江苏省镇江市2019届高三数学考前模拟(三模)试题(含解析)

专题6.导数与函数零点问题【原卷版】

学霸养成.2020高考数学热点难点必杀技系列—导数函数零点问题是高考中的热点,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.

1.【2019全国Ⅰ理20】已知函数()sinln(1)fxxx,()fx为()fx的导数．证明：（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．

一、函数零点个数问题用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．【例1】若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________．

【对点训练】【天津市河北区2019届高三一模】已知函数2()ln(21)fxaxxax,其中aR.

（1）当a=1时,求函数fx的单调区间：（2）求函数fx的极值；（3）若函数fx有两个不同的零点,求a的取值范围. 二、零点存在性赋值理论确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m  a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点．赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；（2）确保赋值点 x0

江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试数学Word版含答案

2019届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝3＋4i5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1，则其离心率为________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________． T←1 i ←2While T<6 T←2T i←i＋2 End While Print i (第4题)5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6. 口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S 12S 8＝________．8. 若函数f(x)＝cos (ωx－π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a －2b 2＋4b的最小值为________．10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)的解集为____________．11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________．12. 已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P 的纵坐标为________．13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上．若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________．14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ，点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD.求证：(1) EF∥平面ABC ； (2) CE⊥AB.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C. (1) 求角A 的大小；(2) 若cos(B ＋π6)＝14，求cos C 的值．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若HG⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3) 如果A 1H →＝λA 1P →，试求λ的取值范围．已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，其中a∈R .(1) 如果曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，求实数a 的取值范围．已知数列{a n}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n ＝λ(n－1)a1a n恒成立．(1) 如果1a1，1a2，1a3成等差数列，求实数λ的值；(2) 已知λ＝1.①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n}中，a1≠a2.数列{b n}是公比为q的等比数列，满足b1＝1a1，b2＝1a2，b3＝1a i(i∈N)．求证：q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01，求A 2.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(23，π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b ≥1.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；(2) 已知△A OB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．23. 已知数列{a n}中，a1＝2，且a n＋1＝a2n－a n＋1对任意n∈N恒成立．求证：(1) a n＋1＝a n a n－1a n－2…a2a1＋1(n∈N)；(2) a n＋1>n n＋1(n∈N)．2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. (0，1)2. 13. 524. 85. 556. 137. 738. 239. 11 10. (－2，－1)∪(1，2) 11. 1212. 1 13. －25314. (－2e －1，0]15. 证明：在三棱锥PABC 中：(1) 因为点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF 为△PCD 的中位线，(2分) 则有EF∥CD.(3分) 又EF平面ABC ，CD平面ABC ，所以EF∥平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB⊥平面PCD ，平面PAB∩平面PCD ＝PD ，AB ⊥PD ，AB 平面PAB ，所以AB⊥平面PCD.(11分) 又CE平面PCD ，所以AB⊥CE.(14分)16. 解：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且3a c ＝2－cos Asin C，(1分) 得3sin A sin C ＝2－cos Asin C，(2分)则有3sin A ＝2－cos A ，即3sin A ＋cos A ＝2，2sin(A ＋π6)＝2，故sin(A ＋π6)＝1.(4分)因为A∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，因为A ＝π3，则B∈(0，2π3)，B ＋π6∈(π6，5π6)，所以sin(B ＋π6)>0.因为cos(B ＋π6)＝14，所以sin(B ＋π6)＝1－cos 2（B ＋π6）＝154.(8分)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，(9分)所以cos C ＝cos(π－A －B)＝－cos(A ＋B)＝－cos(B ＋π3)(10分)＝－cos[(B ＋π6)＋π6]＝－cos(B ＋π6)cos π6＋sin(B ＋π6)sin π6＝－32×14＋12×154＝15－38.(14分) 17. 解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1) 由r ＝6，得V ＝13πr 2h ＝36π，得h ＝3，(1分)所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π.(2分)又底面积为πr 2＝36π(平方米)，(3分)故该容器的表面积为(185π＋36π)＝18(2＋5)π(平方米)．(4分) 答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(5分)(2) 因为V ＝13πr 2h ＝36π，得r 2＝3×36ππh ＝108h ，其中h>0，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2＝π1082h 2＋108hh 2＝π1082h2＋108h ＝π108108h2＋h.(8分) 记f(h)＝108h 2＋h ，令f′(h)＝－216h 3＋1＝h 3－216h3＝0，得h ＝6.(10分) 当h∈(0，6)时，f ′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h∈(6，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．(12分) 所以，当h ＝6时，f(h)最小，此时S 最小．(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．(14分)18. 解：(1) 由椭圆C 的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4，得a ＝2，a 2c ＝4，故c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1 ①.(3分)(2) 设直线A 1D ：y ＝k(x ＋2)(k>0) ②，则与右准线x ＝4的交点D(4，6k)．又A 2(2，0)，所以设直线A 2D ：y ＝3k(x －2)，联立①，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3k （x －2），解得G(24k 2－21＋12k 2，－12k1＋12k2)，(5分)则直线OG 的斜率为k OG ＝－6k12k 2－1 ③.因为OG⊥A 1D ，故－6k 12k 2－1·k ＝－1.又k>0，解得k ＝66，(7分)则直线A 1D 的方程为y ＝66(x ＋2)．(8分) (3) 由(2)中③可设直线OG ：y ＝－6k12k 2－1x ，联立②，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6k 12k 2－1x ，y ＝k （x ＋2），解得H(－24k 2＋212k 2＋5，12k12k 2＋5)．(10分) 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋2），解得P(6－8k 23＋4k 2，12k3＋4k2)．(12分)因为AH →＝λAP →，所以(x H ＋2，y H )＝λ(x P ＋2，y P )，则y H ＝λy P ， λ＝y H y P ＝f(k)＝12k 12k 2＋512k 3＋4k 2＝3＋4k 212k 2＋5＝112k 2＋9－43＋4k 2＝13－43＋4k 2.(14分) 因为f(k)在(0，＋∞)上为减函数，(15分) 所以λ∈(13，35)．(16分)19. 解：因为f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，所以f′(x)＝（x ＋1）（2x －a ）x 2.(1分) (1) 因为曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，所以f′(1)＝2(2－a)＝1，解得a ＝32.(2分)(2) ① 当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)不存在极值．(3分) ②当a>0时，令f′(x)＝0，得x ＝a2.x (0，a 2)a 2 (a2，＋∞) f′(x) －0 ＋f(x)极小值(5分)则f(x)min ＝f(a 2)＝a －a 24－aln a 2≤a 2.