2021年高考数学压轴题100题精选含答案

∴若其内切圆半径为 r ，则有 3
3 ，即 3 ，所以内切球的表面积为
3 .故
错误.
D：正方体 ABCD ABCD 中，点 P 在底面 ABCD（所在的平面）上运动且 MAC PAC ，
即 P 的轨迹为面 ABCD 截以 AM、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线 GPK ，
利用面面垂直的判定定理与性质定理得到 A' 到平面面 BCED 的高 A'H,并根据二面角的平面角，在直
角三角形中计算求得 A'H 的值，从而判定 A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线 A'D 与 CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定 B;利用勾股定理检验可以否定 C;先证明底面的外接圆 的圆心为 N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥 A'-BCED 的外接球的球心为 O,则 ON⊥平面 BCED,且 OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定 D. 【详解】 如图所示，作 AM⊥DE，交 DE 于 M,延长 AM 交 BC 于 N,连接 A'M,A'N. 则 A'M⊥DE,MN⊥DE, ,
B1N B1M
4 3
1
，故错误；
对于 D.同 A 选项证明方法一样可证的 GC1 //B1M ，
因为
E
为棱 CC1 上的中点， C1 为棱 B1N
GC1 =
上的中点，所以
1 2
B1M
3 2
所以
D1G=
1 2
，所以
D1G
:
GC1
1:
3
，故正确.
故选：ABD 【点睛】 求体积的常用方法： （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一 个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换； （3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的 几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
C．四面体 ACBD 的内切球的表面积为 3
D ． 正 方 体 ABCD ABCD 中 ， 点 P 在 底 面 ABCD （ 所 在 的 平 面 ） 上 运 动 并 且 使
MAC PAC ，那么点 P 的轨迹是椭圆
【答案】AB 【分析】
cos AM , DB AM DB
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角
S 13 23 2 9
∴梯形的面积为 2
2 2 ，故正确.
C：如下图知：四面体 ACBD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
V 841 18 8
∴
32
3 ，而四面体的棱长都为 22 ，有表面积为
S 4 1 2 2 2 2 sin 8 3
2
3
，
18 3r 8 r 3
4 r2 4
cos PAC AP AC
2y 2
| AP || AC | x2 y2 4 3 ， 即
2 y 2 15
x2 y2 4 3
5
，整理得
( y 10 2)2 9x2 216( y 0) ，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】 关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐 标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进 而求内切球的表面积. 2．如图所示，正三角形 ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，其中 AB＝8，把△ADE 沿着 DE 翻 折至 A'DE 位置，使得二面角 A'-DE-B 为 60°，则下列选项中正确的是（ ）
【详解】
对 A 选项，如下图：由 A1P 3 ，知点 P 在以 A1 为球心，半径为 3 的球上，又因为 P 在底面 ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由 A1A 底面 ABCD，知点 P 的轨迹是在底面上以 A 为圆心 的小圆圆弧，半径为 r A1P2 A1A2 2 ，则只有唯一一点 C 满足，故 A 正确；
3．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P 为底面 ABCD 内（含边界）一点．（ ）
A．若 A1P 3 ，则满足条件的 P 点有且只有一个
B．若 A1P 2 ，则点 P 的轨迹是一段圆弧
C．若 A1P// 平面 B1D1C ，则 A1P 长的最小值为 2
2 D．若 A1P 2 且 A1P// 平面 B1D1C ，则平面 A1PC1 截正方体外接球所得截面的面积为 3
| AM || DB | 为 AM 与
DB 所成角的余弦值判断 A 的正误；同样设 P(x, y,0) 结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦
2 y 2 15 值相等可得 x2 y2 4 3 5 ，进而判断 P 的轨迹知 D 的正误；由立方体的截面为梯形，
分别求 MN, AD, AM , DN ，进而得到梯形的高即可求面积，判断 B 的正误；由四面体的体积与
【答案】ABD
【分析】
选项 A，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面 A1BD// 平面 B1D1C ，知满足 A1P// 平面 B1D1C
的点 P 在 BD 上， A1P 长的最大值为
2r A1P 2 ；结合以上条件点 P 与 B 或 D 重合，利用 sin 60 ，求
r 6 出 3 ，进而求出面积.
