微积分(二)知识点总结9-4-
高数大一知识点总结全微分
高数大一知识点总结全微分微积分是大学数学中的重要分支，也是大一学生必修的一门课程。
其中，全微分是微积分中的一个重要概念和计算方法。
在学习全微分时，我们需要掌握一些基础知识和技巧。
本文将对高数大一知识点进行总结，并详细介绍全微分的概念和应用。
1. 函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是一个重要的概念。
对于一个函数来说，极值是指函数在某个点附近取得的最大值或最小值。
通过求导可以找到函数的驻点，然后通过二阶导数判断该点是极大值还是极小值。
2. 全微分的概念全微分是微积分中对函数的微小改变进行近似描述的一个概念。
对于函数f(x, y)，全微分df定义如下：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数，dx和dy表示自变量x和y的微小增量。
全微分可以近似表示函数的改变量。
3. 全微分的应用全微分在实际问题中有广泛的应用，尤其在物理、经济等领域。
通过对函数进行全微分，可以估计函数在某个点附近的变化趋势，从而可以更好地理解和分析问题。
3.1 曲面切平面全微分可以用来计算曲面在某一点处的切平面方程。
对于一个曲面z=f(x, y)，在点(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dz = (∂f/∂x)(x0, y0) * dx + (∂f/∂y)(x0, y0) * dy通过计算偏导数和代入函数值，可以求得切平面的方程。
3.2 近似计算全微分可以用来进行近似计算，特别是在高阶微积分中。
对于一个函数f(x)，如果可以求得函数的全微分df，那么可以用全微分代替函数在某点附近的改变量，从而简化计算过程。
4. 总结通过对高数大一知识点的总结，我们了解了函数的极值和最值的概念，以及全微分的定义和应用。
全微分在微积分中扮演着重要的角色，可以帮助我们更好地理解和分析函数的变化趋势，并在实际问题中进行近似计算。
掌握全微分的概念和应用，对于深入学习微积分和相关领域的知识具有重要意义。
《微分几何》知识点总结
《微分几何》知识点总结微分几何是数学中的一个分支，研究的是空间中曲线和曲面的性质和变化规律。
在微分几何中，我们使用微积分的方法研究曲线和曲面上的切线、法线、曲率等概念，以及它们的几何性质。
下面是微分几何的一些重要知识点总结。
1.曲线的参数表示曲线是一些点的集合，我们可以用参数表示曲线上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
曲线的切向量是曲线上一点的导数。
2.曲线的切线和弧长曲线的切线是曲线在其中一点的切向量所确定的直线。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离。
我们可以通过弧长参数化来表示曲线。
3.曲线的速度和加速度曲线的速度是表示曲线上一点运动快慢和方向的向量，它的大小是曲线在这一点的切线向量的模，方向是切线的方向。
曲线的加速度是速度的导数。
4.曲线的曲率和挠率曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度，它是曲线的切线向量随曲长的变化率。
曲线的挠率描述了曲线的曲率随曲长的变化率，它是曲线的法向量随曲长的变化率。
5.曲率圆和曲率半径曲线的曲率圆是一条与曲线在其中一点相切且切向量方向相同的圆，曲率半径是曲率圆的半径。
6.空间曲线的切线、法线、副法线三向量空间曲线的切线是曲线上一点的速度向量，法线是曲线上一点的加速度向量的单位向量，副法线是切线和法线的叉积向量的单位向量。
7.曲面的参数表示曲面是三维空间中的二维平面，我们可以用参数表示曲面上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
8.曲面的切平面和法线曲面的切平面是曲面在其中一点的切向量所确定的平面，法线是切平面的法线向量。
9.曲面的曲率和高斯曲率曲面的曲率描述了曲面特定点附近的曲率变化，高斯曲率描述了曲面在其中一点附近的整体几何性质。
10.高斯曲率和平均曲率的关系高斯曲率和平均曲率是曲面上两个重要的曲率指标，它们之间存在一定的关系。
11.第一基本形式和第二基本形式第一基本形式是描述曲面上两个切向量的内积，第二基本形式是描述曲面上一个切向量和一个法向量的内积。
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
积分方程知识点总结归纳
积分方程知识点总结归纳一、积分方程的基本概念1. 积分方程的定义：积分方程是指自变量的函数与其导数之间的关系式，其中未知函数出现在积分式中。
2. 积分方程的类型：积分方程可以分为线性积分方程、非线性积分方程、微分-积分方程等多种类型。
3. 积分方程的一般形式：积分方程的一般形式可以表示为\[ \int{f(x,y,y')dx}=F(x,y,y')+C \]其中\(f(x,y,y')\)为给定函数，\(F(x,y,y')\)为未知函数，C为常数。
