上海市名校数学真题之-华二附中高二月考(2017.10)
0217-华二附中高一月考(2017.5)
问是否存在正整数 m, r
使
lim
n
c1
c2
cn
S
且
4 61
S
1 13
成立？若存在，求正
整数 m, r 的值；不存在，说明理由．
18. 现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3 第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4 第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 ……
（1）用 tk 表示数表第 k 行的数的个数，求数列tk 的前 k 项和Tk ；
（2）第 8 行中的数是否超过 73 个？若是，用 an0 表示第 8 行中的第 73 个数，试求 n0 和 an0 的值；若不是，请说明理由； （3）令 Sn a1 a2 a3 an ，求 S2017 的值．
10 题解析：由已知 QnRn 越来越小，而 OQn 2 ORn 2 0 ，当 n 无限增大时，Qn 与
Rn
无限接近，即 lim n
OQn
lim
n
ORn
2
，所以
lim
n
OPn
2
，从而 lim n
Q0 Pn
3．
二. 选择题 11. B
12. B
13. D
要条件是（ ）
A. 存在整数 m 1使 a1 md
B. an 0
C. a1 为整数， d 1
D. a1 a2 1， an2 an1 an
三. 简答题
15.
计算 lim an3 bn1 n an2 bn
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
上海市名校数学真题之复旦附中高一周练06(2017.10)
复旦附中高一周练卷（06） 2017.10 一. 填空题
1. 已知函数2121mmymxm为正比例函数，则实数m 2. 已知函数(21)(1)ykxkk的图像经过第一、二、四象限，则实数k的取值范围是
3. 函数6yx的图像上有三个点11(,)Axy、22(,)Bxy、33(,)Cxy，其中1230xxx， 则123,,yyy按从小到大的顺序排列为 4. 函数3421xyx图像的对称中心是 5. 将抛物线2yxbxc的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的解 析式为223yxx，则bc 6. 若函数22(45)4(1)3yaaxax的图像在x轴的上方，则实数a的取值范围是 7. 若关于x的方程(2)||xxk有三个不同的实数解，则k的取值范围是 8. 设光线从点(2,2)A出发，经过x轴反射后经过点(0,1)B，则光线与x轴的交点坐标 为
二. 选择题 9. 已知二次函数2yaxbxc的图像如右图所示， 则点(,)Pabc在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 10. 将抛物线221216yxx图像绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为（ ） A. 221216yxx B. 221216yxx C. 221219yxx D. 221220yxx
11. 反比例函数11kyx与正比例函数22ykx的图像都经过点(1,2)，若12yy，则x的 取值范围是（ ） A. (1,0) B. (1,0)(0,1) C. (,1)(0,1) D. (1,0)(1,)
12. 方程2210xx的根可以看成函数2yx与1yx的交点的横坐标，用此方法可 以推断方程210xx的实根x所在的范围是（ ） A. 1(,0)2 B. 1(0,)2 C. 1(,1)2 D. 3(1,)2 三. 解答题 13. 若二次函数过两点(0,4)和(2,2)，且与x轴相交所截得的线段最短，求该二次函数的解析式.
上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期9月月考数学试卷含答案
华二附中高二月考数学试卷2020.09一.填空题1.直线413y x =-的单位法向量是2.已知点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是3.直线cos 20x α+=的倾斜角的范围是4.过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为5.已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =6.已知等腰三角形的底边所在直线过点(2,1)P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标8.已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ，且002y x >+，则00y x 的取值范围是9.已知,αβ∈R ，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++=10.已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线y ax b =+（0a >），将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是二.选择题11.对于直线1:0l ax ay a+-=（0a ≠），下列说法不正确的是（）A.无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变 B.无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限C.无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限D.当a 取不同数值时，可得到一组平行直线12.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点1(,0)3A -处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.3B.5C.3D.16313.已知直线:30l x my m -+=上存在点M 满足与(1,0)A -、(1,0)B 两点连线的斜率MA k 与MB k 之积为3，则实数m 的取值范围是（）A.[6,6]- B.66(,)(,)66-∞-+∞U C.66(,][,)66-∞-+∞U D.22[,]22-14.设直线系:cos (2)sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（）A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）三.解答题15.已知直线l 的方程为210x y -+=.（1）求过点(3,2)A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程.16.已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=.（1）若11(,)A x y 、22(,)B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若(2,3)M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为35，求直线l 的方程.17.已知直线:120l kx y k -++=，k ∈R .（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.参考答案一.填空题1.43(,)55-或43(,)55- 2.41[,]32- 3.5[0,][,)66πππU 4.y x =-或11542y x =-+ 5.4或1-或16-或236.37y x =-+或1133y x =+7.(4,0)-8.11(,25--9.010.21(1)22-二.选择题11.C 12.A 13.C 14.A三.解答题15.（1）270x y +-=；（2）y =+16.（1）min 110d =；（2）2(2)3y x =--+，2(2)311y x =--+.17.（1）证明略，过定点(2,1)-；（2）0k ≥；（3）min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=.。
