九年级数学上册数学压轴题测试卷(解析版)

九年级数学上册数学压轴题测试卷（解析版）

一、压轴题

1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；

(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.

2．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作

BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．

（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立

的理由．

（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？

3．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于

O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．

（1）求证：AB CD =； （2）若

O 的半径为8，弧BD 的度数为120?，求四边形ABCD 的面积；

（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论． 4．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ?

=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点

D ，使CD CF =，点

E 是射线B

F 与射线DA 的交点．

（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；

②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想． 5．问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ． 问题探究：

（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：

（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．

6．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB 3cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．

（1）求证△AEF ∽△BCE ；

（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；

（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B

运动过程中，点H 移动的距离．

7．如图，Rt ABC ?中，90C ∠=?，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着

A C

B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.

（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示） （2）求S 与t 的函数表达式；

（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.

8．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF

（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.

（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.

9．如图，抛物线2

()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B

在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．

(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COF

CDF

S

S

=：:时，求点D 的坐标．

(3)如图2，点E 的坐标为(03)2

-，

，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的

PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线2

)1

2

(0y ax x c a =-

+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线1

22

y x =

-经过点,B C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是

t ．

①当PCM ?是直角三角形时，求点P 的坐标；

②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．

11．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 关于线段AB 的视角． 如图2，点Q 在直线l 上运动，当点Q 关于线段AB 的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l 关于线段AB 的“视角”．

（1）如图3，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，2），点C 坐标为（﹣2，2），点C 关于线段AB 的视角为 度，x 轴关于线段AB 的视角为 度；

（2）如图4，点M 是在x 轴上，坐标为（2，0），过点M 作线段EF ⊥x 轴，且EM ＝MF ＝1，当直线y ＝kx （k ≠0）关于线段EF 的视角为90°，求k 的值；

（3）如图5，在平面直角坐标系中，P （3，2），Q （3+1，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的夹角为60°，且关于线段PQ 的视角为45°，求这条直线的解析式． 12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）．

（1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ； （2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长；

（3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．(1) ☉O 的半径是3

2

；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】

(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,

OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出

OC AB ⊥,

延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90?得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，

在☉0中，

o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=

AB ∴是☉0的直径.

Rt APB ∴?在中，22AB AP BP =+AB=3∴

∴☉0的半径是

32

(2)AB//ON

证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,

AQ AQ =, BQ BQ =,

Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.

又

APQ BPQ ∠=∠,

AOQ BOQ ∴∠=∠.

在AOB ?中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,

OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=

连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =

OPN OQP.∴∠=∠

延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠

o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,

又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，

NOQ 90O ∴∠=

NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .

AB//ON ∴ 【点睛】

本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键． 2．（1）见解析；（2）DB DF = 【解析】 【分析】

（1）①直接利用三角形的外角性质，即可得到； ②过D 作DG

BC 交AB 于点G ，由等腰三角形的性质，平行线的性质和等边对等角，

得到BG DC =，DGB FCD ∠=∠，然后证明三角形全等，即可得到结论成立； （2）连接BF ，根据题意，可证得BCF BDF A ∠=∠=∠，则B 、C 、D 、F 四点共圆，即可证明结论成立. 【详解】

解：（1）①∵BDC A ABD ∠=∠+∠， 即BDF FDC A ABD ∠+∠=∠+∠， ∵BDF A ∠=∠， ∴FDC ADB ∠=∠； ②过D 作DG

BC 交AB 于点G ，

∴ADG ACB ∠=∠，AGD ABC ∠=∠， 又AB AC =， ∴A ABC CB =∠∠， ∴AGD ADG ∠=∠，

∴AD AG

=，

∴AB AG AC AD

-=-，

∴BG DC

=，

又ECF ACB AGD

∠=∠=∠，

∴DGB FCD

∠=∠，

在GDB

△与CFD

△中，

,

,

DGB FCD

GB CD

GBD FDC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴()

GDB CFD ASA

△≌△

∴DB DF

=；

（2）证明：如图：连接BF，

由（1）可知，A

ABC CB

=∠

∠，

∵ECF ACB

∠=∠，

∴ABC ECF

∠=∠，

∵BC

A C

A BCF E F

=∠+∠

∠+∠，

∴A BCF

∠=∠，

∴BDF A BCF

∠=∠=∠，

∴B、C、D、F四点共圆，

∴180

DCB DFB

∠+∠=?，DBF ECF

∠=∠，

∴ACB DFB

∠=∠，

∵BC EC AC

A F B

=∠=∠

∠，

∴DBF DFB

∠=∠，

∴DB DF

=.

【点睛】

本题考查了四点共圆的知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而得到角的关系，再进行证明.

