近世代数课程总结
近世代数第三版课程设计
近世代数第三版课程设计简介近世代数是现代数学的一个重要分支，它涉及到很多方面，如群论、环论、域论等等。
而近世代数第三版课程则主要讲解了开放群的基本概念、同态、同构以及群等基础知识，并讨论了有限群的结构。
这门课程旨在培养学生对群、环、域的具体概念、基础理论，以及其应用的深刻认识和熟练运用能力。
本文档将对近世代数第三版课程的教学设计和实施进行详细阐述。
教学目标本课程的教学目标主要包括以下方面：1.熟悉开放群的定义及其基本性质；2.掌握同态、同构的概念及其在开放群中的应用；3.熟练掌握有限群的分类及其内部结构；4.培养学生运用代数学工具解决实际问题的能力。
教学内容本课程将涵盖以下主要内容：1.群的基本概念：群、子群、商群、正规子群、左余元、右余元、循环群。
2.开放群的基本性质：陪集、拉格朗日定理、同余原理、群同态、群同构。
3.有限群的分类：Sylow定理、Cauchy定理、Frattini定理、群的自同构。
4.代数学的应用：密码学、群论在物理、化学领域的应用。
教学方法1.讲授法：讲授法是本课程教学中的主要方法，教师将对内容进行讲解，帮助学生明确概念和原理。
2.解题法：这种方法通过例题和习题的讲解和引导，帮助学生掌握具体的解题方法及技巧，提高能力。
3.讨论法：讨论法是一种较为灵活的教学方法，它可以促进学生自主学习和探究，培养其独立思考和创新能力。
4.实验法：通过实验和模拟实践的方法，帮助学生更加深入理解和应用所学知识。
教学评价本课程的教学评价主要包括以下方面：1.作业：作业的设计将有助于学生巩固和深化所学内容，提升其应用能力和解决问题的能力。
2.考试：考试旨在检验学生对所学知识的掌握程度和应用能力，既考察知识点的掌握，也注重习题应用能力。
3.评估方式：教师将综合考虑作业、考试等方面的表现，结合学生平时表现，以及思维能力、创新能力等方面的考虑，进行综合评估。
总结本文档主要对近世代数第三版课程的教学设计和实施进行了详细阐述，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等方面。
《近世代数》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲MODERN ALGEBRA〔2009年10修订,潘庆年执笔〕一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业,68学时,4学分.二、课程的性质、目的和任务近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课,是现代数学的重要基础之一.通过本课的学习,能够使学生掌握群、环、域的基础知识,深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法,同时掌握代数的一些基本方法：集合、运算、运算性质,特殊元素,特殊子对象,商对象,同态同构,为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证,加深对中等数学中代数体系的理解.三、与其它课程的联系本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础,对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助.四、课程的基本内容、重点及难点〔一〕基本概念1、集合及其运算.2、映射,映射的合成,一一映射,可逆映射击,一一映射与可逆映射的关系.3、代数运算及其运算律.4、同态,同构,自同态,自同构.5、等价关系,集合元素的分类,二者的关系.重点及难点：同态、同构等价关系与集合元素的分类〔二〕群1、群的定义及其等价条件.2、群的同态及其性质.3、变换群,Cayley定理.4、置换群,置换的循环表方法,交代群.5、循环群,整数加群Z和模n剩余类加群Z n,结构定理.6、子群及子群的陪集,Lagrange定理.7、不变子群,商群,同态基本定理.重点及难点：群的定义,循环群与置换群,不变子群与商群,同态基本定理.〔三〕环与域1、环的定义及简单性质,几类常用的环的实例.2、交换律,单位元,可逆元,零因子,正那么元,整环.3、除环和域,四元数除环,域中元的运算.4、无零因子环的特征.5、子环,环的同态及同态映射的性质.6、多项式环,同态及代入法,未定元的存在性.7、理想,剩余类〔商〕环,同态基本定理.8、极大理想,域的构作.9、分式域的存在条件及其构作方法重点与难点：环〔域〕的概念,几类常用环的性质,理想与商环,同态及同态基本定理.〔四〕整环的因子分解理论1、整除,因子与平几因子,相伴元,素元,唯一分解.2、唯一分解环及其等价条件,最大公因子,互素.3、主理想环,升链条件,极大理想与素元的关系.4、欧氏环、唯一分解环、主理想环及其之间的关系.5、多项式环的因子分解,根.重点与难点：素元,唯一分解问题.〔五〕扩域1、扩域,素域,最小扩域F〔S〕的构造及其性质.2、代数元与超越元,单代数扩域的同构定理,单超越扩域的同构定理.3、代数扩域,有限扩域,二者的关系4、多项式的分裂域,存在及其唯一性.5、有限域,有限域的阶,多项式x q-x的分裂域.重点与难点：单扩F〔α〕的同构定理,代数扩域,分裂域的存在及唯一,有限域的性质.六、教材与教学参考书[1] X禾瑞. 近世代数基础. :高教, 2000年〔选用教材〕.[2] X绍学. 近世代数基础. :高教,2001年.[3] 吴品三.抽象代数.:高教,1984年.[4] 杨子胥.近世代数.:高教,2001年.[5] 韩士安,林磊.近世代数.:科学,2008年.[6] 樊辉,X宏伟.抽象代数.:科学,2008年.[7] 聂灵沼,丁石孙．代数学引论．：高等教育, 1988[8] T .W .Hungerford . Algebra. Berlin: Springer_verlag,1 974.[9]Nathan Jacobson ． Basic Algebra <I> ． New York ：W. H. Freeman and Company , 1985[10] Joseph. J. Rotman. 抽象代数基础教程 < 英文版>. 第 2 版. :机械工业 ,2004 年[11]Joseph A Gallian ．Contemporary abstract algebra ． Boston :New York Houghton Mifflin Company , 1998 ．。
近世代数教案
近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。
本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。
如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。
教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。
教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。
3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
近世代数学习方法
“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。
