三角恒等变换单元概括
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。
1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。
通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。
2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。
2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。
这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。
2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。
这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。
3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。
以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。
假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。
根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。
因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。
同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。
3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。
假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。
-三角恒等变换(下)
个性化辅导讲义课 题三角恒等变换教学目标 掌握和差角公式、二倍角公式、辅助角公式，了解其内在联系，能够熟练地进行三角恒等变换，从而有效地对三角函数式进行化简、求值。
重点、难点公式的灵活运用及内在联系考点及考试要求三角恒等变换公式是解决三角函数问题的主要工具，众多的三角函数问题都要先借助于三角恒等变换公式实现转化。
在高考中考考查的基本特点：一是在选择、填空题中单独考查；二是在解答题中，与三角函数的图像和性质，解三角形等综合考查。
教学内容 知识框架1．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
（αα2cos 1sin 22-= αα2cos 1cos 22+=） （2）辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+， 2222sin cos b a a ba bϕϕ==++其中，。
2．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
高中数学 第三章 三角恒等变换 第二节 简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案
第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时 导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x )， ∵(aa 2＋b 2)2＋(b a 2＋b 2)2＝1，从而可令a a 2＋b 2＝cos φ，ba 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α.求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA ＝tan60°＝3， 所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x ＝3sin2x －cos2x＝2sin(2x －π6)． 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]． 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )． 取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0. ∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0. 又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，…. 当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18. 积化和差，得4(cos B ＋C2－cos B －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C 2－cos B －C 2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1， ∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π， ∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12， ∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2. ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12； (2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2. 课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A 组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( ) A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( ) A.2－24 B.2＋24C.34D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( ) A ．[－32，12] B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1] 答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B 2)的值，并判定2A －B 2所在的象限． 答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441.∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y .答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得错误! ①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。
三角恒等变换换元法
三角恒等变换换元法三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在解决三角函数的问题时，我们经常需要用到三角恒等变换换元法。
本文将从定义、分类、应用等方面介绍三角恒等变换换元法。
一、定义三角恒等变换换元法是指通过三角函数的恒等式和变换公式，将一个三角函数转化为另一个三角函数的方法。
它是解决三角函数问题的重要方法之一。
二、分类三角恒等变换换元法可以分为以下几类：1. 基本恒等式变形法基本恒等式变形法是指通过对基本恒等式进行变形，将一个三角函数转化为另一个三角函数的方法。
例如，对于正弦函数，我们可以利用基本恒等式sin^2x+cos^2x=1，将sin^2x转化为1-cos^2x，从而将sinx 转化为cosx。
2. 和差化积法和差化积法是指将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积的方法。
例如，对于sin(x+y)，我们可以利用和差公式sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，将其转化为两个三角函数的积sinxcosy+cosxsiny。
3. 积化和差法积化和差法是指将一个三角函数的积转化为两个三角函数的和或差的方法。
例如，对于sinxcosx，我们可以利用倍角公式sin2x=2sinxcosx，将其转化为两个三角函数的和sin2x/2。
4. 半角公式法半角公式法是指通过半角公式将一个三角函数转化为另一个三角函数的方法。
例如，对于tan2x，我们可以利用半角公式tan2x=2tanx/(1-tan^2x)，将其转化为tanx的函数。
三、应用三角恒等变换换元法在解决三角函数问题时有广泛的应用。
例如，在求解三角方程sinx+cosx=1时，我们可以利用和差化积法将sinx+cosx转化为一个三角函数的积，从而得到sin(x+45°)=√2/2，进而求得x=45°或x=135°。
此外，在求解三角函数的极值、最值、导数等问题时，三角恒等变换换元法也有重要的应用。
三角恒等变换教学设计
（3）三角函数的积化和差和和差化积
经历运用两角和、两角差的三角函数公式推导出三角函数的积化和差和和差化积的过程，体会“解方程组”和“换元”的数学思想，掌握三角函数的积化和差和和差化积公式，能正确运用公式进行有关的计算和证明。
4、本单元教学内容重点和难点分析
三、教学内容安排§3.2.1倍角公式；1课时§3.2.２半角公式；1课时
四、教学资源建议
“练习”“习题”的选择以A组题为主，B组题为辅.
五、教学方法与学习指导策略建议
本节内容涉及概念较多，在教学方法上可以尝试先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.第七学时（§
4、本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；
三、本单元所需教学资源概述
使用计算器解决计算有关弧度制角度制转化的问题、非特殊角求值等问题；使用几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件帮助学生学习理解有关的数学问题.