二、积分方程的解法1. 积分法：对积分方程进行积分，求解未知函数。
2. 变量代换法：通过合适的变量代换，将积分方程转化为更简单的形式进行求解。
3. 分离变量法：针对特定类型的积分方程，可以将方程中的变量分离在不同的方程中进行求解。
4. 特殊积分方程的解法：对于某些特殊形式的积分方程，如可分离变量、齐次积分等形式，可以采用特殊的解法进行求解。
三、积分方程的实际应用1. 物理问题：在物理学中，经常会遇到某些量的变化关系可以用积分方程描述，如经典力学、电磁学等。
2. 生物学问题：在生物学中，很多生物的生长、繁殖等过程可以用积分方程进行描述和分析。
3. 工程问题：在工程领域中，很多实际问题也可以转化为积分方程求解，如弹性力学、流体力学等。
4. 经济问题：在经济学中，也有很多问题可以用积分方程进行描述和求解，如经济增长模型、资源分配等。
四、积分方程的应用举例1. 弹簧振子问题：弹簧振子的运动可以用积分方程进行描述和求解，求得弹簧振子的位移和速度随时间的变化规律。
2. 人口增长问题：人口增长可以用积分方程进行描述，求解不同增长率下的人口变化规律。
3. 水桶倒水问题：水桶倒水的速度和水位变化可以用积分方程进行描述，求解不同倒水速率下的水位变化规律。
4. 物体自由落体问题：物体自由落体的速度和位移变化可以用积分方程进行描述，求解物体的运动规律。
椭圆长轴端点的曲率半径
椭圆长轴端点的曲率半径一、椭圆长轴端点的曲率半径是什么？椭圆长轴端点的曲率半径是指椭圆在长轴两端点处的曲率半径。
在几何学中，曲率半径是指曲线在某一点处的曲率所对应的半径，用来描述该点处曲线弯曲程度的大小。
二、如何求解椭圆长轴端点的曲率半径？求解椭圆长轴端点的曲率半径需要用到微积分中的相关知识。
具体步骤如下：1. 将椭圆参数方程表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)。
2. 求出x和y关于t的一阶导数：dx/dt=-a*sin(t)，dy/dt=b*cos(t)。
3. 求出x和y关于t的二阶导数：d²x/dt²=-a*cos(t)，d²y/dt²=-b*sin(t)。
4. 根据公式k=|ds/dt|/|d²s/dt²|（其中s为弧长），计算出椭圆在长轴两端点处的曲率k。
5. 最后，根据公式r=1/k，求出椭圆长轴端点处的曲率半径r。
三、示例计算以椭圆x²/16+y²/9=1为例，计算其长轴端点处的曲率半径。
1. 将椭圆参数方程表示为x=4*cos(t)，y=3*sin(t)。
2. 求出x和y关于t的一阶导数：dx/dt=-4*sin(t)，dy/dt=3*cos(t)。
3. 求出x和y关于t的二阶导数：d²x/dt²=-4*cos(t)，d²y/dt²=-3*sin(t)。
4. 根据公式k=|ds/dt|/|d²s/dt²|（其中s为弧长），计算出椭圆在长轴两端点处的曲率k：当t=0时，k=|ds/dt|/|d²s/dt²|=|(dx/dt)*d²y/dt²-(dy/dt)*d²x/dt²|/(dx/dt)³=(12/16)/(16/16)^(3/2)=9/(8*sqrt(7))；当t=π时，k=|ds/dt|/|d²s/dt²|=|(dx/dt)*d²y/dt²-(dy/dt)*d²x/dt²|/(dx/dt)³=(12/16)/(16/16)^(3/2)=9/(8*sqrt(7))。
大学数学知识点总结
大学数学知识点总结数学是一门抽象而又精确的学科，是理工科学生必修的一门基础课程。
本文将对大学数学中的主要知识点进行总结和归纳。
一、微积分微积分是数学的重要分支，它用于研究函数的变化和曲线的性质。
在微积分中，主要包括以下知识点：1.1 导数导数用于描述函数的变化速率，表示函数在某点的切线斜率。
求导的方法包括基本函数的求导法则、链式法则、乘积法则和商规则等。
1.2 积分积分是导数的逆运算，用于计算曲线下的面积或求函数的原函数。
常见的积分法包括基本函数的积分、换元法和分部积分法等。
1.3 微分方程微分方程是描述变量之间关系的方程，包括常微分方程和偏微分方程。
解微分方程需要用到分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法和常系数齐次线性方程解法等方法。
二、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的数学分支。
在线性代数中，主要包括以下知识点：2.1 向量与矩阵向量是由有序数组成的一种数学对象，矩阵是数字排列成的矩形阵列。
包括向量的基本运算、矩阵的加法和乘法运算，以及矩阵的转置、逆矩阵和行列式等概念。
2.2 线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
求解线性方程组的方法包括高斯消元法、矩阵的逆和克拉默法则等。
2.3 特征值与特征向量特征值和特征向量是线性变换中非常重要的概念，用于描述变换对向量的伸缩和旋转效应。
求解特征值和特征向量可以通过求解特征方程和高斯-约旦消元法等方法。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机事件和随机变量的概率性质的数学分支。