2022年上海华东师范大学第二附属中学高二数学文月考试卷含解析
2022年上海华东师范大学第二附属中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于A．10 B．8 C．6 D．4参考答案：B略2. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D3. 椭圆上一点P与椭圆的两焦点、的连线互相垂直,则的面积为( )A.20B.22C.28D.24（改编题）参考答案：B4. 函数的图象大致是（）参考答案：【知识点】函数的图象.【答案解析】A解析：解：因为函数，所以==，故函数为偶函数，可排除B、C.又当时，，排除D.故选：A．【思路点拨】通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用时的函数值，判断即可．5. 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交A、B于两点，若，这样的直线有（）A.一条B.两条C. 三条D. 四条参考答案：C略6. 已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣1，2]参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点B时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点C时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即B（2，0），此时z max=2．由，解得，即C（0，1），此时z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，故选：D．7. 已知等差数列｛an｝的通项公式则的值为 ( ).（A）1 （B） 2 （C） 0 （D）3参考答案：C略8. 在平行四边形中，为一条对角线，A．（2，4） B．（3，5）C．（—2，—4） D．（—1，—1）参考答案：D9. 若曲线与在处的切线互相垂直，则等于（）．A． B． C． D．或0 参考答案：A略10. 下列判断正确的是 ( )A．若,则a//b B．,则a⊥bC．若，则 D．若，则参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 .参考答案：12. 若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。
上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学
期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
垂足分别为M 和N ，求证：线段MN 的长为定值．
21．已知函数()ln 3f x x x =--．
(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
(2)函数()f x 在区间()(),1N k k k +Î上有零点，求k 的值；
(3)记函数()()23g x x bx f x =---，设1
x 、()212x x x <是函数()g x 的两个极值点，若2b ³，且()()12g x g x m -³恒成立，求实数m 的最大值．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2016-2017学年上海市华东师大二附中高一(上)10月月考数学试卷+
2016-2017 学年上海市华东师大二附中高一（上）10 月月考数学试卷一.填空题1．（4 分）设 A={x |x 2﹣8x +15=0}，B={x |ax ﹣1=0}，若 A ∩B=B ，则实数 a 组成的集合是 ．2．（4 分）设全集 U 是实数集 R ，M={x |x 2＞4}，N={x |≥1}，则图中阴影部分所表示集合是 ．3．（4 分）用集合的描述法表示：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合 ．4．（4 分）一元二次方程 ax 2+bx +c=0 的两个实数根 x 1＞2 且 x 2＞2 的充要条件是 ．5．（4 分）不等式组6．（4 分）关于 x 的不等式7．（4 分）若|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣10|+|x ﹣11|≥m 对一切 x ∈R 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ．8．（4 分）已知点 H 是正三角形 ABC 内部一点，△HAB ，△HBC ，△HCA 的面积值构成一个集合 M ，若 M 的子集有且只有 4 个，则点 H 需满足的条件为．9．（4 分）已知集合 A={x |﹣2k +6＜x ＜k 2﹣3}，B={x |﹣k ＜x ＜k }，若 A ⊊B ，则实数 k 的取值范围为 ．10．（4 分）已知二次函数 f （x ）=ax 2+bx +c ，﹣4≤f （﹣1）≤﹣1，2≤f （1）≤5， 4≤f （2）≤9，则 f （3）的取值范围为的解集为 ．11（．4 分）使不等式x2+（a﹣6）x+9＞0（|a|≤1）恒成立的x 的取值范围是．12．（4 分）若关于x 的不等式（2x﹣1）2＜ax2 的解集中整数恰好有 3 个，则实数a 的取值范围是．13．（4 分）集合M={6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10 个元素，设M 的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），每一个M i 中所有元素乘积为m i（i=1，2，…，1023），则m1+m2+m3+…+m1023=．14 ．（4 分）用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数 a 的所有可能取值构成集合S，则C（S）=．二.选择题15．（5 分）某个命题与自然数n 有关，若n=k（k N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1 时该命题也成立．现已知当n=5 时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6 时，该命题不成立B．当n=6 时，该命题成立C．