紫色地有8种，==；∴甲获胜地概率是：P甲获胜（2）∵由题意得，P=，而＞，乙获胜∴游戏不公平．19．（6分）如图，我渔政船在东海海面上自西向东匀速巡航，在A地观测到某海岛C在东偏南21.3°方向上．若渔政船继续向东航行60海里到达B处，此时观测到海岛C在东偏南63.5°方向上．之后，渔政船再向东航多少海里，离海岛C 地距离最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°，sin63.5°，tan63.5°≈2）【解答】解：过C作CD⊥AB，垂足为D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．设BD=x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD=，∴CD=xtan63.5°．在Rt△ACD中，AD=AB+CD=（60+x）海里，tan∠A=，∴CD=（60+x）tan21.3°．∴xtan63.5°=（60+x）tan21.3°，即2x=（60+x）．解得：x=15．答：渔政船继续向东航行15海里，距离海岛C最近．20．（8分）在奉贤创建文明城区地活动中，有两段长度相等地彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖地长度y（米）与施工时间x（时）之间关系地部分图象．请解答下列问题：（1）求乙队在2≤x≤6地时段内，y与x之间地函数关系式；（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设地彩色道砖地长度为多少米？【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6地时段内y与x之间地函数关系式为y=kx+b，由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），∴，解得，∴y=5x+20；（2）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时），设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖地长度为z米，依题意，得=，解得z=110，答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖地长度为110米．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和CD地中点，连接AF，CE．（1）求证：AF=CE；（2）试确定，当菱形ABCD再满足一个什么条件时，四边形AECF为矩形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD．∵E、F分别是AB、CD地中点，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF．又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF=CE；（2）菱形ABCD地内角∠B=60°时，则四边形AECF为矩形，理由如下：连接AC，∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵AE=BE，∴CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴四边形AECF为矩形．22．（10分）某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时地单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件地利润率不能超过40%．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件．设每件玩具地销售单价为x（元）时，月销售利润为y（元）．（利润=售价﹣进价）（1）求y与x地函数关系式；（2）每件玩具地销售单价为多少元时，每月能获得地利润恰好是5250元？（3）每件玩具地销售单价为多少元时，每月能获得地利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意得：y=（x﹣50）[400﹣10（x﹣60）]=﹣10x2+1500x﹣50000，故y与x地函数关系式为：y=﹣10x2+1500x﹣50000；（2）由题意，解方程﹣10x2+1500x﹣50000=5250解这个方程得：x1=65，x2=85又因为50×（1+40%）=70（元），而x2=85＞70，不合题意，应舍去，所以，每件玩具地销售单价为65元时，每月能获得地利润恰好是5250元；（3）由y=﹣10x2+1500x﹣50000=﹣10（x﹣75）2+6250，可知a=﹣10＜0，对称轴为直线x=75，所以，当50≤x≤70，y随x地增大而增大所以，当x=70时，每月能获得地利润最大，此时，y=﹣10（x﹣75）2+6250=6000，所以，当每件玩具地销售单价为70元时，每月能获得地利润最大，最大利润是6000元．23．（10分）方法介绍：同学们，生活中地很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型地方式来解决．例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段地条数就是安排比赛地场数．这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4=20条线段，而每两个点之间地线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛．学以致用：（1）根据图②回答：如果有6个班级地足球队参加比赛，学校一共要安排15场比赛；（2）根据规律，如果有n个班级地足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛．问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建地合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）．小明发现所有人握手次数总和为36次，那么合唱队有多少人？（2）A、B、C、D、E五人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手．已知A已经握了4次，B已经握了3次，C已经握了2次，D已经握了1次，请利用图③分析E已经和哪些人握手了．问题拓展：根据上述模型地建立和问题地解决，请你提出一个问题，并进行解答．【解答】解：学以致用：（1）有6个班级地足球队参加比赛，学校一共要安排比赛地场数是：=15，故答案为：15；（2）n个班级地足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛，故答案为：；问题解决：（1）设合唱队有x人，则=36，整理得，x2﹣x﹣72=0，解得，x1=9，x2=﹣8（舍去）答：合唱队有9人；（2）如图，E和A，B握手了．24．（12分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8．动点P从点B出发沿BC方向，以每秒1个单位长度地速度向点C匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CD方向，以每秒1个单位长度地速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点后即都停止运动．过点Q作QM∥AC交AD于点M，连接PM，PQ．设点P地运动时间为t秒，△PQM地面积为s．（1）求当t为何值时，PQ∥BD；（2）求S与t之间地函数关系式，并确定自变量t地取值范围；（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使△PQM地面积与矩形ABCD面积地比等于9：32？若存在，求出t地值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，CD=AB=6∵PQ∥BD，∴∠DBC=∠QPC，∠CDB=∠CQP，∴△CBD∽△CPQ∴=，即=，解得，t=，∴当t=时，PQ∥BD；（2）∵MQ∥AC，∴△ACD∽△MQD，∴=，即=，解得，AM=t，由题意，S=矩形ABCD地面积﹣梯形ABPM地面积﹣△DMQ地面积﹣△PCQ地面积=6×8﹣（t+t）×6﹣（8﹣t）×t﹣（8﹣t）（6﹣t）=﹣t2﹣3t+24，自变量t地取值范围是0≤t≤6；（3）由题意得，﹣t2﹣3t+24=×48，整理得，t2+18t﹣63=0，解得，t1=3，t2=﹣21（不合题意，舍去），∴当t=3秒时，△PQM地面积与矩形ABCD面积地比等于9：32．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015年山东省青岛市二模理科数学试题及答案word版
高三自主诊断试题 数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D2. 已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N = A ．[1,2)- B ．(0,1) C ．(0,1] D ．∅3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56 ，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．30B ．31C ．32D ．334. 已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4D ．1{1,,4}45. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图， 当输入的值为25时， 则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．76. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥7. “2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有 A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是 A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 A．3 B．3C．3 D．3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量a ，b满足(2,2)a =- ，()()a b a b +⊥- ，那么||b = ；12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.3P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人； 13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；第14题图正（主）视图侧（左）视图第13题图14. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知向量2(s i n,c o s )33xx a k = ,(cos ,)3xb k =- ,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅ ,R x ∈，且函数()f x 的最大值为12.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =,求AB AC ⋅的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A BC D -中，11A B a =，2AB a =，1AA ，E 、F 分别是AD 、AB 的中点. （Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1D BC C --的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心， 这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的 平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前n 项和n S ．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围； C1BE D FAB1A1D 1C（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++ ． 高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.12. 8 13.32 14．232- 15．