因为a>0，则12－a 4－ln a2≤0.令g(a)＝12－a 4－ln a 2＝12＋ln 2－a 4－ln a ，则g′(a)＝－14－1a<0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递减．(7分)又g(2)＝0，所以g(a)≤g(2)＝0，则a≥2，则实数a 的最小值为2.(8分) (3) 记f(x)在[1，2]上的值域为A ，在[4，8]上的值域为B ，“任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立”等价于“A B ”． ①当a 2≤1或a2≥8，即a≤2或a≥16时，由(2)知f(x)在[1，8]上为单调函数，不合题意；(9分)②当1<a 2≤2，即2<a≤4时，由(2)知f(x)在(0，a 2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f(a 2)∈A ，但f(a2)B ，不合题意；(10分)③当2<a2≤4，即4<a≤8时，A ＝[f(2)，f(1)]，B ＝[f(4)，f(8)]，由A B ，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥f（4），f （1）≤f（8），则⎩⎪⎨⎪⎧8－2a －aln 2≥24－4a －2aln 2，3－a≤80－8a －3aln 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥162＋ln 2，a ≤777＋3ln 2.(11分) 因为0<ln 2<1，则2<2＋ln 2<3，即4<163<162＋ln 2<8.因为e>2.7，计算得e 3>24，则e 72>e 3>24，即72>ln 24＝4ln 2，即7>8ln 2，也即21>24ln 2，则777＋3ln 2－8＝21－24ln 27＋3ln 2>0，即777＋3ln 2>8.所以162＋ln 2≤a ≤8.(13分)④当4<a2<8，即8<a<16，由A B ，得f(8)≥f(1)，得a ≤777＋3ln 2<777＝11<16，则8<a≤777＋3ln 2.(15分) 综上，162＋ln 2≤a ≤777＋3ln 2.(16分)20. (1) 解：因为n≥3且n∈N *时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝λ(n－1)a 1a n 恒成立，所以n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2λa 1a 3 (*)．因为数列{a n }各项都不为0，所以(*)式两边同除以a 1a 2a 3，得2λa 2＝1a 1＋1a 3.(1分)因为1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，则2a 2＝1a 1＋1a 3.(2分)比较得2λa 2＝2a 2，所以λ＝1.(3分)(2) 证明：① 当λ＝1，n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2a 1a 3 (i)，整理，得1a 1＋1a 3＝2a 2，则1a 2－1a 1＝1a 3－1a 2(ii)．(4分) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＝3a 1a 4 (iii)． (iii)－(i)，得a 3a 4＝3a 1a 4－2a 1a 3，得1a 1＝3a 3－2a 4.又1a 1＋1a 3＝2a 2，所以1a 4－1a 3＝1a 3－1a 2 (iv)．(5分) 当n≥3时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝(n －1)a 1a n ， a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，两式相减，得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n .因为a n ≠0，所以1a 1＝n a n －n －1a n ＋1，(6分)所以1a 1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，所以n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，整理，得1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n(n≥3) (v)．(7分)由(ii)(iv)(v)，得1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n 对任意的正整数n≥1恒成立，(8分)所以数列{1a n}成等差数列．(9分)②设数列{1a n }的公差为d ，令c n ＝1a n ，c 1＝1a 1＝c(c≠0)，则b 1＝c 1＝c ，b 2＝c 2＝c ＋d ，d ＝c 2－c 1＝b 2－b 1＝cq －c.当i ＝2时，b 3＝c 2＝b 2，从而q ＝1，b 2＝b 1，得a 1＝a 2，与已知不符．(10分)当i ＝3时，由b 3＝c 3，cq 2＝c ＋2d ＝c ＋2c(q －1)，得q 2＝1＋2(q －1)，得q ＝1，与已知不符．(11分)当i ＝1时，由b 3＝c 1，cq 2＝c ，得q 2＝1，则q ＝－1(上面已证q≠1)为整数．数列{b n }为c ，－c ，c ，…；在数列{c n }中，c 1＝c ，c 2＝－c ，公差d ＝－2c. 数列{b n }每一项都是{c n }中的项(c ＝c 1，－c ＝c 2)．(12分)当i≥4时，由b 3＝c i ，cq 2＝c ＋(i －1)d ＝c ＋(i －1)c(q －1)，得q 2－(i －1)q ＋(i －2)＝0，得q ＝1(舍去)，q ＝i －2(i≥4)为整数．(14分) 因为cq ＝c ＋d ，b 3＝c i ，对任意的正整数k≥4，欲证明b k 是数列{c n }中的项，只需b k ＝cq k －1＝c i ＋xd ＝b 3＋x(cq －c)＝cq 2＋x(cq －c)有正整数解x.等价于qk －1＝q 2＋x(q －1)，x ＝qk －1－q2q －1为正整数．因为x ＝qk －1－q 2q －1＝q 2（q k －3－1）q －1表示首项为q 2，公比为q ＝i －2(i≥4)，共k －3(k≥4)项的等比数列的和，所以x 为正整数．因此，{b n }中的每一项都是数列{c n }也即{1a n }中的项．(16分)2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(2分)即a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，(5分)则A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4301.(10分)B. 解：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M(2，0，)N(3，3)，则直线l ：y ＝3(x －2)，(2分)曲线C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，圆心为(2，－3)，半径r ＝2，则圆心到直线l 的距离d ＝|0－3|2＝32，(6分)则直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝13.(10分)C. 证明：因为a>0，b>0，c>0，a ＋b ＋c ＝2，由柯西不等式，得 [(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)](a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b )＝[(b ＋c)2＋(c ＋a)2＋(a ＋b)2][(a b ＋c )2＋(b c ＋a)2＋(c a ＋b)2]＝(b ＋cab ＋c ＋c ＋abc ＋a ＋a ＋bca ＋b)2(5分) ＝(a ＋b ＋c)2＝22，(8分)则a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥22（b ＋c ）＋（c ＋a ）＋（a ＋b ）＝44＝1. 所以a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.(10分)22. 解：因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分) (1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为点M 为线段AF 的中点，则x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分)则x 0＝2x －1，y 0＝2y ，代入抛物线方程，得y 2＝2x －1，即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0，设△AOB 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2.因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2. 因为S 1＝12OF ·y 1，S 2＝12OF ·|y 2|＝－12OF ·y 2，则y 1＝－2y 2 ①.(6分)设直线AB ：x ＝ty ＋1(t>0) ②，与y 2＝4x 联立，消去x ，得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ③，y 1y 2＝－4 ④.(8分)由①③④可得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)．综上，直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．(10分)23. 证明：(1) 当n ＝1时，a 2＝a 1(a 1－1)＋1＝3＝a 1＋1成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1…a 2a 1＋1.当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＝a k ＋1(a k a k －1…a 2a 1＋1－1)＋1 ＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1.则当n ＝k ＋1时，命题成立．综上，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1.(4分)(2) 要证a n ＋1>n n＋1，由(1)a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1，只需证a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n.下用数学归纳法证明：当n ＝1，2，3时，a 1＝2，a 2＝3，a 3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33.假设n ＝k(k≥3)时，结论成立，即a k a k －1a k －2…a 2a 1>k k，(6分) 则n ＝k ＋1时，a k ＋1a k …a 2a 1＝(a k a k －1…a 2a 1＋1)a k a k －1…a 2a 1>(a k a k －1a k －2…a 2a 1)2>k 2k.(7分)设f(x)＝2xln x －(x ＋1)ln(x ＋1)(x≥3)，则f′(x)＝ln x 2x ＋1＋1>ln x 2－1x ＋1＋1＝ln(x －1)＋1≥ln 2＋1>0，所以f(x)为增函数，则f(x)≥f(3)＝2(3ln 3－2ln 4)＝2ln 2716>0，则2kln k>(k ＋1)ln(k ＋1)，ln k 2k>ln(k ＋1)(k ＋1)，即k 2k>(k ＋1)(k ＋1)．即a k ＋1a k …a 2a 1>(k ＋1)k ＋1，则n ＝k ＋1时，命题成立．(9分)综上，a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，所以a n ＋1>n n＋1.(10分)。

