函数解答题中多变量问题的处理方法初探
浅谈高考中双变量不等式的方法
浅谈高考中双变量不等式的方法在函数问题中，有一类变量超过2个的题型，称之为多元变量问题，多变量问题从形式上就让不少学生心升忌惮，遇之则躲，而这类题的难度之一也就在此处，变量多，不知如何处理。
回忆高中数学能研究的范畴，大家的知识仅限于对函数性质的研究，所以多变量问题研究的核心就是要构造函数，而构造函数的关键就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题，本文以近两年高考真题聚焦于利用变量满足的结构，进行换元将多元变量化归单变量.方法一般有按极值点偏移思路、比值或差值换元、放缩法、主元法等。
下面以2021年全国I卷导数22题各种解法来进行阐述。
（2021年全国I卷22题）已知函数，⑴讨论函数的单调性；⑵设为两个不相等的正数，且，证明：。
分析：在⑵中，从待证结论看，属于双变量的证明题，初步确定是极值点偏移问题。
但偏移需要函数有两个零点（或是函数值相等的两个交点），从这个角度出发，应该对这个条件进行化简变形，整理出的形式来，为方便运算，不妨适当换元，令，已知条件可化为，要证的不等式可化为。
由⑴可知，1是函数的极值点，所以待证不等式的左边是标准的极值点偏移问题，可按既定套路走下去即可。
证明时，因为不是函数的极值点，所以严格说起来，此问题并不是极值点偏移问题，但依旧可以尝试利用偏移的套路去解。
偏移套路的目的还是在于“消元”，而消元的方式有多种，除了利用极值点偏移来“消元”，还可以用比值或差值换元、放缩法、主元法等。
解：⑴，。
令，得。
当时，，函数单调递增；当时，函数单调递减。
⑵由，，即。
，令，则。
由⑴可知，不妨令，则问题变为：已知，求证：。
先证：，即证，，又函数在上为减函数，所以即证，又，所以即证。
令，则只需证。
，故函数在上单调递增，所以。
得证。
再证。
解法1（利用极值点偏移思路）：要证，即证，，，又函数在上为减函数，所以即证，又，所以即证。
令，则只需证。
，易知在上单调递减，，故，使得当时，，单调递增；当时，单调递减。
2020届高三数学二轮微专题复习函数中多变量的处理策略利用变量结构进行减元
1 .故
x1
+
x2
1.命题得证.
【解题反思】
其实这类题在前面的微专题——极值点偏移类问题已经讲过，换句话说，极值点偏移
类的问题也可以归在多变量问题，对于此题的处理，就是用齐次式的想法将两个极值点的
比值换元成一个变量，从而实现双变量变单变量的目的，构造出新函数，研究出新函数的
相应性质，完成对题目的证明，当然也可以用极值点偏移的另外两种解法去完成对第(2)
小题的证明.
【举一反三】
1.（无锡市 2020 届高三上学期期末考试）设函数 f (x) = ln x − ax ， a R ， a 0 .
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若函数 f (x) = 0 有两个零点 x1 ， x2 （ x1 x2 ）.
（Ⅰ）求 a 的取值范围；
（Ⅱ）求证： x1 x2 随着
x2 x1
的增大而增大.
解 (1)因为 f (x)= ln x − ax ，所以 f (x) = 1 − a = 1 − ax , x 0
x
x
当 a 0 时， f (x) 0 在 (0, +) 上恒成立，所以 f (x) 在 (0, +) 上单调增，
当 a 0 时，令 f (x) 0 解得 0 x 1 ，令 f (x) 0 解得 x 1
又由 f (x) 在 (−，ln a) 及 (ln a ，+ ) 上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 a e2 为所求
取值范围.
