高考数学文科分类汇编统计和计数原理
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一、统计
1.随机抽样
[2014·重庆卷] 某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取7 0
人，则n为()
A．100 B．150
C．200 D．250
3．A[解析] 由题意，得70
3500＝
n
3500＋1500
，解得n＝100.
[2014·湖北卷]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
11．1800[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则80－50
n＝
80
4800，
解得n＝1800.
[2014·湖南卷]对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()
A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p3
3．D[解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为
n
N.
[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
2．A[解析] 根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体”．故选A.
[2014·天津卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．9．60[解析] 由分层抽样方法可得，从一年级本科生中抽取的学生人
数为300×
4
4＋5＋5＋6
＝60.
[2014·天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z ，其年级情况如下表：
一年级二年级三年级
男同学 A B C
女同学X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝6
15＝
2
5.
2.用样本估计总体
[2014·安徽卷]某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
图1-4
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P(K2≥k0)0.100.050.0100.005
k0 2.706 3.841 6.6357.879 附：K2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
17．解：(1)300×
4500
15 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075
每周平均体育运动时间超过4小时16560225
总计21090300
结合列联表可算得K2＝300×（165×30－45×60）2
75×225×210×90
＝
100
21≈
4.762>3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
[2014·北京卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图1-6)．
组号分组频数
1[0，2) 6
2[2，4)8
3[4，6)17
4[6，8)22
5[8，10)25
6[10，12)12
7[12，14) 6
8[14，16) 2
9[16
，18) 2
合计100
图1-6
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论) 18．解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12
小时的频率是1－
10
100＝0.9.
故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a ＝
频率
组距＝
0.17
2
＝0.085. 课外阅读时间落在组[8，10)内的有25人，频率为0.25，所以b ＝
频率
组距＝
0.25
2
＝0.125. (3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
[2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：
行政区 区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位：美元)
A 25% 8000
B 30% 4000
C 15% 6000
D 10% 3000 E
20%
10 000
(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．
20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为
8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10 000×0.20a
a ＝
6400(美元)．
因为6400∈[4085，12 616)，
所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：
{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．
设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”，
则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个．
所以所求概率为P (M )＝3
10
.
[2014·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A ．50
B ．40
C ．25
D ．20
6．C [解析] 由题意得，分段间隔是1000
40
＝25.
[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水
平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．
其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为
1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，
其平均数为x 甲＝1015＝2
3
，
方差为s 2甲＝115????????1－232×10＋????0－232×5＝29
. 乙组研发新产品的成绩为
1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，
其平均数为x 乙＝915＝3
5
，
方差为s 2乙＝115????????1－352×9＋????0－352×6＝625
. 因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2
乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，
共7个，故事件E 发生的频率为7
15
.
将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝7
15
.
[2014·江苏卷] 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图1-2所示，则在抽测的60株树木中，有____株树木的底部周
长小于
100 cm.
图1-2
6．24 [解析] 由频率分布直方图可得，数据在[80，90]的频率为0.015×10＝0.15，数据在[90，100]的频率为0.025×10＝0.25.又样本容量为60株，故所求为(0.15＋0.25)×60＝24(株)．
[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
甲部门 乙部门 3 5 9 4
4
0 4 4 8
9 75 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 060 1 1 2 3 4 6 8 8
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 070 0 1 1 3 4 4 9
6 6 5 5 2 0 08 1 2 3 3 4 5
6 3 2 2 2 090 1 1 4 5 6
100 0 0
图1-4
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
19．解：(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，
68，故样本中位数为66＋68
2＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数
的估计值是67.
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分
别为5
50＝0.1，8
50＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．)
[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标
值分组
[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)
频数6263822
8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
18．解：(1)频率分布直方图如下：
(2)质量指标值的样本平均数为
x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋
(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
[2014·山东卷] 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，图1-2是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(
)
图1-2
A．6 B．8 C．12 D．18
8．C[解析] 因为第一组与第二组共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的频率之比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×
3
5＝12.又因为第一组与第三组的频率之比是0.24∶0.36＝2∶3 ，所以第三组有12÷
2
3＝18人．因为第三组中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.
[2014·山东卷] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量50150100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
6
50＋150＋100＝
1
50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×1
50＝1，150×1
50＝3，100×1
50＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝4
15，即这2件商品来自相同地区的概率为4
15. [2014·陕西卷] 某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x
－
和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()
A.x
－
，s2＋1002 B.x
－
＋100，s2＋1002
C.x
－
，s2 D.x
－
＋100，s2
9．D[解析] 由题目中所给的数据可知x
x1＋x2＋x3＋…＋x10
10，不妨设这10位员工下月工资的均值为y
－
，则y
－
＝（x1＋x2＋x3＋…＋x10）＋1000
10＝x
－
＋100，易知方差没发生变化．
[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
2．A[解析] 根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体”．故选A.