2019届江苏省七市高三下学期三调考试数学试卷及解析

2019届江苏省七市高三下学期三调考试数学试卷★祝考试顺利★一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，，则____．【答案】【解析】【分析】直接由补集运算得解。

【详解】因为，所以2.已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___．【答案】-3【解析】【分析】整理为，利用它是纯虚数列方程，问题得解。

【详解】因为因为复数是纯虚数，所以解得：3.下图是一个算法流程图．若输出的值为4，则输入x的值为____．【答案】-1【解析】【分析】对的范围分类，利用流程图列方程即可得解。

【详解】当时，由流程图得：令，解得：，满足题意。

当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意。

故输入的值为：4.已知一组数据6，6，9，，的平均数是，且，则该组数据的方差为____．【答案】【解析】【分析】由这组数据6，6，9，，的平均数是可求得，结合可求得，再利用方差公式计算即可得解。

【详解】因为数据6，6，9，，的平均数是所以，整理得：又，解得：或此时都等于所以该组数据的方差为5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为____．【答案】【解析】【分析】计算出“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“2只球都是白球”有种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解。

【详解】由题可得：“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“摸出的2只球都是白球”有种不同的结果.所以“从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球”的概率为6.已知函数则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】由题可得：函数为奇函数，即可将不等式转化为：，对分类解不等式即可。

【详解】由题可得：函数为奇函数，不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为7.已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．【答案】14【解析】【分析】由及列方程组，即可求得，再利用等比数列前项和公式计算即可得解。

2019苏锡常镇三模(十八)数学答案

2019届高三年级第三次模拟考试(十八)(苏锡常镇)数学参考答案1. (0，1)2. 13. 524. 85. 556. 137. 73 8. 239. 11 10. (－2，－1)∪(1，2) 11. 12 12. 1 13. －25314. (－2e －1，0] 15. (1) 在三棱锥PABC 中，因为E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF 为△PCD 的中位线，(2分)所以EF ∥CD.(3分)又EF ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB ⊥平面PCD ，平面PAB ∩平面PCD ＝PD ，AB ⊥PD ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥平面PCD.(11分)又CE ⊂平面PCD ，所以AB ⊥CE.(14分)16. (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且3a c ＝2－cos A sin C.(1分) 得3sin A sin C ＝2－cos A sin C ，(2分) 所以3sin A ＝2－cos A ，即3sin A ＋cos A ＝2，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1.(4分) 因为A ∈(0，π)，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，7π6，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.(6分) (2) 在△ABC 中，因为A ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6>0. 又因为cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝14，所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝154.(8分) 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos C ＝cos (π－A －B)＝－cos (A ＋B)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3(10分)＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋π6＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6sin π6 ＝－32×14＋12×154＝15－38.(14分) 17. 设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1) 由r ＝6，得V ＝13πr 2h ＝36π，则h ＝3，(1分) 所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π，(2分)又底面积为πr 2＝36π(平方米)，(3分)故该容器的表面积为185π＋36π＝18(2＋5)π平方米．(4分)答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(5分)(2) 因为V ＝13πr 2h ＝36π，所以r 2＝3×36ππh＝108h ，其中h>0，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2 ＝π1082h 2＋108h ·h 2＝π1082h 2＋108h ＝π108108h 2＋h.(8分) 记f(h)＝108h 2＋h ，令f′(h)＝－216h 3＋1＝h 3－216h 3＝0，得h ＝6.(10分) 当h ∈(0，6)时，f ′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h ∈(6，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增，(12分)所以当h ＝6时，f(h)最小，此时S 最小．(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．(14分)18. (1) 由椭圆C 的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4得，a ＝2，a 2c＝4，故c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，(2分) 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. ①(3分) (2) 设直线A 1D ：y ＝k(x ＋2)(k>0) ②，则与右准线x ＝4的交点D(4，6k)．又A 2(2，0)，所以设直线A 2D ：y ＝3k(x －2)，联立①得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3k （x －2），解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 2－21＋12k 2，－12k 1＋12k 2，(5分) 则直线OG 的斜率为k OG ＝－6k 12k 2－1.③ 因为OG ⊥A 1D ，所以－6k 12k 2－1·k ＝－1.又k>0，所以k ＝66，(7分) 则直线A 1D 的方程为y ＝66(x ＋2)．(8分) (3) 由(2)中③知，设直线OG ：y ＝－6k 12k 2－1x ，联立②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6k 12k 2－1x ，y ＝k （x ＋2），解得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 2＋212k 2＋5，12k 12k 2＋5.(10分) 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋2），解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2.(12分) 因为AH →＝λAP →，所以(x H ＋2，y H )＝λ(x P ＋2，y P )，则y H ＝λy P ，λ＝y H y P ＝f(k)＝12k12k 2＋512k 3＋4k 2 ＝3＋4k 212k 2＋5＝112k 2＋9－43＋4k 2＝13－43＋4k 2.(14分) 因为f(k)在(0，＋∞)上为减函数，(15分)所以λ∈⎝⎛⎭⎫13，35.(16分)19. 因为f(x)＝x 2＋(2－a)x －a ln x ，所以f′(x)＝（x ＋1）（2x －a ）x 2.(1分) (1) 因为曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，所以f′(1)＝2(2－a)＝1，解得a ＝32.(2分) (2) ①当a ≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)不存在极值．(3分)②当a>0时，令f′(x)＝0，得x ＝a 2. (5分)则f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a －a 24－a ln a 2≤a 2. 因为a>0，所以12－a 4－ln a 2≤0. 令g(a)＝12－a 4－ln a 2＝12＋ln 2－a 4－ln a ，则g′(a)＝－14－1a<0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递减，(7分)又g(2)＝0，所以g(a)≤g(2)＝0，则a ≥2，则实数a 的最小值为2.(8分)(3) 记f(x)在[1，2]上的值域为A ，在[4，8]上的值域为B ，“任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立”等价于“A ⊆B ”．①当a 2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，由(2)知f(x)在[1，8]上为单调函数，不合题意；(9分)②当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，故f ⎝⎛⎭⎫a 2∈A ，但f ⎝⎛⎭⎫a 2∉B ，不合题意；(10分) ③当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A ＝[f(2)，f(1)]，B ＝[f(4)，f(8)]，由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥f （4），f （1）≤f （8），则⎩⎪⎨⎪⎧8－2a －a ln 2≥24－4a －2a ln 2，3－a ≤80－8a －3a ln 2，解得⎩⎨⎧a ≥162＋ln 2，a ≤777＋3ln 2.