单位圆上全纯自同构群作用下的不变量

第１１卷第４期　江西科技学院学报　２０１６年１２，ｑ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＡＮＧⅪＵＮＩＶＥＫＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮｏＬｏＧＹ　Ｖ０ｌ＿１　１ＮＯ．４　

Ｄｅｃｅｍｂｅｒ．２Ｏ１６　

单位圆上全纯自同构群作用下的不变量　刘芝秀　，吕凤姣　（１．南昌工程学院理学院，江西南昌３３００９９；　２．黄河科技学院信息工程学院，河南郑州４５００６３）　

摘要：主要证明了　（Ｉ　Ｉ］是在单位圆上全纯自同构群作用下的不变量，其中Ｆ　ｃ　是在　上一一对应的实函数．特　别地，当，（　）：Ｉｎ　旦时，上述不变量即为Ｐｏｉｎｃａｒ　６距离。　

关键词：全纯自同构群；Ｓｃｈｗａｒｚ引理；不变量　中图分类号：００１　文献标识码：Ａ　文章编号：１２３（２０１６）０４—００２８－０３　Ｔｈｅ　Ｉｎｖａｒｉａｎｔ　ｏｆ　Ａｃｔｉｏｎｓ　ｕｎｄｅｒ　Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍ　Ｇｒｏｕｐ　ｏｎ　Ｕｎｉｔ　Ｃｉｒｃｌｅ　ＬＩＵ　Ｚｈ－ｉｘｉｕ，ＬＶＦｅｎｇ－ｊｉａｏ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｎａｎｃｈａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ　３３００９９，Ｃｈｉｎａ）　

ｓ一　ｅ　［Ｉ　曩Ｉ］ｉｓ　ｉｎｖａ　ｔ　ａｃｔｉ…ｕｎ　。ｍ。　ｃ　ａｕｔ…　ｓｍ　ｕ　…ｅｔｏ。ｎｅ　

ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ［０’１］＿０ｂｖｉ０ｕｓｌｙ，ｗｈｅｎ　）　“　，ｔｈｅａｂｏｖｅ　ｉｎｖａｒｉａｎｔ　ｉｓｌｈｅ　Ｐ０ｉｎｃａｒｅ出ｓｔａｎｃｅ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍ　ｇｒｏｕｐ；Ｓｃｈｗａｒｚ　１ｅｍｍａ；ｌｎｖａｒｉａｎｔｓ　

１　概念和主要结论　黎曼映射定理ｎ　指出平面上任何一个非全平面　的单连通区域都可以共形映射为单位圆，所以单位　圆是非常典型的区域，研究单位圆上的映射或自同　构群及其作用下的量是较有意义的工作，这方面的　工作一直都未间断　一１。本文先简单的回顾一些基本　概念和常用记号，然后介绍本文要证明的主要结论。　定义１．１　对一个非空集合Ｇ如果定义了一种代　数运算，通常叫做乘法（。），并且满足下列运算法则：　（１）Ｖａ，ｂ∈Ｇ，有ａ。ｂ∈Ｇ，即对运算封闭　（２）Ｖａ，ｂ，ｃ∈Ｇ，有（口ｏ６）ｏ　＝ａ。（６。ｃ），即满足结合律　

（３）ｃ中有一个元素ｅ具有下述性质，Ｖ　ｎ∈Ｇ，有　ｅ　ｏａ＝ａ　ｏｅ＝ａ，

称ｅ是Ｇ的单位元　

（４）对于Ｇ中每个元素０，存在ｂ∈Ｇ，使得　ｔ／ｏｂ＝ｂ　ｏ０＝Ｐ，把ｂ称为０的逆元，记作０－１，那么称Ｇ是　一个群。由定义还容易看出群的单位元、逆元是唯　一的．　定义１．２Ｉ　。　如果函数ｗ－－Ａｚ）在区域ｕ内是单叶解　析的则称此变换为　内的共形映射．　有了以上概念，就可以给出下面自同构群的定　义．　定义１．３　对单位圆域Ｄ　ｃ，若全纯函数　ｚ）　在Ｄ上定义　ｚ）将Ｄ共形地映满自身，则称　ｚ）为单位　圆Ｄ上的全纯自同构。显然，单位圆域Ｄ上所有全纯　

