圆

《圆》第一节 圆导学案1 学习过程: 一、自主学习 （一）复习巩固 1、举出生活中的圆的例子

2、圆既是 对称图形， 又是 对称图形。 3、圆的周长公式C= 圆的面积公式S=

（二）自主探究 1、圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点所形成的图形叫做 ．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ．以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ” 决定圆的位置， 决定圆的大小。

圆的定义○2：到 的距离等于 的点的集合． 2、弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 直径：经过圆心的 叫做直径 3、弧： 任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 半圆：圆的任意一条 的两个端点把圆分成两条弧，每一条 都叫做半圆 优弧： 半圆的弧叫做优弧。用 个点表示，如图中 叫做优弧 劣弧： 半圆的弧叫做劣弧。用 个点表示，如图中 叫做劣弧 等圆：能够 的两个圆叫做等圆 等弧：能够 的弧叫做等弧

4、 如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？ 5、 已知：如图，在⊙O中，AB，CD为直径 求证：BCAD//

（三）、归纳总结： 1、在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O的半径为r， 点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆 d r

点P在圆 d r 点P在圆 d r

OCA

B

OCABD

rrr

P

PP\

2、圆的集合定义（集合的观点） （1）思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？ （2）圆的内部是到 的点的集合； 圆的外部是 的点的集合 。

（四）自我尝试： 1、如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。

2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径平均每年增加多少?

二、教师点拔 1、圆心决定圆的 ，而半径决定圆的 ；直径是圆中经过 的特殊的弦， 是 的弦，并且等于 的2倍，是在研究圆的问题中出现次数最多的重要线段 但弦不一定是直径，过圆上一点和圆心的直径 一条；半圆是 的弧，而 弧 是半圆；“同圆”是指 圆，“同心圆”“等圆”指的是两个圆的位置、大 小关系；判定两个圆是否是等圆，常用的方法是看其 是否相等， 相等的两个 圆是等圆；“等弧”是能够 的两条弧，而长度相等的两条弧 是等弧。 2、想一想：角的平分线可以看成是哪些点的集合？线段的垂直平分线呢？

三、课堂检测 1．以点O为圆心作圆，可以作（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．确定一个圆的条件为（ ） A．圆心 B．半径 C．圆心和半径 D．以上都不对. 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知DEAB2，若COD为直角三角形，则E的度数为（ ） A．5.22 B．30 C．45 D．15 4、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 ⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 5、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在 ；当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。 \

四、课外拓展 1．如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D为OA、OB上两点，且BDAC 求证：BCAD

2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O. 求证：点A、B、C、D在以O为圆心的圆上.

3．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点. 求证：点E、F、G、H四点在同一个圆上.

《圆》第一节 垂直于弦的直径导学案1 一、自主学习 （一）复习巩固 判断： 1、直径是弦，弦是直径。 （ ） 2、半圆是弧，弧是半圆。 （ ） 3、周长相等的两个圆是等圆。 （ ） 4、长度相等的两条弧是等弧。 （ ） 5、同一条弦所对的两条弧是等弧。（ ） 6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。（ ） 7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦； _________________________________ 叫做直径. 8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__ 劣弧：______________________________ _,表示方法：______ 9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _. BA

C

DOM

10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________ （二）自主探究 请同学按下面要求完成下题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线． （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段：

相等的弧：

这样，我们就得到垂径定理： 垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 ． 表达式：

下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M 求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD. 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可． 证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中

∴Rt△OAM≌Rt△OBM( ) ∴AM= ∴点 和点 关于CD对称 ∵⊙O关于CD对称

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合． ∴ ， ，

进一步，我们还可以得到结论： 平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 ． 表达式：

BA

C

OM

D \ CB

DOA

（三）、归纳总结： 1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理 推论 ．

（四）自我尝试： 1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？

2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？

注：在半径r,弦a，弦心距d,拱高h四个量中，任意知道其中的 个量中， 利用 定理，就可以求出其余的量。 3、如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD

二、教师点拔 1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。 2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。 三、课堂检测

1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

A B C D O E A B O E A B O E D A B O E

D

O A B E R E D B A

C CE

DO

F

2、如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。

四、课外训练 1．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 2．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

(5) （6） 3．如图6，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，则弦CD长 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD弧所在圆的圆心，•其中CD=300m，E为CD弧上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=45m，求这段弯路的半径．

5.AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？

BAC

E

DOB

AC

E

DOF

O B A

C E

D

M M O A B C D