4 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x x f x a b k k =⋅=⋅-221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--……2分222)sin()3342x x k x k π=-=-- ……………………5分因为R x ∈，所以()f x 的最大值为1)122k=，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342xf x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--= 化简得2sin()34A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412Aπππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π=…………………………………………………8分因为2222240cos222b c a b c A bc bc+-+-=-==，所以2240b c ++= 则22402b c bc +=≥，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos 20(142AB AC AB AC π⋅==-≥所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯= 11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯= ………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P 由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分又因为11,2A B a AB a ==，所以111122MC AC a == 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以14NP AC == 所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分 （Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意M P ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥ 因为11A B a =，2AB a =，1AA =，所以12A N MP === 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B，(0,,0)D，(,0,0)C，1()2C a -所以(0,,0)BD =-u u u r，1(,)BC =uuu r，(,,0)BC =u u u r ………………………………………………………7分设1111(,,)n x y z =u u r 是平面1BDC 的法向量，则1110n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu ru u r uu u r111100⎧-=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=， 令11z =，则1x1n =u u r……………………………………………9分设2222(,,)n x y z =uu r 是平面1BCC 的法向量，则2120n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uuu r uu r uu u r2222200⎧=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，23z =所以2(3n =-uu r ………………………………11分所以1212120cos ,3n n n n n n +⋅<>===u u r uu r u r u u r u u r uu r 所以二面角1D BC C --………………………………………12分 ，则依题意有0q >2分4分（Ⅱ） 12n n b -= 21log n b n +∴=811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2n n n d d -+++=两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =135,,,d d d ∴ 是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分 ∴当n 为偶数时，1218()16(22n n n d -=⨯= ……………………………………………………………7分13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n nn n n ⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分∴当n 为奇数时，112116()2(22n n n d +-=⨯=…………………………………………………………10分13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n n n n n +-+-⨯-⨯-=+=-+-=---∴,,nn n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，48,48,n n n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ …………………12分20．（本小题满分13分）n 为奇数 n 为偶数n 为偶数 n 为奇数解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+ 由2222 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*） 则42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->，得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+ 212122224()216n y y x x m n λλ∴+=-++=+ MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m n λλ++将其代入直线:l 1143y x =+得：222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……9分 由①②③消去λ，可得：217m <<， 椭圆2C 的离心率2c e m m ==，∴137e << ………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211()f x x x'=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= ①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥ ②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）当1a =时，21()x f x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln x x x-≤，……………………………………11分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++-- ． 故11111ln(1)12345n n +<++++++ ． ………………………………………………14分。
【名师解析】山东省青岛市2015届高三一模数学试卷(文科)
2015年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•青岛一模）设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．1+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：=．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）（2015•青岛一模）设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A．A⊆B B．A∪B=A C．A∩B=∅ D．A∩（∁I B）≠∅【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；集合．【分析】：化简集合A，B，即可得出结论．【解析】：解：由题意，A={y|y=log2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}=[1，+∞），∴A⊆B，故选：A．【点评】：本题考查集合的包含关系判断及应用，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．3．（5分）（2015•青岛一模）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4【考点】：茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】：图表型．【分析】：根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．【解析】：解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故选B．【点评】：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．4．（5分）（2015•青岛一模）“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，可得数列{a n}为等差数列；若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，由充要条件的定义可得答案．【解析】：解：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{a n}为等差数列，反之，若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，故“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的充要条件，故选C【点评】：本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题．5．（5分）（2015•青岛一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A． 2 B．C．D．3【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解析】：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2015•青岛一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知得，由此能求出双曲线方程．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．故选：A．【点评】：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．7．（5分）（2015•青岛一模）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【考点】：平面与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．【解析】：解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故C正确．故选C．【点评】：正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键．8．（5分）（2015•青岛一模）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．【解析】：解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题．9．（5分）（2015•青岛一模）已知△ABC的三边分别为4，5，6，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】：余弦定理的应用；三角形中的几何计算．【专题】：解三角形．【分析】：根据余弦定理先求出其中一个角的余弦值，然后求出对应的正弦值，利用三角形的面积公式即可得到结论．【解析】：解：∵△ABC的三边长a=4，b=5，c=6，∴由余弦定理得cosC==，∴sinC===∴三角形的面积为S=absinC=×4×5×=．故选：B．【点评】：本题主要考查了三角形的面积的计算，利用余弦定理和正弦定理求出其中一个角的正弦值是解决本题的关键．10．（5分）（2015•青岛一模）已知点G是△ABC的外心，，，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则G点的轨迹为（）A．一条线段B．一段圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分【考点】：轨迹方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：确定点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角，BC=2，根据△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，即可得出结论．【解析】：解：∵点G是△ABC的外心，且2++=，|∴点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角∵，，是三个单位向量，∴BC=2∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动∴G的轨迹是以原点为圆心1为半径的圆弧，故选：B．【点评】：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是判断三角形的形状，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•青岛一模）已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）= 4028．【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解．【解析】：解：∵函数f（x）=tanx+sinx+2015，∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+2015，∵f（﹣x）+f（x）=4030，∴f（m）+f（﹣m）=4030，∵f（m）=2，∴f（﹣m）=4028．故答案为：4028．【点评】：本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大．12．（5分）（2015•青岛一模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132；【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i≥11，s=12，i=11满足条件i≥11，s=132，i=10不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．故答案为：132．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．（5分）（2015•青岛一模）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解析】：解：设AC=x，则BC=12﹣x矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．故答案为：．【点评】：本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题14．（5分）（2015•青岛一模）设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z 的最小值为﹣3．