当n=4 时，该命题不成立D．当n=4 时，该命题成立16．（5 分）若非空集合A、B、C 满足A∪B=C，且B 不是A 的子集，则“x C”是“xA”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5 分）在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数为（）A．0 个B．1 个C．2 个D．4 个18．（5 分）设a，b R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d 满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2三.解答题19．（12 分）你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分．20．（14 分）解关于x 的不等式：．21．（14 分）已知△ABC 的三边为a，b，c，求证：二次方程与x2+2ax+b2=0 与x2+2cx﹣b2=0 有一个公共根的充要条件是∠A=90°．22．（16 分）对于x R，f（x）表示x﹣1 与|x2﹣4x+3|中较大的一个值；（1）求f（0）、f（1）、f（2）、f（3）；（2）作出函数y=f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k（x﹣1）在[0，2]内有两个解，求实数k 的取值范围．23．（18 分）已知集合A={1，2，3，…，2n}（n N*）．对于 A 的一个子集S，若存在不大于n 的正整数m，使得对于S 中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S 具有性质P．（Ⅰ）当n=10 时，试判断集合B={x A|x＞9}和C={x A|x=3k﹣1，k N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n=1000 时①若集合S 具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S 具有性质P，求集合S 中元素个数的最大值．2016-2017 学年上海市华东师大二附中高一（上）10 月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（4 分）设 A={x |x 2﹣8x +15=0}，B={x |ax ﹣1=0}，若 A ∩B=B ，则实数 a 组成的集合是 ．【分析】由题意：A ∩B=B ，可得 B ⊆A ，那么有 B 可能是空集，B 是 A 的真子集．【解答】解：∵A={x |x 2﹣8x +15=0}={3，5}．当 B=∅时，即 ax ﹣1=0 无解，得：a=0．当 B ≠∅时，即 ax ﹣1=0 有解，解得 x=由题意：A ∩B=B ，可得：．故答案为： 【点评】本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系，解题的关键是正确判断集合的含义．属于基础题2．（4 分）设全集 U 是实数集 R ，M={x |x 2＞4}，N={x |≥1}，则图中阴影部分所表示集合是{x|1＜x ≤2} ．【分析】根据 Venn 图和集合之间的关系进行判断．或解得： a ═ 或那么实数 a组成的集合为 ．【解答】解：题图中阴影部分可表示为（∁U M ）∩N ，集合 M={x |x ＞2 或 x ＜﹣ 2}，集合 N={x |1＜x ≤3}，由集合的运算，知（U M ）∩N={x |1＜x ≤2}，故答案为：{x |1＜x ≤2}．【点评】本题主要考查 Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础．3．（4 分）用集合的描述法表示：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合 {（x ，y ）|x ≠3 且 y ≠4} ．【分析】除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点是指平面上所有点中去掉 （3，4）外的所有点的集合．【解答】解：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点是指平面上所有点中去掉（3，4）外的所有点的集合，∴除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合为：{（x ，y ）|x ≠3 且 y ≠4}．故答案为：{（x ，y ）|x ≠3 且 y ≠4}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的表示方法的合理运用．4．（4 分）一元二次方程 ax 2+bx +c=0 的两个实数根 x 1＞2 且 x 2＞2 的充要条件是 a （4a +b ）＜0 且 b 2﹣4ac ≥0 且 a （4a +2b +c ）＞0 ．【分析】一元二次方程 ax 2+bx +c=0 的两个实数根 x 1＞2 且 x 2＞2 的充要条件是，【解答】解：一元二次方程 ax 2+bx +c=0 的两个实数根 x 1＞2 且 x 2＞2 的充要条件，或是，化为：a （4a +b ）＜0 且 b 2﹣4ac ≥0 且 a （4a +2b +c ）＞0，故答案为：a （4a +b ）＜0 且 b 2﹣4ac ≥0 且 a （4a +2b +c ）＞0．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（4 分）不等式组的解集为 {﹣1}∪[1，6] ． 【分析】解一元二次不等式，再求解集的公共部分即可． 【解答】解：不等式组化为 ，即 x=﹣1 或 1≤x ≤6，∴原不等式组的解集为{﹣1}∪[1，6]．故答案为：{﹣1}∪[1，6]．【点评】本题考查了一元二次不等式组成的不等式组的问题，是基础题．6．（4 分）关于 x 的不等式的解集为 （﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2] ． 【分析】将分式不等式转化为二次不等式，然后求解高次不等式即可求得最终结果．【解答】解：原不等式等价于：，解得 ，或，结合高次不等式奇穿偶不穿的性质求解不等式组可得原不等式的结论为：（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．【点评】本题考查分式不等式的解法及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．7．（4 分）若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m 对一切x R 恒成立，则实数m 的取值范围为（﹣∞，18] ．【分析】分段去绝对值，求出|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|的最小值即可．【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|=，可得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥18，若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m 对一切x R 恒成立，则实数m 的取值范围为（﹣∞，18]．