一元二次方程复习讲义 (含答案)
九年级上第02讲 一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)讲义+练习
因式分解法解一元二次方程.
【知识导图】
1、观察一元二次方程 ，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.
1、形成表象,提出问题
用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
一元二次方程的解法
（配方法和因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式；
2、公式法解一元二次方程；
3、因式分解法解方程.
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．
一元二次方程(含答案)
第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在6－9分左右。
知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若220x x --= ）A ．3B ．3C D 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3323123222=+-+，选A. 练习：1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1BC ．D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解：1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b -， 两根之积是ac，易求出两根之和是2。
一元二次方程章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义解析版
ab x a b x -21==，第04讲 一元二次方程章节分类总复习一 一元二次方程及其解法 知识点睛：1. 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2. 一元二次方程的解法：解法 适用范围 步骤直接开方法符合)0(2≠=a b ax 型 的一元二次方程1) 两边分别开方，得：b x a ±=；2) 两边同除以系数a ，得，因式 分解法化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程 (1) 将一元二次方程化成一般是 (2) 将“=”左边的部分因式分解(3) 让各部分因式分别=0(4) 各部分因式分别=0的x 的值即为方程的解配 方 法适用二次项系数为1的一元二次方程1) 将一般形式的常数项移到“=”右边2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到b ax =2式的一元二次方程 3) 利用直接开方法求解方程(1) 将方程写成一般式【易错警示】➢ 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；➢ 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；➢ 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a 、b 、c 以及b 2-4ac 的值，之后再带入计算；1．（2021秋•西城区校级期中）若方程（m ﹣1）x |m |+1﹣2x ＝3是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ B ） A ．1B ．﹣1C ．±1D ．不存在【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0， 解得：m ＝﹣1， 故选：B ．2．（2021春•宁乡市期末）把方程2x （x ﹣1）＝3x 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ B ） A ．2，5，0B ．2，﹣5，0C ．2，5，1D ．2，3，0【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可． 【解答】解：方程2x （x ﹣1）＝3x ， 整理得：2x 2﹣5x ＝0，则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为0． 公 式 法适用所有一元二次方程2=++c bx ax ；(2) 分别写出a 、b 、c 的表达式，带入求出根的判别式ac b 42-的值；(3) 将数据带入公式）（042422≥--±-=ac b aac b b x ，得到方程的两个解21x 、x故选：B．3．（2021春•亳州期末）把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（A）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2+5x﹣2＝0C．x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．【解答】解：将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，故选：A．4．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（A）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣8【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，故选：A．5．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（A）A．（x﹣）2＝B．（x+）2＝C．（x﹣9）2＝62D．（x+9）2＝62【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2﹣9x+19＝0，∴x2﹣9x＝﹣19，∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，故选：A．6．解方程：（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；（2）x2﹣x﹣＝0；（3）（x﹣5）2＝16；（4）2y2+4y＝y+2；（5）x2﹣2x﹣4＝0；（6）x2+5x+4＝0．【分析】（1）先移项，变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用公式法求解即可．（3）开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）分解因式后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（5）配方后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（6）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵2（x﹣3）2＝x2﹣9，∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣9）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝9；（2）∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，∴Δ＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝4＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．（3）（x﹣5）2＝16，开方得：x﹣5＝±4，∴x1＝9，x2＝1；（4）2y2+4y＝y+2，2y2+3y﹣2＝0，（2y﹣1）（y+2）＝0，∴2y﹣1＝0或y+2＝0，∴y1＝，y2＝﹣2；（5）x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝1+4，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（6）x2+5x+4＝0，（x+4）（x+1）＝0，∴x+4＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣1．7．（2021秋•昭阳区期中）阅读例题，解答问题：例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．令y＝|x|，∴y2﹣y﹣2＝0解得：y1＝2，y2＝﹣1当|x|＝2，x＝±2；当|x|＝﹣1时（不合题意，舍去）∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2，仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0．