【考点】：简单线性规划．【分析】：先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k值，再当直线z=x+y过B点时取最小值，求出z最小值即可．【解析】：解：作出可行域如图：直线x+y=6过点A（k，k）时，z=x+y取最大，∴k=3，z=x+y过点B处取得最小值，B点在直线x+2y=0上，∴B（﹣6，3），∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．故填：﹣3．【点评】：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）（2015•青岛一模）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：压轴题；新定义．【分析】：根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解析】：解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】：此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2015•青岛一模）某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；（Ⅱ）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，选出的两个表演项目所有基本事件的个数，求出相同的事件的个数，即可求解概率；（Ⅱ）从甲社区表演队中选2人表演节目，列出所有基本事件的个数，找出至少有一位表演笛子演奏的事件个数，然后求解概率．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为A1，B1，C1；A2，B2，C2则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有（A1，A2），（A1，B2），（A1，C2），（B1，A2），（B1，B2），（B1，C2），（C1，A2），（C1，B2），（C1，C2）共9种，…（4分）其中选出的两个表演项目相同的事件3种，所以…（6分）（Ⅱ）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为a1，b1，b2，c1，c2，c3则从甲社区表演队中选2人的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15种…（10分）其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9种，所以…（12分）【点评】：本题考查古典概型的概率的求法，列出所有基本事件，做到不重复不漏是解题的关键．17．（12分）（2015•青岛一模）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【考点】：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值；（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间．【解析】：解：（Ⅰ）==．…（4分）当时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a又f（x）最高点的纵坐标为2，∴3+a=2，即a=﹣1．…（6分）又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f（x）的最小正周期为T=π故，ω=1…（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得由．得．…（10分）令k=0，得：．故函数f（x）在[﹣π，π]上的单调递减区间为…（12分）【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象以及三角函数的辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键．18．（12分）（2015•青岛一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）证明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．【考点】：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，证明B1D∥E1G，利用直线与平面平行的判定定理证明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）设AC∩BD=H，通过△BHC～△DHA，结合BC=1，AD=3，求出，，证明AC⊥BD，然后证明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ACD1⊥平面BDD1B1．【解析】：（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，所以B1D∥E1G…（4分）又因为B1D⊄平面AD1E1，E1G⊂平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．…（6分）（Ⅱ）设AC∩BD=H，因为AD∥BC，所以△BHC～△DHA又BC=1，AD=3，所以，∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°∴，从而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，AA1⊥底面ABCD所以侧棱BB1⊥底面ABCD，又AC⊂底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）因为BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）因为AC⊂平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．19．（12分）（2015•青岛一模）已知数列{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10=28，S8=92；数列{b n}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…b n﹣1•b n=3n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）设出{a n}的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求通项；再由b1•b2•b3…b n﹣1•b n=3n+1，得b1•b2•b3…b n﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，化简后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和T n．【解析】：解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由a10=28，S8=92，得a10=a1+9d=28，，解得a1=1，d=3，a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；又∵b1•b2•b3…b n﹣1•b n=3n+1，∴b1•b2•b3…b n﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除得，当n=1时b1=4适合上式，∴；（Ⅱ）把{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，得，则，，两式作差得：，∴，即．【点评】：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．20．（13分）（2015•青岛一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设出直线AB的方程为：，利用圆O与直线AB相切，列出关系式，设椭圆的半焦距为c，通过b2+c2=a2，利用离心率，求出a，b，得到椭圆C的标准方程．（Ⅱ）了直线与椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离，求出=分离常数，利用二次函数的最值，求解△EPF的面积的最大值，以及k的中．【解析】：解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：，即为bx+ay﹣ab=0因为圆O与直线AB相切，所以，…①…（2分）设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，，所以…②…（3分）由①②得：a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为：…（5分）（Ⅱ）由可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0设E（x1，y1），F（x2，y2）则，…（7分）所以又点O 到直线EF 的距离，∵OP ∥l ，∴=…（10分）又因为，又k≠0，∴令t=1+2k 2∈（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，△EPF 的面积的最大值为…（13分）【点评】： 本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的我最关心，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想的应用．21．（14分）（2015•青岛一模）已知函数f （x ）=（ax 2+2x ﹣a ）e x ，g （x ）=f （lnx ），其中a ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）若函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线过坐标原点，求实数a 的值； （Ⅱ）若f （x ）在[﹣1，1]上为单调递增函数，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）当a=0时，对于满足0＜x 1＜x 2的两个实数x 1，x 2，若存在x 0＞0，使得g′（x 0）=成立，试比较x 0与x 1的大小．【考点】： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】： 导数的综合应用．【分析】： （Ⅰ）求出函数的导函数f'（x ）=[ax 2+2（a+1）x+2﹣a ]e x ，通过f'（2），求出函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程，通过切线过坐标原点，求出a 即可． （Ⅱ）通过f （x ）在[﹣1，1]上为单调递增函数，只要f'（x ）≥0，构造Γ（x ）=ax 2+2（a+1）x+2﹣a通过①当a=0时，推出函数f （x ）在[﹣1，1]上为单调递增函数．②当a ＞0时，Γ（x ）=ax 2+2（a+1）x+2﹣a ，利用二次函数的性质，Γ（x ）min =Γ（﹣1）=﹣2a≥0⇒a≤0 推出矛盾．③当a ＜0时，Γ（x ）=ax 2+2（a+1）x+2﹣a 类比②，得到结果．（Ⅲ）利用，g'（x）=lnx+1．通过导数的几何意义，说明存在x0＞0，使得，然后构造函数，利用新函数的导数，判断函数的单调性，然后推出x0＞x1即可．【解析】：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax2+2x﹣a）e x，∴f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]e x则f'（2）=（7a+6）e2，f（2）=（3a+4）e2∴函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线为：y﹣f（2）=（7a+6）e2（x﹣2）∵切线过坐标原点，0﹣f（2）=（7a+6）e2（0﹣2），即（3a+4）e2=2（7a+6）e2，∴…（3分）（Ⅱ）f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]e x要使f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，只要ax2+2（a+1）x+2﹣a≥0令Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a①当a=0时，Γ（x）=2x+2，在[﹣1，1]内Γ（x）≥Γ（﹣1）=0，∴f'（x）≥0函数f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数…（4分）②当a＞0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a是开口向上的二次函数，其对称轴为，∴Γ（x）在[﹣1，1]上递增，为使f（x）在[﹣1，1]上单调递增，必须Γ（x）min=Γ（﹣1）=﹣2a≥0⇒a≤0而此时a＞0，产生矛盾∴此种情况不符合题意…（6分）③当a＜0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a是开口向下的二次函数，为使f（x）在[﹣1，1]上单调递增，必须f'（x）≥0，即Γ（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立，∴⇒又a＜0，∴﹣2≤a＜0综合①②③得实数a的取值范围为[﹣2，0]…（8分）（Ⅲ），g'（x）=lnx+1．因为对满足0＜x1＜x2的实数x1，x2，存在x0＞0，使得成立，所以，即，从而==．…（11分）设φ（t）=lnt+1﹣t，其中0＜t＜1，则，因而φ（t）在区间（0，1）上单调递增，φ（t）＜φ（1）=0，∵0＜x1＜x2，∴，从而，又所以lnx0﹣lnx1＞0，即x0＞x1…（14分）【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，构造法的应用，导数的几何意义，考查函数的单调性的应用，转化思想的应用．。
2015年山东省青岛市中考数学试卷(解析版)
