量纲分析和相似原理
量纲分析与相似原理
Δp，u，d，ε，ρ，μ，l，共7个
第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取3个）。
选ρ 、u 、d 第3步、列П表达式求解П数
① П1=ρa u bd cΔp M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
惯性矩，惯性积 动量，动量矩 能量，功，热 功率 表面张力系数 比热 导热系数 （比）熵 （比）焓，内能 注： 为温度量纲
dim Ix dim Ixy L4 dim I MLT 1
dim L ML2T 1
dim E dim W dim Q ML2T 2
dim P ML2T 3
dim MT 2
Π定理
充要条件 方法
n个物理量
r个独立
基本量
选r个独立
基本量
n-r个导出量
x1 =φ(x 2，x 3, ……, x r ) П1 =f (П2, П3, ……, Пn-r )
组成n-r个
独立Π数
量纲分析方法等
第五节 量纲分析与相似原理
5.4.2 量纲分析法 不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管恒定流动，分析 压强降低与相关物理量的关系。 一般步骤：
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
4相似原理和量纲分析
§4.2 量纲分析与定理
影响某种流动现象的物理量可以有很多。当这些物理量间不能 用微分方程表示时，通过量纲分析确定出有关相似准则间的定性 关系。再通过实验进一步确定其定量关系。
定理
如果一个物理过程涉及到 n个物理量和r个基本量纲，则这个
物理过程可以由n个物理量组成的n-r个无量纲量（相似准则数i）
解：这是物体绕流，应该主要考虑粘性力相似和压力相似。
由雷诺数相等： lu lu （空气的粘度不变）
Kl
l l
u u
62.5 3600 5 45000
由欧拉数相等： p p
或
u 2 u2
p
u
2
p
u
R
pA
u
2 pA
u
2
R
A
u
2
l
2
R
R
500
u
u R u l
§4.2 量纲分析与定理
第四章 相似原理和量纲分析
§7.1 相似原理与模型实验 §7.2 量纲分析与π定理
§4.1 相似原理与模型实验
一、流动相似的概念
(1)如何把特定条件下的实验结果推广到其它流动中?
(2)如何将实物(或原型)缩小或放大制成模型，并通过 模型的实验结果推知原型中的流动？
(3)要使两流动现象相似，必须满足力学相似条件，即 几何相似、运动相似和动力相似。
3
v d 3 3 3
4
p
v d 4 4 4
其中，待定系数 , , 由量纲的一致性原则确定。
§4.2 量纲分析与定理
1
l d
2
d
3
vd
1 Re
无量纲准则方程为：
l 1 p F1( d , d , Re , v2 ) 0
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
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I I
基本量纲和导出量纲
基本量纲（fundamental dimension）：无任何联 系且相互独立的量纲 导出量纲（fundamental dimension）：可由基本 量纲导出的量纲 采用：M-L-T- 基本量纲系（不可压缩流体无 ）
基本量纲的选择具有一定的任意性，除了质量 （M ）、长度（ L ）和时间（T ） 我们也可以选用力（ F ）、长度（ L ）和时间 （T ）来作为基本量纲。这时质量的量纲作为导 出量纲可以表示为
dim M FL1T 2
5.1.2 无量纲量
无量纲量：量纲指数均为零的物理量
如雷诺数：
dim
Re
包括两种： 瑞利法，适于简单问题，一般情况下，要求相关 变量未知数n小于等于4~5个。 定理，普遍方法
5.2.1 瑞利法
某一物理过程与几个物理量有关 f (q1q2q3 qn ) 0
则其中某一物理量qi可表示为其他物理量的指数
乘积
qi Kq1aq2b qnp1
写出量纲式 dim qi dim( q1aq2b qnp1)
其中切应力τ 、速度u 和空间坐标y 的量纲是已知的，根
据量纲齐次性原理，由此可知流体动力粘性系数μ 的量纲
为
dim ML－1T 1
根据量纲和谐原理，量纲不同的物理量之间只能进行乘除， 不能进行加减。
只有量纲相同的项才可以相加减。 对或错
对
5.2量纲分析法
量纲分析法是根据量纲和谐原理发展起来的
F (1...... nm ) 0
应用步骤
1 确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式 2 从n 个物理量中找出m个基本量（不可压缩运 动取3）列量纲公式为 dim q1 M 1 L1T 1
dim q2 M 2 L2T 2
dim q3 M 3 L3T 3
常用物理量量纲： dim A L2 dim ML－3
dim LT 1 dim a LT 2 dim F MLT2 dim ML－1T 1
量纲公式： dim q M LT
量纲指数： a、 ß、ｒ
分类 dim q M LT
几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0， 运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0 动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0
第五章 量纲分析和相似原理
对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方 程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于 实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研 究的基本理论和方法，包括量纲和谐原理及 量纲分析方法流动，相似原理，相似准则等。
实验是研究流体运动的重要手段。在一段直圆管中流体作 定常运动时所需的压力降，它与流体的粘性系数μ、密度ρ、 管道的长度L、管道的直径d 和平均流速u 有关。为了给出 它们之间的规律，需要进行一系列的实验。可先研究管道
量纲分析和相似原理可以用定性的理论分析方法 建立物理量之间的联系，是解决实际工程问题的 有力工具
而且在求解流体力学基本方程组时，对于某些流 动问题，利用量纲分析有可能将原来的偏微分方 程简化为常微分方程，使流动的数学求解得到极 大的简化。
5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
5.1.1 量纲（dimension）的概念 物理量：属性dimq 量纲（因次）
直径对压力降的影响，在其它四个参数保持不变的情况下， 取10 种不同直径的圆管进行压力降的测量。如果再加上管 道长度的影响，也取10 种管道的长度，需要进行实验的组 合数增加为102 。如果同时考虑5 个参数的影响，每个参 数变化10 次的话，需要进行实验的组合数为 105 。如果 每次实验需要进行半个小时，每天按工作8 小时计，完成 全部实验需要的时间是25 年。问题是能否通过为数不多的 几次实验就得到所需的结果？
abc
5 整理方程式
选择基本量时的注意原则
dim d
(LT 1)L L2T 1
1
由于流体力学问题的复杂性，无量纲量有数百个 之多
特点：
1、客观性 客观的方程式应由无量纲量组成
2、不受运动规模的影响
3、可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理（theory of dimensional homogeneity）： 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲是 一致的。该原理是量纲分析的基础。
且据基本量纲独立，应满足：
1 1 1 2 2 2 0 3 3 3
3 基本量纲依次与其余物理量组成 项
1
q4
q q q a1 b1 c1
1
23
2
q5 q q q a2 b2 c2
1 23
……
q qq q n3
an3 1
n
bn3 2
cn3 3
4 满足 为无量纲项，定出各 项基本量的指数
如伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v222gFra bibliotek hw
引申：
1、反正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成 由无量纲项组成的无量纲方程。
2、量纲和谐原理规定了一个物理过程中各物理量 之间的关系
量纲和谐原理的重要性
其应用为： a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公 式的正确性和完整性。 b.可用来建立物理方程式的结构形式。 c.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 比如，在剪切流中，牛顿流体的方程为
据量纲和谐原理，确定指数a，b …p，就可得出 该物理过程的方程式
5.2.2 定理
某一物理过程包含n个物理量， f (q1q2q3...... qn ) 0
若其中有m个基本量（量纲独立，不只是基本量 纲），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m） 个无量纲项所表达的关系式来描述，即可合并n个 物理量为（n-m）个无量纲数（π） ，再列方程