2012年高考试题理科数学(新课标1卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）

理科数学(解析卷）

注意事项：

1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必

将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的。

1．已知集合{

}5,4,3,2,1=A ，(){}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,|,，则B 中所含元素的个数为 A ．3 B ．6 C ．8 D ．10

2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每

个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种

3．下面是关于复数=z 2

1i -+的四个命题

1P ：2=z 2P :i z 22= 3P :z 的共轭复数为i +1 4P :z 的虚部为1-

其中真命题为

A ．2P , 3P

B ．1P ,2P

C ．2P ,4P

D 3P ,4P

4．设21,F F 是椭圆E :12222=+b y a x ()0>>b a 的左、右焦点 ，P 为直线3

2a

x =上的一

点，

12PF F ?是底角为ο30的等腰三角形，则E 的离心率为

A ．1

2

B ．

23

C ．

34

D ．

45

5．已知{}n a 为等比数列，8,26574-==+a a a a 则=+101a a

A ．7

B ．5 C.5-

D ．7-

6．如果执行右边的程序图，输入正整数()2≥N N N 和实数n a a a a Λ321,,，输出B A ,则

A ．

B A +为n a a a a Λ321,,的和 B ．

2

A B

+为n a a a a Λ321,,的算式平均数 C ．A 和B 分别是n a a a a Λ321,,中最大的数和最小的数

D ．A 和B 分别是n a a a a Λ321,,中最小的数和最大的数

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体

的体积为

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于B A ,两

点，34=AB ，则C 的实轴长为

A ．2

B ．22

C ．4

D ．8

9）已知0>ω，函数??? ??+=4sin )(πωx x f 在2ππ??

???，单调递减，则ω的取值范围是

A ．??

?

???45,21

B ．??

????43,21

C ．??

? ??21,0

D ．(]2,0

10．已知函数()x

x x f -+=

1ln 1

)(，则)(x f y =的图像大致为

11）已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，

SC 为O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为

A ．

26

B 3

C ．

23

D ．

22

12）设点P 在曲线x e y 2

1

=上，点Q 在曲线()x y 2ln =上，则PQ 的最小值为

A ．2ln 1-

B ．()2ln 12-

C ．2ln 1+

D ．()2ln 12+

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知向量b a ??,夹角为ο

45，且1=a ?,102=-b a ?ρ，则=b ρ____________．

14．设y x ,满足约束条件????

???≥≥≤+-≥-0

031y x y x y x 则y x z 2-=的取值范围为__________．

15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000,502），且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________．

16）数列{}n a 满足()1211-=-++n a a n n

n ，则{}n a 的前60项和为________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17）（本小题满分12分） 已知c b a ,,分别为ABC ?的三个内角C B A ,,的对边，0sin 3

cos =--+c b C a C a 。 （Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若ABC a ?=,2的面积为3，求c b ,。

18）（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量

n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

19.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111C B A ABC -中，12

1

AA BC AC =

=，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。

(1)证明：BC DC ⊥1；

(2)求二面角11C BD A --的大小。

20.（本小题满分12分）

设抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于D B ,两点。 (1)若ο90=∠BFD ，ABD ?的面积为2，求p 的值及圆F 的方程；

(2)若F B A ,,三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

21.（本小题满分12分） 已知函数()x f 满足()()()2

12

101x x f e f x f x +-'=-． (1)求()x f 的解析式及单调区间； (2)若()b ax x x f ++≥

2

2

1，求()b a 1+的最大值。

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 22．（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，E D ,分别为ABC ?边AC AB ,的中点，直线DE 交ABC ?的外接圆于G F ,两点，

若AB CF //，证明：

（Ⅰ）BC CD =；

（Ⅱ）BCD ?～GBD ?。 23．（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程式???==?

?

sin 3cos 2y x （?为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程式2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，

且D C B A ,,,依逆时针次序排列，点A 的极坐标为2,2π??