【分析】原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，得y2﹣5y﹣6＝0，再利用因式分解法求解即可．【解答】解：原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，∴y2﹣5y﹣6＝0，解得y1＝6，y2＝﹣1，当|x+1|＝6，x+1＝±6，x＝5或x＝﹣7，当|x+1|＝﹣1时（不合题意，舍去），∴原方程的解是x 1＝5，x 2＝﹣7．二 根的判别式 知识点睛：对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， (1) 042＞ac b - 方程有两个不相等的实数根 (2) 042=-ac b 方程有两个相等的实数根 (3) 042＜ac b - 方程没有实数根 ➢ 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； ➢ 当042≥-ac b 时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知类题训练1．（2021秋•永春县期中）不解方程，判别方程x 2﹣3x +2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等实根 B ．有两个相等实根 C ．没有实根 D ．无法确定 【分析】由方程的系数结合根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，可得出Δ＞1，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：a ＝1，b ＝﹣3，c ＝2， ∵Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程x 2﹣3x +2＝0有两个不相等的实数根． 故选：A ．2．（2021•雨花区一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠0B ．m ≤C ．m ＜D ．m ＞【分析】由方程有实数根即Δ＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得． 【解答】解：根据题意得，Δ＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：m ≤， 故选：B ．3．（2021•河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）＝m2+4m+8＝（m+2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出n的取值范围，再根据n的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，解得：n＞2，∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．5．（2021秋•寿光市期中）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为．【分析】讨论：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得到m的值；当a＝b时，利用判别式的意义得到Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17．【解答】解：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；当a＝b时，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；综上所述，m的值为16或17．故答案为：16、17．6．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式Δ＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【解答】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为5．①当b＝c时，Δ＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．综上所述，该三角形的周长是13或14．7．（2020•亳州模拟）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．【分析】（1）根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围；（2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0，得到关于一元二次方程的解析式，然后把m代入该方程，求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m＝1，将m＝1代入原方程，得x2﹣2x＝0x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．8．（2020秋•沁阳市月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+3时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由方程的系数结合根的判别式、b＝a+3，可得出Δ＝（a+1）2+8＞0，进而可找出方程ax2+bx+1＝0有两个不相等实数根；（2）由根的判别式Δ＝b2﹣4a＝0，可得出：若b＝2，a＝1，则原方程为x2+2x+1＝0，解之即可得出结论．【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a，∵b＝a+3，∴Δ＝（a+3）2﹣4a＝a2+6a+9﹣4a＝（a +1）2+8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴b 2﹣4a ＝0，即b 2＝4a ， 取a ＝1，b ＝2， 则方程为x 2+2x +1＝0， ∴x 1＝x 2＝﹣1．9．（2021秋•台州期中）关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为5，求m 的值及方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）代入x ＝5可求出m 的值，再解方程，即可求出方程的另一个根． 【解答】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴b 2﹣4ac ≥0， ∴1﹣4m ≥0， ∴m ≤；（2）把x ＝5代入方程x 2﹣x +m ＝0得25﹣5+m ＝0， ∴m ＝﹣20，解x 2﹣x ﹣20＝0得x 1＝5，x 2＝﹣4， 所以m ＝﹣20，另一个根为﹣4．三 根与系数的关系（韦达定理）知识点睛：1.若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有abx x -21=+，ac x x =•21 2.两根关系的常见变形：2122122212-1x x x x x x ）（）（+=+212212214--2x x x x x x ）（））（（+=212122112212-3x x x x x x x x x x ）（）（+=+212121114x x x x x x +=+）（ 类题训练1．（2021秋•义马市期中）已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，则m 2+mn +n 2的值为（ ）A ．﹣1B ．9C ．27D ．23【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m +n 与mn 的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【解答】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴m +n ＝5，mn ＝﹣2，则原式＝（m +n ）2﹣mn ＝52﹣（﹣2）＝25+2＝27．故选：C ．2．（2021•遵义一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，则x 12+x 22的值是（ ）A ．﹣7B ．7C ．2D ．﹣2【分析】先利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，再利用完全平方公式得到x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，所以x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×1＝7．故选：B ．3．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，则+的值是（ ） A ． B ．﹣ C ．﹣ D ．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3， ∴+＝＝＝＝﹣．