收稿日期：２０１６—０６—１９　作者简介：刘芝秀（１９８２一），女，四川自贡人，南昌工程学院，讲师，硕士。研究方向：应用数学与数学教育；　吕凤姣（１９８３一），女，河南商丘人，黄河科技学院，讲师，硕士。研究方向：复分析与数学教育。　基金项目：南昌工程学院青年基金项目（ＮＯ．２０１４ＫＪ０２５）。　江西科技学院学报（２０１６）　・２９・　自同构在复合运算意义下构成群，称这个群为单位　圆域Ｄ的全纯自同构群，记作Ａｕｔ（Ｄ）．　本文证明了，Ｆ（１　Ｉ］是在单位圆上全纯自同　

构作用下的不变量，其中Ｆ为［０，１］上一一对应的实函　数，即　定理１．１　ｚ）为Ｄ映射到Ｄ内的全纯函数，对任　意　ｔ，　∈Ｄ　≠　），记Ｗ　ｚ。），Ｗ　ｚ　）∈Ｄ，则　

Ｆ悖　［Ｊ焉Ｉ］　

当且仅当　∈ａｕｔ（Ｄ），其中Ｆ为［０，１］上一一对应　的实函数。　

２　预备引理　称形如ｗ＝　ａｚ＋＋　ｂ　ｕ　变ｚ换为分式线性变换，其中的　

ａ，ｂ，ｃ，ｄ为复常数，且ａｄ—ｂｃ＃Ｏ，记作　（　）．特别地，　称分式线性变换　为Ａ　７）ｆ　变换．称分式线性　变换ｐ　（　）＝ｅ　（丁∈Ｒ）为旋转变换。　引理２．１若口∈Ｄ，则　Ａｕｔ（Ｄ）。　引理２．２若／（ｚ）为将单位圆Ｄ映人到Ｄ的全纯函　数，ＲＡｏ）＝ｏ，　ｚ）ｌ≤１贝０（１）　ｚ）Ｉ　Ｉｚｌ；（２）　ｏ）ｌ　１；（３）　而Ｉｆ（ｚ）ｌ＝ｌｚｌ在Ｄ中一点ｚ＃Ｏ处成立，或Ｉｆ＇（Ｏ）ｌ＝ｌ成立，当　且仅当ｆ（ｚ）＝ｅｉ＇ｚ，这里丁∈Ｒ。　引理２．３　Ａｕｔ（Ｄ）的元素是由ＡＴ６ｂｉｕｓ变换和旋转　变换复合而成的。　

３　定理１的证明　为完整起见，在此重新叙述定理１。　定理１谢（ｚ）为Ｄ映射到Ｄ内的全纯函数，对任　意，Ｚ２∈Ｄ（ｚ１≠　２），记Ｗ　ｚ　），Ｗ　ｚ　）∈Ｄ，则　

Ｆ（Ｉ　Ｉ　１］　

当且仅当厂∈Ａｕｔ（Ｄ），其中Ｆ为一一对应的实函　数。　

即　（１ｌＺ一１　２　５　２　ｌ　／￣Ａ　ｆ（。）作用下是不变的，且仅　

作用下不变，不变量Ｆ（ｆ　，　本质的刻画。　证明：先证充分性　已知，（Ｉ焉　［Ｊ　腥一一对应　

的实函　忙　ｌｌ＿Ｗ１　ｗ－　Ｗｗ２　Ｉ。　

令　）　显然　（０）＿ｚ　，Ｗ　ｚ．），　（　）＝０，如图１．　由引理２．１　，　∈Ａｕｔ（Ｄ），所以有　。／。　（０）＝　。＿，（ｚ．）＝　（ｗ　）＝０．　故　。＿，’。　满足引理２．２条件。　对　。ｆ　ｏ　（　）使用引理２．２，可得　ｌ　。ｆ　ｏ　（ｚ）Ｉ－＜ｌｚｌ，　将ｚ：　（ｚ！）≠０代人，得　Ｉ　。ｌ／。　（　一　（ｚ　））Ｉ　Ｉ　＿。（ｚ。）Ｉ　即　ｌ　。．ｆ（ｚ　）１≤　（ｚ２）ｌ，　又因为Ｗ：　ｚ　），所以可以得到　１　（ｗ：）　’ｚ２）Ｉ，　

