运动学方程
质点的运动学方程
精品课件！
r 122 (12.6)2 cm 17.4 cm
与水平轴夹角
Δy ＝arctan 46.4 Δx
[问题] 位移与参考系的选择有关吗？
式中 t 的单位为s；x，y的单位为cm). [解 ]
r r ( t t ) r ( t )
6 6 t t 2 2 2 1 ( t 2 t 1 )i ( )j 320 320 6 6 4 2 2 2 ( 4 2 )i ( ) j 12i 12.6 j (cm) 320 320
r r (t )
r x(t )i y(t ) j z(t )k
一个矢量式等价三个标量式 x = x(t) 如
y = y(t)
z = z ( t)
1 2 x v 0 t at 等 2
3. 轨迹方程 轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程. 在运动方程中消去 t 就是轨迹方程， z f ( x, y) π π 如：x 2 cos t y 2 sin t z 0 6 6
2. 路程
路程 ——质点经过的路径的总长度. 位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.
如图： r 同
S1 S2 S3
[问题] 二者何时相同？
s1 rp r
O
P
s3 s2
Q
rQ
[例题1]一质点在xOy平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线
y = x3 / 320 运动,求质点从第2 秒末到第 4 秒末的位移(
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
[ x(t t )i y(t t ) j ] [ x(t )i y(t ) j ] [ x(t t ) x(t )]i [ y(t t ) y(t )] j
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
牛顿运动定律与运动学方程
牛顿运动定律与运动学方程运动是自然界中普遍存在的现象，而研究运动的规律和定律对于理解自然的基本规律至关重要。
在物理学中，有牛顿的三大运动定律以及运动学方程，它们是研究运动的基础。
本文将介绍牛顿的三大运动定律和运动学方程，并探讨它们在运动研究中的应用。
一、牛顿的第一运动定律牛顿的第一运动定律，也称为惯性定律，它表明在没有外力作用的情况下，物体将保持匀速直线运动或静止状态。
根据这一定律，一个物体如果没有受到合外力的作用，将保持原来的运动状态，称之为惯性运动。
牛顿的第一运动定律给出了物体运动状态的定量描述。
根据牛顿第一定律，我们可以推导出运动学方程，以描述物体在惯性运动状态下的运动轨迹和速度变化。
二、运动学方程运动学方程是描述物体运动规律的数学表达式。
在惯性运动的情况下，我们可以用运动学方程来计算物体的位移、速度和加速度等运动参数。
在一维运动中，假设物体的初始位置为s0，末位置为s，初始速度为v0，末速度为v，加速度为a，运动的时间为t。
则运动学方程可以表示为：1）位移-时间关系：s = s0 + v0t + 0.5at^22）速度-时间关系：v = v0 + at其中，s和s0为位移，v和v0为速度，a为加速度，t为时间。
三、牛顿的第二运动定律牛顿的第二运动定律描述了物体在受力作用下的运动规律。
该定律表明，物体所受的力与物体的质量乘以加速度成正比，即F = ma。
其中，F表示力，m表示物体的质量，a表示加速度。
牛顿第二定律给出了力、质量和加速度之间的定量关系。
通过这个定律，我们可以根据所受的力和物体的质量，推导出物体的加速度，并进一步计算物体的位置、速度和时间等。
四、牛顿的第三运动定律牛顿的第三运动定律描述了力的相互作用。
它说明了两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