（2）因为
e e
x1 x2
− ax1 + a = 0 ， 两式相减得 a = − ax2 + a = 0 ，
e x2 x2
殊途同归-如何巧妙处理高考中的双变量问题？
殊途同归函数导数是高考中必考的一个考点，近几年的高考和各地市的模拟题都是以压轴的形式展现，其思维量大、涉及面广、难度高的特点一直让学生叫苦不迭。
特别是有一类双变量的问题广泛存在于各类试卷中，如何能巧妙处理双变量问题，对于在冲刺阶段提高学生的数学解题能力和信心具有积极的意义。
例1.（2004年高考）已知函数f（x）=1n（1+x）-x，g（x）=x1nx。
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0a时，F`（x）>0，因此F（x）在（a，+∞）上为增函数。
从而，当x=a时，F（x）有极小值F（a）。
因为F（a）=0，b>a，所以F（b）>0，即00时，G`（x）a，所以G（b）0、b>0时，求证：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）1n2。
解：（III）设函数y=f（x+a）-f（a）-f（x）-（a+x）1n2=（a+x）1n（x+a）-a1na-x1nx-（a+x）1n2∴y`=1n（a+x）+1-0-1nx-1-1n2=1n令y`=0,得x=a。
即函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，则函数在x=a处取得极小值，即为最小值0。
所以f（x+a）-f（a）-f（x）-（a+x）1n2>0；原不等式得证。
分析：波利亚说过，我们几乎不可能想出一道全新的题目，它和以前解过的题目既不相像又无联系。
而且，假如有这样的题目存在，它也是解不出的。
事实上，我们在解题时总是得益于以前曾解过的那些题目，应用它们的结果或者方法，或是我们在解答它们当中所获得的经验。
当然，我们从中得益的那些题目还必须在某些方面和眼前的题目有关。
于是就有了这个问题：你知道一道与它有关的题目吗？例2的阐述是为了让学生比较迅速地找到与例1的相似性，让学生在解题中获得成功感，提高学生联系题目的能力。
其次，介绍这道题的另一种解法，将原不等式进行变形：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）1n2，然后设函数g（x）=f（x）+f（k-x）（其中k=a+b）。
多变量求最优解决算法
多变量求最优解决算法有多种，其中一些常见的算法包括：
1.梯度下降法：该方法通过不断沿着梯度的负方向更新变量的
值，以逐渐逼近最优解。
具体来说，对于一个多变量函数，其梯度表示函数值变化最快的方向，而负梯度方向则是函数值减小最快的方向。
因此，梯度下降法是一种有效的方法来寻找多变量函数的最优解。
2.牛顿法：该方法基于泰勒级数展开式来逼近函数的最小值点。
与梯度下降法不同的是，牛顿法使用函数的二阶导数（海森矩阵）来逼近函数的最小值点。
虽然牛顿法的收敛速度通常比梯度下降法更快，但牛顿法对初始点的选择比较敏感，且计算二阶导数比计算一阶导数更加复杂。
3.遗传算法：该方法是一种基于生物进化原理的优化算法，通
过模拟自然选择和遗传机制来寻找最优解。
在遗传算法中，个体被编码为二进制字符串，并通过适应度函数来评估其优劣。
通过选择、交叉和变异等操作，不断迭代进化，最终找到最优解。
4.模拟退火算法：该方法模拟固体退火的过程，从高温开始缓
慢降温，并在每个温度下随机搜索最优解。
与随机搜索不同的是，模拟退火算法会根据温度和概率来选择接受较差的解，以避免陷入局部最优解。
5.粒子群优化算法：该方法模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为，
通过个体之间的信息交流和协作来寻找最优解。
在粒子群优化算法中，每个解被表示为一个粒子，粒子之间通过速度和位置的更新来进行协作。
通过不断迭代进化，最终找到最优解。
以上是一些常见的多变量求最优解决算法，它们各有特点和适用范围。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法来解决多变量优化问题。
苏科版-数学-八年级上册-如何解决函数的多变量问题？
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如何解决函数的多变量问题？
如何解决函数的多变量问题？
难易度：★★★
关键词：多变量问题
答案：
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数。
【举一反三】
典例：据悉，北京奥运会吉祥物已确定，为象征“文化味浓、吉祥如意”的五福娃（如下图），当“五福娃”在距离北京2008奥运会整整1000天的时刻訇然问世后，不仅售出的奥运会吉祥物的数目的纪录被改写，初步推算出的超过3亿美元的效益也宣告：2008北京奥运会，已经提前打赢了第一仗！奥运爱好者小明十分喜爱福娃，于是他各买了一只福娃，已知福娃的出售价为平均每只56元，福娃的进价y与进货个数x之间的函数关系为