在概率论与数理统计中，主要包括以下知识点：3.1 概率与随机变量概率是描述随机事件发生可能性的数值，随机变量是随机事件的某个量化结果。
包括概率的基本性质、条件概率、离散随机变量和连续随机变量等概念。
3.2 概率分布概率分布是随机变量取值的概率规律，包括离散型概率分布（如二项分布和泊松分布）和连续型概率分布（如正态分布和指数分布）。
高中数学导数与微分知识点总结
高中数学导数与微分知识点总结在高中数学学习中，导数与微分是一个重要的知识点。
导数是微积分的一个基本概念，它研究了函数的变化率。
微分是导数的一种运算方法，它可以帮助我们求得函数的近似值、判别函数的极值以及解决相关实际问题。
本文将对高中数学导数与微分的相关知识点进行总结。
1. 导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点处的变化率，记作f'(x)或dy/dx。
计算导数有多种方法，常见的有几何定义法、利用基本导数公式求导法、利用导数的性质求导法等。
2. 导数的基本公式高中数学中常用的导数公式有：- 常数函数的导数：若y=c，其中c为常数，则y'=0。
- 幂函数的导数：若y=x^n，其中n为常数，则y'=nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：若y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=a^x * ln(a)。
- 对数函数的导数：若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=1/(x * ln(a))。
- 三角函数的导数：sin(x)'=cos(x)，cos(x)'=-sin(x)，tan(x)'=sec^2(x)，cot(x)'=-csc^2(x)。
3. 导数的运算法则导数具有一些运算法则，这些法则可以简化导数的计算过程。
常见的导数运算法则有：- 常数倍法则：若f(x)可导，则k * f(x)的导数为k * f'(x)，其中k为常数。
- 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
- 乘积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f(x) / g(x))' = (f'(x) *g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2。
微分数知识点总结
微分数知识点总结微分数是数学中的一个重要概念，它是微积分学中的基本概念之一。
微分数的概念最早是由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出的，它是用来描述函数变化率的重要工具。
微分数在物理、工程、经济学等领域都有着广泛的应用，它是研究变化的基本工具。
在这篇文章中，我们将系统地总结微分数的基本概念、性质和应用，让读者对微分数有一个全面的认识。
1. 微分数的基本概念1.1 导数的概念在微分数的理论中，导数是一个非常重要的概念。
导数是描述函数在某一点的变化率的概念，它是函数的局部斜率。
如果一个函数在某一点的导数存在，那么这个函数在这一点是可导的，也就是说在这一点的附近，这个函数可以用一个线性函数来近似。
通常我们用f(x)来表示函数，那么f'(x)就表示这个函数在点x处的导数。
1.2 微分的概念微分是导数的一个重要应用。
微分是在导数的基础上，进一步考虑函数在一个点附近的变化。
如果一个函数在某一点可导，那么在这一点附近，这个函数的变化可以用线性函数来近似。
这个线性函数就称为函数的微分。
函数在某一点的微分可以用函数在这一点的导数来表示，通常用df(x)来表示函数f(x)在点x处的微分。
2. 微分数的性质2.1 导数的性质导数具有许多重要的性质，这些性质在微积分的推导和计算中都有着重要的作用。
导数的性质包括线性性、可加性、乘法规则、链式法则等。
这些性质可以帮助我们简化导数的计算，同时也可以帮助我们更好地理解导数的意义。
2.2 微分的性质微分也有许多重要的性质。
微分的性质包括线性性、可加性、乘法规则、链式法则等。
微分的性质和导数的性质有很多相似之处，它们都可以帮助我们简化微分的计算，同时也可以帮助我们更好地理解微分的意义。
3. 微分数的应用微分数在实际问题中有着广泛的应用。
微分数可以用来描述曲线的切线和切平面，它可以用来近似解析函数的局部性质，比如：函数在某一点的极值、拐点等。
微分数还可以用来求函数的最优化问题，比如：求函数的最大值、最小值等。
大一数学微积分知识点总结
大一数学微积分知识点总结微积分是数学的重要分支，是应用广泛的数学工具之一。
作为大一学生，学习微积分是必不可少的一部分。
在这篇文章中，我将对大一数学微积分的一些重要知识点进行总结。
一、数列与极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
2. 数列的收敛性：数列可以分为收敛数列和发散数列。
3. 极限的定义与性质：数列中的极限是指随着项数无限增加，数列中的数逐渐趋于某个确定的值。