故答案为：（﹣∞，18]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（4 分）已知点H 是正三角形ABC 内部一点，△HAB，△HBC，△HCA 的面积值构成一个集合M，若M 的子集有且只有4 个，则点H 需满足的条件为H 在△ABC 的三条高上且H 不为△ABC 重心．【分析】若M 的子集有且只有 4 个，则M 的元素有且只有 2 个，进而得到答案．【解答】解：若M 的子集有且只有 4 个，则M 的元素有且只有 2 个，∵点 H 是正三角形 ABC 内部一点，△HAB ，△HBC ，△HCA 的面积值构成一个集合 M ，故△HAB ，△HBC ，△HCA 的面积有且只有两个相等，故：H在△ABC 的三条高上且 H 不为△ABC 重心故答案为：H 在△ABC 的三条高上且 H 不为△ABC 重心（注等边三角形三线合一，四心合一，其它合理的答法也给分）【点评】本题考查的知识点是子集的个数与元素个数的关系，根据已知得到 M 的元素有且只有 2 个，是解答的关键．9．（4 分）已知集合 A={x |﹣2k +6＜x ＜k 2﹣3}，B={x |﹣k ＜x ＜k }，若 A ⊊B ，则 实数 k 的取值范围为 （﹣1+【分析】当 A=∅时，得﹣1﹣ ，当 A ≠∅时，k ＜﹣1﹣，或 k ＞﹣1+，由 A ⊊B ，得﹣k ≤﹣2k +6＜x ＜k 2﹣3≤k ，由此能求出实数 k 的取值范围．【解答】解：∵集合 A={x |﹣2k +6＜x ＜k 2﹣3}，B={x |﹣k ＜x ＜k }，A ⊊B ， ∴当 A=∅时，k 2﹣3≤﹣2k +6，解得﹣1﹣≤k ≤﹣1+，当 A ≠∅时，k ＜﹣1﹣，或 k ＞﹣1+，∵A ⊊B ，∴﹣k ≤﹣2k +6＜x ＜k 2﹣3≤k ，∴﹣k ≤﹣2k +6 且 k 2﹣3≤k ，且两个等号不能同时取到，即k ≤6 且 k 2﹣k ﹣3≤0，且 k ＜﹣1﹣或，k ＞﹣1+，1+．解得﹣综上实数 k 的取值范围为（﹣1+]．故答案为：（﹣1+【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类与整合思想、子集定义的合理运用．＜ k ≤，] ．≤ k ≤ ﹣ 1 +，， ] ．10．（4 分）已知二次函数 f （x ）=ax 2+bx +c ，﹣4≤f （﹣1）≤﹣1，2≤f （1）≤5， 4≤f （2）≤9，则 f （3）的取值范围为．【分析】利用待定系数法求解即可．【解答】解：二次函数 f （x ）=ax 2+bx +c ，则 f （3）=9a +3b +c ．∵﹣4≤f （﹣1）≤﹣1，2≤f （1）≤5，4≤f （2）≤9，∴﹣4≤a ﹣b +c ≤﹣12≤a +c +b ≤54≤4a +2b +c ≤9令 9a +3b +c=am ﹣bm +cm +an +cn +bn +4at +2bt +ct ，（m ，n ，t ≠0）≤9a +3b +c ≤ ﹣4+24 ．【点评】本题考查了待定系数法求解不等式范围问题．考查了计算能力．属于中档题， 11．（4 分）使不等式 x 2+（a ﹣6）x +9＞0（|a |≤1）恒成立的 x 的取值范围是 （﹣ ∞，）∪（，+∞）．【分析】根据题意，设 f （a ）=x 2+（a ﹣6）x +9，其中﹣1≤a ≤1； 不等式恒成立转化为，求出 x 的取值范围即可．可得：解得：， n = ﹣ 2 ， m = 那么：即 ≤ 9 a + 3 b + c ≤故答案为：【解答】解：设 f （a ）=x 2+（a ﹣6）x +9，其中﹣1≤a ≤1；则不等式 x 2+（a ﹣6）x +9＞0 恒成立，∴即；∴不等式 x 2+（a ﹣6）x +9＞0（|a |≤1）恒成立的 x 的取值范围是（﹣∞，故答案为：． 【点评】本题考查了函数的恒成立问题，关键在于合理转化，是中档题． 12．（4 分）若关于 x 的不等式（2x ﹣1）2＜ax 2 的解集中整数恰好有 3 个，则实数 a 的取值范围是【分析】由关于 x 的不等式（2x ﹣1）2＜ax 2 的解集中整数恰好有 3 个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与 X 轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有 3 个，由此构造出关于 a 的不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵不等式等价于（﹣a +4）x 2﹣4x +1＜0，当a ≥4 时，显然不满足要求，故 4﹣a ＞0 且△=4a ＞0，故 0＜a ＜4，不等式的解集为则一定有 1，2，3 为所求的整数解集．所以，故答案：，， ， 解得： x ＜ 或 x ＞） ∪ （ ， + ∞ ） ．，解得 a 的范围为．【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用．考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力．其中根据已知条件，判断4﹣a＞0 且△=4a＞0，是解答本题的关键．13．（4 分）集合M={6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10 个元素，设M 的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），每一个M i 中所有元素乘积为m i（i=1，2，…，1023），则m1+m2+m3+…+m1023= ﹣1 ．【分析】这1023 个子集分成以下几种情况：①含0 的子集有512 个，这些子集均满足m i=0；②不含0，含﹣1 且还含有其它元素的子集有255 个，③不含0，不含﹣1 但含有其它元素的子集有255 个，④只含﹣1 的子集一个{﹣1}，满足m i=﹣1；根据②③中的集合是一一对应的，且满足m i 对应成相反数，可得答案．【解答】解：∵M 的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），这1023 个子集分成以下几种情况：①含0 的子集有512 个，这些子集均满足m i=0；②不含0，含﹣1 且还含有其它元素的子集有255 个，③不含0，不含﹣1 但含有其它元素的子集有255 个，④只含﹣1 的子集一个{﹣1}，满足m i=﹣1；其中②③中的集合是一一对应的，且满足m i 对应成相反数，故m1+m2+m3+…+m1023=512×0+255×0﹣1=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，分类讨论思想，难度较大．14 ．（4 分）用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数 a 的所有可能取值构成集合S，则C（S）= 3 ．【分析】根据新定义建立关系讨论即可．【解答】解：∵A={1，2}，有两个元素；B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，由A*B=1，当B 有一个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）=0 有一个解，∴可得a=0．当B 有3 个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）=0 有3 个解，可得：x1=0，x2=﹣a（a≠0），那么x2+ax+2=0 有一个解，∴△=0，可得a=±．