即如果物体A对物体B施加了一个力，那么物体B也会对物体A施加一个大小相等、方向相反的力。
牛顿第三定律揭示了物体之间力的平衡和不平衡状态。
物理学中的宏观力学与运动学方程
物理学中的宏观力学与运动学方程物理学是研究自然界运动和物质的一门科学，其中宏观力学和运动学方程是研究物体运动和受力的重要工具。
宏观力学主要关注物体在宏观尺度上的运动和受力，而运动学方程则是描述物体运动的数学方程。
本文将从力学的基本概念出发，探讨宏观力学和运动学方程的应用。
宏观力学是研究物体在宏观尺度上受到的力和运动规律的科学分支。
在宏观力学中，最基本的概念是力和质量。
力是物体受到的作用，而质量则是物体的属性，决定了物体对力的响应。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
这个定律可以用一个简单的方程来表示：F = ma，其中F表示力，m表示质量，a表示加速度。
这个方程揭示了力和运动之间的关系，是宏观力学的基石。
除了牛顿第二定律，宏观力学还包括其他重要定律，如牛顿第一定律和牛顿第三定律。
牛顿第一定律，也叫惯性定律，表明物体在没有外力作用时将保持原来的状态，即静止物体将保持静止，运动物体将沿直线匀速运动。
这个定律可以用方程F = 0来表示，其中F表示合力的大小。
牛顿第三定律则表明，对于任何作用力，都存在一个相等大小但方向相反的反作用力，两个力互相抵消。
这个定律可以用方程F1 = -F2来表示，其中F1和F2分别表示作用力和反作用力。
宏观力学的研究对象包括力的合成、分解以及受力物体的运动。
力的合成是指多个力合并后产生的结果，可以用矢量加法来描述。
例如，当一个物体受到多个力的作用时，可以将这些力的矢量按照规定方式相加，得到合力的大小和方向。
力的分解则相反，是将一个力分解为多个分力，以便更好地研究物体的运动。
通过合理地分解力，可以分析出物体在不同方向上的受力情况，为进一步研究运动提供便利。
运动学方程是描述物体运动的数学方程。
在运动学中，最基本的概念是位移、速度和加速度。
位移是物体运动的路径长度和方向的变化，速度是单位时间内位移的变化量，加速度则是单位时间内速度的变化量。
根据这些概念，可以得到运动学的基本方程。
刚体运动学中的欧拉方程
刚体运动学中的欧拉方程欧拉方程是刚体运动学中的重要概念，它描述了刚体在空间中的运动状态。
在本文中，将介绍欧拉方程的定义、应用和推导方法。
欧拉方程是刚体运动学中的一组方程，用来描述刚体的转动和平动运动。
它由欧拉刚体动力学定律推导而来，是刚体运动学的核心概念之一。
欧拉方程包括刚体的角速度和角加速度之间的关系，以及刚体的线速度和角速度之间的关系。
在欧拉方程中，角速度用符号ω表示，角加速度用符号α表示，线速度用符号v表示。
其中，角速度表示刚体围绕着某一轴的自旋速度，角加速度表示角速度的变化率，线速度表示刚体上某一点的运动速度。
欧拉方程的定义是：I * α = τm * a = F其中，I是刚体的转动惯量，α是角加速度，τ是刚体所受到的力矩；m是刚体的质量，a是线加速度，F是刚体所受到的合力。
欧拉方程可以应用于各种刚体运动学问题中。
例如，在航空航天工程中，欧拉方程可以用来描述飞行器的姿态和稳定性。
在机械工程中，欧拉方程可以用来分析机械装置的动力学性能。
在物理学和工程学的研究中，欧拉方程也广泛应用于刚体运动的数值模拟和仿真。
推导欧拉方程的方法有多种，其中一种常用的方法是通过牛顿定律和角动量定理来推导。
具体步骤如下：首先，根据牛顿定律，可以得到刚体上某一点的力矩公式：τ = I * α然后，根据角动量定理，可以得到刚体的转动惯量与角速度之间的关系：L = I * ω对角动量定理求导，可以得到：dL/dt = I * dω/dt由于角速度为角位移对时间的导数，因此可以得到：dL/dt = I * α结合牛顿定律和角动量定理的结果，可以得到欧拉方程：I * α = τ在推导线速度和角速度之间的关系时，可以使用刚体的旋转矩阵和线速度向量的关系进行推导。