4. 重要极限：常见的数列极限有等差数列的极限、等比数列的极限等。
二、函数与导数1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
2. 导数的定义与性质：导数描述了函数在某一点上的变化率，是微积分的核心概念之一。
3. 常见函数的导数：常见函数的导数包括常数函数的导数、幂函数的导数、三角函数的导数等。
4. 高阶导数与导数运算法则：高阶导数是指函数的导数再求导数的结果，导数运算法则包括和差法则、乘法法则、链式法则等。
三、微分学的应用1. 泰勒展开与近似计算：泰勒展开是将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法，可以用来进行近似计算。
2. 极值与最值：通过求函数的导数，可以确定函数的临界点，从而找到函数的极值与最值。
3. 曲线的凹凸性与拐点：通过求函数的二阶导数，可以判断函数在某一区间内的凹凸性以及存在的拐点。
四、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：定积分是用来计算曲线下面的面积或求函数的积分值。
2. 不定积分的概念与性质：不定积分是定积分的逆运算，是求函数原函数的过程。
3. 常见函数的积分公式：常见函数的积分公式有基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
4. 定积分的应用：定积分在求曲线下面的面积、求平均值、计算物体的质量与重心等方面有广泛应用。
五、微分方程1. 微分方程的概念与分类：微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程。
2. 一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程可以通过分离变量、齐次方程、线性方程等方法求解。
高等数学2知识点总结和例题
高等数学2知识点总结和例题高等数学2课程主要包含了微积分的高级内容，如多元函数微积分、向量场、曲线积分、面积积分、常微分方程等。
本文将对这些知识点进行总结，并提供一些例题和解答，以供大家参考。
1. 多元函数微积分1.1 偏导数多元函数的偏导数定义：设函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)的邻域内，当y=y0时，f(x,y)关于x的导数存在，则称该导数为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，记为fx(x0,y0)。
偏导数的计算方法：对于多元函数z=f(x,y)，求其在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)时，将y视为常数，对x求一阶导数即可。
1.2 全微分全微分的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续且存在偏导数，则称与∆z=f(x,y)-f(x0,y0)满足的关系式∆z=A∆x+B∆y+o(∆r)，其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，∆r=√[(∆x)^2+(∆y)^2]称作函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。
全微分的计算方法：计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分时，首先求出其偏导数，然后用偏导数构造微分式，即dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。
1.3 链式法则链式法则的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有连续的偏导数，并且u=g(x,y)在点(u0,v0)有连续的偏导数，则复合函数z=f[g(x,y)]在点(x0,y0)具有偏导数，且有：∂z/∂x = (∂z/∂u)·(∂u/∂x) + (∂z/∂v)·(∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u)·(∂u/∂y) + (∂z/∂v)·(∂v/∂y)其中(∂u/∂x)、(∂u/∂y)、(∂v/∂x)、(∂v/∂y)可以由u=g(x,y)的偏导数求得，而(∂z/∂u)、(∂z/∂v)可以由z=f(u,v)的偏导数求得。
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第四节 多元复合函数的求导法则
多元复合函数的链式求导法则为：
口诀：分段用乘，分叉用加。
多元函数与多元函数复合的情景
（将下面的链式法则补充完整）
xvvzxuuzxz
口诀：分段用乘，分叉用加。yvvzyuuzyz
xzzfxfxu
口诀：分段用乘，分叉用加。
yzzfyfyu
xvvfxuufxw
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyuufyw
