2017_2018版高中数学第一章计数原理疑难规律方法学案(含答案)北师大版选修2_3

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(北师大版)沈阳市高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(包含答案解析)

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．若21299m m C C --=且m N +∈；则()21mx -的展开式4x 的系数是（）A ．4-B ．6-C ．6D ．4 3．1180被9除的余数为（）A ．1-B ．1C ．8D ．8- 4．有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数为（） A ．120B ．150C ．240D ．3005．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．23526．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（） A ．18个B ．15个C ．10个D ．9个7．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（） A ．47B ．37C ．27D ．8218．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10B ．40-C ．200D ．2409．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有( ) A ．264种B ．224种C ．250种D ．236种10．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（）A．495种B．288种C．252种D．126种11．若()5 211x ax⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a的值为( )A．1 B．9 C．-1或-9 D．1或912．41(1)xx++的展开式中常数项为（）A．18B．19C．20D．21二、填空题13．如图给三棱柱ABC DEF-的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.14．从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状都相同的小球中任取5个球．如果某两个球的编号相邻，那么称这两个球为一组“好球”，则任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有_______种．（用数字作答）15．设n a是(3)nx展开式中x的一次项系数(2)n≥，则2323333lim()nnna a a→+∞+++=_____16．集合{}1,2,3,,14S=的4元子集{}1234,,,T a a a a=中，任意两个元素差的绝对值都不为2，这样的4元子集T的个数有___个17．已知数列{}n a共有21项，且11a=，2115a=，11(1,2,3,,20)k ka a k+-==，则满足条件的不同数列{}n a有______个.18．若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则0135a a a a+++=_________ 19．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_____________种.（用数字填写答案）20．若,m n 是不大于6的正整数，则22661m nC x C y +=表示不同的椭圆个数为__________三、解答题21．在二项式6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中. （1）求该二项展开式中含3x 项的系数；（2）求该二项展开式中系数最大的项.22．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结．果用数字作答．．．．．．）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？ 23．（1）求122332C C -，233443C C -，345664C C -，346774C C -的值，设*,m n ∈N ，k m ，判断(1)m k k C +与11(1)k mm C +++的关系，不用证明；（2）求1111112969793282349798C C C C C A +++++的值．24．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？()1甲不在中间也不在两端； ()2甲、乙两人必须排在两端； ()3男女相间．25．已知*(12),n x n +∈N ．（1）若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项． 26．已知n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n . （1）当n =8时.①若t =1，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8的值； ②若t =23，求数列{a n }中的最大值；（2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】先根据21299m m C C --=求出4m =，再代入()21mx -，直接根据()na b +的展开式的第1r +项为1C r n r rr n T a b -+= ，即可求出展开式4x 的系数．【详解】因为21299m m C C --=且m N +∈所以21294m m m -+-=⇒=()421x -展开式的第1r + 项为214()r r r T C x +=-展开式中4x 的系数为246C = 故选C 【点睛】本题考查二项式展开式，属于基础题．3．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()210111210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+-12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由题意，分“其中1人3本，另2人每人一本”、“其中1人一本，另2人每人2本”两种情况讨论，由分类计数原理结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，分两种情况：①其中1人3本，另2人每人一本，有311352132260C C C A A ⋅=种； ②其中1人一本，另2人每人2本，有122354232290C C C A A ⋅=种．所以不同的分法有6090150+=种. 故选：B ．【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.5．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226 故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．6．C解析：C 【分析】首位数字是3，则后三位数字之和为3，按一个为3，两个和为3及三个和为3进行分类排列可得. 【详解】由题知后三位数字之和为3，当一个位置为3时有003，030，300三个；当两个位置和为3时有336A =个，；当三个位置和为3时只有111一个，一共有10个. 故选：C 【点睛】本题考查求解排列问题.其主要方法：直接法:把符合条件的排列数直接列式计算. 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中.7．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．A解析：A 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有222A =种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.10．B解析：B 【分析】题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，②选派3名医生，2名护士，分别计算，再根据分类加法计算原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，则有2339252C C =（种）； ②选派3名医生，2名护士，则有323936C C =（种）；按照分类加法计算原理可知，一共有2332393936252288C C C C +=+=（种）. 故选：B 【点睛】本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】首先先给染色再按分类和分步给染色计算染色方法【详解】首先先给顶点染色有种方法再给顶点染色①若它和点染同一种颜色点和点染相同颜色点就有2种方法若点和点染不同颜色则点有2种方法点也有1种方法则的解析：264【分析】首先先给,,A B C 染色，再按分类和分步，给,,D E F 染色，计算染色方法. 【详解】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,D E F 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法. 故答案为：264 【点睛】关键点点睛：本题重点考查涂色问题，涂色问题的一个关键点是分步里面有分类，所以分类清楚是关键.14．120【分析】假定5个球排成一排5个小球之间有6个空位取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续但这2组号码与另一个球的号码不相邻分别求组合解析：120 【分析】假定5个球排成一排，5个小球之间有6个空位，取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的，有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续，但这2组号码与另一个球的号码不相邻，分别求组合数，可得答案. 【详解】将5个小球排成一排，在5个小球中间有6个空位，5个小球的编号恰好有两组“好球”，分两种情况：（1）这5个球中有3个球的号码是连续的，另两个小球的号码的是间断的，3个小球的号码与另2个球的号码也不是连续的，有216460C C =，（2）这5个球中有2组球的号码分别连接，但这两组球的号码与另一个球的号码是不连续的，有126560C C =，故任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有60+60120=种取法，故答案为：120. 【点睛】本题考查组合知识，对于相邻问题和相间问题，常采用分析空位的方法，属于中档题.15．18【分析】首先根据二项式展开式的知识求得然后利用裂项求和法求得的和进而求得极限的值【详解】展开式中一次项为故所以所以所以【点睛】本小题主要考查求二项式指定项的系数考查裂项求和法考查极限的计算属于中解析：18 【分析】首先根据二项式展开式的知识求得 n a ，然后利用裂项求和法求得2323333nna a a +++的和，进而求得极限的值. 【详解】(3n展开式中一次项为2222233n n nn C C x --⋅⋅=⋅⋅，故223n n n a C -=⋅，所以()23918111811n n n a C n n n n ⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，所以2323333111111812231nn a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11818118n n ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦，所以232333318lim ()lim (18)18n n n n a a a n→+∞→+∞+++=-=.【点睛】本小题主要考查求二项式指定项的系数，考查裂项求和法，考查极限的计算，属于中档题.16．367【分析】将集合中的元素分为奇数偶数然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；奇偶；奇偶；偶奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解【详解】由集合其中个奇数：；个偶数：；4元子集中任意两个解析：367 【分析】将集合S 中的元素分为奇数、偶数，然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；3奇1偶；2奇2偶；3偶1奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解. 