量纲分析与相似理论

题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
1
3 b
2 c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=a-3b+c T：-1=-2c M：0=b
a=3/2 b=0 c=1/2
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
q kH g
3/ 2 0
1/ 2
k gH
3/ 2
即
q k1 gH 3/ 2 m 2gH 3/ 2
其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验 来确定。
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
N k Q H
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQb H c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ] [ L T M ] [ L T ] [ L]
2 a 3
3
2
2
1 b
L1T 2 M La3 (L3T 1 )b3 (L3M )c3
a2 1 b2 0 c2 0
D2 2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
p 3 4 2 D1 Q
解题步骤
5. 写出无量纲量方程
D2 p f ( 1 , 2 , 3 ) f ( 1 , , 4 2 )0 D1 Q D1 D1 Q
1
1
1 b1
3
c1Leabharlann L : 1 a1 3b1 3c1 T : 1 b1 M :1 c1
a1 1 b1 1 c1 1
所以：
1

D Q
1 1
解题步骤
对于π2，其量纲式为：
L La2 ( L3T 1 )b2 ( L3M )c2
对于π3 ，其量纲式为：
瑞利法
MF2Hf0612001
题
目
求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出
g 功率N 与单位体积水的重量
程H有关。
、流量Q、扬
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水 的重量 g 、流量Q、扬程H 有关,用函数关系 式表示为 f ( N , , Q, H ) 0
c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=-2a+3b+c T：-3=-2a-b M：1=a
a=1 b=1 c=1
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
N k QH
其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。
π定理
MF2Hf0613000
题
目
简述布金汉π定理的运用步骤？ 答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式。
q f (H , , g )
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim q dim( H a b g c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T ] [ L] [ML ] [ LT ]
2 a
a=2-e，b=2-e，c=1-e
解题步骤
6. 带入指数乘积式，得 FD kD2eV 2e 1e e
kD V (
2 2

DV
) kD V (
e 2 2

DV
)e
即 得阻力公式
FD k D2V 2 Ree
如果令绕流阻力系数C D
FD CDlD
2k D ，l为圆柱长，则 Re e l
解题步骤
4. 选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲
LMT 2 La b3ce M c eT be
5. 由量纲和谐性原理，求各量纲的指数 L：1= a+b-3c-e M：1= c+e T：-2=-b-e 因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以 不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定， 并用它表示其余的指数
p 4 a4 b4 c4 D V
其中， ai、bi、ci 为待定指数。
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定 如下（以π1为例）
L La1 (LT 1 )b1 ( L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
解题步骤
其量纲指数行列式为
1 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1
故说明基本物理量的量纲是相互独立的。
可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。
解题步骤
3. 列出无量纲π值
l 1 a1 b1 c1 D V
2

D V
a2 b2 c2
3

D a3V b3 c3
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 动力学量中各选一个，即可满足要求。
解题步骤
解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真 理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否 则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论 分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计 而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人 们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不 完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式 随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或 被正确完整的公式所替代。
由量纲公式：
dim D1 L1T 0 M 0 dim Q L3T 1M 0 dim L3T 0 M 1
量纲指数行列式
1 0 3 1 3 0 0 0 1 0 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
解题步骤
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
π定理
MF2Hf0613002
题
目
1 Q 1 2 D2 2
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量，如右 图所示，已知1-1断面和2-2 断面之间的压强差△p随流 量Q，流体密度ρ，液体粘 度η 以及大小直径D1，D2变 化。试用π定律求出的压强 降落△p表示的流量公式。
D1
p h=ρ g
文丘里流量计
V 2
2
CD A
V 2
2
其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数 有关，最后由实验确定。
解题步骤
二、π定理求解
1. 根据题意，本题共有5个物理量，即n = 5，这些 物理量之间存在下述关系式
f ( FD , D,V , , ) 0
2. 选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动 学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是
a1 1 b1 0 c1 0
所以：
l 1 D
解题步骤
同理可得
2
DV
3

D
p 4 2 V
5. 写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数， 但不会改变其无量纲性质，所以
l DV p f( , , , 2 )0 D D V
解题步骤
求压差Δp 时，以 / g , Re DV / v DV / v， 代入，可得 p l V2 hf f1 (Re, ) D D 2g 令
瑞利法
MF2Hf0612000
题
目
试用瑞利法分析溢
流堰过流时单宽流量q
的表达式。已知q 与堰
H q
顶水头H、水的密度ρ和
重力加速度g 有关。
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶 水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关 系式表示为
解题步骤
解：
1. 列出上述影响因素的函数关系式
f ( D,V , , l , , , p) 0
2. 在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为 几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物 理量的量纲是
dim D LT M
1 0
0
dim V L T M
1
1
0
dim L3T 0 M 1
1

D Q
a1 1 b1 c1
D2 2 a2 b2 c2 D1 Q
p 3 a3 b3 c3 D1 Q
其中ai、bi、ci 为待定指数。
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，确定各π 项的指数 对于π1，其量纲式为：
L T M L (L T ) (L M )
a1 3
V
d
解题步骤
解：一、瑞利法求解 1. 已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即
FD f ( D,V , , )
2. 将阻力写成d，V， ρ， μ的指数乘积形式，即
FD kD V