为此，下面介绍五种常用的学习方法。
一、通过例子来加深对基本理论的理解 ?针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。
当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。
例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。
那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。
例：设R是所有偶数构成的环，Z 表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。
?二、通过变换角度来寻求问题的解法 ?通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。
下面举例说明这种方法：例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。
对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。
?三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类 ?“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。
浅谈近世代数课程教学方法
2019年12月第39卷第6期Dec.2019Vol.39No.6汉江师范学院学报Journal of Hanj iang Normal University浅谈近世代数课程教学方法谷勤勤，赵良（安徽工业大学数理科学与工程学院应用数学系，安徽马鞍山243000）［摘要］近世代数是大学数学专业比较抽象的一门专业必修课.从教学内容、教学方法和教学手段等方面给出如何提高课堂教学效果的几点体会.［关键词］近世代数;教学改革；探讨［doi］10.19575/42—1892/g4.2019.06.025［中图分类号］G642［文献标识码］A近世代数又名抽象代数，是以研究代数系统的性质与结构为中心的一门抽象理论学科，是数学、信息与计算科学等专业的必修课程•近世代数在计算机科学、信息科学（如：密码学）、近代物理、近代化学等学科方面具有广泛的应用，是现代科学技术重要的数学基础之一，其思想、理论和方法已被广泛地应用于代数几何、代数拓扑等领域中，是当代数学的重要工具之一.近世代数是数学专业课程中最能反映现代数学的高度抽象性、公理化方法普遍的课程，是数学专业抽象思维训练及逻辑思维培养不可或缺的专业课程.它是中学代数的延拓和提高，是高等代数和解析几何的后继课程，也是数学专业硕士研究生阶段的重要基础课程.近年来，国内的教育工作者对这门课的关注程度也日益提高，对相关的教学理论也进行了不断的完善〔I」.安徽工业大学应用数学系面向本科生开设该课程已有九年.作为该课程主讲教师，我们在教学中发现部分教学内容比较陈旧，有些教学内容难度的选择已经不能［文章编号］2096—3734（2019）06—0115—05很好地适应高等教育从精英教育到大众化教育过渡的需要等问题.近世代数这门课的特点是概念多、理论性强、内容偏深且抽象、理论联系实际少，应用背景与应用实例介绍较少等等，因此学生普遍认为该课程是一门难懂难学的课程.自开设该课程以来，按照本校对数学专业课程改革的要求，我们一直致力于该课程的教改研究，目的是既培养学生的数学思想，又提高学生的数学能力.特别是在教学定位、课程内容、教学方法和教学手段等方面进行了一系列深入的研究，并得到了一些行之有效的教学方法和经验.本文针对我校学生的实际情况从教学实践出发，从教学内容、教学方法和教学手段等三个方面总结笔者在教学过程中积累的一些工作经验.1选择合理的教学定位，精选教学内容1.1根据课程性质和课程要求选择合适内容，抓主线、重对比在我校，《近世代数》是数学与应用数学专业重要基础课程之一，安排在大学第［收稿日期J2019-09-01［基金项目］安徽工业大学重点教育教学研究项目《代数课程的分层教学与优化创新研究》（项目编号：2017jy012）.［作者简介］谷勤勤（1979-）,女，山东莱芜人，安徽工业大学数理科学与工程学院应用数学系副教授，博士，主要从事代数K—理论与同调代数研究.HJSFXYXB 115三学期开设，所选教材⑷主要内容是分为三个部分：第一部分学习近世代数的预备知识，包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念；第二部分学习群的基本理论，主要包括群的定义和基本性质，子群和商群理论，群同态和同构定理，置换群的基本理论，有限群的Lagrange定理；第三部分学习环论的基础内容，主要包括环，子环，商环的定义和基本性质，环同态和同构定理，素理想与极大理想，环上的多项式环的构造，扩域和有限域.随着我国高等教育改革的不断深入，为了适应当前教育办学理念，系里对该门课的教学计划做了一些调整，压缩了课时，从2014年之前的72学时压缩到现在的48学时.如此一来，详细讲完教材⑷―"中所有的内容是非常困难的，因此根据专业性质、实际需要及后继学科的安排，在不减少授课的主要内容，保证课程内容的科学性的前提下，合理安排教学进度，灵活安排教学内容，并对传统内容做了部分处理，例如，群部分内容删减群在集合上的作用，群的自同构群、西罗定理、有限交换群；环部分内容删减素环及其极大理想、非交换环、唯一分解整环的多项式扩张；域部分内容只介绍域跟单扩域的基本概念•施教的内容仅包括以下章节：代数运算、同态与同构、等价关系与集合分类、群的相关概念及其性质、陪集指数lagrange定理、正规子群、上群、群同态及同构定理、环及特殊环、理想、环同态基本定理.同时根据实际需要，结合各章节内容增设一定数量的应用例题，适当安排实践课，并且在习题选择上采取少而精原则，尽量避免偏题难题.我们的教学过程中主要是围绕主线教学，重类比，求同存异，举一反三，提高教学效率.教材共有6章，主要包括群、环、域三种代数系统，这些重要的代数系统互不相HJSFXYXB116同又有着千丝万缕的联系.群论的主线是群同态与同构，正规子群主要是用来比较两个集合及生成新的集合.环论的主线是理想，域的主线是扩域.近世代数群、环、域3种代数系统中：群是环与域的基础，环与域都是群.它们在群这个代数系的基础上附加了一种叫乘法的代数运算，这就注定了群、环、域之间必定有许多相似之处又有各自独特的特点.在这部分教学过程中我们采取对比式教学，找出它们的异同，帮助学生理清楚相关知识点.例如，群论中子群这个重要的概念，它在研究群的性质时起到了非常重要的作用，其自身也有独特的性质•环中同样有一个子环的概念，它在环论的研究中也起着重要的作用.子环和子群在概念、性质和究方法上有很大程度上相似，又有不同，不同部分正是课程重点讲述的内容.引导学生观察这两个相近的知识点的相同点与差别，通过类比使学生更深入和全面地掌握这些重要的知识点，从而既节省了学习时间，又提高了学习效率.1.2注重课程与先修课程的联系代数、分析和几何是数学专业三大基础学科.在代数学这个方向中，高等代数是基础学科，而近世代数是高等代数的后继课程，是现代代数学的基础，它起着承上启下的作用.近世代数中的很多定义跟定理可以看作是高等代数中相关定义和定理的推广.因此在讲授这些部分时，我们先带领学生回顾这些定义及定理，让学生认识到各门学科之间是相互联系的，并不是孤立存在的，这样在学习新知识时学生更容易理解并接受.