【详解】由集合{}1,2,3,,14S =，其中7个奇数：1,3,5,7,9,11,13；7个偶数：2,4,6,8,10,12,14；4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为2，4个元素全是奇数：{}1,5,9,13，共1种.3个奇数1个偶数：3个奇数的取法有{}1,5,9，{}1,5,11，{}1,5,13，{}1,7,11，{}1,7,13，{}1,9,13，{}3,7,11，{}3,7,13， {}3,9,13，{}5,9,13，共10种，此时共有171070C ⨯=.2个奇数2个偶数：即奇数任意抽取2个需去除相邻项、偶数任意抽取2个需去除相邻项，即()()2277661515225C C --=⨯=.3个偶数1个奇数的情况与3个奇数1个偶数情况一样：171070C ⨯=. 4个全是偶数：{}2,6,10,14，共1种.所以满足题意的共有：170225701367++++=. 故答案为：367 【点睛】本题考查了组合数的应用，此题属于复杂的组合问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题17．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解. 【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.18．123【分析】在所给式子中分别令相减得到得值又令得到得值相加即可得到答案【详解】令得令得①令得②①—②得所以又所以故答案为：123【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和考查学生的基本解析：123 【分析】在所给式子中分别令1x =，1x =-，相减得到135a a a ++得值，又令0x =得到0a 得值，相加即可得到答案. 【详解】令0x =，得01a =，令1x =，得50123453a a a a a a +++++=①，令1x =-，得0123451a a a a a a -+-+-=-②，①—②，得51352(31)a a a ++=+，所以135122a a a ++=，又01a =，所以0135123a a a a +++=. 故答案为：123 【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.19．240【分析】根据题意分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意将5个医疗队分派到4个重灾区每个重灾区至少分配一个解析：240 【分析】根据题意，分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队. 分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有1245C C 种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法，所以不同的分配方案数共有123453240C C A =.故答案为：240. 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.20．12【分析】根据已知可得由组合数的性质确定出可能取到的数再由即可求出结论【详解】表示不同的椭圆可能取到的数为且所以表示不同的椭圆个数为故答案为：12【点睛】本题考查组合数的性质排列的应用属于中档题解析：12 【分析】根据已知可得16,16m n ≤≤≤≤，由组合数的性质，确定出6mC ，6nC 可能取到的数，再由66mnC C ≠，即可求出结论. 【详解】16,16m n ≤≤≤≤，15246666,C C C C ==， 22661m n C x C y +=表示不同的椭圆，66,m n C C 可能取到的数为12366666,,,C C C C ，且66m n C C ≠，所以表示不同的椭圆个数为2412A =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查组合数的性质、排列的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）160；（2）6240x . 【分析】（1）在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得含3x 项的系数．（2）根据61766615662222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩，求得r 的值，可得结论．【详解】（1）二项展开式中，通项公式为6123162r rr r T C x --+=，令1233r -=，求得3r =，故含3x 项的系数为3362160C =.（2）设第1r +项的系数最大，由61766615662222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩，解得4733r ≤≤，故2r故该二项展开式中系数最大的项为2466362240T C x x == 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．22．（1）1440；（2）576．【分析】（1）采用 “插空法”，先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得；（2）3名女生捆绑作为一个人，优先排男生甲，然后其他人全排列．【详解】（1）采用 “插空法”，先排4名男生，有44A 种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有35A 种，最后由分步乘法计数原理可得，共有43451440A A ⋅=种不同的出场顺序．（2）3名女生捆绑有33A 种，然后优先排男生甲有4种选择，其余可以进行全排列44A ，所以共有3434·4A A =576．【点睛】本题考查排列的综合应用，考查“相邻”与“不相邻”问题．排列时，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．23．（1）11(1)(1)mm k k k C m C +++=+；（2）33. 【分析】（1）由组合数公式，求出122332C C -，233443C C -，345664C C -，346774C C -的值，然后归纳推理即可；（2）根据（1）的结论可得121(1)2n n n C C ++=，再结合组合数的性质，即可求解. 【详解】（1）122332660C C -=-=，23344312120C C -=-=，3456646522560C C -=⨯⨯-⨯⨯=，3467740C C -=，∴11(1)(1)m m k k k C m C +++=+．（2）∵()()1111mm k k k C m C +++=+，∴1111112396972349798C C C C C +++++2222398222C C C =+++()22223982C C C =+++．又111kkk n n n C C C ---=+， ∴()()22232232398339899222C C C C C C C +++=+++=， ∴1111131239697992298982349798233C C C C C C A A +++++==．【点睛】本题考查归纳推理、组合数的性质的应用，考查计算求解能力，属于中档题. 24．()1241920种；()210080种；()32880种. 【分析】()1先排甲，有6种，剩下的8个元素全排列有88A 种，根据分步计数原理得出结果；()2先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得出结果；()3先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，再根据分步计数原理得出结果. 【详解】解：()1先排甲有6种，其余有88A 种，∴共有886241920A ⋅=种排法．()2先排甲、乙，再排其余7人，共有272710080A A ⋅=种排法．()3先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，故共有45452880A A ⋅=种排法．【点睛】本题考查排列组合问题，结合元素分析法（优先考虑特殊元素），位置分析法（优先考虑特殊位置），直接法，间接法（排除法），捆绑法，等机会法，插空法等常见的解题思路. 25．（1）1120；（2）561792,1792x x 【分析】（1）由奇数项的二项式系数和为128求得8n =，再利用二项式系数的性质求解即可；（2）由展开式前三项的二项式系数和等于37求得8n =，利用展开式中系数最大的项的系数比相邻两项的系数大，列不等式求解即可. 【详解】（1）由展开式中奇数项的二项式系数和为0241...2128n n n n C C C -+++==,可得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为44821120C ⨯=；（2）由展开式前三项的二项式系数和012(1)1372n n n n n C C C n -++=++=，化为2720n n +-=，解得8n =，或9n =-（舍去），设展开式中系数最大的项为第1k +项，则11881188225622k k k k kk k k C C k C C --++⎧⨯≥⨯⇒≤≤⎨⨯≥⨯⎩，所以展开式中系数最大的项为第6或第7项，即5556666878(2)1792,(2)1792T C x x T C x x =⋅==⋅=【点睛】本题主要考查展开式中二项式系数最大的项以及展开式中项的系数最大的项，同时考查了二项展开式的通项公式，考查了计算能力，意在考查学生综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 26．（1）①128，②44827；（2）23n 【分析】（1）①设f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8，a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）] ÷2即可得解；②8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，通过不等式组891888718822332233rrr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩即可得解；（2）处理()()002133n kkn nk k k n k k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0021213333n kkn kknnk k n n k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑1110021*******n kkn kk nn k k nn k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，利用二项式定理逆用即可得解.【详解】（1）设f （x ）=(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当n =8时.①若t =1，f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）]÷2=128 ②若t =23，(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，所以8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设第r 项最大，则891888718822332233r rr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， ()()123921381r r r r ⎧≥⎪-⎪⎨⎪≥⎪-+⎩解得222755r ≤≤，所以=5r 数列{a n }中的最大值35582448327a C ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当2n ≥时，()()002133n kkn nkkk nk k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 0021213333n kk n kknnk k n n k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1110021*******n kkn kk nn k k nn k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑121333n n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23n =，当n =1时也满足，所以()0nkkk n k a x=-∑23n =. 【点睛】此题考查二项式定理的应用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定理的逆用，综合性强.。