(11分) 因为0<ln 2<1，所以2<2＋ln 2<3，即4<163<162＋ln 2<8. 又因为e >2.7，计算得e 3>24，所以e 72>e 3>24，即72>ln 24＝4ln 2，即7>8ln 2，也即21>24ln 2，即777＋3ln 2－8＝21－24ln 27＋3ln 2>0，即777＋3ln 2>8，所以162＋ln 2≤a ≤8.(13分) ④当4<a 2<8，即8<a<16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)，所以a ≤777＋3ln 2<777＝11<16，则8<a ≤777＋3ln 2.(15分)综上，162＋ln 2≤a ≤777＋3ln 2.(16分) 20. (1) 因为当n ≥3且n ∈N *时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝λ(n －1)a 1a n 恒成立，所以当n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2λa 1a 3，因为数列{a n }各项都不为0，所以同除a 1a 2a 3得2λa 2＝1a 1＋1a 3.(1分) 又因为1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，所以2a 2＝1a 1＋1a 3，(2分) 比较得2λa 2＝2a 2，所以λ＝1.(3分) (2) ①当λ＝1，n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2a 1a 3，①整理得1a 1＋1a 3＝2a 2，则1a 2－1a 1＝1a 3－1a 2.②(4分) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＝3a 1a 4，③③－①得a 3a 4＝3a 1a 4－2a 1a 3，所以1a 1＝3a 3－2a 4，又1a 1＋1a 3＝2a 2，所以1a 4－1a 3＝1a 3－1a 2.④(5分) 当n ≥3时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝(n －1)a 1a n .a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1两式相减得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n .因为a n ≠0，所以1a 1＝n a n －n －1a n ＋1.(6分) 进一步有1a 1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，所以n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，整理得1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n (n ≥3)，⑤(7分) 由②④⑤得1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n对任意的正整数n ≥1恒成立，(8分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 成等差数列．(9分) ②设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，令c n ＝1a n ，c 1＝1a 1＝c (c ≠0)，则b 1＝c 1＝c ，b 2＝c 2＝c ＋d ，d ＝c 2－c 1＝b 2－b 1＝cq －c .当i ＝2时，b 3＝c 2＝b 2，从而q ＝1，b 2＝b 1，所以a 1＝a 2，与已知不符；(10分)当i ＝3时，由b 3＝c 3，cq 2＝c ＋2d ＝c ＋2c (q －1)，得q 2＝1＋2(q －1)，所以q ＝1，与已知不符；(11分)当i ＝1时，由b 3＝c 1，cq 2＝c ，得q 2＝1，则q ＝－1(上面已证q ≠1)为整数．数列{b n }为c ，－c ，c ，…；数列{c n }中，c 1＝c ，c 2＝－c ，公差d ＝－2c .数列{b n }中的每一项都是{c n }中的项(c ＝c 1，－c ＝c 2)．(12分)当i ≥4时，由b 3＝c i ，cq 2＝c ＋(i －1)d ＝c ＋(i －1)·c (q －1)，得q 2－(i －1)q ＋(i －2)＝0，所以q ＝1(舍去)，q ＝i －2(i ≥4)为正整数．(14分)因为cq ＝c ＋d ，b 3＝c i ，对任意的正整数k ≥4，欲证明b k 是数列{c n }中的项，只需证b k ＝cq k －1＝c i ＋xd ＝b 3＋x (cq －c )＝cq 2＋x (cq －c )有正整数解x .等价于q k －1＝q 2＋x (q －1)，x ＝q k －1－q 2q －1为正整数．因为x ＝q k －1－q 2q －1＝q 2（q k －3－1）q －1表示首项为q 2，公比为q ＝i －2(i ≥4)，共k －3(k ≥4)项的等比数列的和，所以x 为正整数，所以数列{b n }中的每一项都是数列{c n }也即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 中的项．(16分) 21. A. 因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，(2分) 所以a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1，(5分)则A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 30 1.(10分) B. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M (2，0)，N (3，3)，则直线l 的方程为y ＝3(x －2)，曲线C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，圆心为(2，－3)，半径r ＝2，则圆心到直线l 的距离d ＝|0－3|2＝32，(6分) 则直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝13.(10分)C. 因为a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝2，由柯西不等式得[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )](a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b) ＝[(b ＋c )2＋(c ＋a )2＋(a ＋b )2]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b 2] ≥[b ＋c a b ＋c ＋c ＋a b c ＋a ＋a ＋b c a ＋b]2(5分) ＝(a ＋b ＋c )2＝22，(8分)则a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥22（b ＋c ）＋（c ＋a ）＋（a ＋b ）＝44＝1，所以a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.(10分) 22. 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分)(1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为M 为线段AF 的中点，所以x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分) 则x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入抛物线方程得y 2＝2x －1，即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0，设△AOB 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2，因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2.因为S 1＝12OF ·y 1，S 2＝12OF ·|y 2|＝－12OF ·y 2，所以y 1＝－2y 2.①(6分) 设AB ：x ＝ty ＋1(t>0)②，与y 2＝4x 联立，消去x 得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ，③y 1y 2＝－4，④(8分)由①③④得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)．综上，直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．(10分)23. (1) 当n ＝1时，a 2＝a 1(a 1－1)＋1＝3＝a 1＋1成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1…a 2a 1＋1.当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＝a k ＋1·(a k a k －1…a 2a 1＋1－1)＋1＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1，则当n ＝k ＋1时，命题成立．综上，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1.(4分)(2) 要证：a n ＋1>n n ＋1，由(1)知a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1，只需证：a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，下面用数学归纳法证明：当n ＝1，2，3时，a 1＝2，a 2＝3，a 3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33. 假设当n ＝k(k ≥3)时，结论成立，即a k a k －1a k －2…a 2a 1>k k ，(6分)则当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k …a 2a 1＝(a k a k －1…a 2a 1＋1)a k a k －1…a 2a 1 >(a k a k －1a k －2…a 2a 1)2>k 2k .(7分)设f(x)＝2x ln x －(x ＋1)ln (x ＋1)(x ≥3)，则f′(x)＝ln x 2x ＋1＋1>ln x 2－1x ＋1＋1＝ln (x －1)＋1≥ln 2＋1>0，所以f(x)为增函数，则f(x)≥f(3)＝2(3ln 3－2ln 4)＝2ln 2716>0，则2k ln k>(k ＋1)ln (k ＋1)，ln k 2k >ln (k ＋1)k ＋1，即k 2k >(k ＋1)k ＋1，则a k ＋1a k …a 2a 1>(k ＋1)k ＋1，则当n ＝k ＋1时，命题成立．(9分)综上，a n a n－1a n－2…a2a1>n n，所以a n＋1>n n＋1.(10分)。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题36 基本不等式(解析版)