故选：C．4．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m＝1．故选：D．5．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0C．x1+x2＝2D．x1•x2＝2【分析】由根的判别式Δ＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．6．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（）A．﹣1B．1或﹣1C．1D．2【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，由题意可知：m2＝1，∴m＝±1，当m＝1时，Δ＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，Δ＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，故选：C．7.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，则x12+x22＝．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×1＝23．故答案为：23．8．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【分析】（1）根据m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，由根与系数的关系得出m+n和mn的值，再把要求的式子进行变形，再把m+n和mn的值代入即可；（2）先把m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，再根据（1）得出的m+n和mn的值，代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，∴m+n＝，mn＝﹣，∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．9．（2021秋•惠安县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1＝2x2，求k的值．【分析】（1）根据题意可得Δ≥0，从而可以求得k的取值范围；（2）根据根与系数的关系和x1＝2x2，可以求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4k≥0，解得k≤，即k的取值范围是k≤；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝9，x1x2＝k，∵x1＝2x2，∴3x2＝9，∴x2＝3，∴x1＝6，∴k＝18．四一元二次方程的实际应用类题训练：1．如图，在南河公园有一个矩形的花坛，长10米，宽7米（阴影部分）．在花坛的周围是等宽度的石子路，路的面积为84平方米．则石子路的宽度为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【分析】设石子路的宽度为x米，将四周的路面计算在内，则新矩形的长和宽分别为（10+2x）米和（7+2x）米，可知新矩形的面积减去花坛的面积等于路的面积，列方程求出x的值即可．【解答】解：设石子路的宽度为x米，根据题意得（10+2x）（7+2x）﹣10×7＝84，整理得2x2+17x﹣42＝0，解得x1＝2，x2＝﹣10.5（不符合题意，舍去），∴石子路的宽度为2米，故选：C．2．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升．某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口翠月平均增长的百分率为x，则可根据题意列出的方程是（）A．200000（1+x）2＝728000B．200000（1+x）3＝728000C．200000（1+x）+200000（1+x）2＝72800D．200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000【分析】设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据第二季度完成728000个零件的生产任务，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据题意得：200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000．故选：D．3．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝81【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后有81人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝81．故选：C．4．有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝100，整理得：x2+2x﹣99＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．5．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设彩条的宽度为xcm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的四分之一列出方程即可．【解答】解：设彩条的宽度为xcm，根据题意列方程得，，故选：B．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．7．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．8．工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为．【分析】根据题意表示出装裱后的长与宽，进而得出等式求出答案．【解答】解：设上面留白部分的宽度为xcm，则左右空白部分为2x，可列得方程为：（120+4x）（40+2x）＝7000．故答案为：（120+4x）（40+2x）＝7000．9．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．11．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．12．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，∴x＝10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．13．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据题意列出方程，并解答．【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．故答案是：48000；37；（2）设每个公司租出的汽车为x辆，两公司的月利润分别为y甲，y乙，则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850．当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y甲﹣y乙＝18400，即[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850＝18400，整理，得x2﹣36x+331＝0此方程无解．故此情况不存在；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y乙﹣y甲＝18400，即3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850＝18400，整理，得（x﹣45）（x+9）＝0，解得x1＝45，x2＝﹣9（舍去）所以当每个公司租出的汽车为45辆时，两公司月利润差恰为18400元．。
人教版 九年级数学讲义 二次函数与一元二次方程(含解析)
第6讲二次函数与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数与一元二次方程之间的联系，能够根据二次函数与x轴的交点坐标联系相应方程的解的情况，此外了解二次函数与不等式之间的关系，能够根据图象写出相应不等式的解集等，本节课的难点是二次函数与方程、不等式之间的联系考查，希望同学们能够认真学习。
知识梳理讲解用时：10分钟二次函数与一元二次方程之间的关联求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标。
