(完整word)高三二轮复习不等式、基本不等式专题
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式专题 ---完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导之阿布丰王创作一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1（22、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形（1（2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”5、经常使用结论（1当且仅那时=”）（2当且仅那时=”）（3当且仅那=”）（4（5）若,则6、柯西不等式 （1）若,则（2则有：（3两组实数,则有题型一：利用基本不等式证明不等式1、设均为正数,证明不等2,求3、已知,求证：4求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤;(Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值； 变式1：已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最年夜值；练习：1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最年夜值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、那时,求(82)y x x =-的最年夜值； 变式1：那时,求4(82)y x x =-的最年夜值；变式2：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最年夜值.202<<x ,y x x =-()63的最年夜值；变式40<<x ,)28(x x y -=的最年夜值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最年夜值；（提示：平方,利用基本不等式） 变式：求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最年夜值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1最小值； 法一： 法二：变式1：已知,求变式2最小值；变式3：已求.变式4：已求变式5：（1最小值；（2）求变式6：使得题型六：分离换元法求最值（了解）1域；变式：2、示：换元法）变式：题型七：基本不等式的综合应用1小值2、（2009天津）已知,求变式1：（2010求小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知,那时像恒过定点,若点在直线,3、已,求变式1：变式2：（2010山东）已知值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知年夜值；4、（2013年山东（理））取得最年夜值时值为（）（）A（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数,满足题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012且,最小值；2、已知且,4）（提示：分离参数,换元法）变式：已若,题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若,则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式则有：5,。
冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：11基本不等式及其应用(含解析)
专题11 基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】：2 6【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式． 因为ab ＝2a ＋3b≥22a ·3b ，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号． 2、已知正数满足，则的最小值为 ．【答案】9【解析】：=9．3、已知正实数x ，y 满足，则xy 的最小值为 ．【答案】：4、已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________． 【答案】25,x y 22x y +=8x yxy +3【解析】：由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25(当且仅当b a ＝ab即a ＝b ＝5时取等号)． 5、已知正实数满足，则的最小值为 ．【答案】8【解析】：因为，所以．又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立． 易错警示 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．6、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________． 【答案】5－12思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y . 解法1 由x 2＋2xy －1＝0得y ＝1－x 22x ，从而x 2＋y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22x 2＝5x 24＋14x 2－12≥2516－12＝5－12，当且仅当x ＝±415时等号成立．思路分析2 由所求的结论x 2＋y 2想到将条件应用基本不等式，构造出x 2＋y 2，然后将x 2＋y 2求解出来． 解法2 由x 2＋2xy －1＝0得1－x 2＝2xy ≤mx 2＋ny 2，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)x 2＋ny 2≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝5－12，n ＝5＋12，从而x 2＋y 2≥15＋12＝5－12. 7、若正实数满足，则的最小值是 ▲ ． 【答案】、8【解析】： 因为正实数满足，所以,x y x y +,0x y >10y +>10x ->5,3x y ==x y ，1x y +=4y x y+x y ，1x y +=，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值. 8、若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】： 8解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2y －1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －6·13x－6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x－6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．9、 已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．【答案】. 36【解析】：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab－5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．【答案】244y x x y=2y x =1x y +=4y x y+811、 已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________．【答案】25【解析】：因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－1y＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4x －1＋9(x －1)＝13＋4x －1＋9(x －1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，同理y >1，所以13＋4x －1＋9(x －1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9yy －1的最小值为25.12、 已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |b 取最小值时，实数a 的值是________．