考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+，由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…，所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=，又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==，由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________．【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心，连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心．连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π．故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________．【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去）当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，，又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩，故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤，综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解，综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。

2019届江苏省南京大学附属中学高三三模数学试题(解析版)

2019届江苏省南京大学附属中学高三三模数学试题一、填空题1．已知集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{}|2,B x x k k Z ==∈，则A B =I ________. 【答案】∅【解析】利用交集定义直接求解．【详解】解：Q 集合{|21,}A x x k k Z ==-∈{=奇数}，{}|2,B x x k k Z ==∈{=偶数}， A B ∴⋂=∅．故答案为：∅．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．命题“对任意1x >，21x >”的否定是．【答案】存在01x >，使得201x ≤【解析】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意1x >，21x >”的否定是“存在01x >，使得201x ≤”．【考点】命题的否定．3．已知实数,a b 满足2019a bi i +=（i 为虚数单位），则+a b 的值为_______. 【答案】1-【解析】由虚数单位i 的性质结合复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．【详解】解：由1i i =，21i =-，3i i =-，41i =所以201945043()a bi i i i i +===-g ，得0a =，1b =-．1a b ∴+=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的性质，属于基础题．4．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，4-，1-，0，2，则该组数据的标准差为_______. 【答案】4【解析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．【详解】解：某地区连续5天的最低气温（单位：C)︒依次为8，4-，1-，0，2，平均数为：()18410215--++=， ∴该组数据的方差为：2222221(81)(41)(11)(01)(21)165S ⎡⎤=-+--+--+-+-=⎣⎦， ∴该组数据的标准差为4．故答案为：4．【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______. 【答案】2413【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．【详解】解：双曲线C ：双曲线22149x y -=中2a =，3b =，c =，则双曲线22149x y -=的一条准线方程为2a x c ==，双曲线的渐近线方程为：32y x =±，可得准线方程与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，(13，)13-，则三角形的面积为12422131313⨯⨯⨯=．故答案为：2413【点睛】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题． 6．根据如图所示的伪代码，若输出的y 的值为12，则输入的x 的值为_______.【答案】6【解析】算法的功能是求21020x x x y x ⎧-=⎨>⎩„的值，根据输出y 的值，分别求出当0x „时和当0x >时的x 值即可得解．【详解】解：由程序语句知：算法的功能是求21020x x x y x ⎧-=⎨>⎩„的值，当0x „时，2112y x =-=，可得：6x =6；当0x >时，122xy ==，可得：1x =-（舍去）．综上x 的值为：6 故答案为：6．【点睛】本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．7．已知O 为矩形ABCD 的对角线的交点，现从,,,,A B C D O 这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为________. 【答案】45【解析】基本事件总数3510n C ==，这3个点共线的情况有两种AOC 和BOD ，由此能求出这3个点不共线的概率．【详解】解：O 为矩形ABCD 的对角线的交点，现从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任选3个点，基本事件总数3510n C ==，这3个点共线的情况有两种AOC 和BOD ，∴这3个点不共线的概率为241105p =-=．故答案为：45．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．函数()3sin()0,2f x x πωϕϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.【答案】8【解析】根据图象利用6(0)f =，先求出ϕ的值，结合()10f =求出ω，然后利用周期公式进行求解即可．【详解】解：由6(0)3sin f ϕ=2sin ϕ=，Q2ϕπ<<π，34πϕ∴=，则3())4f x x πω=+， Q ()3104f πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，34πωπ∴+=，即4πω=，则函数的最小正周期2284T πππω===，故答案为：8 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键． 9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，6543214,1a a a a a a +=+--=，则1a 的值为________.1【解析】运用等比数列的通项公式，即可解得1a ．【详解】解：Q 65432141a a a a a a +=⎧⎨+--=⎩，∴531(1)4(1)(1)1a q a q a q +=⎧⎨+-+=⎩，3155441a a a a ∴⨯-⨯=，5314()a a a ∴=-，42440q q ∴-+=， 22(2)0q ∴-=，22q ∴=，q ∴=，44q =， 54114a q a q ∴+=，11)1a ∴=，11a ∴．1．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．10．已知sin(2)sin p αββ+=，tan()tan p αβα+=，其中，p 为正的常数，且1p ≠，则p 的值为_______.1【解析】把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得p 值．【详解】解：由sin(2)sin p αββ+=，得sin[()]sin[()]p ααβαβα++=+-， sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin p p αβααβααβααβα∴+++=+-+，即(1)sin()cos (1)cos()sin p p αβααβα-+=++， (1)tan()(1)tan p p αβα∴-+=+，又tan()tan p αβα+=，∴11p p p +=-，解得：1p =± p Q为正的常数，1p ∴=．1．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上有且仅有一对点,M N ，使得MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍，则r 的值为_______.【答案】6【解析】写出AB 所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于r 的等式，求解得答案．【详解】解：直线AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=．圆222(2)(0)x y r r -+=>的圆心(2,0)到直线AB 的距离d == 由MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍的点M ，N 有且仅有一对，可得点M 到AB 的距离是点N 到直线AB 的距离的2倍，可得MN 过圆的圆心，如图：)r r =，解得r ．故答案为：6．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．12．已知函数423,0,()log ,0,x x f x x x -⎧<=⎨>⎩若关于x 的不等式()f x a >的解集为()2,a +∞，则实数a 的所有可能值之和为_______. 【答案】6【解析】由分段函数可得0a „不满足题意；0a >时，2log x a >，可得2a x >，即有22a a =，解方程可得2a =，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和．