三角函数的图象变换(201911新)
三角函数的图像及其变换规律
三角函数的图像及其变换规律三角函数是高中数学中的重要内容之一，也是大学数学和物理的基础。
其中，三角函数与图像变换规律是我们需要深入了解的。
一、初步认识三角函数的图像三角函数是由单位圆上的点的坐标表示的函数，我们称这些点的坐标为正弦和余弦，正弦函数的图像和余弦函数的图像可以通过下面的方式作出：1. 画一个以原点 O 为圆心、1 为半径的单位圆；2. 以非负 x 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 A (1,0)，A 点纵坐标就是正弦值sinθ；3. 以非负 y 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 B (0,1)，B 点横坐标就是余弦值cosθ。
4. 相邻两个峰值之间的水平距离称为周期，即正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这样我们就可以画出正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的图像了。
在这个图像中，横轴表示角度，纵轴表示函数值。
另外，三角函数中还有一种常见的函数，即 y = tan x（正切函数）和 y = cot x（余切函数），它们的图像可以通过画出正弦函数和余弦函数的图像来得到。
二、三角函数的图像变换规律我们还可以通过对函数公式的系数进行变换，来改变函数图像的期数、振幅、图像的左右平移及上下平移等。
具体变换规律如下：1. 函数 y = A sin(Bx - C) + D，其中 A 为振幅，B 为周期，C 为左右平移，D 为上下平移。
当 A 和 B 变化时，函数图像的振幅和期数也随之发生变化。
其中，若 A > 1，则函数图像沿 y 轴方向压缩；若 A < 1，则函数图像沿 y 轴方向伸长。
当 B > 1 时，函数图像变窄了，其左右的振动次数增多，周期减小；当 B < 1 时，函数图像变宽了，左右振动次数减少，周期增加。
当 C > 0 时，函数图像向右移动；当 C < 0 时，函数图像向左移动。
三角函数的图象变换
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1、作出以下三个函数的图象 1 y sin x y 2 sin x 2
y sin x
0 0 0 0
2
x y=sinx y=2sinx y=1/2sinx
1 2 1/2
0 0 0
3 2
2
0 0 0
-1 -2 -1/2
y
2 1
(D)纵坐标变为原来的 1 倍，横坐标不变 2
5、为得到ｙ＝２sin( 1 x -- )，x∈ R，的图 3 2 象，只需将函数ｙ＝２sin(x－ )，x∈ R的 3 图象上所有点(Ａ )
(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变
(B)横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变 2
(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变 (D)纵坐标变为原来的 1 倍，横坐标不变 2
课堂练习
1.由y=sinx的图象经过怎样 变换可以得到 的图象?
x y 2 sin 6 2
2、将函数y=3sinx的图象向右平移
个单位长度，得到函数的解析式
4
为: y 3 sin( x )。 4
3、将函数y=2sin（x+ ）的图象上
5
所有点的横坐标变为原来的２倍，
y sin 2 x
1
Hale Waihona Puke 0-1y1
o
y sin 2 x
2
1
3 2
2
4
x
y sin x
1 y sin x 2
小结：函数y=sin x的图象是在y=sinx图象 1 的基础上纵坐标不变横坐标变成原来的 倍。 2 通常叫周期。P54思考交流。
三角函数图像变换方法
三角函数图像变换方法是数学和工程领域中非常重要的概念，其应用范围广泛，包括但不限于信号处理、图像处理、机械振动分析等领域。
下面将详细介绍三角函数图像变换的原理、方法和应用。
一、三角函数图像变换的基本原理三角函数图像变换的核心是通过调整三角函数的参数（如振幅、频率、相位等），从而改变其图像的形状和位置。
具体来说，可以通过以下几种方式来实现三角函数图像的变换：1. 振幅变换：通过改变三角函数的振幅参数，可以改变图像在垂直方向上的大小。
振幅增加时，图像的高度增加；振幅减小时，图像的高度减小。
2. 频率变换：通过改变三角函数的频率参数，可以改变图像在水平方向上的周期性。
频率增加时，图像的周期减小，图像变得更密集；频率减小时，图像的周期增加，图像变得更稀疏。
3. 相位变换：通过改变三角函数的相位参数，可以改变图像在水平方向上的平移。
相位增加时，图像向右平移；相位减小时，图像向左平移。
二、三角函数图像变换的常见方法1. 振幅变换法：通过直接调整三角函数的振幅参数，实现图像在垂直方向上的大小变化。
例如，将正弦函数y=sin(x)的振幅扩大2倍，得到y=2sin(x)的图像，其高度变为原来的2倍。
2. 频率变换法：通过调整三角函数的频率参数，实现图像在水平方向上的周期性变化。
例如，将正弦函数y=sin(x)的频率增加2倍，得到y=sin(2x)的图像，其周期变为原来的1/2。
3. 相位变换法：通过调整三角函数的相位参数，实现图像在水平方向上的平移。
例如，将正弦函数y=sin(x)的相位增加π/2，得到y=sin(x+π/2)的图像，其向右平移π/2个单位。
此外，还可以结合使用上述方法，实现更复杂的图像变换。