2015年山东省青岛市中考数学试卷(解析版)一、选择题（本题满分24分，共有8小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A,B,C,D 的四个结论，其中只有一个是正确的1．（3分）（2015•青岛）的相反数是（）A.﹣B．C D.2考点：实数的性质．分析：根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．解答：解：根据相反数的含义，可得的相反数是：﹣．故选：A点评：此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．（3分）（2015•青岛）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s．把0.000 000 001s用科学记数法可表示为（）A．0.1×10﹣8s B．0.1×10﹣9s C．1×10﹣8s D．1×10﹣9s考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 000 001=1×10﹣9，故选：D．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2015•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C.3 D.+2考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．解答：解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=1，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3．故选C．点评：本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．5．（3分）（2015•青岛）小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 3 2 3 1关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A．极差是2环B．中位数是8环C．众数是9环D．平均数是9环考点：众数；加权平均数；中位数；极差．分析：根据极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，以及众数是出现次数最多的数，中位数是按大小顺序排列后，最中间的一个即是中位数，所有数据的和除以数据个数即是平均数，分别求出即可．解答：解：A、极差是10﹣6=4环，故本选项错误；B、把数从小到大排列起来；6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，位于中间的两个数都是8，所以中位数是（8+8）÷2=8，故本选项正确；C、7和9都出现了3次，次数最多，所以众数是7环和9环，故本选项错误；D、平均数=（6+7×3+8×2+9×3+10）=8，故本选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了极差，平均数，众数与中位数，解决问题的关键是正确把握这几种数概念的区别与联系．6．（3分）（2015•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°考点：切线的性质；正多边形和圆．分析：连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．解答：解：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．点评：本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．7．（3分）（2015•青岛）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．4C．4D．28考点：菱形的性质；三角形中位线定理．分析：首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．解答：解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，∴AB==，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．点评：此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．8．（3分）（2015•青岛）如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x＞2考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．解答：解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．故选D．点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．二、填空题（本题满分18分,共有6小题，每小题3分）9．（3分）（2015•青岛）计算：3a3•a2﹣2a7÷a2=a5．考点：整式的混合运算．分析：根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和除法，然后计算减法，即可求出算式3a3•a2﹣2a7÷a2的值是多少．解答：解：3a3•a2﹣2a7÷a2=3a5﹣2a5=a5故答案为：a5．点评：（1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）此题还考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．10．（3分）（2015•青岛）如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是（6，1）．考点：坐标与图形性质．分析：先写出点A的坐标为（6，3），横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案．解答：解：点A变化前的坐标为（6，3），将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（6，1），故答案为（6，1）．点评：此题考查了坐标与图形性质的知识，根据图形得到点A的坐标是解答本题的关键．11．（3分）（2015•青岛）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为s=．考点：根据实际问题列反比例函数关系式．分析：利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．解答：解：由题意可得：sh=3×2×1，则s=．故答案为：s=．点评：此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．12．（3分）（2015•青岛）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为2﹣2．考点：旋转的性质；坐标与图形性质；正方形的性质；正多边形和圆．分析：如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′的长；证明△A′MN 为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′的长度，即可解决问题．解答：解：如图，由题意得：正方形ABCD的边长为2，∴该正方形的对角线长为2，∴OA′=；而OM=1，∴A′M=﹣1；由题意得：∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，∴∠MNA′=45°，∴MN=A′M=；由勾股定理得：A′N=2﹣；同理可求D′M′=2﹣，∴MN=2﹣（4﹣2）=2﹣2，∴正八边形的边长为2﹣2．点评：该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（3分）（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=40°．考点：圆内接四边形的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．解答：解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案为40°．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．14．（3分）（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要19个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为48．考点：由三视图判断几何体．分析：首先确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可．解答：解：∵亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，∴该长方体需要小立方体4×32=36个，∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，表面积为：2×（9+7+8）=48，故答案为19，48．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，能够确定两人所搭几何体的形状是解答本题的关键，难度不大．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．（4分）（2015•青岛）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c，直线l及l外一点A．求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C），斜边AB=c．考点：作图—复杂作图．专题：作图题．分析：在直线l另一侧取点P，以点A为圆心，AP为半径画弧交直线l于M、N，再作线段MN的垂直平分线交l于C，然后以点A为圆心，c为半径画弧交l于B，连结AB，则△ABC为所作．解答：解：如图，△ABC为所求．点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（2015•青岛）（1）化简：（+n）÷；（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．考点：分式的混合运算；根的判别式．专题：计算题．分析：（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．解答：解：（1）原式=•=•=（2）∵方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，∴△=9+8m＞0，解得：m＞﹣．点评：此题考查了分式的混合运算，以及根的判别式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（6分）（2015•青岛）某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：（1）补全条形统计图；（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据A类的人数是10，所占的百分比是25%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得B类的人数；（2）用360°乘以对应的比例即可求解；（3）用总人数乘以对应的百分比即可求解．解答：解：（1）抽取的总人数是：10÷25%=40（人），在B类的人数是：40×30%=12（人）．；（2）扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×=27°；（3）能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×（25%+30%+35%）=1800（人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（6分）（2015•青岛）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于5的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．解答：解：这个游戏对双方不公平．理由：列表如下：1 2 3 41 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，故小颖获胜的概率为：=，则小丽获胜的概率为：，∵＜，∴这个游戏对双方不公平．点评：此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19．（6分）（2015•青岛）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．解答：解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，∴tan∠ACD=，∴=，解得，x≈233m点评：本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．20．（8分）（2015•青岛）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料．（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，根据“同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个”，列出方程，即可解答；（2）根据所需要材料的总长度l=甲盒材料的总长度+乙盒材料的总长度，列出函数关系式；再根据“甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍”求出n的取值范围，根据一次函数的性质，即可解答．解答：解：（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，，解得：x=0.5，经检验x=0.5是原方程的解，∴（1+20%）x=0.6（米），答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料．（2）根据题意得：l=0.6n+0.5（3000﹣n）=0.1n+1500，∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，∴n≥2（3000﹣n）解得：n≥2000，∴2000≤n＜3000，∵k=0.1＞0，∴l随n增大而增大，∴当n=2000时，l最小1700米．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题．21．