【答案】： －2 解法 112|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当a ＜0，且b4|a |＝|a |b，即a ＝－2，b ＝4时取等号．解法2 因为a ＋b ＝2，b ＞0，所以12|a |＋|a |b ＝12|a |＋|a |2－a (a ＜2)．设f (a )＝12|a |＋|a |2－a(a ＜2)，则f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋a 2－a，0≤a ＜2，－12a －a2－a ，a ＜0.)当a ＜0时，f (a )＝－12a －a 2－a ，从而f ′(a )＝12a 2－2a －2＝－a －a ＋2a 2a －2，故当a ＜－2时，f ′(a )＜0；当－2＜a ＜0时，f ′(a )＞0，故f (a )在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故当a ＝－2时，f (a )取得极小值34；同理，当0≤a ＜2时，函数f (a )在a ＝23处取得极小值54.综上，当a ＝－2时，f (a )min ＝34.【问题探究，变式训练】:例1、 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．【答案】： 94解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号． 解法2 (幂平均不等式)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝22a ＋12b ≥＋2a ＋b＝94. 解法3 (常数代换)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥94，当且仅当a ＝2b 时取等号．【变式1】、已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n，所以4t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m n ，即m ＝2n 时取等号． 【变式2】、已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．.【答案】：【解析1】：令，从而得，故，当且仅当，即时等号成立。
(word完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)(2),推荐文档
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高三数学二轮复习微专题——函数与导数中的不等式证明.doc
高三数学二轮复习微专题——函数与导数中的不等式证明（2）绵阳外国语学校 xxx【教学目标】1．简单复习不等式证明中的最值法（作差构造新函数法）、构造双函数法；2．通过数形结合，理解、记忆、运用e 1xx +≥和ln 1x x -≤，初步学会切线放缩法； 3．尝试对e 1xx +≥和ln 1x x -≤变形． 【教学重点】利用数形结合，理解、记忆、运用e 1xx +≥和ln 1x x -≤． 【教学难点】1． 什么时候使用切线放缩法？2． 如何使用切线放缩法？【学法指导】独立思考，相互交流，勇于展示．【教学过程】例1．求证：不等式5212e ln 0x x x --+>恒成立．总结：1y x =+是e x y =在______处的切线，有______________恒成立，当且仅当x =_____时，“=”成立； 1y x =-是ln y x =在______处的切线，有______________恒成立，当且仅当x =_____时，“=”成立． 例2．（2013．全国2）已知函数()e ln()xf x x m =-+，求证：当2m ≤时，()0f x >．ln y x =1y x =-e x y =1y x =+O y x1 1 1讨论：从e 1x x +≥和ln 1x x -≤出发，可以有哪些变形呢？求证：当4a ≤时，函数()e x f x ax =+在(0,)+∞上单调递增．课后训练1．（2012年.全国）设点P 在曲线1e 2x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln2- B ln 2)- C ．1ln2+ D ln 2)+2．（2017年.高考模拟）若函数21()(1)ln 02f x x a x a x =-++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 3．（2017年.全国3.改编）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）若N n *∈，求证231111(1)(1)(1)...(1)e 2222n ++++<． 4．（2018年.全国1）已知函数()e ln 1x f x a x =--，求证：当e a 1≥时，()f x ≥0．。
高三数学第二轮专题复习系列：(6)不等式
高考数学第二轮专题复习系列（6）不等式、本章知识结构:实数的性质二、高考要求（1 ）理解不等式的性质及其证明。
（2 ）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。
（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4 ）掌握某些简单不等式的解法。
（5）理解不等式|a| - |b| < |a+b| < |a| +|b| 。
三、热点分析1. 重视对基础知识的考查，设问方式不断创新•重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例•重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注2. 突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重•在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点•3. 加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次•这类代数推理问题常以高中代数的主体内容一一函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥•对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点4・突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识•不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.(1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“="）2. (1）若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- （当且仅当1x =-时取“="） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“="） 3.若0>ab ，则2≥+ab ba （当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”） 4。
若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正,二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋错误! （2)y ＝x ＋错误!解：（1)y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为［错误!，+∞) （2）当x ＞0时，y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋错误!= －(－ x －错误!）≤－2错误!=－2 ∴值域为（－∞,－2]∪［2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
高三数学二轮专题复习课件——基本不等式及其应用 人教课标版精品课件
a ba
2.变形之后，如何求
b 的最 ？ 值。
3.如何消去根号对求最值的影响？
即时训练：若x , y 为正实数，且 x y a x y 恒成立，则a 的最
小值是
．
小结：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质， 方能求得最值得结果．
例 4：已知向量 a (1, x) 向量 b (x2 x, x) ，
xy
为
思考题：函数 f (x) 2 9 ,(x (0, 1)) 的最小值为
x 1 2x
2
取得最小值时 x 的值为
.