zvvfzuufzw
xvvfxuufxz
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyuufyz
根据下列图示，写出复合函数的所有链式求导法则：
（
做题时，一次可能只会用到一个---用到那个就写那个，不必
全部写出了。
）
xvvfxuufxz
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyuufyz
xvvfxuufxf
'''
111
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyuufyf
'''
111
xvvfxuufxf
'''
222
yvvfyuufyf
'''
222
xvvfxfxf
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyf
（简单！）
（因为图中：红色线段有3条；蓝色线段只有2条。
虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大。从
最后一题的解题过程中就能看出来。）
xvvfxfxf
'''
111
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyf
''
11
xvvfxfxf
'''
222
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyf
''
22
三、1. (11-7)
已知函数(,)zfxyxy，其中f具有二阶连续的偏导数，
求2zxy。
解：本题考查的知识点是：
多元复合函数的高阶偏导数
设
yxu
，xyv，（这两个属于具体函数）
则
⑴vufz,
（这个属于抽象函数）
对 ⑴式，把y看作常数，由链式法则得（下一步：遇到抽象函数，写出
它的“记号”即可；遇到具体函数，求出它的偏导数。最后一步：在抽象函数的
记号后面标出它的“自变量”---因为求二阶偏导数时，需要知道它的“自变量”
有几个，各是“啥”？，这样，后面做题时，就会“一目了然”。）
⑵yffxvvfxuufxz••'1'
21
对 ⑵式，把x看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得：
••••)()(222112yvvfyuufyfyvvfyuufyx
z
)1(1222121211xffyfxff
222121211
xyfyffxff
（）
2221211
)(xyfffyxf
注：
1fvuf,
1
vufu,
uz
（这些记号都是为抽象函数准备的！）
2fvuf,
2
vufv,
vz
（具体函数不需要这些记号！）
11fuf1 ； 21fvf112f
uf
2
；22fvf2
xvvfxfxf
口诀：分段用乘，分叉用加。
yvvfyf
（简单）
三、1. (07-7)
设xyxxfz,，其中f具有连续二阶偏导数，
求xyz2和yxz2。
解：本题考查的知识点是：
多元复合函数的高阶偏导数
设
x
y
v
，（这个属于具体函数）
则
⑴vxxfz,
（这里面既有具体函数又有抽象函数---其
中，x为具体函数；vxf,为抽象函数。）
yvvfyf
（下面用到的就是这一个）
先求xyz2
对 ⑴式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法则⑵得：
••xfxyvvfx
y
z1
2
⑵vxff,22
xvvfxfxf
222
（下面用到的就是这一个）
对 ⑵式，把y看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：
2222122221
22
2
fxyfxyffxvvfxfxyz••
设
x
y
v
，（这个属于具体函数）
则⑴vxxfz,（这里面既有具体函数又有抽象函数）
再求yxz2
xvvfxfxf
（下面用到的就是这一个）
对 ⑴式，把y看作常数，由链式法则和函数求导法则得：
•
•221,,xyffxvxfxvvfxfxvxfx
z
⑵vxfxyvxxfvxf,,,21
yvvfyf
（下面用到的就是这一个）
yvvfyf
11
（下面用到的就是这一个）
yvvfyf
22
（下面用到的就是这一个）
对 ⑵式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：
•
••yvvfxyvxfxyvvfxyvvfyx
z2212,1
•
••xfxyfxxfxxf
1111
222122
2222122
11fxy
fxffx
22212fxyf22221
fxyf
xyz
2
比较xyz2和yxz2的求解过程，可以看出：xyz2比yxz2的求解过程要
简单得多。
这是因为在中，
y
的关系简单。
注：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无
关，所以就可以自由选择次序---优先选择关系少
的变量（在本题中，显然y的关系少，这样优先
选择y就会简单的多。）！