综上可知实数a 的取得为0，，2 ，够成集合S 个数为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了集合中元素的判断，新定义的理解，属于基础题．二.选择题15．（5 分）某个命题与自然数n 有关，若n=k（k N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1 时该命题也成立．现已知当n=5 时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6 时，该命题不成立B．当n=6 时，该命题成立C．当n=4 时，该命题不成立D．当n=4 时，该命题成立【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k 成立，则它对n=k+1 也成立，由此类推，对n＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k 不成立时，则它对n=k﹣1 也不成立，由此类推，对n＜k 的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．【解答】解：由题意可知，P（n）对n=4 不成立（否则n=5 也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1 也不成立．故选：C．【点评】当P（n）对n=k 成立，则它对n=k+1 也成立，由此类推，对n＞k 的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k 不成立时，则它对n=k﹣1 也不成立，由此类推，对n＜k 的任意正整数均不成立．16．（5 分）若非空集合A、B、C 满足A∪B=C，且B 不是A 的子集，则“x∈C”是“x∈A”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题即判断“x∈A”⇒“x∈C”和“x∈C”⇒“x∈A”是否成立，由A∪B=C，且 B不是A 的子集易判．【解答】解：因为A∪B=C，所以“x∈A”⇒“x∈C”；反之，若“x∈C”，即“x∈A∪B”因为 B 不是 A 的子集，故不能得到x∈A，所以“x∈C”是“x∈A”的必要但不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断和集合之间的关系，属基本题型的考查．17．（5 分）在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数为（）A．0 个B．1 个C．2 个D．4 个【分析】分别写出原命题与它的逆命题、否命题和逆否命题，再判断真假性．【解答】解：原命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”，它是真命题；逆命题是“若A∩B≠A，则A∪B≠B”，它是真命题；否命题是“若A∪B=B，则A∩B=A”，它是真命题；逆否命题是“若A∩B=A，则A∪B=B”，它是真命题．所以，以上假命题的个数为0．【点评】本题考查了四种命题的真假性问题，是基础题．18．（5 分）设a，b R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d 满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨ b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对 a ，b 赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a ∧b=，a ∨b=，正数 a 、b 、c 、d 满足 ab ≥4，c +d ≤4，∴不妨令 a=1，b=4，则 a ∧b ≥2 错误，故可排除 A ，B ；再令 c=1，d=1，满足条件 c +d ≤4，但不满足 c ∨d ≥2，故可排除 D ；故选：C ．【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三.解答题19．（12 分）你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？ 若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分．【分析】（1）b 克盐水中有 a 克盐（b ＞a ＞0），若再添 m 克盐（m ＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添盐前后的浓度进行比较即得．（2）利用作差法比较大小即可，【解答】解（1）：∵b 克盐水中有 a 克盐，盐水的浓度为：；b 克盐水中有 a 克盐（b ＞a ＞0），若再添 m 克盐（m ＞0），则盐水的浓度为，又盐水变咸了，说明浓度变大了，，a ＞0，b ＞0，b ＞a ，m ＞0，（2）综合法证明：因为 ﹣ ，因为 b ＞a ，所以 a ﹣b ＜0，所以＜0，= = ∴ ＜因此 ＜ ，问题得证．【点评】本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，考查运算理解能力，建模能力、化归与转化思想．20．（14 分）解关于 x 的不等式：．【分析】分别画出函数 y=，y=﹣x +2a 的图象．由 x 2﹣2ax +1=0，当△=4a 2﹣4a ≥0 时，解得 a ≥1，或 a ≤0．解得 x=．对 a 分类讨论，结合图象即可得出不等式的解集．【解答】解：分别画出函数 y=，y=﹣x +2a 的图象．由 x 2﹣2ax +1=0，当△=4a 2﹣4a ≥0 时，解得 a ≥1，或 a ≤0．解得 x=．①当 a ≥1 时，x 时，满足＞2a ﹣x ．∪（0，+∞）时，满足＞2a ﹣x ． 【点评】本题考查了通过画出函数的图象解不等式的方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．③ 当 a ＜ ﹣ 1 时， x∈∈ ∪② 当﹣ 1 ≤ a ＜ 1 时， x ∈ （ 0 ， + ∞ ）时，满足 ＞ 2 a ﹣ x ．21．（14 分）已知△ABC 的三边为a，b，c，求证：二次方程与x2+2ax+b2=0 与x2+2cx ﹣b2=0 有一个公共根的充要条件是∠A=90°．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx﹣b2=0 有公共根的条件，然后证明充分性即可．【解答】证明：必要性：设方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx﹣b2=0 的公共根为m，则，两式相加得m=﹣（a+c）．（m=0 舍去），将m=﹣（a+c）代入m2+2am+b2=0，得[﹣（a+c）]2+2a•[﹣（a+c）]+b2=0，整理得a2=b2+c2．所以A=90°．充分性：当A=90°时，a2=b2+c2．于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2﹣c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a﹣c）]=0，该方程有两根x1=﹣（a+c），x2=﹣（a﹣c）．同样，x2+2cx﹣b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c﹣a）]=0，该方程亦有两根x3=﹣（c+a），x4=﹣（c﹣a）．显然x1=x3，两方程有公共根．