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：①①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；①①=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；①①=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；①①=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），相应一元二次方程的根就是x1和x2.课堂精讲精练【例题1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+ x+1=0的根的情况是（）。
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】B【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点，则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：直接利用二次函数图象得出方程x2+x+1=0的根的情况，即抛物线与x轴的交点情况，进而得出答案。
教学建议：利用数形结合分析。
人教版 九年级数学 实际问题与一元二次方程讲义 (含解析)
第3讲实际问题与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。
知识梳理讲解用时：25分钟根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立。
课堂精讲精练【例题1】已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，△﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1．讲解用时：2分钟解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。
教学建议：熟练运用根与系数的关系。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根，△x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1•x2=﹣2017，△x12=x1+2017，△x12+x1x2+x2﹣2=x1+2017+x1x2+x2﹣2=x1+x2+x1x2+2015=1﹣2017+2015=﹣1．讲解用时：5分钟解题思路：根据一元二次方程的解的定义得到：x 12=x 1+2017，结合根与系数的关系得出与系数的关系得出x 1+x 2=a b ，x 1•x 2=ac ，代入求出即可。
第08课 一元二次方程章末复习(学生版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
第08课一元二次方程全章复习与巩固知识精讲知识点01一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有(一元)，并且未知数的(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视不为0．知识点02一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2．基本解法要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．知识点03一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程；（2）当△=0时，一元二次方程；（3）当△<0时，一元二次方程.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么.注意它的使用条件为.要点诠释：1.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.能力拓展考法01一元二次方程的有关概念【典例1】关于x 的一元二次方程22110a x x a ++=（-）-的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．12考法02一元二次方程的解法【典例2】用适当的方法解一元二次方程(1)210.503x -=；(2)22()(2)2a x a x +=+；(3)2 2410x x --=；(4)2(1(1x x -=+；【即学即练1】解方程．(1)(3x-2)2+(2-3x)＝0；(2)2(t-1)2+t＝1.考法03一元二次方程根的判别式的应用【典例3】若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ＜1考法04一元二次方程的根与系数的关系【典例4】已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【即学即练2】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．考法05一元二次方程的应用【典例5】如图所示，在长为10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【即学即练3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少m?【典例6】某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?。
(完整word版)一元二次方程讲义
第23章 一元二次方程1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。
其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数,常数项。
（1)下列方程中,是关于x 的一元二次方程的是( ）A x 1＋x 2＝1B 212+x －21-x ＝1C x 2－x ＋1＝0D 2x 3－5xy －4y 2＝0(2）将方程x 2+3=x +3x 化成一般形式是____________，二次项系数是____________，一次项系数是____________，常数项是____________。
(3）关于x 的方程m 2x －3x=2x －mx+2是一元二次方程，m 应满足什么条件？（4）已知关于x 的一元一次方程(m －2)2x +3x+2m －4=0，有一个解是0，求m 的值.（1）下列方程 ①－x 2+2=0 ②2x 2－3x =0 ③ －3x 2=0 ④ －3x 2=0 ⑤ x 2+x1=0 ⑥232+x ＝5x ⑦ 2x 2－3=（x －3）(x 2+1）中是一元二次方程的有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个(2）方程（m+1）2x －（2m+2）x+3m －1=0有一个根为0,则m 的值为（ ） A 32 B 31 C －32 D －31（1）若()5112=-+m x m 是一元二次方程,则m= 。
（2）一元二次方程()()0112=-+++c x b x a 化成一般形式为01342=++x x ，试求（2a+b ）·3c 的值.2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法（1)方程2x =1 的实数根的个数是 。
（2)用直接开平方法解下列方程① 92x －25=0 ② ()422=+x若方程()0212=--n m x ，试说明方程根的情况. （2）因式分解法(1)方程2x －1=0的根是 。
第二十一章一元二次方程复习课件
【主题训练3】(2013·广州中考)若5k+20<0,则关于x的一元二 次方程x2+4x-k=0的根的情况是( A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 )
D.无法判断
【自主解答】选A.Δ =16+4k= (5k+20), ∵5k+20<0,∴Δ <0,∴没有实数根.
4 5
【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根, ∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)= 2013-(-5)=2018.
3.(2014·启东模拟)一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数 是 ,一次项系数是 ,常数项是 .
【解析】项和系数都包括它前面的符号,所以二次项系数是2,一 次项系数是-3,常数项是-2. 答案:2 -3 -2
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 把y+2看作一个未知数， (y+2)(y+2-3)=0 变成 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 (ax+b)(cx+d)=0形式.
步骤归纳
① 同除二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程.
4 -5=0 x
【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两 个未知数,D中的方程不是整式方程.