例如，可以同时调整振幅、频率和相位参数，得到不同形状和位置的三角函数图像。
三、三角函数图像变换的应用三角函数图像变换在各个领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用示例：1. 信号处理：在信号处理中，三角函数图像变换常用于分析信号的频率成分和相位关系。
三角函数的图像的变换
三角函数的图像的变换类型一 “五点法”作图解题准备:根据三角函数的图象在一个周期内的最高点､最低点及与x 轴的三个交点来作图,即先确定这五个点来作这个函数的图象.其一般步骤是: (1)令ωx+φ分别等于0, π, ,2π,求出对应的x 值和y 值,即求出对应的五点; (2)在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接,得函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的函数图象;(3)将所得图象向两边扩展,得y=Asin(ωx+φ)在R 上的图象.【典例1】作出函数的一个周期内的图象. [分析]考查:“五点法”作图.类型二、 三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式解题准备:给出图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B 的难点在于φ的确定,本质为待定系数法.基本方法是:①“五点法”,运用“五点”中的一点确定.②图象变换法,即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零值点或最值点确定φ,有时从找“五点法”中的第一零值点 作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零值点的位置.【典例2】下图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.（1）确定A.若以N 为五点法作图中的第一零点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx 的图象)所以A<0;若以M 点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx 的图象)所以A>0.而ω= ,φ可由相位来确定.(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,“第一零点”的确定是很重要的,尽量使A 取正值,由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图象,求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:①如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标,那么由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)即可求出φ.技法 “四看”解决图象平移问题22x x y sin =,2π32π一看:平移要求拿到这类问题,首先要看题目要求由哪个函数图象平移到哪个函数图象,这是判断移动方向的关键点.一般题目会有下面两种常见的叙述.二看:函数形式我们在解决这类问题时,一定要依赖y=Asin(ωx+φ)的形式,如果题目给定的函数不是这样的形式,就要化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再考虑平移.三看:移动方向在学习中,移动的方向一般我们会简记为“左加右减”,其实,这样不理解的记忆是很危险的.上述规则不是简单地看y=Asin(ωx+φ)中φ的正负,而是和它的平移要求有关.正确的理解应该是:平移变换中,将x 变换为x+φ,这时才是“左加右减”.2,y cos2x ()A..2663C..63y sin x B D πππππ=⎛⎫=- ⎪⎝⎭【典例】为了得到函数的图象可以将函数的图象向右平移向右平移向左平移向左平移3,()A..C.4444.22y sin x y sin x B D ππππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【典例】要得到函数的图象可以将函数的图象向左平移向右平移向左平移向右平移:,x ,y Asin(x ),x,x ,x ,y sin x y Asin(x ),|,,|.,x ωωωϕϕωωϕωϕϕωωϕωϕϕω⎛⎫+ ⎪⎝=++=+⎭=四看移动单位在函数图象左右平移中平移的单位是相对而言而在函数中相对的是由提出得因此相对的是所以由函数得到函数时平移的单位不是而是这点很容易出错4,y 2444()A. B.C.8.8y x D πππππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=【典例】要得到函数的图象可以将函数的图象向左平移向右平移向左平移向右平移。
三角函数的图象变换(已传)
函数的图象变换●图象变换类型※平移变换 ☆左右平移：函数)(x f y =向左平移)0(>ϕϕ个单位→)(ϕ+=x f y函数)(x f y =向右平移)0(>ϕϕ个单位→)(ϕ-=x f y规律总结：自变量x 左加右减。
☆上下平移：函数)(x f y =向上平移)0(>k k 个单位→k x f y +=)(函数)(x f y =向下平移)0(>k k 个单位→k x f y -=)(规律总结：函数值y 上加下减。
※伸缩变换☆横向伸缩函数)(x f y =的横坐标变为原来)0(1>ωω倍在，纵坐标不变→)(x f y ω=若1>ω，则横向压缩；若10<<ω，则横向拉伸。