高中数学选修2-3计数原理测试题(含答案)

高中数学选修2-3计数原理测试题（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数（） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数（） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是（） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为（）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则TS 的值为___________．12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x 的偶次幂的所有项的系数的和为 .14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是． 15. 用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .三、解答题（共计75分） 16．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线? （2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条? （4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量? 17．（12分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项?18．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？19．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。

高中数学第1章 5二项式定理北师大版选修2-3

1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；

(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案）（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起；（5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ，故选C ．【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-，所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法，故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=，由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=，令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=，所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法，又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛，可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法；第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法，综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种；定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈，所以有23223=14+⨯+⨯种；所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法，故答案为：150．【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60．【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法；第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择，故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =．故答案为：1或9．【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48；【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可；（2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可；【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数；则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况，则有48个比40000大的正整数；【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排，由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析；【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=，当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解．【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法；（3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题，男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法，女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法，男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法，由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法；（5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法，再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法，所以共有16563600A A =种方法．【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。

(北师大版)东莞市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(含答案解析)

一、选择题1．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（）种 A ．24B ．36C ．48D ．602．二项式51(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是A ．80B ．48C ．−40D ．−803．已知数列{}n a ，{1,0,1},1,2,3,4,5,6i a i ∈-=．满足条件“12345603a a a a a a ≤+++++≤”的数列个数为（）个． A ．160B ．220C ．221D ．2334．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（） A ．720B ．360C ．72D ．以上都不对5．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北，某医院组建了由7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（） A ．105种B ．210种C ．630种D ．1260种6．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A7．3450(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中3x 的系数是（）A ．351CB ．450C C ．451CD ．447C8．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A ，B ，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（） A ．116B ．100C ．124D ．909．如图所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A ．240B ．360C ．420D ．96010．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．-1或-9D ．1或911．式子22223459C C C C ++++=（）A ．83B ．84C ．119D ．12012．41(1)x x++的展开式中常数项为（） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.14．若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则0135a a a a +++=_________15．高三(3)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同排法的种数是________．16．有4位同学和2位教师一起合影．若教师不能坐在两端，也不坐在一起，则有_________种坐法．17．把6张不同的充值卡分给4位同学，每人至少1张，有_________种分法18．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 19．已知集合{}()*1,2,,,2U n n N n =⋅⋅⋅∈≥，对于集合U 的两个非空子集A ，B ，若AB =∅，则称(),A B 为集合U 的一组“互斥子集”.记集合U 的所有“互斥子集”的组数为()f n （视(),A B 与(),B A 为同一组“互斥子集”）.那么()f n =______.20．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.三、解答题21．将8本不同的书，全部分给小赵、小钱、小孙、小李四人，在下列不同的情形下，分别有多少种不同的分法？（写出必要的数学式，结果用数字作答.）（1）每人分得2本；（2）有1人分得5本，其余3人各分得1本. 22．已知，n ∈N *.（1）设f (x )＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，①求a 0+a 1+a 2+…+a n ；②若在a 0，a 1，a 2，…，a n 中，唯一的最大的数是a 4，试求n 的值；（2）设f (x )＝b 0+b 1(x +1)+b 2(x +1)2+…+b n (x +1)n ，求.23．已知11)n +展开式的二项式系数和比(31)n x -展开式的偶数项的二项式系数和大48，求22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.24．已知2nm x ⎛ ⎝（m 是正实数）的展开式中前3项的二项式系数之和等于37．（1）求n 的值；（2）若展开式中含1x项的系数等于112，求m 的值．25．设(,)(1)n f x n x =+，*n N ∈. （1）设260126(,6)f x a a x a x a x =++++，求0246a a a a +++的值；（2）求12320192019201920192019232019C C C C +++⋯+的值；（3）*n N ∈，化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----++++.26．已知二项式()23nx x+．（1）若它的二项式系数之和为128．求展开式中系数最大的项；（2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先，根据题意，分析得出应该分两类情况，共选3人参加研讨会和4名学生都参加，之后各自应用分步计数原理求得结果，之后应用分类加法计数原理求得结果. 【详解】依题意，分两类情况：（1）每个学科选1人，共选3人参加研讨会，从4名学生中选3名进行排列即可，有3424A =种情况；（2）4名学生都参加，则必然有2名学生参加同一学科的研讨会，先从4名学生中选2名看作一个整体，有246C =选法，将这个整体与其他学生全排列即可，有336A =种排法，根据分步计数原理，共有6636⨯=种情况，综上所述，根据分类计数原理可得，每学科至少一名学生的情况有263460+=种，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于简单题目.2．D解析：D 【解析】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-，故选D .3．D解析：D 【分析】由已知可得||i a 只能取0或1，结合限制条件，对||0i a =的个数进行分类，可分为6个，5个，4个和3个，按照组合和分步乘法计数原理求出各类的个数，即可求出结论. 【详解】因为{1,0,1},1,2,3,4,5,6i a i ∈-=，所以||i a 只能取0或1，而12345603a a a a a a ≤+++++≤，所以123456,,,,,a a a a a a 中出现0的个数可以是6个、5个、4个、3个，若出现6个0，则数列为常数列，共有1个常数列，若出现5个0，则出现一个||1,1i i a a ==±有两种取法，共有16212C ⨯=，若出现4个0，则出现两个||1i a =，共有226215460C ⨯=⨯=，若出现3个0，则出现三个||1i a =，共有3362208160C ⨯=⨯=，综上所述，数列的个数为11260160233+++=. 故选：D. 【点睛】本题考查两个计数原理和组合的实际应用问题，理解题意合理分类是解题的关键，属于中档题.4．C解析：C 【分析】因为A 不参加物理、化学竞赛，它是一个特殊元素，故对A 参加不参加竞赛进行讨论，利用分类的思想方法解决，最后结果结合加法原理相加即可．【详解】解：根据题意，若选出4人中不含A ，则有44A 种；若选出4人中含有A ，则有313423C C A 种． 4313442372A C C A ∴+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，解排列、组合及简单计数问题时遇到特殊元素时，对特殊元素要优先考虑，属于中档题．5．C解析：C 【分析】先对7名专家进行分组，然后进行全排列即可得解. 【详解】7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，不同法人安排方法有：3223742322630C C C A A ⋅⋅⋅=（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查分堆与分配的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.6．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +故选：C 【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.7．C【分析】利用等比数列的求和公式，化简得5133450(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x+-+++++++=，再结合二项式定理，即可求解．