训练，学习三角变换的内容，思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。
难点：
认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法推导变换过程的设计，不断提高从整体
上把握变换过程的能力；
三、教学内容安排§3.3三角函数的积化和差与和差化积；1课时
四、教学资源建议
利用信息技术研究角的有关概念.利用几何画板、Scilab等软件
3.2倍角公式和半角公式）
一、学习目标
1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用；
2019年高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形 第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换 理
,
sin������sin������
=
-
1 15
,
所以 tan αtan
β=csoins
������sin ������ ������cos ������
=-14.
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知 sin θ=35,θ 为第二象限角,则 sin 2θ 的值
为
.
[答案] -2245
[解析] ∵sin θ=35,θ 为第二象限角,
1 + sin6 + 1-sin6 + 2 (1 + sin6)(1-sin6)= 2 + 2cos6= 2 + 2(2cos23-1)= 4cos23
=-2cos 3.
(2)f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)=1-1-cos
2(������ 2
+������)+12sin
5
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷] 已知 cos x=3,则 cos
4
2x= ( )
A.-1
B.1
4
4
C.-18
D.18
[答案] D [解析] 由二倍角公式得 cos 2x=2cos2x-1=2×196-1=18,故选 D.
教学参考
2.[2016·浙江卷] 已知 2cos2x+sin
课前双基巩固
知识聚焦
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α:sin 2α= 2sin αcos α
.
(2)公式 C2α:cos 2α=
cos2α-sin2α
2019届一轮复习理数：第5单元 高考研究课(4) 三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用
05
[方法技巧]
[方法技巧]
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[方法技巧]
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课 堂 真 题 集 中 演 练
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高考研究课(四) 三角恒等变换的3个考查点 ——化简、求值和应用
[全国卷 5 年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
三角变换求最值
三角变换求值
5年3考
5年5考
三角变换与最值
给角求值、给值求值
01 02
题型一 三角函数式的化简 题型二 条件求值问题
题型三 三角恒等变换与向量的综合应用
03
目 录
04
课堂真题集中演练 高考达标检测
三角函数(单元解读)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决
定角的“绝对值大小”．
二、终边相同的角的表示及应用
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：
(1)巧用“1”的代换；
(2)化切为弦；
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
十四、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1“负化正”——用公式一或三来转化；
2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
立实际问题的函数模型，并利用函数的知识解决实际问题，能在解决实际问题的过程中，进一步
感受三角函数刻画周期变化现象时的作用;在求解具体问题或推导公式时，注重应用列方程(组) 的
方法求解
分类与整合
能根据角的终边的位置分类，选择适当的公式和化简程序，求出适合的角;能根据三角函数的符
号特征，分类求解三角函数值问题.
3.数学运算：利用三角函数的定义、诱导公式及同角关系式
核心素养
化简求值；
4.数学建模：提高实际问题的数学建模思想，提高学生的建
模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.
三: 课时安排
本章教学时间约需 24 课时，具体分配如下 (仅供参考):
5.1任意角和弧度制
约2课时
5.2三角函数的概念
约3课时
5.3诱导公式
π
180°
三角恒等变换
《三角恒等变换》教学反思职业中学张怀丽本单元学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换。
一、学习目标1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆），通过这些基本训练，使学生进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会一般到特殊研究问题的方法以及换元在变换中的作用。