问题：上面两个问题的有没有相同之处？
变式
2：若函数
f
(x)
x2
2(a
x
2) x
3a
,
x
1能用基本不
等式求最大值，则 a 的取值范围是
小结：1 使用基本不等式的条件是什么？
人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
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基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
高三数学(理科)二轮复习-不等式
20XX 届高三数学第二轮复习第3讲 不等式一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。
（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4）掌握某些简单不等式的解法。
（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。
三、热点分析1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。
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不等式专题 课前概述： ①出题方向：不等式这个知识点一般单独成题的话会出现在选择或填空里面，有时简单有时比较难，相对而言属于中等题（个别题会出在压轴填空题，跟别的知识结合）； ②思路点拨：实际上不等式的题会有三种种出题类型，一种是不等式的恒成立问题，一种是线性规划问题，最后一种是基本不等式的应用。见到每一种就按照掌握的知识技巧解答； ③方法要点：对于该知识点，一般是出现在小题里（选择填空）。由于不需要过程，只要结果对就行，于是方法就不是很限制，只要能做出来就行，这时要灵活运用做题技巧，尤其是特例法，特殊值法，都可以尝试，关键是把题目给的条件“凑”成要求的结果即可。
知识要点：基本不等式：ab≤a＋b2 （1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0. （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 注意： 1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab
(a，b>0)逆用就是ab≤a＋b22 (a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋mx(m>0)的单调性． 4．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 典例分析及练习： 类型一：有关不等式的几个常见问题： 例1、（2015届鄞州中学开学考）若关于x的不等式220xax在区间1,5上有解,则实数a的取值范围为（ ） A．),523( B．]1,523[ C．(1,+∞) D．)523,( 练习1：若不等式)(2222yxaxyx对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A、2 B、212 C、23 D、215 练习2．已知x>0，y>0，2x+y=1，若221404xyxym恒成立，则m的取值范围是 ． 例2、已知奇函数)(xf在]1,1[上是增函数，且.1)1(f若对所有的]1,1[x，都存在]1,1[a使不等式14)(2attxf成立，则实数t的取值范围是 练习：已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当2o时，f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0恒成立，则实数m
的取值范围是________． 归纳总结：当不等式中求某个字母的最值或取值范围时，首先应该想到能不能分离参数。当能分离时先分离再运算，如果不能分离时再用常规题型解答。
例3．（2013届五校联考）已知,,,abcd为常数，若不等式0bxdxaxc的解集为11(1,)(,1)32U，则不等式1011bxdxaxcx
的解集为 ．
练习：关于x的不等式222(log)log0xbxc（,bc为实常数）的解集为[2,16]，则关于x的不等式22210xxcb••的解集为
归纳总结：如果出现上面这类题型时，一定要先分析出题人的意图，看他们打算考察哪个知识类型（这个方法要靠平时的多积累才能分析出来），否则用常规方法解答很耗时间。 例4、已知函数2()xafxx，当*xN时，()(3)fxf恒成立，则实数a的取值范围为 ． 练习1、实数dcba,,,满足0)2()3(222dcaab，则22()(）dbca的最小值是 。
练习2．已知抛物线2:4Cyx，O为坐标原点，F为其焦点，当点P在抛物线C上运动时，POPF的最大值为( )