【详解】由题意，可得3485133450(1)(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x xx⎡⎤++-+-+⎣⎦++++++==，所以3450(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中3x 的系数就是51(1)x +的展开式中4x 的系数，即为451C ．故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理，以及等比数列的前n 项和公式，考查考生分析问题、解决问题的能力、化归与转化能力、运算求解能力．8．B解析：B 【分析】完成这件事情可分2步进行：第一步将5名医学专家分为3组；第二步将分好的3组分别派到三个医疗点，由分步计数原理计算即可得到答案．【详解】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有3510C =种分组方法； ②若分为2,2,1的三组，有22532215C C A =种分组方法，故有101525+=种分组方法．第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A 医疗点，可分配到,B C 医疗点中的一个，有122C =种分配方法，再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有222A =种分配方法，则有224⨯=种分配方法．根据分步计数原理，共有254100=⨯种分配方法．故选：B ．【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，同时考查分步计数原理，属于基础题．9．C解析：C可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论. 【详解】由题设，四棱锥S-ABCD 的顶点S 、A 、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S 、A 、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法，若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法. 可见，当S 、A 、B 已染好时，C 、D 还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）. 故选：C 【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.10．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()rr r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法，故答案为：150．【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．14．123【分析】在所给式子中分别令相减得到得值又令得到得值相加即可得到答案【详解】令得令得①令得②①—②得所以又所以故答案为：123【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和考查学生的基本解析：123 【分析】在所给式子中分别令1x =，1x =-，相减得到135a a a ++得值，又令0x =得到0a 得值，相加即可得到答案. 【详解】令0x =，得01a =，令1x =，得50123453a a a a a a +++++=①，令1x =-，得0123451a a a a a a -+-+-=-②，①—②，得51352(31)a a a ++=+，所以135122a a a ++=，又01a =，所以0135123a a a a +++=. 故答案为：123 【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.15．288【分析】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目有种排法这样共有5个节目其中2个音乐节目不连排2个舞蹈节目不连排然后分成三类进行求解【详解】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目有种解析：288 【分析】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有23A 种排法，这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排，然后分成三类进行求解. 【详解】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有23A 种排法这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排如图，若曲艺节目排在1号（或5号）位置，则有22416A A =种排法若曲艺节目排在2号（或4号）位置，则有2222416A A =种排法若曲艺节目排在3号位置，则有22222216A A ⨯⨯=种排法所以共有()23161616288A ⨯++=排法故答案为：288 【点睛】本题主要考查的是排列和简单的计数问题，解题的关键是对问题进行合适的分步和分类.16．144【分析】先排4位同学将教师插入4位同学产生的3个空位中再由乘法原理即可得到答案【详解】先排4位同学共有种不同排法由于教师不能坐在两端也不坐在一起将2位老师插入4位同学产生的3个空位中共种不同排解析：144 【分析】先排4位同学，将教师插入4位同学产生的3个空位中，再由乘法原理即可得到答案. 【详解】先排4位同学共有44A 种不同排法，由于教师不能坐在两端，也不坐在一起，将2位老师插入4位同学产生的3个空位中，共23A 种不同排法，由乘法原理，共有4243144A A =种不同排法.故答案为：144 【点睛】本题考查排列的实际应用，涉及到特殊元素分析法，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.17．1560【分析】分4位同学分得的卡数为1113和1122两种情况讨论即可【详解】分两类：第一类：当4位同学分得的卡数为1113时共有种；第二类：当4位同学分得的卡数为1122时共有种由加法原理知共有解析：1560 【分析】分4位同学分得的卡数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可. 【详解】分两类：第一类：当4位同学分得的卡数为1，1，1，3时，共有3464480C A =种；第二类：当4位同学分得的卡数为1，1，2，2时，共有221146421422221080C C C C A A A =种，由加法原理，知共有1560种不同分法. 故答案为：1560 【点睛】本题考查排列与组合中的部分均匀分组问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.18．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60．【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．19．【分析】根据任意一个元素只能在集合之一中以及的非空子集个数即可求得【详解】根据题意任意一个元素只能在集合之一中则这个元素在集合中共有种；其中为空集的种数为为空集的种数为个故可得均为非空子集的种数为又解析：()113212nn +-+ 【分析】根据任意一个元素只能在集合(),,U A B C C A B =⋃之一中，以及,A B 的非空子集个数，即可求得. 【详解】根据题意，任意一个元素只能在集合(),,U A B C C A B =⋃之一中，则这n 个元素在集合,,A B C 中，共有3n 种；其中A 为空集的种数为2n ，B 为空集的种数为2n 个，故可得,A B 均为非空子集的种数为1321n n +-+，又因为(),A B 与(),B A 为同一组“互斥子集，故()()113212nn f n +=-+. 故答案为：()113212nn +-+. 【点睛】本题考查集合新定义，涉及排列组合的求解，属综合中档题.20．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，有232312A A =种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，有2412A =种情况，则有1212144⨯=种不同的排法. 故答案为：144. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．三、解答题21．（1）2520；（2）1344. 【分析】（1）将8本不同的书依次分给小赵、小钱、小孙、小李四人，每人2本，利用组合数原理可求得分法种数；（2）先选定一人分得5本，其余3本每人1本，利用分步乘法计数原理可求得分法种数. 【详解】（1）将8本不同的书依次分给小赵、小钱、小孙、小李四人，每人2本，由组合数原理可知，不同的分法种数为222286422520C C C C =种；（2）先选定一人分得5本，其余3本每人1本，由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为5138431344C C A 种.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查了平均分组以及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）①；②n＝12或13；（2）(2n+1﹣2﹣n)【解析】【分析】（1）①可令x＝1，代入计算可得所求和；②可得f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n的通项公式，a r最大即为a r≥a r﹣1，且a r≥a r+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；（2）由f(x)＝[1+(x+1)]n，可得b r＝C，r＝0，1，…，n，推得，再由二项式定理，计算可得所求和.【详解】解：（1）①由(x+2)n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，可令x＝1，可得3n＝a0+a1+a2+…+a n，即a0+a1+a2+…+a n＝3n；②f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n，可得a r2n﹣r x r，r＝0，1，…，n，若在a0，a1，a2，…，a n中，a r最大，可得，即为，化为，由于r＝4时为a4唯一的最大值，可得n＝12，13；（2）由f(x)＝b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+b n(x+1)n，且f（x）＝[1+(x+1)]n，可得b r＝C，r＝0，1，…，n，则，由••，则(C)(2n+1﹣2﹣n).【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和，考查组合数的性质．解题关键是掌握二项式展开式通项公式，在展开式中第项系数为，则由可得系数最大项的项数．23．（1）8064-；（2）415360x --. 【分析】（1）分别求出11)n +展开式的二项式系数和，(31)n x -展开式的偶数项的二项式系数和，利用两者差48列方程，解方程求出n 的值，22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项式系数最大项为第1n +，即可求解；（2）设第1k +项系数绝对值最大，化简二项展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数绝对值都大列不等式组，解不等式组求得k 的取值范围，由此求得k 的值【详解】（1）依题意112248,232,5n n n n +--==∴=， 102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项二项式系数最大，即5556102()8064T C x x=-=-；（2）设第1k +项的系数的绝对值最大，则10102110102()(1)2k k k k kk k k T C xC x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅， 1110101110102222k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≤⋅∴⎨⋅≥⋅⎩，得110101101022k k k k C C C C -+⎧≤∴⎨≥⎩，即2221202k k k k-≥⎧⎨+≥-⎩，1922,733k k ∴≤≤∴=，所以系数的绝对值最大的是第8项，即77744810(1)215360T C x x --=-⋅⋅=-.【点睛】本题考查二项式系数和、二项式系数最大项、系数绝对值最大项，考查计算求解能力，属于中档题.24．（1）8n =（2）2m = 【分析】（1）由01237n n n C C C ++=，求解即可得出；（2）根据展开式的通项，即可得出m 的值．【详解】（1）01237n n n C C C ++=，2720n n ∴+-=，解得9n =-（舍）8n = （2）28m x ⎛+⎝的展开式的通项为()18225168288rrrr r r C C mx x m x -+---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=当6r =时是含1x项，所以268112m C =，解得2m = 【点睛】本题主要考查了已知指定项的系数求参数，属于中档题. 25．(1)32.（2）201820192⨯.（3）54n.【分析】（1）利用赋值法求解，令1x =和1x =-，两式相加可得；（2）利用11k k n n kC nC --=可求；（3）结合式子特点构造(41)n +可求. 【详解】（1）令1x =，得60126264a a a a +++⋯+== ① 令1x =-，得01260a a a a -+-⋯+= ② ①+②得024632a a a a +++=；（2）因为11k k n n kC nC --=所以12320192019201920192019232019C C C C ++++=()12201820182018201820182019C C C C ++++201820192=⨯；（3）01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++⋯++011221144444n n n n nn n nnnC C C CC ---⎡⎤=+++++⎣⎦15(41)44nn=+=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合组合数的性质，侧重考查数学解题模型的构建能力. 26．（1）12135103,5103x x ；（2）1. 【分析】（1）根据二项式系数之和为2n ＝128 求得n 的值，利用11771177·3?3·3?3r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩，可得展开式中系数最大的项；（2）利用二项展开式即可得到结果. 【详解】（1）2128,7.n n =∴=11771177·3?3,1,2,3,4,5,65,6·3?3r r r r r r r r C C r r C C --++⎧≥=∴=⎨≥⎩, 展开式中系数最大的项为第6,7项 ()()5652212612136********,35103T C x x x T C x x x ====.（2）()201620162016120152015201520162016201620163028228?28?2...?28?22282C C K =+=++++=+转化为20162被7除的余数，()6722016672287171k ==+=+，即余数为1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，系数最大的项，属于中档题．。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(有答案解析)(2)