y= （一般店家每次的进货个数最多为1399只），北京初步获得了3亿美元的效益，那么至少卖出了多少只福娃？友情提醒：1美元相当于8元人民币（）
A、大于12万只小于13万只
B、大于10万只小于12万只
C、大于13万只小于14万只
D、大于9万只小于10万只
思路导引：福娃的进价y与进货个数x之间的函数关系为y= ；当售价最大是，出售的数目是最少的．将此时的关系代入关系式，即可得出答案．因为福娃的进价y与进货个
数x之间的函数关系为y= ，收益为3亿美元，∴（56- ）x＞2400000000，解之可得：x大于12万只小于13万只．故选A．
标准答案：A
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函数双变量问题处理技巧
函数双变量问题处理技巧【策略1】改变主元（又叫：反客为主）对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的x 字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。
【例１】已知2()1f x x mx m =+-≥在2m ≤时恒成立，求实数x 的取值范围.【例2】对任意n N +∈恒有221(1)n a e ++≤，求实数a 的最大值。
【解析】21(1)n n ++11ln(1)n n-+，设1(1)ln x =-+【策略2】指定主元有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定主元。
【例3】已知0m n ≤<，试比较ln(1)n m e m -++与1ln(1)n ++的大小，并给出证明.【例4】求证：22232()21x x e t e x x t -++++≥。
【策略3】化归为函数单调性问题【例5】已知a b e >>，试比较b a 1()f x '=ln bb，ln b ∴【例6】已知函数2()ln ,(1)x f x a x x a a =+->，对1212,[1,1],()()1x x f x f x e ∀∈--≤-，求实数a 的取值范围。
()f x 在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差，因此该问题便可化归为求函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值与最小值问题。
【解析】由()ln 2ln (1)ln 2x x f x a a x a a a x '=+-=-+，(0)0f '=，当[1,0]x ∈-时，10,ln 0,20x a a x -≤>≤，()0f x '∴≤，即()f x 在[1,0]-上递减；当]1,0[∈x 时，10xa -≥，，()1h a '=(1),f >-∴12max ,)|()x x f x ∀∈≤需ln a a -成立便可，于是构造(a φ()a φ∴在上递增，又()0e φ=，a 的取值范围为【例7】已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++(1a <-),若对任意,(0,)m n ∈+∞，()()4f m f n m n -≥-，求实数a 的取值范围。
导数问题中的多元变量可以这样处理
导数问题中的多元变量可以这样处理
发布时间：2021-03-25T10:18:56.020Z 来源：《中小学教育》2020年7月（下）20期作者：卿小平[导读] 近几年高考命题趋势表明:新课标下高考数学的压轴题大都是导数题
卿小平
四川省绵阳南山中学 621000 摘要：近几年高考命题趋势表明:新课标下高考数学的压轴题大都是导数题，它之所以体现压轴的特点其主要的一个原因是有多元变量，为此处理多元变量便是解决整个问题的关键.而处理多元变量的主要方法有消元法、确定主元法、逆转主元法等.关键词：导数；多元变量；方法导数作为高中新教材新增内容之一,它给高中数学增添了活力,特别是导数的广泛应用性,为解决函数,切线,不等式,数列等问题带来了新思路,新方法,为我们展现出一道靓丽的风景线,也使它成为新教材高考命题的热点.为此解决好导数问题便是成功的保证.
一、消元法
二、确定主元法
三、逆转主元法。
高中数学：处理双变量问题的策略
高中数学：处理双变量问题的策略函数的双变量问题是近几年来高考试卷中“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系的知识面较广，构造思维要求较高，因此这类问题的解决方法也是多种多样的。
