流体力学教案第13章相似原理及量纲分析

第十三章相似原理及量纲分析

实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。

而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型进行实验。而进行模型实验，首先必须解决两类问题。

(1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，介质的选取。

(2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。

相似原理就是解决上述问题的基础。本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及工程传热学等有关学科。

§13-1 相似的概念

相似的概念最早出现在几何学中，如两个相似三角形，应具有对应夹角相等，对应边互成比例，那么，这两个三角形便是几何相似的。

在流体力学的研究中，所谓相似，主要是指流动的力学相似，而构成力学相似的两个流动，一个是指实际的流动现象，称为原型；另一个是在实验室中进行重演或预演的流动现象，称为模型。所谓力学相似是指原型流动与模型流动在对应物理量之间应互应平行(指矢量物理量如力，加速度等)并保持一定的比例关系(指矢量与标量物理量的数值，如力的数值，时间与压力的数值等)。对一般的流体运动，力学相似应包括以下三个方面。

一、几何相似

几何相似又叫空间相似。即要求模型的边界形状与原型的边界形状相似，且对应的线性尺寸成相同的比例。

如果以下标1表示原型流动，下标2表示模型流动，则几何相似包括：

线性比例尺：常数==

2

1

L L L δ (1)

面积比例尺：常数====2

222

121L A L L A A δδ

(2)

体积比例尺：常数====3

L 32

3

121δυυδL L V

(3)

严格地说，几何相似还包括原型与模型表面的粗糙度相似，但这一点一般情况下不易做到，只有在流体阻力实验，边界层实验等情况下才考虑物体表面的粗糙相似，一般情况下不予考虑。

这样，当知道了原型的尺过后，就可按照L δ来求得模型的几何尺寸。

二、运动相似

即在几何相似的条件下，原型流动与模型流动的流线应该几何相似，即对应的速度场、加速度场相似，包括速度与加速度方向一致，大小互成比例。运动相似应包括：

速度比例尺：

常数==V 2

1

δV V (4)

时间比例尺：

常数====t V L 2

2

11

21δδδV L V L t t (5)

加速度比例尺：

常数====a t

V

221121//δδδt V t V a a (6)

流量比例尺：常数====Q t

3

L

23213121//δδδt L t L Q Q

(7)

另外，在流体机械中，还有转速比例尺

常数====-n 1t 2

1

21/1/1δδt t n n

(8) 则： 213

231n 3

L Q 21n n d d Q Q ===δδδ

(9) 或：

常数==2

3

22

1311n d Q n d Q

(10)

或中d 1和d 2分别为叶轮机械原型与模型的直径。(10)式是流体机械中满足运动相似的

常用相似条件。

通过以上这些公式可见，只要确定了V L δδ与，则其余的一切运动学比例尺均可确定。

三、动力相似

动力相似系指在几何相似的条件下，原型与模型流动中，对应点的同名力方向相同，且大小互成比例。同名力是指具有同一力学性质的力。 由牛顿第二定律，则力的比例尺为：

常数======F 2

V 2L ρa 3L ρ2

22111221121δδδδδδδυρυρa a a m a m F F (11)

其中m 为流体的质量，ρ为流体的密度，ρδ为密度比例尺。则动力相似也可以认为作用在原型与模型上所有外力的力多边形几何相似。

并且，要使模型中流动与原型相似，除了上述的三个相似条件之外，还必须使两个流动的边界条件与起始条件相似。符合上述全部条件的这种物理相似则称为流动的力学相似。并且，在上述所有的相似比例尺中，有三个各自独立的基本比例尺δL 、δV 、δρ，基本比例尺一旦确定，其它一切物理量的比例尺随之确定，则原型与模型之间的一切物理量换算关系也随之确定了。

还需说明一下，两个力学相似的流动还应该具有相同的运动微分方程式。这是因为，流体运动微分方程实质上就是惯性力、压力、粘性力以及其它外力的平衡关系式，两流动相似，则对应点上这些力应当方向一致，大小互成比例。因此，如果两流动相似，应满足同一运动微分方程。反之，如果两流动具有相同的运动微分方程，则它们就具有运动相似与动力相似的性质，而几何相似已包含在运动相似与动力相似之中，因此，如果两个流动满足同一运动微分方程，且具有相似的边界条件与起始条件，那么，这两个流动就是力学相似的。

§13-2 相似原理

由前面的讨论可知，若判定两个流动是否相似，可用检查各种比例尺的方法确定，但是，这样做往往是很繁锁的。实际上，判定两个流动是否相似，可用一个更简便的方法，即相似定理。

在介绍相似定理之前，先定义相似现象，所谓相似现象，必须满足下述条件： (1) 描述现象的微分方程组必须相同； (2) 单值条件相似。单值条件又分为； ① 几何条件，例如几何形状及大小； ② 物性条件，例如密度与粘度；

③ 边界条件，例如进出口及壁面处流速的大小分布； ④ 起始条件，例如初始状态的速度、温度等。

在定常流动的情况下，如果模型与原型采用同样的流体，则单值条件就是几何条件与边界条件。

(3) 同名准则数相等；

上述三个条件，是相似现象的必要与充分条件。 例如，流体质点作直线运动，其运动微分方程为：

1

1

1d d t L V =

与其相似的另一流动，其流体质点的运动微分方程为：

2

2

2d d t L V =

由2t 12L 12V 1,,

t t L L V V δδδ===代入上式，则有

2t

L

22t L 2t 2L 1112V d d )(d )(d d d V t L t L t L V V δδδδδδδ===== 即

1L

t

V =δδδ 由此可见，各相似比例尺是不能随意选取的，必须受上式制约。若将21V /V V =δ，

21t /t t =δ，21L /L L =δ代入上式，则可得到