一、选择题 1．已知~,XBnp，且2EX，43DX，则n（）

A．5 B．6 C．7 D．

2．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三

类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）

A．112125 B．80125 C．113125 D．

124

125 3．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连

胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（） A．1781 B．5681 C．6481 D．

81 4．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六

十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（）（参考

数据：3600.990.03，3600.010，30.970.912673） A．0.0027% B．99.9973% C．0 D．

91.2673%

5．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A“三个点数之和等于15”，B“至少出现

一个5点”，则概率|PAB等于（）

A．5108 B．113 C．17 D．

10 6．星期天上午，甲、乙、丙、丁到绿博园、四牟园、湿地公园、蟹岛游玩，每人只去一个

地方，设事件A为“4个人去的地方各不相同”，事件B为“甲独自去一个地方”，则PAB（）

A．29 B．13 C．49 D．

7．随机变量X的分布列如表所示，若1()3EX，则(32)DX（）

X 1 0 1

P 16 a b A．59 B．53 C．5 D．7 8．已知随机变量满足(0)1Pp，(1)Pp，其中01p.令随机变量

高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3

都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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【变式训练1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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【做一做1】给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;

数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）

第 1 页共15 页选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。

北师大版数学【选修2-3】练习：1.4 简单计数问题(含答案)

第一章§4一、选择题1．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()A．48种B．36种C．24种D．18种[答案] B[解析]本题是考查排列组合及相关分类的问题．①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A44＝24(种)．②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2C24C22＝12(种)．∴4位同学得总分为0分的不同情况有24＋12＝36(种)．故选B.2．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．15种B．20种C．25种D．32种[答案] C[解析]就编号为1的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1的盒子中放入一个球时，相应的放法数有C15种；第二类，当编号为1的盒中放入2个球时，相应的放法数有C25＝10种；第三类，当编号为1的盒子中放入3个球时，相应的放法数有C35＝10种．根据分类加法计数原理可知，满足题意的放法种数是5＋10＋10＝25.3．(2014·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有() A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个[答案] A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(C126)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A410种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C126)2A410个．二、填空题4．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)[答案] 90种[解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C 25C 23C 11A 22，再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种．5．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i 个数为a i (i ＝1,2，…，6)．若a 1≠1，a 3≠3，a 5≠5，a 1<a 3<a 5，则不同的排列方法有________种．(用数字作答)[答案] 30[解析] 本题主要考查用排列知识解决问题的能力．第一类：a 1＝2时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第二类：a 1＝3时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A 33＝12(种)．第三类：a 1＝4时，a 3＝5，a 5＝6，共有A 33＝6(种)．所以总的排列方法有12＋12＋6＝30(种)．三、解答题6．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名； (2)队长至少有1人参加； (3)至少有1名女运动员； (4)既要有队长，又要有女运动员．[分析] 此题中选的5人与顺序无关，是组合问题．[解析] (1)C 36×C 24＝120种不同的选派方法．(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：共C 12×C 48＋C 38＝196种不同的选派方法．(3)全部选法中排除无女运动员的情况：共C 410－C 56＝246种不同的选法． (4)分三类：①仅女队长：C 48； ②仅男队长：C 48－C 45； ③两名队长：C 38；∴共C 48＋C 48－C 45＋C 38＝191种不同的选派方法．[点评] 本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：直接法：“至少”中包含分类，间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况，“至多”也可这样考虑.一、选择题1．某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4条，省外路线有5条，则参加该旅游团的游客的旅游方案有()A．4种B．5种C．9种D．20种[答案] C[解析]游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4种方法．第二类：选省外路线，有5种方法．由加法原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9种．2．(2014·重庆理，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168[答案] B[解析]分两类：(1)先排歌舞类有A33＝6种排法，再将其余的三个节目插空，如图所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此时有2A33A33＝72；(2)先排歌舞类有A33＝6种排法，其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4A33C12＝48.所以共有72＋48＝120种不同的排法．解决不相邻的排列问题，一般是运用插空法，解决本题容易忽略了第二类，导致出差．3．(2012·山东理，11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484[答案] C[解析]本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C316－4C34－C24C112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472.另解：C04C312－3C34＋C14C212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重4.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有()A．8种B．12种C．16种D．20种[答案] C[解析]如图，构造三棱锥A－BCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C36种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C36－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．[点评]此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转化思想．二、填空题5．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案]432[解析]因为10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即数字之和为10的情况有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三种．若为1,2,3,4，先选出标有数字的卡片，有2×2×2×2种可能，然后再排列它们，每一种可能有A44种排法，根据乘法原理，满足题意的排法有2×2×2×2×A44＝384种；若为2,2,3,3，先选出标有数字的卡片，方法是唯一的，再排列它们有A44种排法；若为1,4,1,4也有A44种排法．所以共有384＋A44＋A44＝432种不同的排法．6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答)．[答案]1260[解析]方法一：只需找到不同颜色的球所在的位臵即可，共有C29C37C44＝1260种方法．方法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有A99A22A33A44＝1260种不同的方法．三、解答题7．有四个不同的数字1,4,5，x(x≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为288，求x的值．[解析]因为1,4,5，x四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所在的1的和共为4×A33＝24.同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A33个，所以，所在的4的和共为4×4×A33＝96.所在的5的和共为5×4×A33＝120.所在的x的和为x×4×A33＝24x.即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.8．“抗震救灾，众志成城”在舟曲的救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[分析]本题是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”、“至少”、“至多”的含义，正确地分类或分步解决．[解析](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．9.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在如图所示的“田”字形方格内，每格涂一种颜色，且要求相邻的两格涂不同的颜色．如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[解析]根据所需颜色种数分为三类：(1)若用四种颜色，则四格涂不同的颜色，方法种数为A45种．(2)若用三种颜色，则有且仅有两格涂相同的颜色，即一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为2C15·A24种．(3)若用两种颜色，则两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A25种．因此，总的涂法种数为：A45＋2C15·A24＋A25＝260(种)．[点评]根据用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再根据分类加法计数原理求出总的涂法种数．。

高中数学计数原理(解析版)