【详解】解：由函数423,0()log ,0x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，可得()f x 的增区间为(,0)-∞，(0,)+∞，0x <时，()(0f x ∈，43)-，0x >时，()f x ∈R ，当关于x 的不等式()f x a >的解集为2(a ，)+∞，可得0a „不成立，0a >时，1081a <„时，不成立； ()f x a >，即为2log x a >，可得2a x >，即有22a a =，显然2a =，4成立；由2xy =和2y x =的图象可得在0x >仅有两个交点．综上可得a 的所有值的和为6．故答案为：6．【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．13．在ABC ∆中，已知M 是BC 的中点，且1AM =，点P 满足2PA PM =，则()PA PB PC ⋅+uu r uu r uu u r的取值范围是_______.【答案】49-【解析】由题设条件2PB PC PM AP +==u u u r u u u r u u u u r u u u r，故可得2()PA PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ，由于线段PA 长度可以求出，故可解出()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的值．【详解】解：M 是BC 的中点，2AP PM =u u u r u u u u r，1AM = 2()2()PA PB PC PA PM PA AP PA +===-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g g224()39MA =-=-u u u r ．故答案为：49-．【点睛】本题考查向量的内积公式与向量加法的三角形法则，本题恰当地利用向量的相关公式灵活变形达到了用已知向量表示未知向量，且求出未知向量的目标．14．设(,)P x y 为椭圆2211612x y +=在第一象限上的点，则346x y x y +--的最小值为________. 【答案】4【解析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【详解】解：设点(4cos P α，)α，其中02πα<<，∴33443(6)18()()464646x y x y x y x y x y x y -+-++=-+=-+------ 4184184()44646x y x y=--+=-++----，由4cos x α=，y α=，02πα<<，可设41844644cos z x y α=+=---11cos α=-，导数为2sin (1cos )z αα'=--，由0z '=，可得23323sin sin αααααα-+--+22sin )(36cos 3cos sin cos )0αααααααα=---+++=，sin 0αα-=或2236cos 3cos sin cos 0αααααα--+++=，由3)2cos225)2sin(2)336πππααααα-+++=-+++223)4sin ()(2sin()0333πππααα=-+++=+->，(0)2πα<<，sin 0αα-=，即tan α=3πα=，由03πα<<可得函数z 递减；由32ππα<<，可得函数z 递增，可得3πα=时，函数z取得最小值，且为18112=-，则346x y x y+--的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，//MD 平面PAC ，平面PAB ⊥平面PMC ，CPM ∆为锐角三角形，求证：（1）D 是PB 的中点；（2）平面ABC ⊥平面PMC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）推导出//MD PA ，由M 是AB 的中点，能证明D 是BP 有中点．（2）作CN PM ⊥于点N ，推导出CN ⊥平面PAB ，从而CN AB ⊥，由AB PC ⊥，能证明AB ⊥平面PMC ，由此能证明平面ABC ⊥平面PMC ．【详解】证明：（1）在三棱锥P ABC -中，//MD Q 平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，MD ⊂平面PAB ，//MD PA ∴，在PAB ∆中，M Q 是AB 的中点，D ∴是BP 有中点．（2）在三棱锥P ABC -中，CPM ∆Q 是锐角三角形，∴在CPM ∆中，可作CN PM ⊥于点N ，Q 平面PAB ⊥平面PMC ，平面PAB ⋂平面PMC PM =，CN ⊂平面PMC ，CN ∴⊥平面PAB ，AB ⊂Q 平面PAB ，CN AB ∴⊥，AB PC ⊥Q ，CN PC C =I ，AB ∴⊥平面PMC ，AB ⊂Q 平面CAB ，∴平面ABC ⊥平面PMC ．【点睛】本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 16．已知ABC ∆3，且1AB AC ⋅=-u u u r u u u r . （1）求角A 的大小及BC 长的最小值；（2）设M 为BC 的中点，且23AM =，BAC ∠的平分线交BC 于点N ，求线段MN 的长.【答案】（1）23A π=，min 6BC =（2）76MN =. 【解析】（1）根据面积公式和数量积性质求角A 及最大边a ；（2）根据AM 的长度求出b ，c 再根据面积比值求BM ，BN 从而求出MN ．【详解】（1）在ABC ∆中，由1AB AC =-u u u r u u u rg ，得cos 1cb A =-，由3ABC S ∆=，得sin 3bc A = 所以222()(cos sin )4bc A A +=，所以2bc =，1cos 2A =-，因为在ABC ∆中，0A π<<，所以23A π=，因为222222cos 222a b c bc A b c bc =+-=+++…（当且仅当b c =时取等），所以BC 6；（2）在三角形ABC 中，因为AM 为中线，所以AM AB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ，AM AC CM =+u u u ur u u u r u u u u r ，所以2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，因为23AM =，所以2222(2)()23AM AB AC b c =+=+-=u u u u r u u u r u u u r ，所以225b c +=，由（1）知2bc =，所以1b =，2c =或2b =，1c =，所以2222cos 7a b c bc A =+-=，因为AN 为角平分线，1sin 23ABN S AB AN π∆=g ，1sin 23ACN S AC AN π∆=g ， ∴12ABN ACN S c BN S b CN ∆∆===或2，所以7BM =，7BN =或27，所以7MN =．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题．17．一张边长为2m 的正方形薄铝板ABCD （图甲），点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE CF x ==（单位：m ）.现将该薄铝板沿EF 裁开，再将DAE ∆沿DE 折叠，DCF ∆沿DF 折叠，使DA ，DC 重合，且,A C 重合于点M ，制作成一个无盖的三棱锥形容器D MEF -（图乙），记该容器的容积为V （单位：3m ），（注：薄铝板的厚度忽略不计）（1）若裁开的三角形薄铝板EFB 恰好是该容器的盖，求x ，V 的值；（2）试确定x 的值，使得无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大.【答案】（1）1x =，13V =；（2）当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大.【解析】（1）由已知求得1x =，求得三角形EBF 的面积，再由已知得到MD ⊥平面EMF ，代入三棱锥体积公式求V 的值；（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，EFB ∆为等腰直角三角形，又AE CF x ==， 2(02)BE BF x x ∴==-<<，EFB ∆Q 恰好是该零件的盖，1x ∴=，则12EBF S ∆=，由图甲知，AD AE ⊥，CD AF ⊥，则在图乙中，MD ME ⊥，MD MF ⊥，ME MF M =I ，又ME ，MF ⊂平面EMF ，MD ∴⊥平面EMF ， 11111233323EMF EBF V S MD S MD ∆∴===⨯⨯=g g ；（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=，∴2211sin 22EMFS x EMF x ∆=∠= 令2421()()[16(1)]4EMF f x S x x ∆==--，32()8(1)(2)(24)f x x x x x x ∴'=--=-+-，02x <<Q ，1x ∴=．可得：当1)x ∈时，()0f x '>，当1x ∈，2)时，()0f x '<，∴当1x =时，EMF S ∆有最大值．由（1）知，MD ⊥平面EMF ，∴该三棱锥容积的最大值为13EMF V S MD ∆=g ，且2MD =．∴当1x =时，()f x 取得最大值，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．答：当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，直线l 与椭圆交于,CD 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . ①若213k k =，求证：直线l 过定点； ②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断12k k 是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）①证明见解析；②1231k k = 【解析】（1）由题意焦距为2，设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，解得20b y a=±，从而四边形ACBD 的面积226222ABC b S a b a ∆===g ，由此能求出椭圆的标准方程．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，推导出212186(34k C k --+，12112)34k k +，222286(34k D k -+，22212)34k k -+，由此猜想：直线l 过定点(1,0)P ，从而能证明P ，C ，D 三点共线，直线l 过定点(1,0)P ． ②由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，推导出122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，由此推导出111121212122212112222(2)(1)1(2)(3)332y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---=====+++-（定值）．