（8分）（2015•青岛）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．解答：证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD，∴∠B=∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE，如右图所示，∵AD⊥BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，∵AB=AC，∴AB=DE．点评：本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活．22．（10分）（2015•青岛）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线时的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧于地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值于6进行大小比较即可判断；（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．解答：解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4，则y=﹣（x﹣6）2+10，所以D（6，10），所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）由题意得货运汽车最外侧于地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x=2或x=10时，y=＞6，所以这辆货车能安全通过；（3）令y=0，则﹣（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2，x2=6﹣2，则x1﹣x2=4，所以两排灯的水平距离最小是4m．点评：本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．23．（10分）（2015•青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②n 7 8 9 10m 2122你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m k k﹣1k k【问题应用】：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了672根木棒．（只填结果）考点：作图—应用与设计作图；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质．专题：分类讨论．分析：探究二：仿照探究一的方法进行分析即可；问题解决：根据探究一、二的结果总结规律填表即可；问题应用：根据规律进行计算求出m的值．解答：解：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形当n=7时，m=2．（2）用8根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，则不能搭成一种等腰三角形，分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n=8时，m=1．用9根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=9时，m=2．用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷4=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2016÷3=672，∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．点评：本题考查的是作图应用与设计作图、三角形三边关系，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质进行解答．24．（12分）（2015•青岛）已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出=，=，求解即可；（2）过点P作PD⊥BC于D，根据△CPD∽△CBA，得出=，求出PD=﹣t，再根据S△QMC=S△QPC，得出y=S△QMC=QC•PD，再代入计算即可；（3）根据S△QMC：S四边形ABQP=1：4，得出S△QPC：S△ABC=1：5，代入得出（t﹣t2）：6=1：5，再计算即可；（4）根据PQ⊥MQ得出△PDQ∽△MQP，得出PQ2=MP•DQ，根据勾股定理得出PD2+DQ2=MP•DQ，再分别代入得出（）2+（）2=5×，求出t即可。
2014-2015年黄岛区七年级上册数学期末试题(带解析答案)
2014-2015学年山东省青岛市市北区七年级（上）期末数学试卷2014-2015学年山东省青岛市市北区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）（2011•台州）在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（）．2．（3分）如图中几何体由一些完全相同的小立方体组成，从左面看到图形的形状是（）．C D．3．（3分）空气是由多种气体混合而成的．为了简明扼要地介绍空气的组成情况．较好地描述数据，最适合使用的7．（3分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则必有（）．8．（3分）某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，已知这种商品的进价为1600元，则该二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示为_________元．10．（3分）0.25°=_________′=_________″．11．（3分）如图，是一个正方体纸盒的展开图，在它的六个面上分别标有数字3、﹣1、a、﹣5、2、b．将它沿虚线折成正方体后，若相对面上的两数和相等，则a=_________，b=_________．12．（3分）已知﹣3x2m﹣3y与x5y4n+5是同类项，则|m+5n|的值等于_________．13．（3分）（2011•沈阳）小窦将本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的统计图，若步行上学的学生有27人，则骑车上学的学生有_________人．14．（3分）将一张长方形的纸对折，可以得到2个小长方形，继续对折，可以得到4个小长方形；继续按同样的方式对折n次（n是正整数）后，可以得到_________个小长方形（用含n的代数式表示）；当n=6时，可以得到_________个小长方形．三、请用尺规按下列要求作图，保留作图痕迹（本题满分4分）15．（4分）如图，已知线段AB，（1）延长线段AB到C，使BC=AB；（2）延长线段BA到D，AD=2AB．如果AB=1.8cm，那么BD=_________cm，DC=_________cm．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）计算：（1）（﹣）﹣（+）﹣（﹣1）（2）（﹣3）2﹣（﹣12012）×（﹣）÷．17．（6分）先化简，再求值：4y2﹣2（x2+y）+（x2﹣4y2）其中x=﹣1，y=2．18．（10分）解方程：（1）2（x﹣1）=﹣4（2）=﹣1．19．（6分）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．20．（6分）为了解某品牌冰箱销售量的情况，销售人员对某商场十月份该品牌甲、乙、丙三种型号的冰箱销售量进行统计，绘制如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：（1）该商场十月份售出这种品牌的冰箱共多少台？（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求出乙种冰箱部分所对应的圆心角的度数；（4）若该商场计划订购这三种型号的冰箱共1600台，根据十月份销售量的情况，求该商场应订丙种型号的冰箱多少台比较合理？21．（8分）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．（1）图②有_________个三角形；图③有_________个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？（用n的代数式表示结论）（3）能否分出246个三角形？简述你的理由．李老师两次共购买香蕉50千克（第二次购买超过30千克但不超过40千克），共付款268元，请问李老师第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？23．（10分）小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是，购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是，从第一本按标价的80%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店较省钱？（2）买多少本时给两个商店付相等的钱？（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？24．（10分）已知：∠AOB和∠COD都是直角．（1）如图①，若∠AOD=160°，则∠BOC=_________°；∠BOD=_________°，∠AOC=_________°．（2）若将∠COD绕顶点O旋转至图②的位置，且∠AOD=160°，则∠BOC=_________°；∠BOD=_________°，∠AOC=_________°．（3）将∠COD绕顶点O继续旋转至图③的位置，且∠AOD=x°，则∠BOC=_________，∠BOD=_________，∠AOC= _________．（4）若将∠COD绕顶点O旋转任意角度，请根据上述观察到的规律，用符号语言写出∠AOD 与∠BOC、∠BOD与∠AOC 之间的数量关系．2014-2015学年山东省青岛市市北区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）（2011•台州）在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（）．、2．（3分）如图中几何体由一些完全相同的小立方体组成，从左面看到图形的形状是（）．C D．3．（3分）空气是由多种气体混合而成的．为了简明扼要地介绍空气的组成情况．较好地描述数据，最适合使用的7．（3分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则必有（）．＜8．（3分）某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，已知这种商品的进价为1600元，则该二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示为 6.8×108元．10．（3分）0.25°=15′=900″．11．（3分）如图，是一个正方体纸盒的展开图，在它的六个面上分别标有数字3、﹣1、a、﹣5、2、b．将它沿虚线折成正方体后，若相对面上的两数和相等，则a=﹣4，b=﹣1．12．（3分）已知﹣3x2m﹣3y与x5y4n+5是同类项，则|m+5n|的值等于1．13．（3分）（2011•沈阳）小窦将本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的统计图，若步行上学的学生有27人，则骑车上学的学生有9人．14．（3分）将一张长方形的纸对折，可以得到2个小长方形，继续对折，可以得到4个小长方形；继续按同样的方式对折n次（n是正整数）后，可以得到2n个小长方形（用含n的代数式表示）；当n=6时，可以得到64个小长方形．三、请用尺规按下列要求作图，保留作图痕迹（本题满分4分）15．（4分）如图，已知线段AB，（1）延长线段AB到C，使BC=AB；（2）延长线段BA到D，AD=2AB．如果AB=1.8cm，那么BD= 5.4cm，DC=7.2cm．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）计算：（1）（﹣）﹣（+）﹣（﹣1）（2）（﹣3）2﹣（﹣12012）×（﹣）÷．﹣+1（﹣17．（6分）先化简，再求值：4y2﹣2（x2+y）+（x2﹣4y2）其中x=﹣1，y=2．18．（10分）解方程：（1）2（x﹣1）=﹣4（2）=﹣1．19．（6分）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．20．（6分）为了解某品牌冰箱销售量的情况，销售人员对某商场十月份该品牌甲、乙、丙三种型号的冰箱销售量进行统计，绘制如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：（1）该商场十月份售出这种品牌的冰箱共多少台？（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求出乙种冰箱部分所对应的圆心角的度数；（4）若该商场计划订购这三种型号的冰箱共1600台，根据十月份销售量的情况，求该商场应订丙种型号的冰箱多少台比较合理？××=40021．（8分）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．（1）图②有5个三角形；图③有9个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？（用n的代数式表示结论）（3）能否分出246个三角形？简述你的理由．n=第二次分别购买香蕉多少千克？23．（10分）小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是，购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是，从第一本按标价的80%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店较省钱？（2）买多少本时给两个商店付相等的钱？（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？24．（10分）已知：∠AOB和∠COD都是直角．（1）如图①，若∠AOD=160°，则∠BOC=20°；∠BOD=70°，∠AOC=70°．（2）若将∠COD绕顶点O旋转至图②的位置，且∠AOD=160°，则∠BOC=20°；∠BOD=110°，∠AOC=110°．（3）将∠COD绕顶点O继续旋转至图③的位置，且∠AOD=x°，则∠BOC=180°﹣x°，∠BOD=90°﹣x°，∠AOC= 90°﹣x°．（4）若将∠COD绕顶点O旋转任意角度，请根据上述观察到的规律，用符号语言写出∠AOD 与∠BOC、∠BOD与∠AOC 之间的数量关系．参与本试卷答题和审题的老师有：gbl210；HJJ；sks；zhjh；dbz1018；sd2011；lantin；caicl；sjzx；bjf；73zzx；王开东；星期八；nhx600；hbxglhl；心若在；bjy（排名不分先后）菁优网2015年1月20日。