计数原理计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以填空题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解. 【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数.【考查题型】填空题【限时检测】（建议用时：60分钟）一、单选题1．（2020·上海嘉定区·高三一模）已知0x ≠，*n N ∈，则“2n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】运用二项式的展开式的通项公式，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：211()r n r r r n rr n n T C x C x x --+=⋅⋅=⋅，当2n r =时，存在常数项，此时n 为正偶数，因此当2n =时，一定能推出1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，但是由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项不一定能推出2n =.因此“2n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件.故选：A2．（2020·上海徐汇区·高三一模）设T 是平面直角坐标系xOy 上以()0,2A 、()1B -、)1C-为顶点的正三角形．考虑以下五种平面上的变换：①绕原点作120︒的逆时针旋转；②绕原点作240︒的逆时针旋转；③关于直线OA 的对称；④关于直线OB 的对称；⑤关于直线OC 的对称．任选三种．．变换(可以相同)共有125种变换方式，若要使得T 变回起始位置(即点A 、B 、C 分别都在原有位置)，共有（）种变换方式？ A ．12 B ．16C ．20D ．24【答案】C【分析】要使得T 变回起始位置，可通过三次旋转变换或者一次旋转变换+两次对称变换结合得到. 【详解】第一类：只用旋转变化时：可以按①或者②旋转3次得到；第二类：使用对称与旋转结合时，不能出现相同的对称变换，()1若第一位选择旋转变化，可选①或者②，则第二位的对称变化可在③、④、⑤中任选一种，前两位确定以后第三位就跟着确定，故方法有：23=6⨯种；()2若旋转在第二位，第一位的对称可在③、④、⑤中任选一种，则第二位旋转也在①或者②中选一种，前两位确定以后第三位就跟着确定，故方法有：23=6⨯种；()3若旋转在第三位，第一位的对称可在③、④、⑤中任选一种，则第二位的对称不能选第一位的，前两位定了以后第三位也跟着确定，故有23=6⨯种. 综上所述：共有6662=20+++种方法. 故选：C.【点睛】排列组合的题目关键是找到分类的标准，做到不重不漏.3．（2020·上海市建平中学高三月考）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A ．144 B ．72 C ．54 D ．36【答案】B【分析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法．【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种，故选：B ．【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题二、填空题4．（2019·上海高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【分析】首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在5天里，连续2天的情况，一共有4种剩下的3人全排列：33A故一共有：33424A ⨯=种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.5．（2019·上海高考真题）在6x⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【分析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：366622666rr r r rr r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.6．（2018·上海高考真题）在()71x +的二项展开式中，2x 项的系数为 .（结果用数值表示）．【答案】21.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x 2的系数．【详解】二项式（1+x ）7展开式的通项公式为 T r+1=7rC •x r ，令r=2，得展开式中x 2的系数为27C =21．故答案为：21．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7．（2020·上海闵行区·高三一模）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答) 【答案】90【分析】根据题意，先算出从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生的选派方案种数，再算出男女主任都没有参加的选派方案种数，两者相减求得结果. 【详解】根据题意，从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，共有3264206120C C ⋅=⨯=种选派方案，如果所选的男女主任都没有参加，共有215330C C ⨯=种选派方案，所以至少有一名主任医师参加有1203090-=种，故答案为：90.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关组合的综合问题，方法如下：（1）要用好两个计数原理；（2）可以用间接法求解，用总的减去不满足条件的就是要求的；（3）也可以用直接法求解，包括男主任参加女主任不参加、男主任不参加女主任参加和男女主任都参加，相加即可.8．（2020·上海嘉定区·高三一模）甲和乙等5名志愿者参加进博会A B C D 、、、四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法(结果用数值表示). 【答案】216【分析】先求出没有条件限制的种数，再求出甲和乙在同一个岗位服务的分配方法，利用间接法，即可得解.【详解】由题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到四个不同的岗位，则有2454240C A =种方法，甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有4424A =种，所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有24024216-=种，故答案为：216.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.9．（2020·上海高三一模）在81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为__________．【答案】28【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 可得结果. 【详解】二项展开式的通项公式为882881()(1)r rr r r r C x C x x---=-，0,1,2,,8r =，令824r -=，得2r，所以二项展开式中4x 项的系数为228(1)28C -=.故答案为：28【点睛】关键点点睛：利用二项展开式的通项公式求解是解题关键.10．（2020·上海长宁区·高三一模）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为__________. 【答案】15【分析】写出二项展开式通项公式，由x 的指数为2求得项数，从而得到系数．【详解】由题意6621661rrrr rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令622r -=，得2r，所以2x 项的系数为2615C =．故答案为：15．11．（2020·上海崇明区·高三一模）若23(2)na b +的展开式中有一项为412ma b ，则m =__________．【答案】60【分析】根据二项展开式的通项公式，得出23(2)na b +的展开式的第1r +项，求出412a b 的系数，即可得出结果.【详解】因为23(2)na b +展开式的第1r +项为22312r n r n r r r n T C ab --+=，令224312n r r -=⎧⎨=⎩，解得64n r =⎧⎨=⎩，则426260m C ==. 故答案为：60.【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．（2020·上海大学附属中学高三三模）二项式153x x 展开式中的常数项是______．【答案】5005【分析】写出二项式153x x 展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，然后代入通项即可求出该二项式展开式中的常数项.【详解】二项式15展开式的通项为()5155615151kkkk kk C C x--⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝，令5506k -=，得6k =，因此，该二项式展开式中的常数项为()661515005C ⋅-=. 故答案为：5005.【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的求解，一般利用二项展开式通项中x 的指数为零来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 三、解答题13．（2020·上海奉贤区·高三二模）两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*n ∈N .（1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为k a （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为kb （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}nc 与{}nd 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n -的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N ，且110a b ==，是否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.