初三数学难题集锦

初三数学难题集锦 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

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初中数学难题集锦 组题：韩松

1．（本小题满分10分）

如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°.

⑴求∠A 的度数；

⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积.

2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）

【材料一】：如图⑴，直线l 上有1A 、2A 两个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 的距离之和最小，很明显点P 的位置可取在1A 和2A 之间的任何地方，此时距离之和为1A 到2A 的距离.

如图⑵，直线l 上依次有1A 、2A 、3A 三个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 、3A 的距离之和最小，不难判断，点P 的位置应取在点2A 处，此时距离之和为1A 到3A 的距离. (想一想，这是为什么)

不难知道，如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 四个点，同样要确定一点P ，使它到各点的距离之和最小，则点P 应取在点2A 和3A 之间的任何地方；如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，则相应点P 的位置应取在点3A 的位置.

图⑴

图⑵

3

2l

12l 1

3

【材料二】：数轴上任意两点a 、b 之间的距离可以表示为a b -. 【问题一】：若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、25A 共25个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 ；

若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、50A 共50个点，要确定一点

P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 .

【问题二】：现要求112397x x x x x x +++-+-+-+

+-的最小值，

根据问题一的解答思路，可知当x 值为 时，上式有最小值为 .

3. （本小题满分10分）

如图①，一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，B 、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离1y 、2y （千米）与行驶时间 x （时）的关系如图②所示．

y （千米） x （时）

乙 甲 图②

图①

根据图象进行以下探究：

⑴请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明；

⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．

⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到A地的距离1y与行驶时间x 的函数关系式．

⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

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5

4．（本小题满分10分）

已知抛物线2y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线1

12

y x =--上，且过点

A (4，0)．

⑴求这个抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使AD CD -的值最大，请直接写出点D 的坐标.

5．（本小题满分12分）

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定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.

⑴如图1，损矩形ABCD ，∠ABC =∠ADC =90°，则该损矩形的直径是线段 .

⑵在线段AC 上确定一点P ，使损矩形的四个顶点都在以P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：

“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

⑶如图2，，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由. 若此时AB ＝3，BD ＝，求BC 的长.

A

B

C

D

图1

E

F

D

C

B

A

图2

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6．（本小题满分12分）

已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠

ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒．

⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值；

⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；

图1Q P D C B A 备用图A B C D A B

C

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参考答案

1．（本小题满分10分）

⑴解：连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°. ………………………………(1分)

∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. …………………

∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°. ………………⑵∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝(5∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ……………………∴2BOC 6048

3603

S ππ⨯扇形＝

＝，EOC 1

22S ⨯⨯＝…………………………(8分)

∴

EOC BOC S S S π阴影扇形8

＝－＝－3

…………………………………………………

(10分)

2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）

问题一：点13A 处 …………(3分) 点25A 和26A 之间的任何地方 ………(6分)

问题二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)

3. （本小题满分10分）