例如，在讲群的同态概念时，我们先复习线性空间的同态概念，线性空间的同态是保持两个运算，把零元映射到零元，群的同态也是保持运算，单位元映射到单位元，只要说明两类代数结构的不同点在什么地方，学生理解起来就非常容易.再例如在讲授环的零因子这一概念时，可以先复习矩阵的乘法并举出非零矩阵乘积为零的例子，并对比整数中乘法，说明不同，给出零因子的概念.如此一来，近世代数变得不那么抽象，很多概念跟方法都可以跟高等代数中相关的部分作对比.1.3在课程内容中精选应用实例首先，在近世代数的教学过程中引入具体的例子，让学生逐渐接受抽象的概念.例如，利用从小学阶段就开始接触的整数跟整数的运算加法跟乘法，由整数集及两个运算可以构成代数系统，这个例子在授课过程中出现了14次，对学生理解环，循环环等抽象的概念具有很大的帮助.再如，模4剩余类做成的集合关于加法与乘法做成的代数系统在授课过程中用到9次，可以帮助学生理解环、理想、特征、零因子等抽象的概念.其次，讲课过程中注重课程的实际应用性.近世代数不仅有深刻的理论，而且有广泛的应用，这使得这门学科具有强大的生命力.20世纪初，理论物理和分子化学领域已经应用到了近世代数的群理论，到20世纪中叶，理想理论和域论在计算理论、编码、信息安全等诸多领域显示出强大的功能•作为数学专业一门基础课程，教师在授课过程中不仅强调它的理论性而且要讲其应用，理论应用一起抓•在对近世代数中相关知识的应用性的讲授过程中，可以借助多媒体这一强大的工具，向学生介绍本课程在物理理论、分子化学、计算机理论、编码、信息安全等领域的应用，让学生了解该课程的应用价值.例如，讲第一节时，就引入项链问题E5]176-181、开关线路构造问题、数字通信的可靠性问题等实际应用问题，告诉学生通过后面的学习，可以用近世代数的方法来解决这些问题，从而提高学生的学习兴趣•讲完群论后，我们就和学生一起用群理论解决第一节课中所提出的问题.随着讲课的深入我们会讲一些近世代数在近代科学中的应用•例如，在讲解群理论时借助百度百科视频引入RSA公钥密码系统，并引用环f中基于Z n*的公钥密码系统，并用给出简单的使用RSA公钥密码系统加密解密的例子.在讲环与有限域的相关知识的时向学生介绍信息安全方面的知识，引用E5]176-181环与域在编码纠错理论中的应用部分，这部分内容的引入很大程度上刺激了学生学习这门课程的积极性.1.4在教学内容中加入应用数学软件GAP相对于比较抽象的概念和定理而言，学生更喜欢操作性强比较直观的数学实验.然而，近世代数不像数学分析、概率论线性代数等课程一样有许多问题可以借助Matlab、Maple、Mathematica等软件来解决.原因主要是这门课程研究的对象（群、环、域）较抽象，在一般的软件上难以实现.这种情况影响了学生对群、环、域的直观理解，GAP的出现可以说是一场革命，它实现了抽象对象的计算机化.因而在教学过程中引入GAP数学软件⑷宓—宓，使得教学内容比较形象直观，达到激发学生兴趣、开阔学生视野的目的，并可培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力.1.5将数学史融入教学内容通常的近世代数教材都只是注重知识的逻辑结构，往往忽略了知识产生的背景和形成过程，把“人类探索的过程归结为一堆干巴巴的定理wE7]387-394.实际上，数学史与数学教育的有机结合可以减少理论学习的枯燥性，让学生感受数学的美、享受数学的乐趣.兴趣是最好的老师，了解本门课程的来龙去脉，可以在很大程度上提高学生的学习兴趣.例如，在第二章的教学过程中，向学生介绍五次和五次以上的方程根HJSFXYXB117的根式解问题.1170年lagrange详细探讨了解三次、四次方程根的一般解法——根式解，并试图将这一方法推广到五、六次方程乃至更高次的一般方程上，他最终没有解决这个问题.1824年阿贝尔严格证明了五次及五次以上方程不能用根式求解的问题.对于特殊方程可以用根式来解的问题是由伽罗华解决的，并且在解决的过程中给出的历史上最早的“群”定义实际上是置换群的定义.数学史知识的渗透可以让学生了解并参与到数学创造的真实过程中，充分调动学生的“学”、令“教”与“学”结合起来，从而提高教学效率.2教学方法和教学手段数学具有高度的抽象性，这在近世代数这门课中体现的淋漓尽致.在近世代数的实际教学过程中，如何把抽象的理论具体化，教学方法和教学手段的选择至关重要.在教学方法方面我们做了以下尝试：2.1引入“问题解决”的方法科学是从问题开始的，问题可以激励人自助的去探索，去学习.在教学过程中，我们有目的的提出不同的问题和任务，引导学生主动去探索、去解决问题，以便深层次的掌握并运用知识，从而培养了学生的思维能力以及创新能力.例如在讲群的子群概念时，我们知道子群的概念是是子集，并关于群的运算做成群.结合群的性质让学生自己推理子群的判定条件.比如做成群的条件是封闭性、结合律，有单位元，有逆元等等，去掉重复的东西，就得出子群的判定定理•利用提出问题，并让学生尝试独立寻找解决问题的方法，可以引发学生主动发现，积极探索，善于总结并能深层次理解掌握所学的知识.2.2利用“启发式”教学模式在近世代数的教学过程中，经常使用HJSFXYXB118“启发式”教学的模式.例如在讲群的概念时，我们给出全体可逆的n阶矩阵做成一个集合，矩阵具有乘法，并且关于乘法有逆元，同时我们给出全体整数做成的集合，定义了加法，加法具有加法逆元.引导学生把集合中的具体元素忘掉，只留两个集合关于运算的共同特点就是封闭性，结合律有单位元、有逆元，抽象出来就是群的概念.通过这种方法，学生很容易接受这个定义，并且锻炼了学生的抽象思维能力.2.3采用“讨论式”教学方法“讨论式”教学法是现今高校教学方法改革中的热点，同时也是难点.在欧美讨论式教学法非常盛行，这种教学方法有助于发展学生分析和综合的能力，有助于增强学生的能动性，对创新性人才的培养具有重要的作用.在授课过程中一般先由教师提出“问题”或“主题”.例如在讲授欧拉函数的时候，明确这部分的要求，欧拉函数的性质及其在RSA密码中的应用，并提供辗转相除法跟素数性质的相关材料.学生根据这些进行研究和准备，我们把60个人分成六个讨论小组，并自行设计学习方案•方案设计都是以小组形式围绕“欧拉函数性质”和“具体性质在密码学中的应用”展开，在讨论中学生可分别扮演解密者和加密者的不同角色，进行自由的谈论•学生各自介绍自己的分析和研究成果，例如积性性质与和性性质在解密中的应用，在讨论过程中分析问题、纠正错误•教师在此过程中设置加大数据等障碍、并启发思路和引导争论，最后将学生的不同观点分别列出•讨论结束后，教师进行简短的总结，分析各个小组学生的观点，并提出自己的想法•利用这种方法加强了学生的主观能动性，并有利于创新性人才的培养.教学手段方面，我们在教学过程中以学生为中心，以调动学生自身的学习主动性、积极性为手段，并根据教学内容适当引入现代化教学技术，提高教学质量.由于数学专业课程非常重视逻辑推理论证能力和抽象思维能力的培养，通常利用传统的黑板、粉笔教学，这种教学方式的优点是可以边写边讲解，让学生跟着教师一起思维，一起推理.这种方式在推理能力的方面有很大优势，但是在实际应用方面例如在讲群的对称性时对称群在化学、晶体学中的例子就很难仅靠板书实现，这就需要引入多媒体图像、动画等，既节省时间，又能直观感受.在讲习题课及放视频影像时，还可以利用学习通等软件让学生在同一时间内做题、学习，这样极大程度上调动了学生的学习积极性，提高了学习效率.