???。

（Ⅰ）求点D C B A ,,,的直角坐标；

（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

PD PC PB PA +++的取值范围。

已知函数()2-++=x a x x f . （Ⅰ）当3-=a 时，求不等式()3≥x f 的解集； （2）若()4-≤x x f 的解集包含[]2,1，求a 的取值范围。

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 （1）【解析】选D

5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个

（2）【解析】选A

甲地由1名教师和2名学生：12

2

412C C =种 （3）【解析】选C

22(1)

11(1)(1)

i z i i i i --=

==---+-+--

1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1- （4）【解析】选C

?21

F PF 是底角为30o

的等腰三角形221332()224

c PF F F a c c e a ?==-=?== （5）【解析】选D 472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-?==-或472,4a a =-=

471101104,28,17a a a a a a ==-?=-=?+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=?=-=?+=-

（6）【解析】选C （7）【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3

此几何体的体积为11

633932

V =????=

（8）【解析】选C

设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --

得：222(4)4224a a a =--=?=?=

（9）【解析】选A

592()[,]444x πππ

ωω=?+∈ 不合题意 排除()D

351()[,]444x πππ

ωω=?+∈ 合题意 排除()()B C

另：()22πωππω-≤?≤，3()[,][,]424422x ππππππ

ωωπω+∈++?

得：315,2424224

πππππωπωω+≥+≤?≤≤

（10） 【解析】选B

()ln(1)()1()010,()00()(0)0x

g x x x g x x

g x x g x x g x g '=+-?=-

+''?>?-<<?<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D （11）【解析】选A

ABC ?

的外接圆的半径r =

O 到面ABC

的距离d ==SC 为球O 的直径?点S 到面ABC

的距离为23

d =

此棱锥的体积为11233436ABC V S d ?=?=??=

另：123ABC V S R ?

（12）【解析】选A 函数1

2

x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称

函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =

的距离为d =

设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-?=-?=-?=

由图象关于y x =对称得：PQ

最小值为min 2ln 2)d =-

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）【解析】_____b =

r

222(2)1044cos 4510a b a b b b b ?

-=?-=?+-=?=r r r r r r r

(14)【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-

约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C

则2[3,3]z x y =-∈-

（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 3

8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12

p =

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2

13

1(1)4

P p =--=

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为213

8

p p p =?=

（16）【解析】{}n a 的前60项和为 1830

可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+

11234151514

1010151618302

b a a a a S ?=+++=?=?+

?= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）【解析】（1）由正弦定理得：

cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +--=?=

+

sin cos sin sin()sin 1

cos 1sin(30)2

303060A C A C a C C

A A A A A ????

?=++?-=?-=

?-=?= （2

）1

sin 42S bc A bc ==?=

2222cos 4a b c bc A b c =+-?+=

解得：2b c ==（l fx lby ）

18.【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-=

当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-

得：1080(15)

()80(16)n n y n N n -≤?=∈?≥?

（2）（i ）X 可取60，70，80

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======

X

60EX =222160.160.240.744DX =?+?+?=

（ii ）购进17枝时，当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??=

76.476> 得：应购进17枝

（19）【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC =

得：45ADC ?∠=

同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠=

得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H

1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合

且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =，则12

C O =

，111230C D C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?

点A 到准线l

的距离d FA FB ===

1

22

ABD S BD d p ?=???=?=

圆F 的方程为22(1)8x y +-=

（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p

>，则(0,)2p

F

点,A B 关于点F 对称得：22

2

20000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,)2p A

，直线3:022p p p m y x x -

=

+?-+=

22

2233

x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点)6p P

直线:06p n y x x p -

=-?= 坐标原点到,m n

距离的比值为:326

=。（lfx lby ）

（21）【解析】（1）1211

()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+

令1x =得：(0)1f =

12

11()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+

?==?= 得：21

()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+

()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?<

得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+

①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增

x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<<

当x =max ()2

e F x =

当1,a b ==(1)a b +的最大值为

2

e 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ??=

//CF AB AF BC BC CD ?=?= （2）//BC GF BG FC BD ?==

//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD ??:

（23）【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ

点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)--

（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ?

??

=??

=?为参数 2

2

2

2

224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]?=+∈（lfxlby ）

（24）【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥

2323x x x ≤???

-+-≥?或23323x x x <

??-+-≥?

1x ?≤或4x ≥

（2）原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立

?++-≤-在[1,2]上恒成立x a x x

24

?--≤≤-在[1,2]上恒成立

x a x

22

?-≤≤

30

a