故方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx﹣b2=0 有公共根的充要条件是A=90°．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（16 分）对于x R，f（x）表示x﹣1 与|x2﹣4x+3|中较大的一个值；（1）求f（0）、f（1）、f（2）、f（3）；（2）作出函数y=f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k（x﹣1）在[0，2]内有两个解，求实数k 的取值范围．【分析】（1）结合题意计算函数值即可；（2）结合函数的定义绘制函数图象即可；（3）利用（2）中的函数图象数形结合即可求得最终结果．【解答】解：（1）当x=0 时，x﹣1=﹣1，|x2﹣4x+3|=3，故f（0）=3，当x=1 时，x﹣1=0，|x2﹣4x+3|=0，故f（1）=0，当x=2 时，x﹣1=1，|x2﹣4x+3|=1，故f（2）=1，当x=3 时，x﹣1=2，|x2﹣4x+3|=0，故f（3）=2．（2）分段函数解析式为：．函数图象如实线部分所示：（3）f（x）=k（x﹣1）表示过点（1，0），斜率为k 的直线，满足题意时，该直线在区间[0，2]上与函数f（x）的图象有 2 个交点，结合（2）中的图象可得：实数k 的取值范围是[﹣3，﹣2）∪[1，2）．【点评】本题考查函数图象的绘制及其应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．23．（18 分）已知集合A={1，2，3，…，2n}（n N*）．对于 A 的一个子集S，若存在不大于n 的正整数m，使得对于S 中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S 具有性质P．（Ⅰ）当n=10 时，试判断集合B={x A|x＞9}和C={x A|x=3k﹣1，k N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n=1000 时①若集合S 具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S 具有性质P，求集合S 中元素个数的最大值．【分析】（Ⅰ）当n=10 时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}，根据性质P 的定义可知其不具有性质P；C={x A|x=3k﹣1，k N*}，令m=1＜10，利用性质P 的定义即可验证|c 1﹣c2|≠1；（Ⅱ）当n=1000 时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，①根据T={2001﹣x|x S}，任取t=2001 ﹣x 0T，其中x0S，可得1≤2001﹣x0≤2000，利用性质P 的定义加以验证即可说明集合T={2001﹣x|x S}具有性质P；②设集合S 有k 个元素．由第①问知，任给x S，1≤x≤2000，则x 与2001﹣x 中必有一个不超过1000，从而得到集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析即可求得k+t≤2000，即，解此不等式得k≤1333．【解答】解：（Ⅰ）当n=10 时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1 分）因为对任意不大于10 的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1=10 与b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m 成立．（2 分）集合C={x A|x=3k﹣1，k N*}具有性质P．（3 分）因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c 1=3k1﹣1，c2=3k2﹣1，k1，k2N*都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1．（4 分）（Ⅱ）当n=1000 时，则A={1，2，3，…，1999，2000}①若集合S 具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．（5 分）首先因为T={2001﹣x|x∈S}，任取t=2001﹣x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，从而1≤2001﹣x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6 分）由S 具有性质P，可知存在不大于1000 的正整数m，使得对S 中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m．对于上述正整数m，从集合T={2001﹣x|x∈S}中任取一对元素t1=2001﹣x1，t2=2001﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m，所以集合T={2001﹣x|x∈S}具有性质P．（8 分）②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．任给x∈S，1≤x≤2000，则x 与2001﹣x 中必有一个不超过1000，所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t个元素b1，b2，…，b t 不超过1000．由集合S 具有性质P，可知存在正整数m≤1000，使得对S 中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，所以一定有b1+m，b2+m，…，b t+m∉S．又b i+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，b t+m∈A，即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中，因此k+t≤2000，所以，得k≤1333，当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，取m=667，则易知对集合S 中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠667，即集合S 具有性质P，而此时集合S 中有1333 个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333．（14 分）【点评】此题是中档题．考查集合之间的包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析．。
上海市名校数学真题之华二附中高三月考(2015.12)