近世代数是大学数学专业课中学生比较难学的一门课程，教师在教学过程中选择合适的教学内容、运用合理的教学方法和教学手段可以有效提高学生的学习兴趣，进而更好地锻炼学生的逻辑思维和抽象思维能力.总之，“如何提高学生学习《近世代数》的兴趣”这一课题，仍然值得我们继续研究.[参考文献][1]夏静波，邹庭荣，张四兰.“近世代数”的教学技巧[J].大学数学,2009,25(1).[2]顾沛.“抽象代数”教学中的素质教育[J].大学数学,2006,22(3).[3]宋蔷薇，李录苹.Magma在近世代数中的应用[J].山西大同大学学报,2015,31(1).[4]杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社,2005.[5]胡冠章，王殿军.应用近世代数[M].3版.北京:清华大学出版社,2006.[6]The GAP Group.The GAP reference manual[EB/OL].www.gap—/manuals/doc/ref/ manual,pdf.2008.[7]M.Kline?Carl B.Boyer—In Memoriam[J].Hisitoria Mathematica.1976,(3).【编校:胡军福】On Teaching Methods of Modern AlgebraGU Qin-qin,ZHAO-Liang(Department of Applied Maths,Anhui University of Technology,Ma'anshan243000,China) Abstract：Modern Algebra is one o£abstract required courses for Maths majors.The course teaching is how to improve the effect of classroom teaching.Some experience in Modern Algebra teaching from the aspects of teaching content,teaching method and teaching section were provided in the paper.Key words:Modern Algebra;teaching reform；discussionHJSFXYXB 119。
近世代数教学大纲
近世代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：近世代数课程类别：数学专业基础课课程学分：＿____课程总学时：＿____授课对象：数学专业本科生二、课程教学目标1、使学生掌握近世代数的基本概念、理论和方法，包括群、环、域等代数结构。
2、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
3、引导学生运用近世代数的方法解决实际问题，培养学生的创新能力和应用能力。
三、课程教学内容与要求（一）群论1、群的定义和基本性质理解群的定义，包括群的运算满足的四个条件（封闭性、结合律、单位元、逆元）。
掌握群的例子，如整数加法群、对称群等。
熟悉群的基本性质，如消去律、元素的阶等。
2、子群、陪集和拉格朗日定理子群的定义和判定方法。
理解陪集的概念和性质。
掌握拉格朗日定理及其应用。
3、群的同态和同构群同态和同构的定义及性质。
了解同态基本定理。
4、循环群和置换群循环群的结构和性质。
掌握置换群的表示和运算。
（二）环论1、环的定义和基本性质理解环的定义，包括环的运算满足的条件。
熟悉环的基本性质，如零因子、单位元等。
2、子环、理想和商环子环的定义和判定方法。
理想的概念和性质。
掌握商环的构造和性质。
3、环的同态和同构环同态和同构的定义及性质。
4、整环、域和分式域整环和域的定义和性质。
了解分式域的构造。
（三）域论1、域的扩张理解域扩张的概念。
掌握域扩张的次数。
2、有限域有限域的结构和性质。
四、课程教学方法1、课堂讲授：通过讲解基本概念、定理和例题，使学生掌握近世代数的核心内容。
2、课堂讨论：组织学生对一些疑难问题进行讨论，培养学生的思维能力和表达能力。
3、课后作业：布置适量的作业，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
4、课外辅导：对学生在学习过程中遇到的问题进行个别辅导。
五、课程考核方式1、平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现等）：占总成绩的_____。
2、期中考试：占总成绩的_____。
3、期末考试：占总成绩的_____。
六、教材及参考资料1、教材：《近世代数》，＿____著，＿____出版社。
近世代数与其他课程的结合与应用
一
近 世 代 数 与 其 他 课 程 的 结 合 与 应 用
张 翔
（ 义 师Байду номын сангаас范 学 院 数 学 系 ， 州 遵 义 ５ ３ ０ ） 遵 贵 ６０ ０
摘 要 ：本 文 用具 体 例 子 阐 述 了近 世 代 数 与其 他 数 学 课 程 的相 互 渗 透 与应 用 。 关 键 词 ： 世 代 数 高 等 代 数 几 何 分 析 课 程 结 合 近
与 应 用
近 世 代 数 这 门课 程 具 有 极 高 的 抽 象 性 ． 一 定 程 度 上 ． 在 这 门课 程 中 的 很 多 概 念 是 从 一 些 具 体 的数 学 模 型 中抽 象 出 的 一 般 结 构 ． 外 ， 一 次抽 象 回到 具 体 ， 够 化 解 一 些 具 体 另 每 能 问 题 ， 至 能 解 决 一 些 以 前 不 能 解 决 的 问 题 ． ａｏ 理 论 解 决 甚 Ｇ ｌｉ ｓ 方 程 根 的 问 题 就 是 非 常 典 型 的 一 个 例 子 ． 且 ， 世 代 数 与 并 近 其 他 课 程 相 结 合 ， 有 极 大 的 工 具 作 用 ． 文 就 一 些 具 体 问 具 本 题 ． 具 体 例 子 阐述 近 世 代 数 与其 他 数 学 课 程 的 相 互 渗 透 与 用 应用． 近 世 代 数 与 高等 代 数 近世 代 数 是 高 等 代 数 的后 续 课 程 ，近 世 代 数 中 的很 多 一 般 理 论 都 建 立 在 高 等代 数 的 一 些 具 体 的 群 、 上 ， 如 ， 换 环 例 置 群 、 阶矩 阵环 、 域ｐ ｚ ｎ 数 ３ 的多 项 式 环 是 高 等 代 数 提 供 的一 些 具 体 的 代 数 结 构 ， 都 是 我 们 熟 知 的 ． 且 这 些 结 构 还 可 以验 证 这 并 近世 代 数 中的 一 些 结论 ， 面 就 是 一 个具 体 例 子 ： 下 用 矩 阵 环 验 证 环论 中 的一 个 结 论 ，若 Ｍ， 是 环Ｒ的 子环 ． Ｎ Ｍ＋ Ｎ未 必 是Ｒ的 子环 ． 设 Ｒ 一个 数 域 Ｆ ２ 为 上 的全 矩 阵 环 ， 设
《近世代数》教案1(含绪论)