3．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；

（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；

（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到

∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．

【详解】

解：（1）证明：∵AC=BD，

∴AC BD

，

则AB DC，

∴AB=CD；

（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，

∵弧BD的度数为120°，

∴∠BOD=120°，

∴∠BOH=60°，

则BH=3

OB=43，

∴BD=83，

则四边形ABCD的面积=1

2

×AC×BD=96；

（3）AD=2OM，

连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，

∴AE=DE，

∵∠BOC=2∠BAC，

而∠BOC=2∠BOM，

∴∠BOM=∠BAC，

同理可得∠AOE=∠ABD，

∵BD⊥AC，

∴∠BAC+∠ABD=90°，

∴∠BOM+∠AOE=90°，

∵∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OBM=∠AOE，

在△BOM和△OAE中，

OMB OEA

OBM OAE

OB OA

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BOM≌△OAE（AAS），

∴OM=AE，

∴AD=2OM．

【点睛】

本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．

4．（1）①详见解析；②图见解析，猜想∠BEC=45°；（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）①证明△ACD≌△BCF，得到∠CAD=∠CBF即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可；

②根据已知条件画图即可；

（2）取AB的中点M，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A，B，C，E四点在同一个圆M上，再利用圆周角定理即可证明．

【详解】

解：（1）①∵,90

AC BC ACB?

=∠=，CD CF

=

∴在△ACD与△BCF中，

AC BC

ACD ACB

CD CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴∠CAD=∠CBF

又∵∠AFE=∠BFC

∴∠AEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥AD

②图如下所示：

猜想∠BEC=45°，

（2）选择图1证明，

连接CE，取AB的中点M，连接MC，ME ∵△ABC和△ABE都是直角三角形

∴

1

2

MC ME AB AM BM ====，

∴点A，B，C，E四点在同一个圆M上，

∴∠BEC=∠BAC=45°，

∴∠BEC=45°

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理，并充分利用数形结合的思想解答．

5．（1）4；（2）2；（3）6002+1）．

【解析】

【分析】

（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．

【详解】

解：（1）如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∵∠EOF＝90°，

∴∠EOF＝∠BOC，

∴∠EOB＝∠FOC，

∴△EOB≌△FOC（SAS），

∴S△EOB＝S△OFC，

∴S四边形OEBF＝S△OBC＝1

4

?S正方形ABCD＝4，

故答案为：4；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．

∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠DBQ＝45°，

根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝

2

2

BQ＝2．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，

∵∠ABC +∠ADC ＝180°，

∴∠BCD +∠BAD ＝∠EAD +BAD ＝180°， ∴B ，A ，E 三点共线， ∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°， ∴BE 2BD ，

∴AB +BC ＝AB +AE ＝BE 2BD ， ∴BC +BC +BD 2+1）BD ， ∴当BD 最大时，AB +BC +BD 的值最大， ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴当BD 为直径时，BD 的值最大， ∵∠ADC ＝90°， ∴AC 是直径，

∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝6002+1）． 【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 6．（1）详见解析；（2）21y 32x x =-,3

02

AF ≤≤；(3)3. 【解析】 【分析】

（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得

AF AE BE BC =，232

y x

x =，即2132y x x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，3

602

AH sin AB =?=

，可进一步求AH. 【详解】

解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°， ∴∠AEF +∠AFE =90°， ∵EF ⊥CE ， ∴∠AEF +∠BEC =90°， ∴∠AFE =∠BEC ， ∴△AEF ∽△BCE ； （2）由（1）△AEF ∽BEC 得

AF AE BE BC =，232

y x

x -=， ∴2

132

y x x =-+， ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+， 当3x =

时，y 有最大值为

3

2

， ∴302

AF ≤≤

； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ， 在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点， ∴∠EHF =90°， ∴ME =MF =MH ，

在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ， ∴MA =ME =MF =MH ， 则A 、E 、H 、F 在同一圆上； 如图2，连接AH ，

∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30° ∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°， 如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，

在直角三角形ABH 中，3

602

AH sin AB =?=

， ∵AB =23 ∴AH =3，

所以点H 移动的距离为3． 【点睛】

此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．

7．（1）7-t （2）()()()2

2904;

25

{1674725

t t S t t ππ<≤=-<<（3）516,23t t ==

【解析】 【分析】

（1）先判断出点P 在BC 上，即可得出结论；

（2）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；

（3）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：借助（2）求出的圆P 的半径等于PC ，建立方程求解即可得出结论． 【详解】

（1）∵AC =4，BC =3，∴AC +BC =7． ∵4＜t ＜7，∴点P 在边BC 上，∴BP =7﹣t ． 故答案为：7﹣t ；

（2）在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，根据勾股定理得：AB =5，由运动知，AP =t ，分两种情况讨论：

①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，如图1，记⊙P 与边AB 的切点为H ，连接PH ，∴∠AHP =90°=∠ACB ． ∵∠A =∠A ，∴△APH ∽△ACB ，∴

PH AP BC AB =，∴35PH t =，∴PH 35=t ，∴S 925

=πt 2

； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，如图，记⊙P 与边AB 的切点为G ，连接PG ，∴∠BGP =90°=∠C ．