2.(2013·牡丹江中考)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5
=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是( A.2 018 B.2 008 C.2 014 ) D.2 012
一元二次方程复习+练习+答案
九年级一元二次方程复习+练习+答案一、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 二、一元二次方程的解法：1、配方法（直接开平方法）形如x 2=p （p ≥0），那么可直接开平方x=， 可化为左边是含有x 的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=（方程左边配方成a 2+2ab+b 2=（a+b ）2） 例如：714394716444b ab 2a b a 047442078212222222222-=-=-±=±=+-=+++=+=-++⨯+=++x x x x x x x x x 、）（）（）随后需减去形式加）（为配方成（2、公式法:aacb b x 242-±-=（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）时，方程无实数根当实数根时，方程有两个相等的当实数根时，方程有两个不等的当00042〈∆=∆〉∆-=∆acb3、因式分解法：把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）（1）提公因式例如：3x x 20x 6x 22=+=+）（（2）十字相乘：（十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
）这个方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21a a 、的积，把常数项c 分解成两个因数21c c 、的积，并使1221c a c a +正好等于一次项的系数b 。
一元二次方程分式方程的解法及应用知识讲解(提高)含答案
1,2=0；当m＜0时，方程没有实数解．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成x2=m的形式，当m＞0时，方程的解为x=±m；当m＝0时，方程的解x（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 变形为 x + ⎪ =如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的两个根是 x 、x ，那么 x + x = - ，x ⋅ x = c ．aa⎛ ⎝ b ⎫2 b 2 - 4ac 2a ⎭ 4a 2的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（ 3 ） 公 式 法 ： 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 ， 当 b 2 - 4ac ≥ 0 时 ， 它 的 解 为x = -b ± b 2 - 4ac 2a．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 a ≠ 0 .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 ∆ = b 2 - 4ac ．△>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； △＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； △<0 ⇔ 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0 ⇔ 方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系b 121 212要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程 a x 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已 知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代 数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，那么原方程可化为y2-5y+4=0……①，解得y=1，y=4，12当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±2；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±5，故原方程的解为x=2，1x=-2，x=5，x=-5．234解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0．2【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设 x 2 = y ，那么原方程可化为 y 2 - y - 6 = 0解得 y = 3 ； y = -21 2当 y = 3 时， x 2 = 3 ；∴ x = ± 3当 y = -2 时， x 2 = -2 不符合题意，舍去．所以原方程的解为 x = 3 ， x = - 3 ．1 2【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】【变式】设 m 是实数，求关于 x 的方程 x 2 - mx - 3x + m + 2 = 0 的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，ab 2求的值.(a - 2) 2 + b 2 - 4【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b 2 - 4a = 0 ，可得出 a 、b 之间的关系，ab 2然后将化简后，用含 b 的代数式表示 a ，即可求出这个分式的值．(a - 2) 2 + b 2 - 4【答案与解析】∵ ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，∴⊿＝ b 2 - 4ac = 0 ，即 b 2 - 4a = 0 ．ab 2ab 2ab 2 ab 2∵ = = =(a - 2) 2 + b 2 - 4 a 2 - 4a + 4 + b 2 - 4 a 2 - 4a + b 2 a 2∵ a ≠ 0 ，∴ ab 2 b 2 =a a= 4【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能解得，x=3+522力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，∴(-3)2-4(-k)＞0．