对 B 选项，同理可得点 P 在以 A 为圆心，半径为 r A1P2 A1A2 1的小圆圆弧上，在底面 ABCD 内（含边界）中，可得点 P 轨迹为四分之一圆弧 BD .故 B 正确；
对 C 选项，移动点 P 可得两相交的动直线与平面 B1D1C 平行，则点 P 必在过 A1 且与平面 B1D1C 平
4．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，中， E 为棱 CC1 上的中点， F 为棱 AA1 上的
点，且满足 A1F : FA 1: 2 ，点 F ， B ， E ， G ， H 为过三点 B ， E ， F 的平面 BMN 与正方
体 ABCD A1B1C1D1 的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）
详解对于a选项以点d为坐标原点dadc1dd所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系dxyz?则点??200a??220b设点????0202maa??am?平面?则am为平面?的一个法向量且??22ama????020ab?224232cos32288abamabamabamaa?????????????????所以直线ab与平面?所成角的正弦值范围为3232??????a选项正确
内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径 r，进而求内切球表面积，判断 C 的正误. 【详解】 A：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有： A(0,0, 2), M (1, 2, 2), B(0, 2,0), D(2,0,0) ， ∴ AM (1, 2, 0), DB (2, 2, 0) ， cos AM , DB AM DB 2 10
∵ A' M ∩MN=M,∴CD⊥平面 A'MN,
又∵CD⊂平面 ABDC,∴平面 A'MN⊥平面 ABDC, 在平面 A'MN 中作 A'H⊥MN,则 A'H⊥平面 BCED, ∵二面角 A'-DE-B 为 60°，∴∠A'EF=60°，
∵正三角形 ABC 中，AB=8,∴AN= 4 3 ,∴A'M=2 3 ,∴A'H=A'Msin60°=3，故 A 正确；
A1F
: FA
1: 2 ，所以 B1M
3 2
A1B1
3
，
又 E 为棱 CC1 上的中点，所以 B1N 4 ,
VB1 BMN
所以
VN B1BM
1 3
1 2
2
3
4
4
，故正确；
对于 C.由题意及图形可判定直线 MN 与平面 A1B1BA 所成的角为 B1MN ，
tan B1MN
结合 B 选项可得
3 ,故 D 正确.
故选:ABD.
【点睛】 本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判 定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面 垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的 讨论与验证.
5．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 O 为 A1D1 的中点，若以 O 为球心， 6 为半径的
连接 DN,易得 DN‖EC,DN=EC=4, ∠A'DN 就是直线 A'D 与 CE 所成的角，
DN=DA'=4,A'N=A'M=2 3 ,
42 42 12 5
cos∠A'DN= 2 4 4 8 ,故 B 正确；
A'D=DB=4,A'B= AN2 BN2 12 16 2 7 ,
∴ AD2 DB2 AB2 ,∴A'D 与 BD 不垂直，故 C 错误’
行的平面内，由平面 A1BD// 平面 B1D1C ，知满足 A1P// 平面 B1D1C 的点 P 在 BD 上，则 A1P 长的
最大值为 A1B 2 ，则 C 不正确；
对选项 D，由以上推理可知，点 P 既在以 A 为圆心，半径为 1 的小圆圆弧上，又在线段 BD 上，即
与 B 或 D 重合，不妨取点 B，则平面 A1PC1 截正方体外接球所得截面为 A1BC1 的外接圆，利用
A．点 A'到平面 BCED 的距离为 3
5 B．直线 A'D 与直线 CE 所成的角的余弦值为 8
C．A'D⊥BD