韶关学院课程教学设计（ 2 学时）教学过程、内容（含教与学的方法）绪论一、抽象代数发展简史1、代数的组成代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性质等问题.抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合，例如向量、矩阵超数、变换等，这些集合分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数.抽象代数，包含有群论、环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言.2、高次方程的根式解问题什么叫代数？代数的基本问题是什么呢？代数就是字母运算学，这是法国数学家韦达的观点，也是关于代数的第一种观点.到了15-16世纪，代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了，（关于代数的观点发生了变化，将代数定义为代数方程理论）.我们知道，一次、二次的方程有根式解，三次和三次以上的方程是否有根式解呢？经过数学家们的努力，1542年意大利数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的，卡当恳切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他，并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言，把这个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式，而应叫泰塔格利亚公式.在三次方程成功地解出之后，接着卡当的学生费拉里成功的解出了四次方程.三次、四次方程有求根公式，那么五次和五次以上的方程是否有公式解呢？世界上许多数学家试图找出五次和五次以上的方程的公式解，经过了三百年没有成功.在这期间，德国数学家高斯在1799年他的博士论文中作出了代数基本定理的证明.“每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根.”探求四次以上的方程的求解问题，多少数学家作了努力，但都失败了.直到1824年轻的数学家阿贝尔证明了“高于四次的一般方程用根式求解的不可能性”.这样，代数的这个问题才告一个段落.阿贝尔（1802-1829）是一个挪威的数学家，出生（1802.8.5）于一个穷牧师家里，兄弟姐妹七个，他排行第二，小学教育基本上是由父亲完成的.中学时是一个比阿贝尔大七岁的数学教师，名叫洪波义.此人学过一些纯粹数学，对中学数学很熟，他采取让学生发挥独立的工作能力的教学方法，给一些适合他们的数学问题鼓励学生们去解决.第一学年来，洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是：“一个优秀的数学天才”.他私人教阿贝尔高等数学.在中学读书的最后一年，他开始考虑当时著名的难题：五次方程的一般解问题.他按高斯对二次方程的处理方法，起初，阿贝尔以为他已经解决了用根式解一般的五次方程的问题.他的方法洪波义看不懂，也不知道有什么地方错，因此便拿去找教授看，结果也没有人了解他的东西.一位叫达根的教授劝告阿贝尔研究一些椭圆积分.后来阿贝尔用实际例子来验证，证明他的发现是错误的.当阿贝尔18岁时父亲去世了，大哥精神不正常，家庭生活十分贫困.阿贝尔上大学是由洪波义出面，希望几个教授帮忙，结果教授们和朋友们都把薪水分出一点，凑起来给阿贝尔作为学习和生活的经济来源.阿贝尔自己还写信给当局提出要求，幸运地获得了免费的宿舍.1824年，阿贝尔重新考虑了一元五次方程的根式解问题.他试图证明这个解答是不可能的.首先他成功的证明了下述定理：“可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理函数.”然后阿贝尔用这个定理证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性.阿贝尔的家境贫困，大学毕业后，他靠为一些学生补习功课而生活，好心的朋友克勤为了替阿贝尔谋求一个职业而尽力奔走，终于在1828.10.8写信告诉阿贝尔“职业是肯定有了”.但克勤不知道，我们的阿贝尔在三月肺结核病病情恶化了，4月6日，这世上少有的天才就这样怀着沉重的心情，在他未婚妻旁离开了人间.克勤的消息来迟了.“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌150年！”法国数学家厄米特说：这话并不夸张.在和阿贝尔同时代的一个法国青年伽罗华读到了阿贝尔的著作，不到20岁，就在代数方程论上作出了卓越的贡献，创立了“伽罗华理论”.他使阿贝尔的思想得到了更好的发展.3、伽罗华和他的理论的兴起法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.他是第一个提出“群”的思想的数学家，一般称他为近世代数的创始人.伽罗瓦使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期.伽罗瓦是巴黎附近一个小镇镇长的儿子，他积极参加学生运动.伽罗华在中学时遇到了一位叫里沙的好老师（数学家），在里沙的指导下开始学习阿贝尔的著作，给出5次及5次以上方程有根式解的充要条件.他的论文三次交到法兰西科学院评审（柯西、付里叶、波松）.最后是波松“完全不能理解！”.伽罗瓦是1832年5月31日死于爱情决斗.伽罗瓦提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念.后来凯莱对群作了抽象定义(Cayley，1821-1895).他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响.“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”.直到1878年，凯莱又写了抽象群的四篇文章才引起注意.1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842-1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群.1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856-1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念.1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体.20世纪初给出了群的抽象公理系统.群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开.例如，找出给定阶的有限群的全体.群分解为单群、可解群等问题一直被研究着.有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决.伯恩赛德（Burnside，1852-1927年）曾提出过许多问题和猜想.如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的.前者至今尚未解决，后者于1963年解决.舒尔（Schur，1875-1941）于1901年提出有限群表示的问题.群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出.庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学.”