综上所述，欧拉方程是刚体运动学中重要的方程之一，可以用来描述刚体的运动状态。
通过欧拉方程，可以了解刚体的转动和平动特性，应用于不同领域的工程和科学研究中。
掌握欧拉方程的定义和推导方法，对于深入理解刚体运动学有着重要的意义。
运动微分方程和运动方程
运动微分方程和运动方程摘要：一、运动微分方程和运动方程的定义与区别二、运动微分方程的应用领域三、运动方程的求解方法四、实际案例分析正文：运动微分方程和运动方程是物理学中关于运动规律的两种数学表达式，它们在研究物体运动过程中起着重要作用。
一、运动微分方程和运动方程的定义与区别1.运动微分方程：描述物体在某一时刻的运动状态，如速度、加速度等，是关于时间的一阶导数。
它可以表示为物体位置、速度、加速度等物理量的函数。
运动微分方程关注的是物体在某一时刻的状态，不涉及物体运动过程中的变化。
2.运动方程：描述物体在运动过程中的规律，包括动力学方程和运动学方程。
它反映了物体受到的合外力与物体运动状态之间的关系。
运动方程关注的是物体运动过程中的变化，包括速度、加速度等。
二、运动微分方程的应用领域1.经典力学：研究质点、刚体等简单物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、拉格朗日方程等。
2.电磁学：研究带电粒子在电磁场中的运动，如麦克斯韦方程组、洛伦兹力方程等。
3.量子力学：研究微观粒子的运动，如薛定谔方程、海森堡矩阵元等。
三、运动方程的求解方法1.分离变量法：将运动方程分解为位置、速度、加速度等物理量的函数，然后分别求解。
2.特征值法：对于线性运动方程，可以通过求解特征值和特征向量来得到解。
3.数值方法：对于复杂非线性运动方程，可以采用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解。
四、实际案例分析1.抛体运动：利用运动方程研究抛体在空气阻力作用下的运动轨迹和速度变化。
2.行星运动：根据开普勒定律和牛顿运动定律，建立行星运动的运动方程，研究行星运动轨迹和速度变化。
3.电路中的粒子运动：根据电磁学方程研究带电粒子在电路中的运动，如电子、离子等。
总之，运动微分方程和运动方程在物理学领域具有广泛的应用。
正向运动学方程建立
习题5：某机器人采用平移关节和旋转关节构成，如图所示，其三个关节为平移关节，实现沿X、Y、Z轴的平移。
后3个关节为旋转关节分别绕J4、J5、J ６旋转，用与机器人末端姿态的调整。
一机器人在图中的姿态为初始状态，并将末端坐标系建立在机器人手抓中间。
试建立其连杆坐标系，推导正向运动学方程，并给出你想运动学的求解方法。
解：建立如图坐标系。
习题６：如图所示，一个移动机械手由移动机器人和机械手组成。
其中机械受为5个自由度串联关节机器人，5个关节皆为旋转关节。
移动机器人为差动驱动，移动机器人的坐标建立在两个驱动轮中间轴线的中点。
试建立该移动机械手的正向运动学方程。
解：由题，设所有连杆水平为初始状态。
建立坐标系：。
力学 第二章 质点运动学
v
arccos vz 5618'
v
二、平均加速度与瞬时加速度
1、平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率。
a v v(t t) v(t)
t
t
v(t )
v
速度矢端曲线
v( t t )
§2.3 质点的直线运动(x vx ax )
一、运动学方程
x xt
二、速度和加速度
1、速度（瞬时速度）
vx
dx dt
大小表示质点在t时刻运动的快慢；
正负分别对应于质点沿Ox正向和负向运动。
2、加速度
ax
dvx dt
d2x dt 2
ax与vx同号，则加速；ax与vx反号，则减速。
4、质点的运动学轨迹方程
质点运动时描出的轨迹称为质点的轨迹。 也就是位置矢量的矢端曲线。
质点在平面Oxy上运动，
轨迹方程： y y(x) 或者：f (x, y, z) 0
例题：r R cos tiˆ R sin tˆj, 求:轨迹方程。
y R
解： x2 y2 R2.