【分析】（1）2022(1)x +展开式中系数最大项为101110112022C x ，然后再判断20221()x x-展开式中1011x 的系数是否是最大值，即可得结果；（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，结合11n n nn T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，求得6n =，求得n T 的最大值，由{}n S 与{}n T 具有性质P ，可得6n =时，max ()10800n S =，由n a t dn =-，结合60,70t d t d ->-<求得t 的范围，再由n a t dn =-是等差数列，可得6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，然后联立*,27360067t d N t d d t d ⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解出数列{}t dn -的个数；（3）由11()n n n n a a b b λ++-=-进行迭代，可得n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，从而可1λ= 【详解】解：（1）2022(1)x +展开式的通项为12022r r r T C x +=，则数列{}n c 的通项为-12022n n c C = 故数列{}n c 中的最大值为101110122022c C =20221()x x -展开式的通项为'2022202221202220221(1)rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，而当202221011r -=时，得10112r N =∉，所以{}n c 与{}n d 不具有性质P（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，即113333198231982(1)322223333198231982(1)32222n n n n n n n n -+⎧+-⋅≥-+-⋅⎪⎪⎨⎪+-⋅≥++-⋅⎪⎩，解得13198231982n n +⎧≤⎨≥⎩，因为*2,n n N ≥∈，673729,32187== 所以当6n =时，6max 33()19826+31080022n T =⨯-⋅=, 因为 {}n S 与{}n T 具有性质P ，所以6n =时，max ()10800n S =，因为n a t dn =-，所以60,70t d t d ->-<，因为n a t dn =-，所以6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，由*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解得360636134313,,,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⋅⋅⋅⎨⎨⎨===⎩⎩⎩共有102个数列；（3）因为11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N 当2n ≥，*n ∈N 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 112211()()()n n n n b b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+所以n n a b λ=当1n =时，110a b ==符合上式所以n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大项，设00max max (),()n n n n a a b b ==，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，1λ=显然成立，假设1λ>，则显然00max max (),()n n n n a a b b ==，000n n n a b b λ=>矛盾同理，1λ<也矛盾，所以1λ=【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.14．（2019·上海浦东新区·高三二模）已知各项均不为零的数列{}n a 满足11,a =前n 项的和为n S ，且22212,,2n n nS S n n n a *--=∈≥N ，数列{}n b 满足1,n n n b a a n +=+∈N*. （1）求23,a a ；（2）求2019S ；（3）已知等式11k k n n kC n C --=⋅对0,,k n k n ≤≤∈N*成立. 请用该结论求有穷数列{},1,2,,,k k n b C k n =的前n 项和n T .【答案】（1）见解析；（2）4078379；（3）()2222nn n ++⋅-【分析】（1）由222*122n n n S S n n N n a ，，--=∈≥，可得212n n S S n -+=，结合a 1＝1，依次求得a 2，a 3的值；（2）由212n n S S n -+=（n ≥2），得212(1)n n S S n ++=+，两式作差可得a n +a n +1＝4n +2，结合等差数列的前n 项和求S 2019；（3）由b k ＝a k +a k +1＝4k +2，得123123nn n n n n n T b C b C b C b C =++++，然后结合已知组合数公式的性质求解有穷数列{}12kk n b C k n =，，，，，的前n 项和T n ．【详解】（1）因为()22221122,2n n n n n S S n a nS S n ---==-≥，又数列{}n a 各项均不为零，所以212n n S S n -+=.当2n =时，211218S S a a a +=++=，所以26a =. 当3n =时，()32123218S S a a a +=++=，所以34a =.（2）由（1）知()211212,242,221,1n n n n n n S S n n a a n n S S n n -++⎧+=≥⎪⇒+=+≥⎨+=+≥⎪⎩. ()()()()2019123452018201914246201821009S a a a a a a a =+++++++=++++++⨯4078379=.（3）由（2）知7,142,2n n b n n =⎧=⎨+≥⎩.1212nn n n n n T b C b C b C =+++()()1232374232n nn n n n n n n C n C C nC C C C =++++++++()()121012301121742n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C ----=++++++++++--()()17421221n n n n n -=+-+--()2222n n n =++⋅-.【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和与等差数列前n 项和，考查二项式系数的性质，是难题．15．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三月考）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中， 112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和.(1)若 lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值； (2)是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中?若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中?若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 1b =-.(2) 所有的符合题意的*2()b k k N =∈.(3) 2b =.【解析】试题分析：(1)数列{}n b 是等比数列，其前n 和的极限存在，因此有公式q 满足1q <，且极限为11b q -；(2)由于b 是正整数，因此可对b 按奇偶来分类讨论，因此当b 为奇数时，等比数列{}n b 的公比不是整数，是分数，从而数列{}n b 从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列{}n a 中，而当b 为偶数时，数列{}n b 的所有项都在{}n a 中，设2b k =，则2212k q k +==+，12(1)n n b k -=⋅+展开有0112112(n n n n n b C k C k ----=++ 2111)n n n n C k C ----+022122()n n n n k C k C ---=+++，这里用到了二项式定理，22(1)ma k m =+-，结论为真；(3)存在时只要找一个b ，首先b 不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让m k b a =(,3)m k ≥，取特殊值求出b ，如取4,3m k ==，可得2b =，此时4b 在数列{}n a 中，由于2b =是无理数，会发现数列{}n a 除第一项以外都是无理数，而38b =是整数，不在数列{}n a 中，命题得证，(如取其它的,m k 又可得到另外的b 值)．试题解析：（1）对等比数列{}n b ，公比2122b b q +==+．因为01q <<，所以40b -<<．２分解方程231(1)2b b =--+，４分得4b =或1-．因为40b -<<，所以1b =-．６分（2）当b 取偶数(2,*)b k k N =∈时，{}n b 中所有项都是{}n a 中的项． 8分证: 由题意：均在数列中，当时，110112*********()2(1)2()2n n n n n n n n n n n b b k C k C k C k C ----------+==+=++++ 021*******(1)1n n n n n n k C k C k C ------⎡⎤=+++++-⎣⎦说明{}n b 的第n 项是{}n a 中的第021321111n n n n n n C k C k C ------++++项． 10分当b 取奇数(21,*)b k k N =+∈时，因为n b 不是整数，所以数列的所有项都不在数列中． 12分综上，所有的符合题意的．（3）由题意，因为12,b b 在{}n a 中，所以{}n b 中至少存在一项()3m b m ≥在{}n a 中，另一项()t b t m ≠不在{}n a 中． 14分由m k b a =得12(1)2(1)2m bk b -+=+-，取4m =得()321212b k b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，即()()2242b k +=-. 取k =4，得222b =（舍负值）．此时43b a =． 16分当222b =时，38b =，()()21222n a n =+-，对任意n ，3n a b ≠. 18分综上，取222b =．(此问答案不唯一，请参照给分)考点：(1)数列的极限，无穷等比数列的和；(2)等差数列与等比数列的通项公式；(3)数列的项的综合问题．。