这当然是过分夸大了.1843年，哈密顿（Hamilton, W. R. ）发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数.1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数.1870年，克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义.4、诺特和抽象代数学的兴起有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是爱米·诺特（1882-1935）, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，其父亲麦克斯是一位大数学家，1900年入埃朗根大学（上千名学生中只有两位女生），1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位.诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响.1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式.她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组.还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题.对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明.她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起. 1922年，诺特终于被聘为教授，但政府不承认.1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”.1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡.1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念.1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理.1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件.诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变.诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一.1927－1935年，诺特研究非交换代数与“非交换算术”.她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上.后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群.最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数.诺特的学生范．德．瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构.这就发生了质变.由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支.人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展.诺特的思想通过《近世代数学》得到广泛的传播.她的主要论文收在《诺特全集》(1982年)中. 1955年范．德．瓦尔登的《近世代数学》改版为《代数学》（一、二册）（瓦尔登后来研究数学史）.抽象代数的另一部分是域论.1910年施泰尼茨（Steinitz，1871-1928）发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑.他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得.环论是抽象代数中较晚成熟的.尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物.韦德伯恩（Wedderburn，1882-1948）《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环.环和理想的系统理论由诺特给出.她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论.诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础.诺特对环和理想作了十分深刻的研究.人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年.1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论.到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子.这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.到了20世纪60年代，美国代数学家贾柯勃逊编著的《抽象代数学》（一、二、三册）代替了瓦尔登的《代数学》，到了20世纪70-80年代贾柯勃逊改版为《基础代数学》（一、二册）分别于1974年和1980年出版.5、代数是研究代数系统的科学抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位.而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响.泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来.中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代.当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著.现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的.在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量.可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了.一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学.现代数学的基础课程正在更新.50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体.时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛函分析.现代数学理论是由这三根支柱撑着的.现在，我们来追寻它们形成和发展的历史足迹，并从这一侧面窥视21世纪数学的特征.参考文献：[1] 乐秀成, 刘宁. 青年数学家、战士和人:E.伽罗瓦[J]. 自然辩证法通讯, 1980,(06)[2] 胡作玄. 爱米·诺特与抽象代数学的兴起[J]. 