∵∠B =∠B ，∴△BGP ∽△BCA ，∴PG BP AC AB =，∴745PG t -=，∴PG 4

5

=（7﹣t ），∴S 16

25

=

π（7﹣t ）2． 综上所述：S 2

290425

1674725

t t t t ππ?≤??=??-??（＜）（）（＜＜）；

（3）分两种情况讨论：

①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，由（2）知，⊙P 的半径PH 3

5

=t ． ∵⊙P 与△ABC 的另一边相切，即：⊙P 和边BC 相切，∴PC =PH ．

∵PC=4﹣t，∴4﹣t

3

5

=t，∴t

5

2

=秒；

②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，由（2）知，⊙P的半径PG

4

5

=（7﹣t）．

∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边AC相切，∴PC=PG．

∵PC=t﹣4，∴t﹣4

4

5

=（7﹣t），∴t

16

3

=秒．

综上所述：在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，t的值为5

2

秒或

16

3

秒．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．

8．（1）45°+α；（2）证明见解析；（3）2BF+CF.

【解析】

【分析】

（1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，

根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=1

2

∠BAD=45°，

∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；

（2）由（1）可得∠FAG=1

2

∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可

得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；

（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，2BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】

（1）过点A作AG⊥DF于G，

∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，

∴AE=AD，

∵AG⊥FD，

∴∠EAG=∠DAG，

∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，

∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，

∴∠DAG=45°-α，

∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.

（2）由（1）得∠GAF=45°，

∵AG⊥FD，

∴∠AFG=45°，

∵点E、B关于直线AF对称，

∴∠AFB=∠AFE=45°，

∴∠BFG=90°，

∴BF⊥DF.

（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，∵∠BFD=∠BCD=90°，

∴B、F、C、D四点共圆，

∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，

∵CH//FD，

∴∠DCH=∠FDC，

∴∠FBC=∠DCH，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，

∵点E、B关于直线AF对称，

∴BF=EF，

∵∠BFE=90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BEF=45°，2BF，

∴∠BEF=∠DFC，

∴FC//BH，

∴四边形EFCH是平行四边形，

∴EH=FC，CH=BF，

在△ABF和△BCH中，

AB BC

ABF BCH

BF CH

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴AF=BH=BE+EH=2BF+CF.

【点睛】

本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B、F、C、D四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.

9．（1）2

y x2x3

=-++；（2）点D的坐标为(14)

，或(2)3，；（3）点P的坐标为：(14)

，或

17

()

24

-，或

13209

()

24

--，或(579

4

9177

8

+-

，．

【解析】

【分析】

（1）由3

OB OC

==及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；

（2）由题意易得

3

5

COF COD

S S

=，进而得到点D、F横坐标之间的关系为

5

3

D F

x x

=，设F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，则有直线BC的解析式为3

y x

=-+，然后可直接求解；

（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别进行求解即可．

【详解】

解：(1)3

OB OC

==，则：()()

3003

B C

，，，，

把B C

、坐标代入抛物线方程，

解得抛物线方程为：2

y x2x3

=-++①；

(2)∵32

COF CDF

S S=

△△

：

：，

∴3

5

COF

COD S

S =，即：5

3

D F x x =

， 设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ， 点F 在直线BC 上，

而BC 所在的直线表达式为：3y x =-+，则33(3)F t t -，

， 则直线OF 所在的直线表达式为：3313t t

y x x t t

--=

=， 则点55(5)D t t -，

， 把D 点坐标代入抛物线解析式，解得：15t =

或2

5

， 则点D 的坐标为(1

4)，或(2)3，； (3)①当2PBE OBE ∠=∠时，

当BP 在x 轴上方时，

如图2，设1BP 交

y 轴于点E '， ∴1

2PBE OBE ∠=∠ ， ∴E BO EBO ∠'=∠ ，

又60E OB EBO BO BO ∠'=∠=?=， ， ∴()E BO EBO AAS '≌ ， ∴3

2

EO EO ==

， ∴点3(2

0)E '，，

直线1BP 过点B E '、，则其直线方程为：13

22

y x =-+②， 联立①②并解得：1

2

x =- ，

故点P 1的坐标为17()24

-，；

当BP 在x 轴下方时，

如图2，过点E 作//EF BE '交2BP 于点F ，则FEB EBE ∠=∠'， ∴222E BE OBE EBP OBE ∠'=∠∠=∠， ， ∴FEB EBF ∠=∠ ， ∴FE BF = ，

直线EF 可以看成直线BE '平移而得，其k 值为12

-， 则其直线表达式为：1322

y x =-

- ， 设点13

()22F m m --，

，过点F 作FH y ⊥轴交于点H ，作BK HF ⊥于点K ， 则点13()202H m --，，13()232

K m --，， ∵EF BF =，则22FE BF =， 即：()2

2

22331313()()22222m m m m +-

++=-++， 解得：5

2m =，

则点511()24

F -，， 则直线BF 表达式为：1133

22

y x =-…③， 联立①③并解得：13

2

x =-或3(舍去3)， 则点213209()24

P -

-，； ②当2PEB OBE ∠=∠时，

当EP 在BE 上方时，如图3，点E '为图2所求， 设BE '交3EP 于点F ，