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第一章计数原理
1 两个计数原理的灵活应用
计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支
持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方
法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观．下面通过典例来说明．
一、列举法
例1 某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和
键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有( )
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
解析依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解．
若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；
若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买8个鼠标，则可买键盘3个；
若买9个鼠标，则可买键盘3个．
根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9种．故选C.
答案 C
点评本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得．列举看似简单，
但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律．
二、树形图法
例2 用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，„，B1，B2，„的方式给
教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
解编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出
所有可能的号码，如图．

由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各
不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．
三、列表法
例3 四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多
少种不同的取法？
解把四个人分别编号①、②、③、④，对应写的贺年卡编号分别为1,2,3,4，将4张贺年
卡的各种方法全部列举出来，如下表：
四个人取贺年卡的方法
① 2 2 2 3 3 3 4 4 4
② 1 3 4 1 4 4 1 3 3
③ 4 4 1 4 1 2 2 1 2
④ 3 1 3 2 2 1 3 2 1
方法编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

由表格可知，共有9种不同的方法．
点评本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算．借助表格，把各种情况一一
列出，使问题直观解决．
四、直接法
例4 已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位
素，请问共可组成多少种HCl和NaOH分子？
解因为HCl由两种元素构成，所以分两步完成：
第1步：选择氢元素，共有3种．
第2步：选择氯元素，共有2种．
由分步乘法计数原理得共有6种HCl分子．
同理，对于NaOH而言，分三步完成．
第1步：选择钠元素，有3种选法．
第2步：选择氧元素，有4种选法．
第3步：选择氢元素，有3种选法．
由分步乘法计数原理知共有3×4×3＝36(种)NaOH分子．
点评当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类
型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题．

2 排列、组合的破解之术
排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法
原理计算就可．说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事
情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，
很长时间也理不顺思路．下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！
一、特殊元素——优先法
对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑．
例1 将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，„，6)，若a1≠1，a3≠3，
a5≠5，a15
，则不同的排列方法有________种(用数字作答)．

解析由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1法；第二步，再排a2，a4，a6，有A33种方法．由乘法原理得，不同的排列方法共有5A33＝30(种)．
答案 30
二、相邻问题——捆绑法
把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”一起排列，最
后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上排列．
例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不
排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
解析先将两位老人排在一起有A22种排法，再将5名志愿者排在一起有A55种排法，最后将两
位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C14种插入方法，由分步乘法计数原理可得，不同的
排法有A22·A55·C14＝960(种)．
答案 B
三、不相邻问题——插空法
某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件
的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
例3 五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，
符合条件的排法共有( )
A．48种 B．192种
C．240种 D．288种
解析 (用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换
位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2
名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题
意的排列种数为A55×A22－A44×A22＝192.
答案 B
四、至多至少问题——间接法
对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排
列，再减去其反面情况的种数．