自然辩证法通讯, 1983,(02)二、近世代数的特点、意义与学习方法1、近世代数的特点代数学经历了两个转变，它有三种观点：第一种观点：代数是字母运算学（这是韦达的观点）；第二种观点：代数是代数方程理论；第三种观点：代数是研究各种代数系统（即研究群、环、域等的结构与性质）.第一、第二是具体的，第三是抽象的，它的对象不一定是数，如向量、矩阵、线性变换等.由于它理论的抽象，对象的广泛，因而就带来应用的广泛性.近世代数的大多数概念是采取公理化定义，这就使它的理论更严谨，许多学科都用到近世代数的思想和方法.近世代数具有以下特点：概念的抽象性、理论的严谨性、应用的广泛性.2、学习近世代数的意义一是数学类专业的基础课程，后继课程学习的需要，更高一级学校学习的准备；二是指导中学教学与实践，处理好中学数学的有关教材内容，能在高观点下看清中学数学的来龙去脉；三是培养同学的科学思维、逻辑推理和运算的能力,以及辩证唯物论观点.3、学习方法与要求学习的四步曲：预习、听课（笔记）、复习、练习；①预习：认真看书，做好预习工作，带着问题来听课，做到有的放矢；②听课（笔记）：认真听课，做好笔记，笔记的形式可以多样，与书上不同的；③复习：认真做好复习工作，多思考、多提问题.问题可以自问自答；有问题要自己先想想，再问老师.要扣概念，找模型；④练习：复习后再练习、作业，作业要独立完成，不要抄题解、不要抄别人的.请记住：预习、听课（笔记）、复习、练习，再预习等，这就是学习上的良性循环.我们一定要做到学习上的良性循环，克服恶性循环，牢牢掌握学习的主动权，努力做到：概念准、理论熟、思路活、计算快.教材：张禾瑞著的《近世代数基础》.参考书：吴品三的《近世代数》；熊全淹的《近世代数》；谢帮杰的《抽象代数学》；范．德．瓦尔登的《代数学》（一、二册）；贾柯勃逊的《基础代数学》（一、二册）；[美]G.伯克霍夫、S.麦克莱恩 著，王连祥、徐广善译 《近世代数概论》.三、近世代数的教学安排51课时,讲四章内容，共135页，每次课约7页.教学安排如下：第一章 基本概念 10课时（含绪论），含习题2课时；第二章 群 论 18课时，含习题4课时；第三章 环与域 16课时，含习题4课时；第四章 整环里的因子分解（2节） 5课时，含习题1课时；复习 2课时.教学内容及各章课时（见教学进度表）并参考“《近世代数》课程标准”.第一章 基本概念在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除.数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算.这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算.近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究各种代数系统，即带有运算的集合.因此我们的讨论就从最基本的概念——集合、映射开始.§1.1 集 合一、集合及其表示集合是一个不加定义的基本概念，它描述性的定义为：作为整体看的一堆东西若干个（有限或无限多个）固定事物的全体组成一个集合的事物叫做这个集合的元素.注意：1.强调“全体”，2.确定集合的表示法：1.列举法；2.性质法；3.图象法集合用大写拉丁字母A ，B ，C ，…来表示.元素用小写拉丁字母a ，b ，c ，…来表示.集合的属于与不属于的表示：a A∉∈，a A二、若干记号1.数集：N，Z，Q，R，C，*Z，*Q2.逻辑：全称号：∀（对于任意）特称号：∃（存在），|∃（存在唯一）若A则B：A B⇒A等价于B：A B⇔或者：∨，而且：∧三、空集合、子集与集合的相等空集合：一个没有元素的集合，记为∅子集：设A，B是两个集合，若x B x A⊆.∀∈⇒∈，则称B是A的子集，记为B A 空集合是任何集合的子集，即∀集合A，均有A∅⊆.为此需证明命题“x x A∀∈∅⇒∈”，但这个前提不成立.任一命题，只要前提不真，那么，无论结论如何，整个命题被认为成立，故有A∅⊆.真子集：若集合B是集合A的子集，而且至少有一个A的元不属于B，则称B是A的真子集，记为B A⊂.集合的相等：若集合A和集合B所包含的元素完全一样，则称集合A等于集合B，记为A B=⇔⊆∧⊆.=.充要条件：A B A B B A四、集合的运算、幂集合、卡氏积设A，B是全集U的两个子集，则A，B的交、并、差为：⋂=∈∧∈{|}A B x x A x B第 11 页 {|}A B x x A x B ⋃=∈∨∈\{|}A B x x A x B =∈∉但性质：交换律，结合律，分配律幂集合：设A 是给定的两个集合，A 的所有子集所组成的的集合叫做A 的幂集合，用A 2表示.例如：设{a b c}A =，，，则A 2={{a}{b}{c}{a b}{b c}{a c}{a b c}}∅，，，，，，，，，，，，. 卡氏积：设1A ，2A ，…，n A 是n 个集合集合12n 12={|(,,,),,1,2,,}n i i A A A x x a a a a A i n ⨯⨯⨯=∈= 称作集合1A ，2A ，…，n A 的积，这也是一个集合.当12n A A A === 时，记为n A .。
《近世代数》教学大纲
《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程概况适用专业：数学与应用数学课程名称：近世代数课程编码：0741123090教学时数：72二、总则1.本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。
其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。
2.本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。
要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
3.教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。
4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。
三、课程说明1. 课程代码：（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra2. 课程类别：专业必修课3.学分:4学分4. 学时：72学时5.适用专业：数学与应用数学6. 适用对象：本科7.首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。
二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。
8. 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
四、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。
学时分配五、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
近世代数习题解答(石生明版)
∑
ａｉ
ｎ ｊ＝１
∑
ｂｊ ＝
ｍ
ｎ
若 ａ， ｂ 交换 ， 则 （ ａｂ ） ｍ ＝ ａｍ ｂｍ ． 倡 ６畅 Ｒ 是环 ，ａ ，ｂ ∈ Ｒ ，ａ ， ｂ 交换 ， 证明二项定理 ： （ ａ ＋ ｂ ） ｎ ＝ ａｎ ＋ 其中 ｎ ｎ －１ ａ ｂ＋ … ＋ １