2015年青岛市初中学业水平考试数学试题解读
2015年青岛市初中学业水平考试数学试题解读一、专家评价数学作为基础学科对学生终身发展起着举足轻重的作用，初中阶段数学教学在小初高12年的数学学习中起着承上启下的作用。
2015年青岛市初级中学学业水平考试的数学试题，着力考查学生对数学核心知识的掌握情况，同时也力图通过考试评价对今后的初中数学教学加以引导。
2015年中考数学试题紧扣《九年义务教育课程标准》（2011年版）的要求，贯彻“以人为本”的理念，考查学生掌握的基础知识、基本技能、基本思想方法以及学习过程中获得的基本活动经验。
试题立意不在一题一技巧上，更多是落脚在学生对数学核心知识的掌握和运用上，引导教学关注学生基本数学素养的提升，整份试卷无繁、难、偏、旧、怪的题目，淡化知识的记忆和重现，突出能力立意。
培养学生用数学、做数学的意识。
2015年中考数学试题重点考查学生对主干知识的理解应用能力，知识的迁移能力和运用数学工具解决具体问题的能力。
如试题在数学建模方面不惜笔墨。
模型思想是数学三大基本思想之一，也是数学与现实沟通的桥梁。
在工程问题、过桥问题、等体积锻造等现实情景中考查方程、函数等的相关知识，凸显数学的应用性价值，引导今后的教学关注学生运用数学知识解决实际问题的观念和能力。
再如试题在空间观念、数据分析观念、运算、推理能力等方面都做了很好的考查，这些也努力为初高中更好地衔接等方面作出尝试，希望把我们的学生扶上马背再送上一程。
通过试题考查培养学生自主学习数学的能力。
21世纪需要我们具有终身学习的能力，怎样在初中阶段为学生终生学习奠基呢？青岛数学试题首创并坚持考查学生的数学阅读能力，考场上学以致用解决相应数学问题，籍此引导教学关注学法指导，“授之以鱼不如授之以渔”，也凸显了试题本身的教育功能。
总之，在命题过程中，力求通过试题更好地反映学生的学习水平，并能对今后的教学产生较好的推动作用。
二、教师评价高中教师：从考查的知识点看，这次数学试题关注对数学核心内容的考查，重点考查的知识点瞄准了初、高中数学的衔接点，为高中数学的学习作了很好的铺垫。
2015届山东省青岛市高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届山东省青岛市高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：186分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数有两个极值点，则直线的斜率的取值范围是A ．B ．C ．D ．2、函数的零点所在的大致区间是 A ．B ．C ．D ．3、如果执行如图的程序框图，那么输出的值是ArrayA．2016 B．2 C． D．4、若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A．1：16 B．39：129 C．13：129 D．3：275、下列命题：①是方程表示圆的充要条件；②把的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数上为增函数；④椭圆的焦距为2，则实数m的值等于5.其中正确命题的序号为A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②6、已知函数，则函数的大致图象为A． B． C． D．8、已知集合A． B． C． D．9、圆和圆的位置关系为A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能10、有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、若数列的通项公式为,试通过计算的值，推测出_________.12、两曲线所围成的图形的面积是_________.13、当时，函数的图像恒过点A ，若点A 在直线上，则的最小值为_________.14、的展开式中的常数项是_________.15、已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为__________.三、解答题（题型注释）16、（本题满分12分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值．（3）直线交椭圆于，两不同点，，在轴的射影分别为，，，若点S 满足：，证明：点S 在椭圆上．17、（本小题满分13分） 已知处的切线为（I ）求的值；（II ）若的极值；（III ）设，是否存在实数（，为自然常数）时，函数的最小值为3.18、（本小题满分12分）已知是等差数列的前n 项和，数列是等比数列，恰为的等比中项，圆，直线，对任意，直线都与圆C 相切. （I ）求数列的通项公式；（II ）若时，的前n项和为，求证：对任意，都有19、（本小题满分12分） 如图，ABCD 为梯形，平面ABCD ，AB//CD ，，E 为BC 中点，连结AE ，交BD 于O.（I ）平面平面PAE（II ）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）20、（本小题满分12分）右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人（I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数；（II ）现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（III ）在（II ）的结论下，设随机变量表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望.21、（本小题满分12分）已知直线两直线中，内角A ，B ，C 对边分别为时，两直线恰好相互垂直；（II）求b和的面积参考答案1、A2、B3、A4、B5、D6、D7、C8、A9、A10、D11、12、13、14、1515、16、（I）抛物线的方程为；椭圆的标准方程为（II）见解析；（III）见解析.17、（I）；（II）；（III）.18、（1），；（2）见解析.19、（1）见解析；（2）20、（I）6；（II）名毕业生中有男生人,女生人；（III）21、（I）；（II），【解析】1、试题分析：由题意可得：，因为有两个极值点, 所以有两个零点，因为,所以 •‚ƒ④在坐标系满足①②③④的可行域如图所示，直线的斜率，又是可行域中动点与定点连线的斜率，最大值为，最小值为所以直线的斜率的取值范围是.考点：导数的应用.2、试题分析：因为，，所以由零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间是.考点：零点存在性定理的应用.3、试题分析：第一次循环，第一次循环，第一次循环，第一次循环，故应选A.考点：程序框图.4、试题分析：由题意可得：圆台两底面半径的比是，所以圆台被分成两部分后中间圆的半径可认为是，所以由圆台的体积公式可得：，，所以故应选B.考点：空间几何体的体积.5、试题分析：方程表示圆应满足或，故 错误；把的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象故 正确；由解析式可知：函数在上是增函数，在上是减函数，所以ƒ错误；椭圆的焦距为2，所以或，所以或，所以④错误，故应选D.考点：命题真假的判断.6、试题分析：当时，，其图像为一条直线；当时，，所以函数的图像为函数图像向左平移1个单位长度后得到的，故选D.考点：函数图像变换.7、试题分析：因为是纯虚数，所以；应选C.考点：复数的运算.8、试题分析：,，故答案为A.考点：集合间的基本运算.9、试题分析：由题意可得：两圆的圆心分别为，，则两圆心的距离为，所以所以应选A.考点：圆与圆的位置关系.10、试题分析：由题意可得：3位同学都没有通过的概率为，所以至少有一位同学能通过测试的概率为，故答案为D.考点：独立重复试验.11、试题分析：由题意可得：，，，所以由此可得.考点：数列的通项公式.12、试题分析：由题意可得：两曲线所围成的图形的面积是.考点：定积分的应用.13、试题分析：由题意可得：点的坐标为，所以，所以考点：对数函数及基本不等式的应用.14、试题分析：展开式的通项为：，所以的展开式中的常数项是.考点：二项式定理的应用.15、试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，即. 考点：双曲线的定义及性质.16、试题分析：（1）因为到其焦点的距离为，根据焦半径公式可求出，可得抛物线的方程，再由椭圆的离心率，且过抛物线的焦点得椭圆方程；（2）联立方程组:，所以，，韦达定理可得；（3）满足椭圆的方程命题得证.试题解析：（1）抛物线上一点到其焦点的距离为；抛物线的准线为抛物线上点到其焦点的距离等于到准线的距离所以,所以抛物线的方程为椭圆的离心率,且过抛物线的焦点所以，,解得所以椭圆的标准方程为.（2）直线的斜率必存在,设为,设直线l与椭圆交于则直线l的方程为,联立方程组:所以,所以（*）由得:得:所以将（*）代入上式,得.（3）设所以,则由得（1）,（2）（3）（1）+（2）+（3）得:即满足椭圆的方程命题得证.考点：1、待定系数法求抛物线及椭圆标准方程方程；2、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.17、试题分析：（1）根据的解析式求出函数的导函数，由条件可得，，进而可得出（2）根据题意可确定函数的解析式，进而求导、列表判断函数的单调性，得出函数的极值；（3）列出函数的解析式求出导数，然后对分类讨论结合函数的单调性判断是否存在这样的值..试题解析：(Ⅰ) 在处的切线为所以,即又在处,所以所以,可得所以3分(Ⅱ) 时,定义域为极小值可以看出,当时,函数有极小值8分(Ⅲ) 因为,所以假设存在实数，使有最小值,9分①当时，，所以在上单调递减，（舍去） 10分②当时,(i)当时,，在上恒成立所以在上单调递减，（舍去）11分(ii)当时, ，当时,所以在上递减当时,在上递增所以, 12分所以满足条件, 综上，存在使时有最小值13分考点：函数及其导数性质的应用.18、试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论. 试题解析：(Ⅰ) 圆的圆心为,半径为,对任意,直线都与圆相切.所以圆心到直线的距离为所以3分得所以,4分当时,当时,综上,对任意,5分设等比数列的公比为,所以恰为与的等比中项,,所以,解得7分所以8分(Ⅱ) 时,而时,10分所以12分考点：等差、等比数列的性质及应用.19、试题分析：(1)证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.试题解析：(Ⅰ)连结,所以为中点,所以,因为,所以与为全等三角形所以所以与为全等三角形所以在中,,即3分又因为平面,平面所以4分而所以平面5分因为平面所以平面平面6分(Ⅱ) 以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图二面角即二面角平面,平面的法向量可设为7分设平面的法向量为所以,而即:,可求得10分所以两平面与平面所成的角的余弦值为12分考点：空间几何的位置关系.20、试题分析：(1)解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2)平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标；（3）频率分布直方图中，注意小矩形的高是，而不是频率.（4）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（5)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：(Ⅰ) 分数段的毕业生的频率为,此分数段的学员总数为人所以毕业生的总人数为2分分数段内的人数频率为所以分数段内的人数4分(Ⅱ) 分数段内共名毕业生,设其中男生名,女生为名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件,则则解得或(舍去)即名毕业生中有男生人,女生人8分(Ⅲ) 表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,所以的取值可以为当时,当时,当时,所以的分布列为所以随机变量数学期望为12分考点：频率分布直方图即随机变量的期望、方差.21、试题分析：（I）根据两直线相互垂直可得，整理可得，由此可得；(Ⅱ) 由余弦定理可得，所以即，由面积公式可得.试题解析：(Ⅰ)当时，直线的斜率分别为，两直线相互垂直所以即可得所以，所以即即4分因为，，所以所以只有所以6分(Ⅱ) ,所以即所以即9分所以的面积为12分．考点：两直线的位置关系、余弦定理及面积公式.。
2015年山东省青岛市二模理科数学试题及答案word版