[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1-3所示．
图1-3
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；
(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．
17．解：(1)据直方图知组距为10，由
(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，
解得a＝1
200＝0.005.
(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.
成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.
(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．
其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．
故所求概率为P＝3
10.
3.正态分布
变量的相关性与统计案例
[2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
图1-4
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P(K2≥k0)0.100.050.0100.005
k0 2.706 3.841 6.6357.879
附：K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
17．解：(1)300×4500
15 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075
每周平均体育运动时间超过4小时16560225
总计21090300
结合列联表可算得K2＝300×（165×30－45×60）2
75×225×210×90
＝
100
21≈
4.762>3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
[2014·湖北卷] 根据如下样本数据
x 345678
y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0
得到的回归方程为y
^
＝bx＋a，则()
A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0
C．a＜0，b＜0 D．a
＜0，b＞0
6．A[解析] 作出散点图如下：
由图像不难得出，回归直线y
^
＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0，所以a>0，b<0.故选A.
图1-1
[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()
表1表2
成绩
性别
不及格及格总计男61420
女102232
总计163652
视力
性别
好差总计
男41620
女122032
总计163652 表3表4
智商
性别
偏高正常总计
男81220
女82432
总计163652
阅读量性别丰富
不丰
富
总计
男14620
女23032
总计163652
A．成绩B．视力C．智商D．阅读量
7．D[解析] 通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481，故选D.
[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品不喜欢甜品合计
南方学生602080
北方学生101020
合计7030100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝
n（n11n22－n12n21）2
n1＋n2＋n＋1n＋2
，
P(χ2≥k)0.1000.0500.010
k 2.706 3.841 6.635
18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝
n（n11n22－n12n21）2
n1＋n2＋n＋1n＋2
＝
100×（60×10－20×10）2
70×30×80×20
＝
100
21≈4.762.
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中a i表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，b j表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3.
Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，
(b1，b2，b3)}．
事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝7 10.
4.单元综合
[2014·广东卷] 某车间20名工人年龄数据如下表：
年龄(岁)工人数(人)
19 1
28 3
29 3
30 5
31 4
32 3
401
合计20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
1．[2014·株洲模拟] 通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下列联表：
男女总计
爱好402060
不爱好203050
总计6050110
由K2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，得K2＝110×（40×30－20×20）2
60×50×60×50
≈7.8.
附表：
P(K2≥k)0.0500.0100.001
k 3.841 6.63510.828
参照附表，得到的正确结论是()
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
1．A[解析] 因为7.8>6.635，所以选项A正确．
[2014·济南期末] 为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为()
A．3 B．4 C．5 D．6
图X33-1
2．B [解析] 根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝1
4
，则应抽取的中型城市数为16×1
4
＝4.
[2014·长沙四校联考] 为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图X33-1所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )
A ．中位数为83
B ．众数为85
C ．平均数为85
D ．方差为19
3．C [解析] 易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85.
[2014·湖南长郡中学月考] 为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为( )
P (K 2≥k 0)
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828 A.0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9%
8．C [解析] 因为K 2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．
[2014·衡阳模拟] 已知某总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表中第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B ．07 C ．02 D ．01
9．D [解析] 从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故选D.
[2014·湖南师大附中月考] 某厂对一批元件的长度(单位：mm)进行抽样检测，得到如图X33-2所示的频率分布直方图．若长度在区间[90，96)内的元件为合格品，则估计这批产品的合格率是( )
A ．70%
B ．75%
C ．80%
D ．85%
图X33-2
10．C[解析] 易知在区间[90，96)内的直方图的面积S＝1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8，故合格率是80%.
二、计数原理
1.排列、组合
[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()
A．60种B．70种
C．75种D．150种
7．C[解析] 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C26C15＝75(种)．
2.二项式定理
[2014·全国卷] (x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答) 13．－160[解析] (x－2)6的展开式的通项为T r＋1＝C r6x6－r(－2)r，令6－r＝3，解得r＝3.因为C36(－2)3＝－160，所以x3的系数为－160.