【精品资料、学习必备】上海市名校数学真题系列各大名校数学真题Word精排版，可以自由编排打印使用华师大二附中高三月考数学试卷2015.12一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分） 1. 22lim 21n n C n →∞=+ ； 2. 若直线(32)80m x y +++=不经过第二象限，则m 的取值范围是 ；3. 不等式||1x x ⋅≤的解为 ；4.若二项式51)a 的展开式中的第二项等于20a -（a 为大于零的常数），则实数x = ；5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项之和，若{}n S 是等差数列，则q = ；6. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若22a b -=，sin C =B ，则A = ；7. 已知方程cos 23sin 20x x +-=，则该方程在区间[,]ππ-上的所有解之和为 ；8. 已知数列{}n a 的通项公式为1133()[()1]44n n n a --=-*()n N ∈，则数列{}n a 中的最小项的 值为 ； 9. 已知,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ；10. 一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为 ；11. 记51251...i i a a a a =∑=+++，若1 4.47a =， 2 4.51a =，3 4.61a =，4 4.65a =，5 4.76a =，则5123i i a =∑=，另有正整数i A (15)i ≤≤的 和仍是23，若以i A 来估计i a ，则“误差和”51||i i i A a =∑-的最小值为 ； 12. 若数列x 、1a 、2log a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b、2b 、y 成等比数列，则21212()a a b b +⋅ 的取值范围是 ；13. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 ；（写出所有正确命题的序号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 存在恰经过一个整点的直线；③ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数；④ 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；14. 几位高一学生学习函数的性质后感觉很有收获，分别有下列表述：① 函数251x y x -=-在其定义域上是单调递增的函数； ② 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x R ∈，都有()(1)f x f x >+，则函数()f x 没有单调递增区间；③ 若定义在[2016,2016]-上的函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，则一定存在0x ∈[2016,2016]-，使00()()f x f x -≠-且00()()f x f x -≠；④ 定义在R 上的函数()f x ，如果对任意x R ∈，都存在0x R ∈，当0x x ≠时，都有 0()()f x f x <成立，则函数()f x 的最大值就是0()f x ；⑤ 定义1231...n k n k a a a a a π==，已知2()n n f x x =**(,)n N k N ∈∈，则121()()()...nk k f x f x f x π== ()n f x 为偶函数的n 的最小正整数为3；以上几位同学错误的表述是 ；（写出所有错误表述的序号）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做 的假设是（ ）A. 方程20x ax b ++=没有实根B. 方程20x ax b ++=至多有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根16. 已知复数122z i =+，222z i =--在复平面上对应的点分别为A 、B ，点B 绕点A 逆 时针旋转90︒到达点C ，则点C 所对应的复数为（ ）A. 2iB. 62i -C. 24i -+D. 22i -17. 若||x y e =([,])x a b ∈的值域为2[1,]e ，则点(,)a b 的轨迹是图中的（ ）A. 线段AB 和OAB. 线段AB 和BCC. 线段AB 和OCD. 点A 和点C18. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ）A . 4a B. 2()a c - C. 2()a c + D. 以上答案均有可能三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长为2，点E 为棱AD 的中点，求：（1）正四面体ABCD 的体积；（2）直线CE 与平面BCD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）；20. 已知平面向量(sin(),1)a x π=-，(3,cos )b x =，函数()f x a b =⋅；（1）写出函数()f x 的单调递减区间；（2）设()()16g x f x π=-+，求直线2y =与()y g x =在闭区间[0,]π上的图像的所有交点坐标；21. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-，a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ；（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状； （2）已知14m =，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两 个交点A 、B ，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），并求出该圆的方程；22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ；（1）当123n n a -=⋅*()n N ∈时，请写出用n S 表示为1n S +的函数式：1()n n S f S +=；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠，试判断数列{}n a 是否 为等比数列？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若数列{}n a 对任意的3n ≥的正整数满足：1()2n n n a a S +=，试证明{}n a 是等差数列；23. 已知函数2()(2)3f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[2,2]-上是偶函数，求实数a 的值；（2）当2a =时，是否存在实数,m n ，使函数()y f x =在区间[,]m n 上的值域也是[,]m n ？如果存在，求出实数,m n 的值；（3）是否存在整数,m n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[,]m n ，若存在，求出,m n 的值，若不存在，请说明理由；。
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华二附中高二月考数学试卷
2017.10
一. 填空题
1. 直线:51250lxy的单位方向向量为
2. 已知2aij，bikj，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是