A．233 B．43 C．52 D．54 练习3．已知点)0,4(M，点P在曲线xy82上运动，点Q在曲线1)2(22yx上运动，则PQPM2的最小值是 . 练习4．设),(baP是直线xy上的点，若对曲线)0(1xxy上的任意一点Q恒有3PQ，则实数a的取值范围是 ．
练习5、设实数cba,,满足,0)(252aacbcab若bacba485的最大值和最小值分别为mM,，则mM的值为（ ） A. 9 B.332 C. 349 D. 19 练习6、点P为椭圆0,012222babyax在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴，y轴的平行线，分别交直线xaby于RQ,，交y轴，x轴于NM,两点，记OMQ与ONR的面积分别为21,SS，当2ab时，2221SS的
最小值为 . 练习7、已知圆221:(2)16Oxy和圆2222:(02)Oxyrr，动圆M与圆1O和圆2O都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为1e和2e（12ee），则122ee的最小值为（ ）
A．3224 B．32 C．2 D．38 归纳总结：如果出现类似这类题型，首先看看题目考察的是哪个知识，如果没有明确思路的话，一般题目要求求什么，就用函数思想把什么表示出来，然后再转换成不等式的形式求解 例5．设,xy为实数，若1422yx，则yx的最大值是 练习．函数11yxx的最大值是 ；最小值是 . 归纳总结：参数方程法也是对于解不等式类型题的一种常用方法 例6．若实数,,abc满足2221abc，则2332abbcc的最大值为________． 【知识点】基本不等式
【解析】：222363323232236abbccabbcc
22222313322222223abbcc
22233abc
【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答. 例7、若等差数列{}na满足2211010aa，则101119...Saaa的最大值为 （ ） A．60 B．50 C． 45 D．40 【知识点】等差数列的性质
【解析】：设等差数列的公差为d，因为2211010aa，所以22
1010910ada，
而10111910...1045Saaaad，可得104510Sda，代入22
1010910ada，
整理得222213545360210000ddSS，
由关于d的二次方程有实根可得22222360413545210000SS，
化简可22500S得，解得50S 【思路点拨】设等差数列的公差为d，易得221010910ada，由求和公式可得104510Sda，代入22
1010910ada，整理可得关于d的方程，由0可得S的不等式，解不等式可得．
类型二：基本不等式的常见题型及应用 （1）题型一：“1”的灵活代换：
例1． 已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则1x＋2y的最小值是_____________． 练习1．（2012·浙江）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) A.245 B.285 C．5 D．6
练习2、已知x，y为正实数，且32yx。则xyyx3的最小值为 ； 则)1(2yx的最大值为 。 练习3．已知正数x，y满足：x+4y=xy，则x+y的最小值为 ． 练习4．若正实数x，y满足1911xy，则x+y的最小值是（ ） （A）15 （B）16 （C）18 （D）19 （2）题型二：（思路）求谁保留谁，把不符合的代换掉 例2、已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是 ( )
A．3 B．4 C．92 D．112 练习1．（2011·浙江）设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
练习2、已知实数0,0ba,且1ab,那么baba22的最大值为 练习3．（姜山中学2015届12月月考题）若正实数,xy满足244xyxy，且不等式2(2)22340xyaaxy
恒成立，则实数a的取值范围是 ． （3）题型三：柯西不等式（这个内容属于选修4-5的内容，虽然不学，但是对于做题帮助很大）
例3．设a．,,,(0,)bRabxy，则222()ababxyxy，当且仅当abxy时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数291()((0,))122fxxxx的最小值为（ ） A．169 B．121 C．25 D．16 总结（规律和特点）：
练习1、设103m，若1313kmm恒成立，则k的最大值为 练习2、已知12,(0,),2,21xyxyxy则的最小值为
练习3、若不等式accbba11>0对于满足条件a>b>c的实数a、b、c恒成立,则实数的取值范围是______ 练习4、（2014届四川高考）设0ab，则211aabaab的最小值为
练习5 、对任意实数1x，12y，不等式222241(21)(1)xyayax恒成立，则实数a的最大值为（ ）