3.单元综合
[2014·汕头一模] 某同学有2本同样的画册，3本同样的集邮册，从中取出4本赠送给4位朋友，每人1本，则不同的赠送方法共有() A．4种B．10种
C．18种D．20种
2．B[解析] 本题可分两类：一是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C14＝4(种)；二是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C24＝6(种)．故赠送方法共有10种．
[2014·惠州调研]某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案的种数为() A．12 B．14
C．16 D．10
3．B[解析] 从6人中选4人的方案有C46＝15(种)，没有女生的方案只有1种，所以满足要求的方案共有14种.
[2014·成都一诊] 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为() A．12 B．1.
C．8 D．6
4．D[解析] 把甲、乙作为一个整体后全排列，则不同的分法共有A33＝6(种)．
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇：解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A , B 两点，点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1
8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为（） D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ，B 两点，则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a 0）的离心率为 a 4 -1，则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0） 1），（ 2，0）的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则 4 当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
(典型题)高考数学二轮复习-知识点总结-统计与统计案例
统计和统计案例 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题． 1． 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差：s 2＝n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]． 标准差：
s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. 4． 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5． 独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d n 则K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 960 32 ＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分 成几个组，则分段间隔即为N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样
2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计
2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计 1（2019北京文科）.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付 金额 支付方式 不大于 （Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数； （Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】（Ⅰ）400人； （Ⅱ）1 25 ； （Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人， 所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540 ---=，
所以全校学生中两种支付方式都使用的有 40 1000400100 ?=（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元， 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为 125. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为1 25 ， 因为从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.（2019全国1卷文科）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 【答案】C 【解析】 【分析】 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ， 若8610n =+，则1 5 n = ，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样. 3.（2019全国1卷文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
2018-2020三年高考数学分类汇编
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 §10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读 从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题. (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( ) 高考文科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （ ） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （ ） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3 概率 1.（2019全国II文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只 兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 2.(2019全国III文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 4．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 5．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 6．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 7．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 8．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰 好选中2名女生的概率为 ． 9．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 10．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个 数x ，则x D ∈ 的概率是 ． 11．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 12．（2018天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 13．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二） 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=?（ ） （A ）2π （B ）3 2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13 a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （B ） 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ） 9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=，x 的图像向右平移 2π个单位后，与函数y=sin （2x+3 π）的图像重合，则?=___________. 12、若0tan >α，则（ ） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =， 6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为 （A ）2+2 （B ） （C ）2 （D ）-1 3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . 高二数学分类计数原理与分步计数原理教案 教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题． 教具准备：投影胶片（两个原理）． 教学过程： ［设置情境］ 先看下面的问题： 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法． 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理． ［探索研究］ 引导学生看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3＋2＝5 种不同的走法，如图所示． 一般地，有如下原理：（出示投影） 分类计数原理完成一件事，有类办法，在第1 类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 再看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？ 这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6 种不同的走法．（让学生具体列出6种不同的走法） 于是得到如下原理：（出示投影） 分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第 种不同的方法． 教师提出问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 学生回答后，教师出示投影：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （出示投影） 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （解答略） 教师点评：注意区别“分类”与“分步”． 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 高考数学统计与统计案例1．小吴一星期的总开支分布如图 1 所示，一星期的食品开支如图 2 所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A．1%B．2%C．3%D．5% C[ 由图 1 所示，食品开支占总开支的 30%，由图 2 所示，鸡蛋开支占食 品开支的30 ＝ 1 ， 30＋40＋100＋80＋ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10＝3%.故选 C.] 2．(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A．4B． 3C．2D．1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是 79－ 76＝3，故选 B.] 3．某工厂对一批新产品的长度(单位： mm)进行检测，如图是检测结果的频 率分布直方，据此估批品的中位数() A．20B． 25C．22.5D．22.75 C[ 品的中位数出在概率是 0.5 的地方 . 自左至右各小矩形面依次 0.1,0.2,0.4，??，中位数是 x，由 0.1＋0.2＋0.08 ·(x－20)＝0.5，得 x＝ 22.5， 故 C.] 4．(2019 ·三明模 )在某次高中数学中，随机抽取 90 名考生，其分数如所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分 a， b， c， a，b，c 的大 小关系 () A．b 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 一．教学内容解析 （一）教材的地位和作用 “分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时． 两个计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识．由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。 从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证． 从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成．综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破．也就是说，两个计数原理的灵魂是化归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身． 从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂． （二）教学目标 1.知识与技能： （1）正确理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理； （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；。 2.过程与方法： 经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于 生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程． 3.情感、态度与价值观： 培养主动探究的学习态度和协作学习的能力，进一步提高学习数学、研究数学的兴趣．（三）教学重点与难点 重点：理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”. 二．学生学情分析 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <高考数学统计及统计案例
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