【详解】（1）由题意焦距为2，可设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，得202211y a b +=，解得20b y a =±， ∴四边形ACBD 的面积226222ABCb S a b a∆===g ，23b ∴=，24a =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，211211612234k x k -∴-=+，解得211216834k x k -=+，从而11112112(1)34k y k x k =+=+， 212186(34k C k -∴-+，12112)34k k +，同理可得222286(34k D k -+，22212)34k k -+，猜想：直线l 过定点(1,0)P ，下证之：213k k =Q ，12221222122212121234348686113434PC PDk k k k k k k k k k -++∴-=------++1211112222221211114124364401449143691414k k k k k k k k k k k k =+=+=-=------，P ∴，C ，D 三点共线，∴直线l 过定点(1,0)P ．②12k k 为定值，理由如下：由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，1,2y ∴=，122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+，∴111121212122212112222(2)(1)(2)(3)32y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---====+++- 222222222963()34343499333434m m my y m m m m m y y m m -----++++==-+-+++2222313493334my m m y m -++==-++（定值）．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．19．设k ∈R ，函数()()g x k x e =-，其中e 为自然对数的底数. （1）设函数()1ln xf x x=-.①若1k =-，试判断函数()f x 与()g x的图像在区间上是否有交点； ②求证：对任意的k ∈R ，直线()y g x =都不是()y f x =的切线；（2）设函数()2ln ()h x x x x xg x ekx =-+-，试判断函数()h x 是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①函数()f x 与()g x的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）0k >且12k e≠；【解析】（1）①令()()()F x f x g x =-，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为0x ，求出切线方程，得到002x e elnx =-，根据函数的单调性判断即可；（2）求出()h x 的解析式，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，确定k 的范围即可．【详解】解：（1）①当1k =-时，函数()g x x e =-+，令()()()1xF x f x g x x e lnx=-=+--，x ∈，则()120F e =-<，0F e =>，故()10F F<g ，又函数()F x在区间上的图象是不间断曲线，故函数()F x在区间上有零点，故函数()f x 与()g x的图象在区间上有交点；②证明：假设存在k ∈R ，使得直线()y k x e =-是曲线()y f x =的切线，切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞U ，则切线()y f x =在点0x x =切线方程为000()()()y f x x x f x ='-+，即000002200022(1)(1)1lnx x x lnx x y x lnx lnx lnx --=-+---，从而0202(1)lnx k lnx -=-，且00002002(1)1x x lnx x ke lnx lnx --+=---，消去k ，得002x e elnx =-，故0x e =满足等式，令000()2s x x e elnx =-+，所以00()1es x x '=+，故函数0()s x 在(0,)e 和(,)e +∞上单调递增，又函数0()s x 在0x e =时()0s e =，故方程002x e elnx =-有唯一解0x e =，又()()00,,x e e ∈+∞U ，故0x 不存在，即证；（2）由2()2()22h x x xlnx xg x ekx x xlnx kx kex =-+-=-+-得，0x >，()12()h x lnx k x e '=-+-，令()12()m x lnx k x e =-+-，则121()2kx m x k x x-'=-=， ()()0m e h e '==，()i 当0k …时，()h x '递减，故当(0,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增，故在处取得极大值，不合题意； ()0ii k >时，则()m x 在1(0,)2k递减，在1(2k ，)+∞递增，①当102k e <<时，12e k >，故()m x 在1(0,)2k递减，可得当(0,)x e ∈时，()0h x '>，当1(,)2x e k∈时，()0h x '<， 111()(12)2kkke e m ke e ln k k=-+-Q ，易证112ke k k >，令11()2kke m k e ln k=-，1(,)2k e e ∈，令12t e k=>，故()2n t et lnt t =--，则1()210n t e t'=-->，故()n t 在(2,)e +∞递增，则()()()210n t n e n >>>，即102k e<<时，0m >，故在1(2k ，1)ke k内存在0x ，使得0()0m x =，故()h x 在1(2k，0)x 上递减，在0(x ，)+∞递增，故()h x 在0x x =处取得极小值． ②由（1）知12k e =，12e k=，故()h x '在(0,)e 递减，在(,)e +∞递增，故(0,)x ∈+∞时，()0h x '…，()f x 递增，不合题意； ③当12k e>时，102e k <<，当1(2x k∈，)e 时，()0h x '<，()f x 递减，故在处取极小值，符合题意，综上，实数k 的范围是0k >且12k e≠．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．20．（1）已知数列{}n a 满足：121,a a λ==，且1121n n n n n a a a a a λ+--=-（λ为非零常数，*2,n n N ≥∈），求数列()*12,n n a n n N a -⎧⎫≥∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（2）已知数列{}n b 满足：（ⅰ）对任意的*1,0n n n N b b +∈<≤；（ⅱ）对任意的*2,n n N ≥∈，()()*111*2,21,,2,n n n n q n k k N b b q n k k N μμ-+⎧=+∈⎪⋅=⎨=∈⎪⎩()120,0,0q q μ>>>，且21b b = ①若121,q q μ==，求数列{}n b 是等比数列的充要条件.②求证：数列12569104342,,,,,,,,,m m b b b b b b b b --⋯⋯是等比数列，其中*m N ∈.【答案】（1）(1)2n n λ+；（2）①1121b q q q ====；②证明见解析. 【解析】（1）由条件可得11n nn n a a a a λ+--=，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若1μ=，可令12q q q ==，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；②当2k m =，441412m m m b b q μ-+=g ，4241432m m m b b q μ---=g ，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论．【详解】解：（1）11a =，2a λ=，且2111(nn n n n a a a a a λλ+--=-为非零常数，2n …，*)n N ∈，可得11n nn n a a a a λ+--=，可得数列1{}nn a a -的首项为λ，公差为λ的等差数列，可得1(1)nn a n a λ-=-，前n 项和为(1)2n n λ+；（2）①若1μ=，可令12q q q ==，11n n n b b q -+=g，且21b q b ，即21b b q =，231q b b =，32421q q b b b ==，251b b q =，对任意的*n N ∈，10n n b b +<„，可得123450b b b b b <剟剟，可得1q …，11b …，数列{}n b 是等比数列，则2213b b b =，2435b b b =，可得11b q ==，111n n b b -+=g，即23411b b b b ====，又131n n b b ++=g，即有13n n b b -+=，即1n b =，数列{}n b 是等比数列的充要条件为1121b q q q ====；②证明：对任意的2n …，*n N ∈，*111*2,21()·(0,2()n n n n q n k k N b b q n k k N μμμ-+⎧=+∈=>⎨=∈⎩，10q >，20)q >，当2k m =，441412m m m b b q μ-+=g ，4241432m m m b b q μ---=g ，可得241243m m b q b +-=，即43{}m b -以1b 为首项、22q 为公比的等比数列；同理可得42{}m b -以2b 为首项、21q 为公比的等比数列；对任意的*n N ∈，10n n b b +<„，可得434241m m m b b b --+剟，即有22222122112m m mb q b q b q --剟，所以对*m N ∀∈，221221()1m b q b q -g „，222121221()1m b q b q q -g „，可得21122(1)0q b m lglg q b -+„，122212(1)20q bm lg lg lgq q b -+-„，即12q q „且21q q „，则12q q =，可令120q q q ==，故数列1b ，2b ，5b ，6b ，9b ，10b ，⋯，43m b -，42m b -，⋯ 是以1b 为首项，0q 为公比的等比数列，其中*m N ∈．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．第 21 页共 21 页。