在处理导数的综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变，学生往往不知把哪个变量当成自变量进行研究，导致无法展开思路，造成无从下手，下面我们谈一谈这类问题的解题思路.01变更主元对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.02指定主变量有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.03化归为值域问题或最值问题04化归为函数单调性思想05整体代换，变量归一06借助参照物，建构桥梁07构造函数法关于同一函数中的两个变量的问题，又可以分成两类题型，一是求参数取值范围类问题，二是没有参数的双变量证明问题，这两类题型在解法上不同，但是思想上均为构造函数的范畴。
题目解读：注意分子正负未定，因此做题之前要人为设定出两变量的大小，变成多项式之后就能看出需要构造的函数。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用函数的单调性来解，但是本题不是证明题，单调性转化为恒成立求参数范围即可。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~同类型题目如下：总结：无论是证明题还是求参数范围问题，解题思路均相同，设定两个未知量的大小关系，然后构造出所需要的函数，进而使用单调性来判断不等式成立或将单调性转化为参数恒成立问题。
类型一：可以找到两个未知量的关系，从而转化为一个变量。
例谈多变量问题的求解策略
例谈多变量问题的求解策略安徽省砀山第二中学（235300） 刘 玲［摘 要］多变量问题具有一定的综合性、技巧性，往往令学生无从下手，“望题兴叹”。
文章结合几道典型例题，探讨“三元”策略（即整元、换元、变元）在处理多变量问题中的运用，旨在帮助学生突破难点，发展学生思维。
［关键词］多变量问题；整元；换元；变元［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）08-0015-03数学·解题研究在不等式问题、函数与导数问题中，时常出现多个变量，我们把这类问题称为“多变量问题”。
多变量问题具有一定的综合性、技巧性，往往令学生无从下手，“望题兴叹”。
那么，破解多变量问题有哪些策略呢？本文就能破解多变量问题的“三元”策略（即“整元、换元、变元）进行探讨。
一、整元“整元”就是整合变量，当不等式或方程中出现多个变量时，可以考虑运用同构思想构造出一个或多个能解决问题的函数，这样就可以把多变量问题转化为一元函数问题。
［例1］（1）已知正实数x ，y 满足e x =y ln x +y ln y ，则ln x +1x-ln y 的最大值为 。
（2）已知正实数a ，b ，c 满足e a ln a =b ln b =c 2e c =1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）。
A. c <b <aB. a <b <cC. b <a <cD. c <a <b分析：（1）由已知得x e x =xy ln xy ，构造函数f （x ）=x e x ，结合f （x ）的单调性知ln y =x -ln x ，故将ln x +1x -ln y 化为ln x +1x-x +ln x ，利用导数求g （x ）=ln x +1x -x +ln x 的最大值即可。
（2）将比较a ，b ，c 的大小转化为比较函数y =ln x 与y =e -x交点，函数y =ln x 与函数y =1x，函数y =e -x 与函数y =x 2在第一象限内交点的横坐标的大小，利用导数研究函数y =x 2的图象与函数y =ln x 的图象及函数y =e -x 的图象与函数y =1x的图象间的关系，后统一作出y =e -x ，y =ln x ，y =x 2，y =1x在（0，+∞）上的图象即可。
高中数学双变量解题技巧
高中数学双变量解题技巧
1. 嘿，同学们！遇到双变量问题时，咱可以先试试消元法呀！比如说，给你两个式子，x+y=3 和 2x-y=1，这不就能把 y 用 x 表示出来，然后代
入另一个式子求解嘛，是不是很妙？
2. 哇塞，还有构造函数法呢！像已知 f(x,y)=g(x)+h(y)这种，咱就可以分别研究 g(x)和 h(y)呀！就好像搭积木一样，一块一块解决，超有趣的！
3. 哈哈，主元法也不错呀！有时候咱得学会抓住主要矛盾，把其中一个变量当成主元，其他的都是配角。
比如在一个式子中，让 x 当主角，y 当配角，好好研究 x 的情况，厉害吧！
4. 咦，比值换元法也值得一试哦！就好像跑步比赛，把速度的比值换一下，问题可能就迎刃而解啦。
比如已知 x/y=3，那就可以设 x=3y 呀，这多简单！
5. 嘿！整体代换法也别忽视啦！一个式子的一部分和另一个式子长得很像，那就大胆地代进去呀！像找到了宝库的钥匙一样兴奋呢！
6. 哇哦，不等式法有时候能起到大作用呢！别小瞧它呀！比如已知 x+y 的
范围，那能推出好多其他的信息呢，是不是很神奇？
7. 哈哈，参数法也是个好办法呀！给式子引入一个参数，就像给它注入了活力。
比如设个 k 呀，然后去研究它带来的变化，会有意想不到的收获哟！8. 哟，分类讨论法也得掌握哦！情况不同，解法不同呀！像走迷宫，得根据不同的路口选择不同的路走，刺激吧！
9. 总之啊，高中数学双变量解题技巧可多啦！这些都是咱们解题的法宝呀！大家一定要多去尝试，多去练习，你肯定会发现其中的乐趣和奥秘，相信自己能行！。