即4k>-9，解得，k>-9 4．（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2-3x+1=0．3-5，x=．12（如果k＝－2，原方程为x2-3x+2=0，解得，x=1，x=2．）12类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为【答案与解析】代入原方程求解较为简单.原方程变为经检验，【总结升华】是原方程的根.时，x 2 - 6x + 5 = -因为， ，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三：【变式 1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得 解得经检验：是原方程的根.【变式 2】 解方程：7 31 4- =-x 2 - 6x - 4 x 2 - 6x + 5 x 2 - 6x + 9【答案】设k = x 2 - 6x + 5，则原方程可化为：731 4 -=-k - 9kk + 4去分母化简得：20k 2 - 147k - 1116 = 0∴(k - 12)(20k + 93) = 0∴k = 12 ，k = -9320当k = 12时，x 2 - 6x - 7 = 0(x - 7)(x + 1) = 0解之得：x = -1，x = 712当k = - 93 9320 2020x 2 - 120x + 193 = 0解此方程此方程无解.经检验：x = -1，x = 7是原分式方程的根.124．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以整理，得，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.，乙的工作效率为，工作总量为1.由题意得1000【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，550=，2x-40x解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10，④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把整式方程组来解．，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程讲义学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、选择题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）；A 、02=++c bx axBC 、1222-=+x x xD 、)1(2)1(32+=+x x【答案】D【解析】试题分析：由题意分析可知，本题中A 中，20ax bx c ++=，只有在0a ≠时才是一元二次方程，故A 错误;B 中，不是一元二次方程；C 中，因为2221210x x x x +=-⇒+=，所以不是一元二次方程，故不选;D 中，化简可得，22363223410x x x x x ++--=++=，是一元二次方程，故选D考点：一元二次方程的判定点评：本题属于对一元二次方程的基本性质和判定定理的知识的考查2．关于x 的方程（a －5）x 错误！未找到引用源。
－4x －1=0有实数根，则a 的范围是A 、a ≥1B 、a ﹥1 且a ≠5C 、a ≥1 且a ≠5D 、a ≠5【答案】C【解析】（1）当a =5时，-4x －1=0，解得（2）当a ≠5时，此方程是一元二次方程，∵关于x 的方程（a －5）x 错误！未找到引用源。
－4x －1=0有实数根，∴△=（-4）2-4（a －5）×(-1)≥0，解得a ≥1，由（1）、（2）得，a 的取值范围是a ≥1 且a ≠5．故选C3．已知等腰三角形的一边长为5，另两边的长是方程062=+-m x x 的两根，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．10B ．11C ．10或11D ．11或12【答案】C【解析】试题分析：解：由题知等腰三角形一边为5，所以有两种情况；当5为底边时，方程x 2-6x+m=0,有两个相等的实数根，△=b 2-4ac=62-4×1×m=0，解得m=9，∴x=3,∴三角形周长=5+3+3=10.当5为腰长时；方程一解为5，,52-6×5+m=0,m=5,解得x 1=1,x 2=5.所以，三角形周长=5+5+1=11.考点：等腰三角形性质，一元二次方程根与判别式的关系。
点评：熟知以上的性质，及方程判别式的意义，在解答时，要注意两种情况，题目不难但易出错，属于基础题。
4．如果a 是一元二次方程032=+-m x x 的一个根，－a 是方程032=-+m x x 的一个根，那么a 的值为（ ）A.0B.3C.0或3D.无法确定【答案】C【解析】 试题分析：把a 代入方程032=+-m x x ，再把－a 代入方程032=-+m x x ，即可得到关于a 、m 的方程组，解出即可. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-030322m a a m a a 两个方程相加得0622=-a a ，解得30==a a 或故选C.考点：方程的根的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值.5．若实数x 、y满足，则的值是（ ） A.1 B. C.2或 D. 或1 【答案】A【解析】因为是非负数，所以大于或等于0， 由题意得：的值是1 故选A6．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数，则m 的值是（ ）A. 3或-1B.3C. 1D. –3或1【答案】B【解析】试题分析：因为+αβ=-(2m+3)，2⋅αβ=m ，即+⋅αβ=-αβ，即2(23)m m -+=，即(3)(1)0m m -+=，所以3m =或1m =-，又因为方程有两个不相等的实数根，所以22(23)41290m m m =+-=+> ，所以，即1m =-不满足，所以3m =考点： 值的判断，一元二次方程的两根关系点评：学生做这道题时，一定要注意判断值7．关于x 的一元二次方程(2x －1)2＝b 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定【答案】D【解析】试题分析：一元二次方程(2x －1)2＝b ，因为b 不确定，b 可以为0，也可以大于0，也可以小于0；当b<0时，因为(2x －1)20≥，所以不存在x ；当0b ≥时，因为(2x －1)2=0，2222(2)(1)0x y x y +++-=22x y +2-1-2-22x y+22x y+即2x-1=0,当0b ≥时，因为(2x －1)2>0，存在两个不相等的实数根使之成立；综上所述，关于x 的一元二次方程(2x －1)2＝b 的根的情况是不确定的，所以选D 考点：一元二次方程点评：本题考查一元二次方程，解答本题的关键是掌握一元二次方程的解法，会正确的求一元二次方程的解8．已知一元二次方程2x 6x c 0-+=有一个根为2，则另一根为A.2B.3C.4D.8【答案】C 。