高三自主诊断试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D2. 已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅ 3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．30B ．31C ．32D ．334. 已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4D ．1{1,,4}45. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图， 当输入的值为25时， 则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．76. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥ 7. “2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 ABCD第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ； 12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.34P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人；13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；14. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．第14题图正（主）视图侧（左）视图第13题图三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知向量2(sin,cos )33x x a k =,(cos ,)3xb k =-,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅,R x ∈，且函数()f x 的最大值为12. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =求AB AC ⋅的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A BC D -中，11A B a =，2AB a =，1AA =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1D BC C --的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前n 项和n S ．C1BE DAB1A1D 1C20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围； （Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++．高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.12. 8 13.32 14．232- 15．4 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅- 221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--……2分222)sin()332342x x k x k π=-=-- ……………………5分因为R x ∈，所以()f x=，则1k = …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21())2342x f x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--=化简得2sin()342A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π= …………………………………………………8分因为2222240cos 22b c a b c A bc bc+-+-===，所以2240b c ++=则22402b c bc +=≥，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos20(142AB AC AB AC π⋅==-≥所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯= 11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯= ………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分 又因为11,2A B a AB a ==，所以111122MC AC a == 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以14NP AC ==所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分 （Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意M P ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥ 因为11A B a =，2AB a =，1AA =，所以1A N MP === 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B，(0,,0)D，(,0,0)C，1()C所以(0,,0)BD =-u u u r，1(,)BC =uuu r，(,,0)BC =u u u r………………………………………………………7分设1111(,,)n x y z =u u r 是平面1BDC 的法向量，则1110n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu ru u r uu u r1111020⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=， 令11z =，则1x =1n =u u r……………………………………………9分设2222(,,)n x y z =uu r 是平面1BCC 的法向量，则2120n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uuu r uu r uu u r2222200⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，2z =所以2(n =-uu r ………………………………11分所以1212120cos ,7n n n n n n ⋅<>===-u u r uu r u r u u r u u r uu r 所以二面角1D BC C --12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q > 且(112)50(17)(12)(13)5d q d q d d +=⎧⎨++=++++⎩2分 4分 （Ⅱ）12n n b -= 21log n b n +∴= 811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2n n n d d -+++= 两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =135,,,d d d ∴是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分 ∴当n 为偶数时，1218()16()22n n n d -=⨯= ……………………………………………………………7分 13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n n n n n ⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分 ∴当n 为奇数时，112116()2(22nn n d +-=⨯=…………………………………………………………10分 13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n nn nn+-+-⨯-⨯-=+=-+-=---∴,2,nnnd⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，4848(,248,nnnS⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩…………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G的坐标为00(,)x y，由题意可知22002003292pxx yy px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：001,4,x y p==±=所以抛物线1C的方程为：28y x=………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C的焦点(2,0)F椭圆2C的一个焦点与抛物线1C的焦点重合∴椭圆2C半焦距2222,4c m n c=-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y是椭圆2C上关于直线:l1143y x=+对称的两点，:4MN y xλ=-+由222214x ym ny xλ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m nλλ⇒+-+-=……（*）则42222222644(16)()0m m n m m nλλ∆=-+->，n为奇数n为偶数n为偶数n为奇数得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分 对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+ 212122224()216n y y x x m nλλ∴+=-++=+ MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m n λλ++ 将其代入直线:l 1143y x =+得： 222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……………………………………………………9分由①②③消去λ，可得：217m <<， 椭圆2C 的离心率2c e m m==，∴137e << ………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1a =时，11()1lnf x x x =-+， 211()f x x x '=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= ①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥ ②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）当1a =时，21()x f x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln x x x-≤，……………………………………11分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++- 1111121n n n <++++--． 故11111ln(1)12345n n+<++++++． ………………………………………………14分。
2015年青岛市数学中考试题
青岛市二〇一五年初中学生学业考试数学试题（考试时间：120分钟；满分：120分）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分；第Ⅱ卷9—14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．第（Ⅰ）卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．2的相反数是（）．A．2-B．2C．21D．22．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001s 用科学计数法可以表示为（）．A．s 8101.0-⨯B．s9101.0-⨯C．s8101-⨯D．s 9101-⨯3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE =1，则BC =（）．A．3B．2C．3D．23+5．小刚参加射击比赛，成绩统计如下表成绩（环）678910次数13231关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）．A．极差是2环B．中位数是8环C．众数是9环D．平均数是9环6．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB =（）A．30°B．35°C．45°D．60°7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BC 相交于点O ，E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，连接EF ，若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为（）．A．4B．64C．74D．288.如图，正比例函数x k y 11=的图像与反比例函数xk y 22=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当21y y ＞时，x 的取值范围是（）．A．22＞或＜x x -B．202＜＜或＜x x -C．2002＜＜或＜＜x x -D．202＞或＜＜x x -第Ⅱ卷二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．计算：.________232723=÷-⋅a a a a 10．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的31，那么点A 的对应点A＇的坐标是＿＿＿＿＿＿＿．11．把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（2cm ）与高)(cm h 之间的函数关系是为_________________________12．如图，平面直角坐标系的原点O 是正方形ABCD 的中心，顶点A ，B 的坐标分别为（1,1）、（-1,1），把正方形ABCD 绕原点O 逆时针旋转45°得到正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇则正方形ABCD 与正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________°．13．如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E=30°，则∠F=．14．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要个小正方体，王亮所搭几何体表面积为________________.三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．已知：线段c ，直线l l 及外一点A ．求作：Rt△ABC ，使直角边为AC （AC⊥l ，垂足为C）斜边AB＝c ．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（本小题满分8分，每题4分）（1）化简：nn n n n 1)12(2-÷++；（2）关于x 的一元二次方程0322=-+m x x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围17．（本小题满分6分）某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：（1）补全条形统计图；（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？18．（本小题满分6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。