倡 ５畅 Ｒ 是环 ， 验证 ： 对所有非负整数 ｍ ，ｎ ，橙 ａ ， ｂ∈ Ｒ ， 有 ｍ＋ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍｎ ａ ＝ ａ ａ ， （ａ ） ＝ ａ ．
ｉ＝ １ ｊ＝ １
∑ ∑
ａｉ ｂｊ ．
ｎ ｎ－ｋ ｋ ａ ｂ ＋ … ＋ ｂｎ ， ｋ
ｎ ｎ （ ｎ － １） … （ ｎ － ｋ ＋ １） ｋ ＝ Ｃｎ ＝ １・２ … ｋ ｋ －１ －１ ７畅 Ｒ 是环 ，ａ１ ，ａ２ ，… ，ａｍ ∈ Ｒ ， 分别有乘法逆元素 ａ１ ，… ，ａ ｍ ， 则 ａ１ … ａｍ
（ － ｎ ）个 （ － ｎ ）个 （ － ｎ ）个
ｍ
ｍ
ｎ
ｍｎ
＝ ａΒιβλιοθήκη （ － ｍ ）（ － ｎ ）
又 ａｍ・０ ＝ １ ＝ （ ａｍ ）０ ． 这就证明了 ａ
ｍｎ
＝ （ ａｍ ） ｎ ， 当 ｎ＜０ ； ＝ （ａ ） ．
ｍ ｎ
＝ ａ
－ ｍ… － ｍ
＝ ａ
－ ｍ
… ａ
－ ｍ
＝ （ａ ）
ｍ
－１
… （ａ ）
ｍ
－１
与 （ ａｂ ） ｍ 都是 ｍ 个 ａ ，ｍ 个 ｂ 的乘积 ， 由广义结合律知它们相等 ， 当 ｍ 为负整 数时 ，ａ
－ ｍ
若 ａ ，ｂ 交换 ， 当 ｍ＝０时， 显然有 ａ ｂ ＝ （ ａｂ ） ． 当 ｍ 为正整数时 ，ａ ｂ ｂ
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近世代数基础Ⅱ学习报告
现代数学
现代数学的主要研究方向为结构数学,结构反映事物构成部分之间的关系，部
分与整体的关系,或几种事物间的相互组成联系。现代数学的基础是集合，在集
合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。
本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。群论是在集
合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋
予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。这些抽象的理论往往会在实
际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。
一 抽象代数
1.1 群
定义
群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。一
般说来，群G是指对于某种运算法则满足以下四个条件的集合：
(1) 封闭性：若,abG，则存在唯一确定的cG使得abc；
(2) 结合律成立：任意,,abcG，有()()abcabc；
(3) 单位元存在：存在eG对任意aG，满足aeeaa；
(4) 逆元存在：对任意aG，存在唯一确定的bG使得abbae；
若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。
若群G中元素个数有限，则G为有限群；否则称为无限群。有限群的元素个
数称为有限群的阶。
子群
对于群G，若集合HG对于群G上定义的二元运算构成一个群，则称H是
G的子群，记做HG
。
小结
在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，
而不用去管某个元素的具体含义是什么。
1.2 环
当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓
的环。
定义
设R是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法，
若(1) (,)R是交换群
(2) (,)R是半群
(3) 乘法对加法满足分配律
则称R为一个环。环也是一种群。
子环
环R的一个非空子集S，若对于R的两种运算构成一个环，则称S为R的子
环。
整环
设R为含单位的环，且10。若R为没有零因子的交换环，则称R为整环。
1.3 域
域也是一种环，要求要满足交换律，除了有+的单位元还要有的单位元(二
者不等)，除了+的单位元外其他元素都有的逆元。
1.4 群的应用
群是刻画事物对称性的有效工具，比如图形的对称、函数的对称等。
二 微分几何
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面上一点的邻域的性质，即
研究一般曲线或曲面在小范围上的性质。它主要包含曲线论和曲面论。曲线论主
要就是Frenet公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基
本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离
推出第二基本形式，而曲率的推导顺序是：曲面上曲线的曲率、法曲率、主曲率、
高斯曲率和平均曲率。微分几何有两个十分重要的基础：坐标变换和求导的技巧。
在学习微分几何之前需要熟练运用这两个部分。
标架
标架，这一概念在张量分析的学习中曾经涉及到。张量可以看作一个实体（几
何体，几何量），这个实体由这组分量和分量所对应的基共同构成。通常说的张
量是不依赖于坐标系的，而观察者和标架是等同的。用一个坐标系来充当观察者，
再配上时间坐标，标架成为四维的。坐标系和标架（或者观察者）是不同的，同
一个标架下可以观察到多个“坐标系”。
测地线
曲面上测地曲率恒等于零的曲线，称为测地线。平面上的测地线就是直线；
测地线的概念就是平面上直线的概念在曲面上的推广。曲面上的曲线，当且仅当
它是直线或者它的主法向量处处是曲线的法向量时，它才是测地线。旋转面上的
经线是测地线，球面上的大圆周是测地线。
距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于
C、等于c、大于c 的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地
线。
三 微分流形
3.1微分流形的数学定义
n 维流形就是一个Hausdorff 空间，它的每一点有开邻域与n 维欧式空间的
开集同胚。微分流形是一类重要的拓扑空间，它除了具有通常的拓扑结构外，还
添加上了微分结构，因而可以应用微积分学，从而就能建立一些微分几何的性质。
3.2流形描述
流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。流形在数学中用
于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。物理上，经典力学的相
空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
3.3 流形的应用
可以把经典数学分析中的几个着名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司
公式等在高维的流形上，利用外微分，统一为一个形式。
空间最最本质的东西就是有关测度的概念。测度不同，导致空间定义，空间
结构和形式的不同。欧氏空间和黎曼空间的区别也在于此，有了测度的概念，任
何空间的构型就可以被决定，对空间的研究也就不再成问题。那么我们怎样来度
量空间，显然欧氏空间已经不再十分凑效，我们只能选择黎曼流形。这就是光在
宇宙中为什么沿着一条测地线前进，而不是直线。