4．在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力。
二、教学设计中注意的问题1．两角和与差的余弦公式：（1）在推导两角差的余弦公式的时候应注意引导学生运用化归的思想寻找两角差与两角和之间的关系，从而有利于学生独立、准确的推导出两角差的余弦公式；（2）两角和的余弦公式中α，β是任意角；右边同名函数之积；右边是先余弦再正弦；左加右减；（3）两角差的余弦公式中α，β是任意角；右边同名函数之积；右边是先余弦再正弦；左减右加；（4）两角和与差的余弦公式应从形式上比较记忆。
（5）两角和与差的余弦公式的正用和逆用；（6）在对例题的讲解中应注意分析为什么；应注意解题格式。
需要特别指出的是，运用向量的数量积的方法证明两角差的余弦公式，使学生从中体会到向量的强大力量！2．二倍角公式：借助两角和与差的正弦、余弦、正切公式及同角的平方关系式推导倍角公式。
应注意：（1）引导学生运用观察、类比、化归的思想，借助已知推导未知；（2）注意公式的适用范围；（3）注意公式的正用与逆用；（4）特别应注意引导学生正确理解“倍”的意思，不妨在实践中多举一些二倍关系的例子，从而加深对“倍”的正确理解！（5）在讲解过程中应注意一题多解（在实践中发现学生的思路很开阔，书本中的解法学生自己都能够的到，但应注意学生的书写格式）。
三角恒等变换所有公式及推论
三角恒等变换所有公式及推论
三角恒等变换是一种可以将任意三角形变换成其他三角形的变换，它可以用来表示某一几
何图形变换为另一几何图形的变换性质，并提供一种明确的、可以用数学语言描述的基本变换方式。
它适用于三角形在由不同点i，j，k采分的空间和时间中的出现，即它可以使
三角形的空间或时间结构：T（i，j，k）变为T'（i',j',k'）。
三角恒等变换的数学公式如下：
T'（i',j',k'）=T（i，j，k）=M（i,j,k）
其中M（i，j，k）为矩阵公式，其包含有三个主要参数，分别为它的长边尺寸a，它的高δ，以及它的顶点坐标x, y, z。
在实际应用时，三角恒等变换可以用来比较两个不同形状或位置的三角形之间的变换关系。
该变换可以用来求解某一复杂形状的旋转平移问题，或者利用该变换操作，可以更加有效地实现几何图形之间的转换。
三角恒等变换还可以用于把三个一般性三角形变换为具有更高几何结构性质的三角形，可
以实现几何图形的对称变换，也可以实现几个三角形按照一定的排布方式发生平移或旋转变换。
总而言之，三角恒等变换可以方便地使任意三角形变换到其他三角形，可以实现几何图形之间的变换，可以实现三角形的对称变换，以及三角形的平移和旋转变换，因此，具有重
要的应用价值。
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1
三角恒等变换单元概括
类型一、角的变换
【例题1】已知，且,1411)cos(,34tan均为锐角，求cos得值。
【例题2】已知432，1312)cos(，53)sin(，求2sin的
值。
【变式训练1】已知135)4sin(，)40(，，求2cos的值。
【变式训练2】若23)2cos(),20(，，，21)2sin(，则
)cos(
的值为（ ）
A、23 B、21 C、21 D、23
类型二、弦切互化
【例题3】求证：2sin412tan2tan1cos2.
【变式训练3】化简：42sin42costan5312sin2cos2tan31.
类型三、常值变换
2
【例题4】已知21tan，求2cos122sin的值。
【例题5】求证：8tan1tan18sin14sin12sin1.
【变式训练4】当20x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为（ ）
A、2 B、32 C、4 D、34
类型四、收缩变换
【例题6】已知函数),0,(cossin)(Rxabaxbxaxf为常数，，在4x处
取得最小值，则函数)43(xfy是（ ）
A、偶函数且它的图像关于点)0(，对称。
B、偶函数且它的图像关于点)023(，对称。
C、奇函数且它的图像关于点)023(，对称。
D、奇函数且它的图像关于点)0(，对称。
【例题7】已知向量)13(),sin(cos，，ba，则|2|ba的最大值、最小值
分别是（ ）
A、024， B、244， C、16,0 D、4,0
【变式训练5】若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确
定常数a的值。
3
类型五、幂的升降
【例题8】求函数xxxxxxfcos3coscos52sin43sin2)(424的最小正周期和
值域。
【变式训练6】求函数xxxf66cossin)(的最小正周期和值域。
类型六、未知换元
【例题9】已知22tan21sinsin，，求coscos的值。
【变式训练7】求0202020250cos20sin50cos20sin的值。
类型七、三角函数中的数学思想
1、函数与方程思想
【例题10】已知.310tan1tan,43
（1）求tan的值。
（2）求)2sin(282cos112cos2sin82sin522
【变式训练8】已知0coscoscos0sinsinsin，，求)cos(的
值。
4
2、数形结合思想
【例题11】若方程axxcossin3在]20[，上恰有两个不同的实数解，求a的
取值范围。
【变式训练9】方程xxx2cossin的实根个数是 .
3、转化与化归思想
【例题12】已知函数)20(2cos22cos2xaaxaxy的最小值为2，求
a
的值。
【变式训练10】求函数)0(cos2sinsinxxxxy的最值。
4、分类讨论思想
【例题13】已知sin2sin2sin34622，，求22sin21siny的
最小值。
【变式训练11】化简：)(cos1cos1为第一象限角。