x
二、位移
v
v
v
4、注意：
（1）平均速度的大小不等于平均速率。 （2）瞬时速度的大小等于瞬时速率。 （3）即使位置矢量的大小不变，也可以有速度。
ΔS
r(t )
r
S
r(
t
t
)
o
dr / dt
r(t )
ΔS
S
r
r( t t )
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αi-1为可正可负。
ai - 1
连杆的长度与扭转角
3.3 连杆连接的描述
如图所示，在每个关节轴上有两个连杆与之相连，即关节轴有两个公垂线与 之垂直，每一个连杆一个。两个相连的连杆的相对位置用di和θi确定， di是沿着i关 节轴两个垂线的距离， θi是在垂直这个关节轴的平面上两个被测垂线之间的夹角， di和θi分别称作连杆之间的偏置及夹角。 di和θi都带有正负号。
a(i - 1 )
Yi Zi Xi ai
di i
1) ai-1
表示沿xi-1测量的从Zi-1到 Zi的距离，实际为连杆长度。
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1) ( i - 1)
a(i - 1 )
Yi Zi
di
Xi ai
i
2) i-1
绕xi-1从zi-1转到zi的角度，实际为连杆扭角。
X(i -1)
a(i - 1 )
Yi Zi
Xi di
ai θi
对于中间连杆：坐标系{i-1}的z轴zi-1与关节轴i-1共线，指向任意。坐标 系{i-1}的x轴xi-1与连杆i-1的公垂线重合，指向由关节i-1指向关节i，如果 ai - 1=0，则取xi-1=±zi×zi-1。坐标系{i-1}的y轴yi-1 按照右手法则确定。即 yi-1=zi-1×xi-1。坐标系{i-1}的原点取在xi-1和zi-1的交点上，当zi和zi-1相交时， 原点取在两轴交点上，当zi和zi-1平行时，原点取在使di=0的地方。
3.1 引言 ( Introduction )
描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵是描述 连杆坐标系之间的相对位姿的齐次变换。
连续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一个六连杆（六自由度）机 械手有
T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6
六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自 由度用来确定姿态。Ｔ６表示机械手在基坐标中的位置与方向。则变换矩阵 Ｔ６有下列元素
A revolute joint has ONE degree of freedom ( 1 DOF) that is
defined by its angle
PUMA 560 SERIES ROBOT ARM
We are interested in two kinematics topics
Forward Kinematics (angles to posture)
T6 =
nx ox ax px ny oy ay py nz oz az pz 0 001
例：PUMA 560
2
3
4
1
There are two more
The PUMA 560 has SIX revolute joints
joints on the end effector (the gripper)
What you are given:
The length of each link
The posture of the end-effector
What you can find:
The angles of each joint needed to obtain that position
3.2 连杆的描述 ( Description of the link )
3.5 连杆坐标系
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1)
a(i - 1 )
( i - 1)
Yi Zi
Xi
ai
di
θi
为描述各连杆之间的相对位姿关系，在各个连杆上固结一个坐标系， 与基座固结的坐标系记作{0}，1)
Y(i -1)
( i - 1)
轴i-1
连杆i-1
轴i
连杆i
i1
a(i - 1 )
di
ai
θi
两连杆连接的描述连杆参数
xn-1
对于首末连杆，通常规定： a0 = a6= 0， α0 = α6 = 0。如 果关节1是转动关节，则θ1是可变的，称为关节变量，通常规 定θ1= 0为连杆1的零位。并约定d1 = 0。
如果关节1是移动关节，则d1是可变的，称为关节变量， 通常规定d1= 0为连杆1的零位。并约定θ1 = 0。
3) di-1
从xi-1到xi沿zi测量的距离，实际为连杆的偏距。
4) θi
从xi-1到xi绕zi旋转的角度，实际为关节变量。
对于首连杆：对于基座坐标系，通常规定第一个关节变量为0时，坐标 系{0}与{1}重合。
对于末连杆：如果关节n为旋转关节，取xn使得当θn=0时， xn与xn-1重合 ，{n}的原点选择在使dn=0的地方。
3.6 连杆坐标系规定的连杆参数
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1) ( i - 1)
参数当中，只有ai-1 总不小于0，而其它三个参数带有正负号。对于转动关 节， θi 是关节变量，其它3个参数为常数；对于移动关节， di为关节变量，
而其它3个参数为常数。这种描述机构运动的方法称为D-H方法。 对于具有6个自由度的机器人，用18个参数就可以描述其运动学中的固
定部分，而用6个关节变量描述运动学中的变化部分。
What you are given:
The length of each link
The angle of each joint
What you can find:
The posture of the end-effector
Inverse Kinematics (posture to angles)
现在考虑连杆变换矩阵
如何确定。串联型机械手是 轴i-1
连杆i-1
轴i
由一系列通过其活动关节连
接在一起的连杆组成的。
如图所示，任何一个连
杆都可以用两个量来描述：
一个是公共垂线距离ai-1，另
一个是与ai-1垂直的平面上两
个轴的夹角αi-1，习惯上称ai-1
i1
为连杆长度，αi-1称为连杆的
扭转角。 ai-1，总不小于0，
3.4 连杆参数和关节变量
Z(i - 1)
Y(i -1) X(i -1)
( i - 1)
a(i - 1 )
Yi di
Xi Zi
Xi
θi
每个连杆由4个参数来描述： αi-1 ai-1 di和θi ， αi-1 和 ai-1分别用来
描述连杆的扭角和长度， di和θi 描述连杆i-1与连杆i之间的关系。 在这4个