☆纵向伸缩函数)(x f y =的纵坐标变为原来A 倍在，纵坐标不变→)(x Af y = 若1>A ，则纵向拉伸；若10<<A ，则纵向压缩。
※对称变换)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称)(x f y =与)(x f y --=关于原点对称※翻折变换|)(|x f y =的图像是由)(x f y =的图像位于x 轴上方的不变，再把下方的翻折到上方得到 )||(x f y =的图像是由)(x f y =的图像位于y 轴右侧的不变，再把右侧的翻折到左侧得到。
巩固训练●三角函数图象变换说出函数的变换过程1平移变换 ※横向平移说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g1x x f sin )(=→)4sin()(π+=x x g 2x x f sin )(=→)5sin()(π-=x x g 3）（4sin)(π+=x x f →x x g sin )(= 4）（3sin)(π-=x x f →x x g sin )(= 5)32sin(π+=x y 向左平移4π个单位得到____________________ 6)42sin(π+=x y 向右平移6π个单位得到____________________ ※纵向平移说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g1x x f sin )(=→)0(sin )(>+=k k x x g1x x f sin )(=→)0(sin )(>-=k k x x g 2伸缩变换●横向伸缩说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g1x x f sin )(=→)0(sin )(>=ωωx x g2x x f sin )(=→x x g 2sin )(=3x x f sin )(=→x x g 21sin )(= 4x x f 3sin )(=→x x g sin )(=5x x f 41sin )(=→x x g sin )(= 6x x f 3sin )(=→x x g 5sin )(=7)43sin()(π+=x x f →）（42sin )(π+=x x g8)0()sin()(11>=ωωx x f →)0()sin()(22>=ωωx x g ●纵向伸缩1x x f sin )(=→x x g sin 2)(= 2x x f sin )(=→x x g sin 31)(= 3x x f sin 3)(=→x x g sin )(= 4x x f sin 4)(=→x x g sin 2)(= 5)0(sin )(11>=A x A x f →)0(sin )(22>=A x A x g 说出下列函数如何由)(x f 变换到)(x g 1x x f sin )(=→x x g sin 2)(= 2x x f sin )(=→x x g sin 31)(= 3x x f sin 4)(=→x x g sin )(= 4x x f sin 2)(=→x x g sin 3)(= 5)0(sin )(11>=A x A x f →)0(sin )(22>=A x A x g3对称变换1234翻折变换12。
三角函数的图像变换
三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。
下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、 振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。
例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。
A 、 向上平移4个单位；B 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、 向下平移4个位单位。
分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。
故选B 。
二、 周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。
例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。
解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。
三、 相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。
即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移 例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。
三角函数图象的变换概述
16
复习巩固
A, , 的物理意义: 当函数y A sin(x ), x [0,)(其中A 0, 0)表示一个振动量时 ,
(1) A就是这个振动物体离开 平衡位置的最大距离 , 叫做振动的_____; 振幅 2 (2)往复振动一次所需要的 时间T , 称为这个振
sinx
2sinx
2
0 0 0
1 2
1 2
0
1
0 0 0
1
y 2 sin x 1 y sin x y sin x 2 3
2
0 2 0
1 2
o
1
2
2
1 x 2 si n x
提问:观察讨论上述三个函数图象及所列的表格,什么发生了变
化?它又是怎样变化的?与系数A有什么关系?什么没有变?