注意到　’ｌ（　Ｚ，　）　

１　Ｗ，　ｌ—　Ｉ　一　１ｚ　

上式即　

Ｗ２￣　１＂Ｉ　ｌ　篙Ｉ，　

取到等号，即　Ｗ２￣１　４１　Ｉ＝：１　１．　

即引理２．２１ｆ（ｚ）ｌ＝ｌｚｌ条件满足，则存在　∈Ｒ，　使得　

、　／　④　，＿　・３０・　刘芝秀，吕凤姣：单位圆上全纯自同构群作用下的不变量　。ｆ。　（ｚ）＝ｅｔｒｚ＝ｐＡｚ）。　故　ｆ＝　～。　。　’。（ｚ）∈Ａｕｔ（Ｄ）　再证必要性　已知ｆ￣Ａｕｔ（Ｄ），则由引理２．３知：／‘＝　。ｐＡｚ），　

特别地，当不变量Ｆ（Ｉ焉　的Ｆ（ａ）＝Ｉｎ１．＋　ａ　时，这就是Ｐｏｉｎｃａｒ６距离。Ｐｏｉｎｃａｒ６度量有广泛地应　用，例如，它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自　然度量。　

∈。，丁∈Ｒ．若对于　，　。作用下ｌ　ｌ　Ｉ．Ｗ—Ｉ　－Ｗｗ２　Ｉ，则参考文献　

用下　Ｉ＿１　ｌｃ　ＬＪ　ｙ言　１　，１９　７９．ｇ一　由Ｆ一一对应，知　ｆ　焉　（｛　以　只要证明在删　作用下Ｉ　ｌ＿１　。　对于Ｐ　＝ｅｉｒｚ，取　＝ｅ＇ｒｚｌ，Ｗ２＝ｃｉｒｚ２，　那么　

ＷＩ－－　Ｗ＿２

１　Ｗ２　

ｌ　１　ｅｉｒ　Ｉ＿Ｉ　１　ｅＩ　ｒ　－Ｉ　１－ｚ　Ｚ２—ｗｌ　ｌ　—　ｚＩＰ”ｚ２ｌ　ｌ—　ｌＰ　ｚ２ｌ　ｌｌＩ　

对　（Ｚ）　ｚ一－

ａ（ａ　ｅ　Ｄ）

，　ＺＩ－－Ｏ＇

，　，　

那么　

一　１一　Ｉ　１一　

１一　．　Ｉ一　ｚ．１一Ｏ＇Ｚ２　

一　）（１一　ｚ１）　一　）（ｚ２一　）　

＿ｌ　ｚＯＯ　ｆ＿Ｉ焉　Ｚ２　Ｉ（１　一　）ｌ　ｌ１．　Ｉ～一　

ｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９８６．　［３１ｓ．Ｇ．Ｋｒａｎｔｚ，Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｔｈｅ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｖｉｃｅｗｐｏｉｎｔ，Ａ　ＣＡＲＵＳ　Ｍｏｎｏｇｒａｐｈ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｍｅｒｉｃａ　［Ｍ］，Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，Ｄ．Ｃ．，１９９０．　［４］Ａｈｌｆｏｒｓ　Ｌ　Ｖ．Ａｎ　Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｅｈｗａｒｚ’Ｓ　Ｌｅｍｍａ［Ｊ］．Ｔｒａｎ．Ａｍｅｒ．　Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ，１９３８．　【５１ｓ．Ｔ．Ｙａｕ，Ａ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｓｃｈｗａｒｚ　ｌｅｍｍａ　ｆｏｒ　Ｋａｈｌｅｒｒ　ｍａｎｉｆｏｌｄｓ　［Ｊ］，Ａｍ．Ｊ．Ｍａｔｈ．１００（１９７８）．　【６］Ｄ．Ｂｕｍｓ　ａｎｄ　Ｓ．Ｇ．Ｋｒａｎｔｚ，Ｒｉｇｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｍａｐｐｉｎｇｓ　ａｎｄ　ａ　ｎｅｗ　Ｓｃｈｗａｒｚ　ｌｅｍｍａ　ａｔ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ．ｏｆ　ｔｌｌｅ　Ａ．Ｍ．　Ｓ．７（１９９４）：６６１～６７６．　【７］９－安，孙立岩，刘颖．Ｓｃｈｗａｒｚ引理与Ｓｃｈｗａｒ－Ｐｉｃｋ引理在单位　球Ｂ　上的推广［Ｊ］．数学年刊，２０１１，３２Ａ（５）：５７９　５９２．　【８］黄华平．Ｓｃｈｗａｒｚ引理的推广及其应用［Ｊ］．大学数学，２０１４，　（３０）：１２￣１６．　［９】张禾瑞．近世代数基础（修订版）［Ｍ】．北京：高等教育出版社，　２０１１　

（责任编辑：陈辉）　

ｌ】一　一　一　—０