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2015年山东青岛数学试题解析一、选择题1．A 解析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，所以2的相反数是2-．2．D 解析：将0.000000001用科学记数法表示成10na ⨯（1≤a ＜10，n 为整数 ）的形式．小数点向右移动了9位，得到a=1，n=-9，所以0.000000001s=1×910-s ．3．B 解析：A 是中心对称图形，B 既是轴对称图形又是中心对称图形，C 是轴对称图形，D 是轴对称图形．4．C 解析：∵DE ⊥AB ，∠B =30°，∴BD=2DE=2，∵DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴DC=DE=1，∴BC=BD+DC=2+1=3.5．B 解析：在这组数据中最大的数是10，最小的数是6，所以极差为10－6=4环，故A 错误；将数据按从小到大顺序排列，中位数是第5个数据和第6个数据的平均数，所以中位数为21×（8+8）=8环，故B 正确；在这组数据中，出现次数最多的是7环和9环，所以这组数据的众数是7环和9环，故C 错误； x =1011039283716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=8环，故D 错误．6．A 解析：如图，连接OA 、OB ．∵直线PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAP=90°．∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴△OAB 是正三角形，∴∠OAB=60°，∴∠PAB =∠OAP-∠OAB=90°-60°=30°.7．C 解析：∵E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，EF ＝3，∴AC=2EF=23．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 且互相平分．∵BD ＝4，∴OA=3，OB=2，∴AB=22222)3(+=+OBOA =7，∴菱形ABCD 的周长=4AB=47.8．D 解析：因为反比例函数图象和正比例函数图象具有中心对称性，所以图中两个函数图象的交点A 与交点B 关于原点中心对称．又因为点A 的横坐标为2，所以点B 的横坐标为－2．观察图象知：当y 1>y 2时，对应的x 的取值范围为-2<x<0或x ＞2． 二、填空题 9. 5a解析：原式=35a -25a =5a .10. （2，3）解析：由图可知点A 的坐标为（6，3），纵坐标不变，横坐标变为原来的13，对应点A ＇的坐标是（2，3）. 11. hS 6=解析：长方体铜块的体积为3×2×1=6．将它铸成一个圆柱体后，根据体积不变性可得Sh=6，即hS 6=. 12.222-解析：如图，设AD 分别交A ＇D ＇、C ＇D ＇、x 轴于点E 、F 、H ．∵顶点A ，B 的坐标分别为（1,1）、（-1,1），∴正方形ABCD 的边长为2，∴B ＇D ＇=22，即OD ＇=2．∵OD ＇⊥AD ，∠ED ＇H=45°，∴EH=FH=21EF ，∠HED ＇=45°，∴EH=HD ＇．∵OD ＇=OH+HD ＇，∴2=1+EH ，即EH=2-1，∴EF=2EH=222-，即这个正八边形的边长为222-.13. 40°解析：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠A ＝55°，∴∠A=∠ECD=55°．∵∠E=30°，∴∠EDC=180°-55°-30°=95°．∵∠EDC=∠F+∠A ，∴∠F=∠EDC-∠A=95°-55°=40°. 14. 19，48解析：拼组后的大长方体的长和宽分别由3个小正方体组成，高由4个小正方体组成，所以拼组后的大长方体中的小正方体个数为3×3×4=36，图中已有的正方体个数为9+4+3+1=17个，所以王亮需要的小正方体的个数为36-17=19个；王亮所搭几何体共3层，每层小正方体露在外面的面有：15+11+22=48个，所以王亮所搭几何体的表面积为1×1×48=48. 三、作图题15. 思路分析：本题主要考查了尺规作图．解答本题共运用了两种基本作图：①过直线外一点作已知直线的垂线；②作一条直线等于已知直线．具体作图过程为：（1）在直线l 的下方任取一点，以A 为圆心，A 到这一点为半径画弧，交直线l 于点E 、F ；（2）分别以E 、F 为圆心，大于21EF 画弧交于点D ；（3）过A 、D 作直线AD ，交直线l 于点C ；（4）以A 为圆心，c 为半径画弧交直线l 于点B ；（5）连接AB ．△ABC 就是所求作的直角三角形. 解：四、解答题 16.思路分析：（1）先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，然后约分化简. （2）由题目中的条件可知ac b 42-＞0，进而可求得k 的取值范围.解：（1）原式=11)1)(1()1(2-+=+-⨯+n n n n n n n ． （2）由题知9)(2432＞m -⨯⨯-=∆，解得89-＞m ．所以m 的取值范围是89-＞m . 17. 思路分析：本题考查了统计图的应用，（1）先求出被调查学生的总人数，再根据“总人数×B 类学生所占的百分比=B 类学生的人数”求出B 类学生的人数，然后补全条形统计图；（2）360°×D 类学生所占的百分比=扇形D 的圆心角度数；（3）全校学生人数×被调查学生在1.5小时内完成作业的百分比=全校在1.5小时内完成作业的人数. 解：（1）被调查学生的总数10÷25%=40人，B 类学生的人数40×30%=12人． 补全统计图如下：（2）︒=⨯︒27403360； （3）1800%)35%30%25(2000=++⨯人.18. 思路分析：本题考查了“游戏公平”的概率应用，用列表法或树形图表示出所有可能出现的结果，求得数字之和大于5的概率．若此概率为12则游戏公平，否则游戏不公平． 解：共有16831665(==）数字之和＞P ，因为2183≠，所以游戏对双方不公平.19. 思路分析：本题考查了锐角三角函数的应用，作AD ⊥CB 的延长线于点D ，从而构造出两个直角三角形．在这两个直角三角形中，根据线段AD 、DB 、BC 与∠ABD 、∠ACD 的数量关系求得AD 的长.解：如图，作AD ⊥CB 的延长线于点D ． 由题意知：∠ACD=35°、∠ABD=45°．在Rt △ACD 中，∠ACD=35°，10735tan ≈=︒CD AD ，所以AD CD 710=． 在Rt △ABD 中，∠ABD=45°，145tan ==︒BD AD，所以AD BD =． 由题意知：100=-=DB CD BC ，所以100710=-AD AD ，解得233≈AD m. 答：热气球到地面的距离约为233米.20. 思路分析：本题考查了分式方程的应用及一次函数的性质.（1）设制作每个乙盒用x 米材料，则制作每个甲盒用（1+20%）x 米材料，根据“6米材料制成乙盒的个数—6米材料制成甲盒的个数=2”列出方程求解；（2）先确定出n 的取值范围，再列出所需材料总长度)(m l 与甲盒数量n 个之间的函数关系式，然后根据函数的性质及自变量的取值范围，求出最小函数值即可. 解：（1）设制作每个乙盒用x 米材料，则制作甲盒用（1+20%）x 米材料，由题可得：2%)201(66=+-xx ，解得5.0=x （米）． 经检验5.0=x 是原方程的解，所以6.0%)201(=+x ．答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料.（2）由题意得2(3000),3000,n n n ≥-⎧⎨≤⎩∴30002000≤≤n ．15001.0)3000(5.06.0+=-+=n n n l ．∵01.0＞=k ，∴l 随n 的增大而增大，∴当2000=n 时，1700=最小l .答：总长度l 与甲盒数量n 个之间的函数解析式0.11500l n =+（30002000≤≤n ）；最少需要1700米材料.21. 思路分析：本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质.（1）由已知条件可证∠B=∠EAC ，∠CEA=∠ADB ，又因为AB=AC ，根据AAS 即可判定三角形全等；（2）根据AE 与BD 位置与数量关系证四边形ABDE 是平行四边形，由此可得结论.（1）证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ， 又∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，即∠ADB=90°， ∵AE ∥BC ，∴∠EAC=∠ACB ， ∴∠B=∠EAC ， ∵CE ⊥AE ， ∴∠CEA=90°， ∴∠CEA=∠ADB ．又∵AB=AC ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）. （2）AB ∥DE 且AB=DE.由（1）△ABD ≌△CAE 可得AE=BD ， 又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ∥DE 且AB=DE.22.思路分析：本题考查了二次函数的应用，（1）根据点B ，C 的坐标，用待定系数法可求得抛物线的解析式，由此可得二次函数的最大值，从而求出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）由已知条件知，汽车外侧与地面OA 的交点坐标为（2，0）（或（10,0）），借助二次函数解析式求出相应的函数值，与汽车的高度进行比较即可得到结论；（3）令y=8，求出x 的值，由此可求出两排灯的最小水平距离. 解：（1）由题意知)217,3(),4,0(C B . 所以4,17193,26c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩ 解得2,4,b c =⎧⎨=⎩所以42612++-=x x y （）．当62=-=a bx 时，10=最大y ． 答：42612++-=x x y ，拱顶D 到地面OA 的距离为10米．（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））． 当)10(2==x x 或时，6322＞=y ，所以可以通过． 答：这辆货车能安全通过.（3）令8=y ，即842612=++-x x ． 由此可得024122=+-x x ，解得326,32621-=+=x x ．3421=-x x ．答：两排灯的水平距离最小是34． 23. 思路分析：本题是一道图形变化类的规律探索题，主要考查等腰三角形的有关知识及学生观察、分析、猜测、归纳的能力.探究二：（1）根据题意，将木棒分组后利用三角形的三边关系进行判断；（2）仿照探究一的方法可得，当n=8时，m=1；当n=9时，m=2；当n=10时，m=2；问题解决：经过进一步探究发现，等腰三角形的个数每4组一循环，当n=4k 时，m=k-1，其它三组三角形的个数都比这一组多1个，即m=k ；问题应用：因为2016=4×504，即k=504，根据表③中的规律，可求出等腰三角形的个数为503个；在这些等腰三角形中面积最大的是等边三角形，于是可求出每个腰所用木棒根数为2016÷3=672根. 解：探究二：（1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形, 若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形, 若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形, 所以，当7=n 时，2=m ． （2）问题解决：问题应用：∵672．24. 思路分析：本题综合考查了勾股定理的应用、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质以及二次函数的有关知识，难度较大，根据已知条件构造关于t 的等式是解答本题的关键．具体解题思路为：（1）由平移性质推得MN ∥AB ，然后证PQ ∥AB ，利用平行线分线段成比例得CBCQCA CP =，再代入相应数值，可得t 的值；（2）根据直角三角形的面积和勾股定理可得AE 、CE 的长．作PR ⊥BC 于点R ，AE ⊥BC 于点E ，由此可证△CPR ∽△CAE ，从而求出PR 的长，最后根据三角形的面积公式可得出y 与t 之间的函数关系式；（3）由M Q C PQ C S S ∆∆=逐步得出PQ C S ∆：ABC S △=1：5，由此得到关于t 的一元二次方程，从而求出t 的值.（4）由△MQP ∽△PRQ 可得2PQ PM RQ =⨯，即22PR RQ PM RQ +=⨯，由此得出关于t 的一元二次方程，从而求出t 的值.解：（1）在Rt △ABC 中，由勾股定理得422=-=AB BC AC ． 由平移性质可得MN ∥AB ．∵PQ ∥MN ，∴PQ ∥AB ，∴CB CQ CA CP =，即544t t =-，解得920=t ． （2）作PR ⊥BC 于点R ，AE ⊥BC 于点E ． 由BC AE AC AB S ABC ⨯=⨯=∆2121可得512=AE ，由勾股定理求得516=CE ．∵PR ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥PR ，所以△CPR ∽△CAE ，∴CP CR PR CA CE AE ==，即4455t CR PR-==， 从而求得1235t PR -=，1645tCR -=．∵PM ∥BC ，∴M 到BC 的距离1235th PR -==，∴△QCM 是面积t t t t h CQ y 56103531221212+-=-⨯⨯=⨯=（0<t<4）.（3）存在时刻t ，使S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4．∵PM ∥BC ，∴MQ C PQ C S S ∆∆=． 若S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4，则S △QMC ∶S △ABC ＝1∶5，即：651561032⨯=+-t t ，整理得：0442=+-t t ，解得2=t ． （4）存在时刻t ，使MQ PQ ⊥若MQ PQ ⊥，则∠MQP=∠PRQ=90°．∵MP ∥BC ，∴∠MPQ=∠PQR ， ∴△MQP ∽△PRQ ，∴PM PQQP QR=， ∴2PQ PM QR =⨯，即22PR RQ PM RQ +=⨯．由1645tCR -=，∴RQ = CR-CQ 5916t -=，故59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，整理得0322=-t t ， 解得23),(021==t t 舍．。