y
2
1 2 1 2
y 2 sin 2 x
y sin 2 x
y sin x
1
o
1
2
2
3 2
2
xபைடு நூலகம்
10
归纳小结
(1)为 得 到 函 数 y A sin x , x R( A 0, A 1)的 图 象,可 将y sin x , x R的 图 象 上 每 一 点 的 ( 纵) 坐标 ( 当A 1时)或(缩短 )( 当0 A 1时)到 原 来 伸长)( 的( A )倍,而( x )坐 标 不 变 . ( 2)为 得 到 函 数 y sinx , x R( 0, 1)的 图 象,可 将y sin x , x R的 图 象 上 每 一 点 的 ( 横) 坐标 (伸长)( 当 1时)或(缩短)( 当0 1时)到 原 来 的( 1 )倍,而( 纵 )坐 标 不 变 . (3)在函数 y A sinx, x R( A 0, 0)中, A叫做 (振幅 ),它决定函数 (最值 ),而的大小决定着函数 的( 周期).
高一数学三角函数的图象与变换课件
I A sin(t )
1 秒的时间内，电流 150
1 900
o
1 180
t
都能取得最大值和最小值， -300 那么ω 的最小正整数值是多少？
I 300sin(150 t ) min 943 6
【解题回顾】本题解答的关键是将图形语言转化
为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数 结合的有效途径。
则平
比如：由 y=sinx 作 y=sin(2x+π/3) 图象，如果先把横坐 标缩短为原来的 1/2倍，得 y=sin2x后再平移，应向左 平移π/6，切勿左移π/3.所以在没有特别要求的情况下， 建议先平移，再伸缩．
探究练习
游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心M距离地面 40.5m，半径为40m，若从最低点A处登上摩天轮， 从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离ｈ 将随时间ｔ变化．已知5min后到达最高点．
第五单元
4
三角函数
第六节 三角函数的图象及其变换
2
5
-2
考纲要求
1.能画出 y sin x, y cos x, y tan x 的图像，
了解三角函数的周期性.
2. 了解函数 y Asin(x ) 的物理意义；能画出
y Asin(x ) 的图像，了解参数 A, ,
试求ｈ关于ｔ的函数关系式并画出简图．
h 40.5 40 cos
M P
5
t (0 t 10)
A
3
3
C. T 6 ,
y sin(5 x ) 2.把函数 2 的图象向右平移 4 个
单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来
2019年三角函数的图像与性质精品教育.ppt
2
3
2
2
sinx 0
1
0
-1
0
1+sinx 1
2
1
0
1
2 y . y 1 sinx,x [0,2π ]
1.
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
练习： 用五点法分别画出下列函数的简图
1.y= - cosx，x[0， 2]
1
2.y=1+ 2 sinx, x∈[0， 2 ]
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx x[0,2]
y=sinx xR
y
1_
4 3 2 o
_
-1
2 3
正弦曲线
4 x
３． 正弦、余弦函数的图象
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
问题提出
1.在单位圆中，角α 的正弦线、余弦线 分别是什么？
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？唯一？
１.函数 y sin x, x0,2 图象
y
（ ，１）
1_
2
o1
A （o０,０ ）
正弦、余弦函数的图象
小结：
１．体会推导新知识时的数形结合思想；
几何画法 ２. 正弦曲线、余弦曲线 五点法
３．对比理解正弦函数和余弦函数的异同。
三角函数图像变换
通过以上四种形式的讨论和研究，得出形如y=Asin(ωx+φ)+k与y=sinx函数的图象间的关系。
1振幅变换：
y=Asinx与y=sinx图象的关系
纵坐标伸缩,横坐标不变。
纵坐标伸长A倍（A>0）
纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）。
例题1
要得到函数y= 2 sin x 的图象，只需将y= sinx 图象
纵坐标扩大到原来的2倍。
2、周期变换：
y=sinωx与y=sinx图象的关系
纵坐标不变,横坐标伸缩。
例题2
要得到函数y=sin3x 的图象，只需将y=sinx 图象
横坐标缩小到原来的1/3倍
3、平移变换：
(1)相位变换
y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关系
左右平移，左加右减。
例题3
要得到函数y=sin（x + π/3）的图象，只需将y=sinx 图象
向左平移π/3个单位。
(2)上下平移
y=sinx+K与y=sinx图象的关系。