3. 若直线l过点(2,3)P，且与直线:320mxy的夹角为3，则直线l的方程是
4. 若直线:3lykx与直线2360xy的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取
值范围是
5. 已知直线:10lxy，1:220lxy，若直线2l与1l关于l对称，则2l的方程为
6. 函数222101yxxx的最小值为
7. 在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点，若ABC的面
积为1，则2MBMCBC的最小值为
8. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，PA与小圆相切于点A，
Q
为小圆上的点，则PAPQ的取值范围是
9. 已知平面上三个不同的单位向量a、b、c满足12abbc，若e为平面内的任意单
位向量，则||2||3||aebece的最大值为
10. 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)xy为整点，下列命题中正确的
是 （写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
② 如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点；
③ 直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④ 直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤ 存在恰经过一个整点的直线；
二. 选择题
11. 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为ABC内一点，则
满足下列四个条件：① 0aOAbOBcOC；② tantantan0AOABOBCOC；
③ sin2sin2sin20AOABOBCOC；④ 0OAOBOC的点O依次为ABC的
（ ）
A. 外心、内心、垂心、重心 B. 内心、外心、垂心、重心
C. 垂心、内心、重心、外心 D. 内心、垂心、外心、重心
12. 如图，在同一平面内，点P位于两平行直线1l、2l同侧，且P到1l、2l的距离分别为
1、3，点M、N分别在1l、2l上，||8PMPN，则PMPN的最大值为（ ）
A. 15 B. 12 C. 10 D. 9
13. 如图所示，23BAC，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，1AD，点P是
圆M及其内部任意一点，且APxADyAE（,xyR），则xy的取值范围是（ ）
A. [1,423] B. [423,423] C. [1,23] D. [23,23]
14. 已知点(,)Mab与点(0,1)N在直线3450xy的两侧，给出以下结论：
① 3450ab；② 当0a时，ab有最小值，无最大值；③ 221ab；
④ 当0a且1a时，11ba的取值范围是93(,)(,)44；
正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a、
2a、3a、4a、5a，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d、2d、3d、4
d
、5d，
若m、M为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}ijk，
{,,}{1,2,3,4,5}rst
，则m、M满足（ ）
A. 0m，0M B. 0m，0M C. 0m，0M D. 0m，0M
三. 解答题
16. 已知直线:(2)()0labxabyab及点(3,4)P，问：
（1）直线l是否经过某个定点？若经过，求该定点的坐标，若不经过，说明理由；
（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程；
17. 如图所示，PAQ是某海海湾旅游区的一角，其中120PAQ，为了营造更加优美
的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其
中AB是宽长廊，造价是800元/米，AC是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价
为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上通道
AD
（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米；
（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求ABC的面积最大，那么AB和
AC
的长度分别为多少米？
（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？
18. 定义“矩阵”的一种运算abxaxbycdycxdy，该运算的意义为点(,)xy在矩阵
abcd的变换下成点axbycxdy
，设矩阵1331A；
（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为(3,2)，试求点P的坐标；
（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存
在，试求出所有这样的直线，若不存在，则说明理由；
19. 小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当
P、A、B
三点共线，O为直线外一点，且OPxOAyOB时，1xy（如图1），第
二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答：
（1）当1xy或1xy时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写
出你的结论，并说明理由；
（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内
（不含边界）运动，且OPxOAyOB，求实数x的取值范围，并求当12x时，实数y
的取值范围；
（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且
OPxOAyOB
，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x、y应满足
的条件（不必证明）；
参考答案
一. 填空题
1. 125(,)1313或125(,)1313 2. 1(,2)(2,)2 3. 2x或31xy
4. (,)62 5. 210xy 6. 17 7. 3 8. [33,33]
9. 21 10. ①③⑤
二. 选择题
11. D 12. A 13. B 14. B 15. D
三. 解答题
16.（1）经过(2,3)；（2）570xy.
17.（1）750米，1500米；（2）50万元.
18.（1）31(3,)44；（2）33yx或3yx.
19.（1）当1xy时，O、P两点位于直线异侧；
当1xy时，O、P两点位于直线同侧；
（2）(0,)，1(,0)2；
（3）① 0x，0y，0xy；② 0x，0y；③ 0x，0y，0xy；
④ 0x，0y，0xy；⑤ 0x，0y；⑥ 0x，0y，0xy.