【解析】设一元二次方程2x 6x c 0-+=另一个根为x ，则根据一元二次方程根与系数的关系得：2x 6x 4+=⇒=。
故选C 。
9．给出下列说法，其中正确的是（ ）①关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)，若042<-ac b ，则方程02=++c bx ax 一定没有实数根；②关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)，若0=++c b a ，则方程02=++c bx ax 必有实数根； ③若a x =是方程02=-+a bx x 的根，则1=+b a ；④若a ，b ，c 为三角形三边，方程bx x c a 2)(2-+0=-+c a 有两个相等实数根，则该三角形为直角三角形.A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①③④【答案】C【解析】试题分析：解：一元二次方程的根与系数的关系决定了，根的个数，当判别式大于零是有连个不相等的实数根，等于零有一根，小于零无根。
所以，①无根；②当x=1时，a+b+c=1;③当x=a=0时，a+b=1,不一定成立。
④因有根，所以，(2b)2-4（a+c(a-c)=0,即b 2+c 2=a 2,所以，为直角三角形。
考点：一元二次方程判别式，直角三角形的性质，点评：熟知以上的性质，由已知易得，本题恕不基础题。
二、填空题（题型注释）10．如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为_________．【答案】551；【解析】试题分析：解：由图可以看出两条路的宽度为：1m ，长度分别为：20m ，30m ，所以，可以得出路的总面积为：20×1+30×1-1×1=49m 2，又知该矩形的面积为：20×30=600m 2，所以，耕地的面积为：600-49=551m 2．考点：几何面积点评：本题难度较低，主要考查学生对几何面积知识点的掌握。
注意求出矩形面积消减道路面积即可。
11．若，则代数式的值为________【答案】6【解析】试题分析：代数式()222514x x x -+=-+，因为所以()222514x x x -+=-+=2+4=6 考点：配方法点评：本题考查配方法，解答本题要求考生掌握配方法，会对代数式进行配方，本题看考生能否想到配方法，想到了就很简单12．背面完全一样的四张卡片上分别写有数字2、5、0、3，从中任取一张，并用这张卡片上的数字与1的差作为k 值，的卡片概率是_______.【解析】试题分析：方程有解，必须满足2412448402b ac k k k =-=--=-≥⇒≤V ，所以另一个数必须小于等于3，故是0,2,3考点：方程的解点评：一元二次方程根的判别式是24b ac =-V ，当0Vf 时，方程有两个不相等的实数根；当0Vp 时，方程没有实数根，该方程无解；0=V 时，该方程有两个相等的实数根。
13．截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽.如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x 只活禽，那么可列方程为 ；n 轮感染后，被感染的活禽只数为_______ _只. (用含n 的代数式表示)【答案】36)1(2=+x ；n 6【解析】试题分析：由题意根据经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，即可列出方程，从而列出代数式.由题意可列方程为36)1(2=+x ；n 轮感染后，被感染的活禽只数为n 6只.2(1)2x -=225x x -+2(1)2x -=考点：根据实际问题列方程，列代数式点评：解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程和代数式.14．如果实数满足，且关于的方程：的一根为1，则 . 【答案】-5 【解析】试题分析：先根据二次根号下的数为非负数可求得a 的值，即可求得b 的值，再根据方程的根的定义即可求得结果.由题意得⎩⎨⎧≥-≥-0202a a ，解得⎩⎨⎧≤≥22a a ，则2=a ，所以3=b ∵关于的方程：的一根为1∴013122=+⨯+⨯c ，解得.5-=c考点：二次根式有意义的条件，方程的根的定义点评：解题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值.15．某超市一月份的营业额为200万元，一季度的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x ，则由题意列方程为 .【答案】2200+200(1+x)+200(1+x)=1000【解析】试题分析：一个季度一共三个月，第一个月营业额为200万元，增长率为x ，则第二个月为200(1+x)万元，第三个月为2200(1+x)万元，一个季度的营业额共1000万元，所以三个月营业额之和即为1000万元。
考点：增长率问题点评：增长率问题一般都由第一个数和增长率来求得接下来的数字，或者已知增长率和某一个数，来求出第一个数。
16．关于x 的一元二次方程kx 2－x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．【答案】k ＜14且k ≠0 【解析】试题分析：根据方程有两个不相等的实数根可得△042>-=ac b ，即可得到关于k 的不等式，同时结合一元二次方程二次项系数不为0求解即可.由题意得△04)1(422>--=-=k ac b ，解得所以k k ≠0. 考点：一元二次方程根的判别式点评：解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△ac b 42-=的关系：（1）⇔>0△方程有两个不相等的实数根；（2）⇔=0△方程有两个相等的实数根；（3）b a ,x 02=++c bx ax =c x 02=++c bx ax⇔<0△方程没有实数根．三、计算题17．x-2=x(x-2) 【答案】.2121==x x ， 【解析】 试题分析：先移项，再提取公因式)2(-x ，即可根据因式分解法解方程。