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函数解答题中多变量问题的处理方法初探
作者：谈超
来源：《课程教育研究·学法教法研究》2015年第27期
【摘要】多元函数则是高等数学中的重要概念之一，随着新课程的改革，高中数学与大学数学的衔接越来越紧，解决多元函数（即多变量函数）的相关问题成为了高考中的热点和难点问题，解决此类问题需要具有较强的技巧，本文举例说明解决此类问题的一些常用方法。
【关键词】高考 ;多元函数 ;消元法 ;主元法
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0173-02
一、消元法：探求多变量之间的等量关系，用消元法将多变函数转化为单变量函数问题处理。
【例1】设函数f（x）=mlnx- x+ （m∈R），设A，B是曲线y=f（x）上的两个不同点，且曲线在A，B两点处的切线均与x轴平行，直线AB的斜率为k，是否存在m使得m-k=1，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。
例1解：设A（x ，y ）B（x ，y ），不妨设：0<x <x ，∵f'（x）= - - = ，令f'（x）=0得x -2mx+1=0 ;∴x ，x 是方程x -2mx+1=0的两根。
∴x ·x =1且△=4m -4>0即m >1 ;k= = = -1
若存在实数m使得m-k=1，∴k+1= =m 即：lnx -lnx =x -x ;∵ x = ， x ∈（0，1），所以x - -2lnx =0 ;（1）令h（x）=x- -2lnx x∈（0，1），h'（x）=（ -1） >0 ∴ h（x）在（0，1）上单调递增，∴ h（x）<h（1）=0
即x - -2lnx <0与方程（1）成立矛盾，故不存在m使得m-k=1【方法提炼】通过消元的手段转化成一元函数解决问题，此法为多变量问题中最基本的解题思路——消元法。
二、整体换元法：将多变量整体进行换元，将多变量函数转化为一元函数来处理。
【例2】：已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f （x）+ x -bx。
设x ，x （x <x ）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ ，求g（x ）-g（x ）的最小值。
【分析】思路一可以探究x ，x 之间的等量关系，消元转化为一元函数处理，思路二可以找寻x ，x 的整体形式，通过换元法转化为一元函数处理。
例2解：∵g'（x）= ，所以令g'（x）=0，∴x +x =b-1， ;x x =1，∵g（x ）-g（x ）=ln - ;- ; ∵0<x <x
法一（消元法）：∵x +x =b-1，x x =1 ∴b-1=x + ≥ ，又∵x x =1 x <x ;∴x ≤ ;∵g（x ）-g （x ）=2lnx - （x ;- ），令h（x）=2lnx- x + ; x∈（0， ] ∴h'（x）= <0，所以h（x）在（0， ]上单调递减，h（x）≥h（）= -2ln2故所求的最小值是 -2ln2
法二（整体代换法）：令t= （0<t<1） h（t）=lnt- t- （0<t<1）h'（t）=- <0，所以h（t）在（0，1）单调递减，又b≥ ∴（b-1）≥ ，∴（x +x ）=t+ +2≥ ∴0<t≤ ，h（t）≥h = -2ln2，故所求的最小值是 -2ln2。
三、主元法：在处理多变量函数问题时，可以将其中一个变量视为自变量，另一个变量视为参量，即可当成一元函数来处理。
【例3】已知f（x）=ln（x+1），若不等式x ≤f（x ）+m -2bm-3时，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围。
【分析】本题中有三个变量x，b，m，我们可以先将b，m视为参量，进行参变量分离之后，得到关于x函数的最值，消去x得到关于b，m的不等式，再将m视为参量，得到关于b 的函数求其最值处理。
例3解：原不等式等价于 x -f（x ）≤m -2bm-3，令h（x）= x -f（x ）= x -ln（1+x ），由h'（x）= ，当x∈[-1，1]时，h（x）max=0，∴m -2bm-3≥0，令u（b）=m -2bm-3≥0，则
u（1）=m -2m-3≥0u（-1）=m +2m-3≥0，得m≥3或m≤-3。
【方法提炼】：解决多变量函数问题，一定要理解题意，从不同角度看待函数值的变化与变量之间的联系，采用不同的角度，选择合适的变量作为参量，将其转化一元函数来处理。
总之，对于高中数学中多变量函数问题，不管是消元法、整体换元法还是主元法，其核心思路是转变为一元函数来处理，所以需要坚实的数学基础和灵活解决问题的能力。
参考文献：
[1]罗增儒，李文铭.《数学教学论》陕西师范大学出版社.2003年第一版
[2]徐文兵.《高考中多变量函数最值问题的处理策略》 ;清华大学附属中学。