江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试数学Word版含答案

2019届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝3＋4i5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1，则其离心率为________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________． T←1 i ←2While T<6 T←2T i←i＋2 End While Print i (第4题)5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6. 口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S 12S 8＝________．8. 若函数f(x)＝cos (ωx－π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a －2b 2＋4b的最小值为________．10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)的解集为____________．11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________．12. 已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P 的纵坐标为________．13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上．若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________．14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ，点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD.求证：(1) EF∥平面ABC ； (2) CE⊥AB.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C. (1) 求角A 的大小；(2) 若cos(B ＋π6)＝14，求cos C 的值．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若HG⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3) 如果A 1H →＝λA 1P →，试求λ的取值范围．已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，其中a∈R .(1) 如果曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，求实数a 的取值范围．已知数列{a n}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n ＝λ(n－1)a1a n恒成立．(1) 如果1a1，1a2，1a3成等差数列，求实数λ的值；(2) 已知λ＝1.①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n}中，a1≠a2.数列{b n}是公比为q的等比数列，满足b1＝1a1，b2＝1a2，b3＝1a i(i∈N)．求证：q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01，求A 2.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(23，π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b ≥1.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；(2) 已知△A OB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．23. 已知数列{a n}中，a1＝2，且a n＋1＝a2n－a n＋1对任意n∈N恒成立．求证：(1) a n＋1＝a n a n－1a n－2…a2a1＋1(n∈N)；(2) a n＋1>n n＋1(n∈N)．2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. (0，1)2. 13. 524. 85. 556. 137. 738. 239. 11 10. (－2，－1)∪(1，2) 11. 1212. 1 13. －25314. (－2e －1，0]15. 证明：在三棱锥PABC 中：(1) 因为点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF 为△PCD 的中位线，(2分) 则有EF∥CD.(3分) 又EF平面ABC ，CD平面ABC ，所以EF∥平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB⊥平面PCD ，平面PAB∩平面PCD ＝PD ，AB ⊥PD ，AB 平面PAB ，所以AB⊥平面PCD.(11分) 又CE平面PCD ，所以AB⊥CE.(14分)16. 解：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且3a c ＝2－cos Asin C，(1分) 得3sin A sin C ＝2－cos Asin C，(2分)则有3sin A ＝2－cos A ，即3sin A ＋cos A ＝2，2sin(A ＋π6)＝2，故sin(A ＋π6)＝1.(4分)因为A∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，因为A ＝π3，则B∈(0，2π3)，B ＋π6∈(π6，5π6)，所以sin(B ＋π6)>0.因为cos(B ＋π6)＝14，所以sin(B ＋π6)＝1－cos 2（B ＋π6）＝154.(8分)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，(9分)所以cos C ＝cos(π－A －B)＝－cos(A ＋B)＝－cos(B ＋π3)(10分)＝－cos[(B ＋π6)＋π6]＝－cos(B ＋π6)cos π6＋sin(B ＋π6)sin π6＝－32×14＋12×154＝15－38.(14分) 17. 解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1) 由r ＝6，得V ＝13πr 2h ＝36π，得h ＝3，(1分)所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π.(2分)又底面积为πr 2＝36π(平方米)，(3分)故该容器的表面积为(185π＋36π)＝18(2＋5)π(平方米)．(4分) 答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(5分)(2) 因为V ＝13πr 2h ＝36π，得r 2＝3×36ππh ＝108h ，其中h>0，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2＝π1082h 2＋108hh 2＝π1082h2＋108h ＝π108108h2＋h.(8分) 记f(h)＝108h 2＋h ，令f′(h)＝－216h 3＋1＝h 3－216h3＝0，得h ＝6.(10分) 当h∈(0，6)时，f ′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h∈(6，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．(12分) 所以，当h ＝6时，f(h)最小，此时S 最小．(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．(14分)18. 解：(1) 由椭圆C 的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4，得a ＝2，a 2c ＝4，故c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1 ①.(3分)(2) 设直线A 1D ：y ＝k(x ＋2)(k>0) ②，则与右准线x ＝4的交点D(4，6k)．又A 2(2，0)，所以设直线A 2D ：y ＝3k(x －2)，联立①，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3k （x －2），解得G(24k 2－21＋12k 2，－12k1＋12k2)，(5分)则直线OG 的斜率为k OG ＝－6k12k 2－1 ③.因为OG⊥A 1D ，故－6k 12k 2－1·k ＝－1.又k>0，解得k ＝66，(7分)则直线A 1D 的方程为y ＝66(x ＋2)．(8分) (3) 由(2)中③可设直线OG ：y ＝－6k12k 2－1x ，联立②，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6k 12k 2－1x ，y ＝k （x ＋2），解得H(－24k 2＋212k 2＋5，12k12k 2＋5)．(10分) 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋2），解得P(6－8k 23＋4k 2，12k3＋4k2)．(12分)因为AH →＝λAP →，所以(x H ＋2，y H )＝λ(x P ＋2，y P )，则y H ＝λy P ， λ＝y H y P ＝f(k)＝12k 12k 2＋512k 3＋4k 2＝3＋4k 212k 2＋5＝112k 2＋9－43＋4k 2＝13－43＋4k 2.(14分) 因为f(k)在(0，＋∞)上为减函数，(15分) 所以λ∈(13，35)．(16分)19. 解：因为f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，所以f′(x)＝（x ＋1）（2x －a ）x 2.(1分) (1) 因为曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，所以f′(1)＝2(2－a)＝1，解得a ＝32.(2分)(2) ① 当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)不存在极值．(3分) ②当a>0时，令f′(x)＝0，得x ＝a2.x (0，a 2)a 2 (a2，＋∞) f′(x) －0 ＋f(x)极小值(5分)则f(x)min ＝f(a 2)＝a －a 24－aln a 2≤a 2.因为a>0，则12－a 4－ln a2≤0.令g(a)＝12－a 4－ln a 2＝12＋ln 2－a 4－ln a ，则g′(a)＝－14－1a<0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递减．(7分)又g(2)＝0，所以g(a)≤g(2)＝0，则a≥2，则实数a 的最小值为2.(8分) (3) 记f(x)在[1，2]上的值域为A ，在[4，8]上的值域为B ，“任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立”等价于“A B ”． ①当a 2≤1或a2≥8，即a≤2或a≥16时，由(2)知f(x)在[1，8]上为单调函数，不合题意；(9分)②当1<a 2≤2，即2<a≤4时，由(2)知f(x)在(0，a 2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f(a 2)∈A ，但f(a2)B ，不合题意；(10分)③当2<a2≤4，即4<a≤8时，A ＝[f(2)，f(1)]，B ＝[f(4)，f(8)]，由A B ，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥f（4），f （1）≤f（8），则⎩⎪⎨⎪⎧8－2a －aln 2≥24－4a －2aln 2，3－a≤80－8a －3aln 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥162＋ln 2，a ≤777＋3ln 2.(11分) 因为0<ln 2<1，则2<2＋ln 2<3，即4<163<162＋ln 2<8.因为e>2.7，计算得e 3>24，则e 72>e 3>24，即72>ln 24＝4ln 2，即7>8ln 2，也即21>24ln 2，则777＋3ln 2－8＝21－24ln 27＋3ln 2>0，即777＋3ln 2>8.所以162＋ln 2≤a ≤8.(13分)④当4<a2<8，即8<a<16，由A B ，得f(8)≥f(1)，得a ≤777＋3ln 2<777＝11<16，则8<a≤777＋3ln 2.(15分) 综上，162＋ln 2≤a ≤777＋3ln 2.(16分)20. (1) 解：因为n≥3且n∈N *时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝λ(n－1)a 1a n 恒成立，所以n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2λa 1a 3 (*)．因为数列{a n }各项都不为0，所以(*)式两边同除以a 1a 2a 3，得2λa 2＝1a 1＋1a 3.(1分)因为1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，则2a 2＝1a 1＋1a 3.(2分)比较得2λa 2＝2a 2，所以λ＝1.(3分)(2) 证明：① 当λ＝1，n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2a 1a 3 (i)，整理，得1a 1＋1a 3＝2a 2，则1a 2－1a 1＝1a 3－1a 2(ii)．(4分) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＝3a 1a 4 (iii)． (iii)－(i)，得a 3a 4＝3a 1a 4－2a 1a 3，得1a 1＝3a 3－2a 4.又1a 1＋1a 3＝2a 2，所以1a 4－1a 3＝1a 3－1a 2 (iv)．(5分) 当n≥3时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝(n －1)a 1a n ， a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，两式相减，得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n .因为a n ≠0，所以1a 1＝n a n －n －1a n ＋1，(6分)所以1a 1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，所以n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，整理，得1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n(n≥3) (v)．(7分)由(ii)(iv)(v)，得1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n 对任意的正整数n≥1恒成立，(8分)所以数列{1a n}成等差数列．(9分)②设数列{1a n }的公差为d ，令c n ＝1a n ，c 1＝1a 1＝c(c≠0)，则b 1＝c 1＝c ，b 2＝c 2＝c ＋d ，d ＝c 2－c 1＝b 2－b 1＝cq －c.当i ＝2时，b 3＝c 2＝b 2，从而q ＝1，b 2＝b 1，得a 1＝a 2，与已知不符．(10分)当i ＝3时，由b 3＝c 3，cq 2＝c ＋2d ＝c ＋2c(q －1)，得q 2＝1＋2(q －1)，得q ＝1，与已知不符．(11分)当i ＝1时，由b 3＝c 1，cq 2＝c ，得q 2＝1，则q ＝－1(上面已证q≠1)为整数．数列{b n }为c ，－c ，c ，…；在数列{c n }中，c 1＝c ，c 2＝－c ，公差d ＝－2c. 数列{b n }每一项都是{c n }中的项(c ＝c 1，－c ＝c 2)．(12分)当i≥4时，由b 3＝c i ，cq 2＝c ＋(i －1)d ＝c ＋(i －1)c(q －1)，得q 2－(i －1)q ＋(i －2)＝0，得q ＝1(舍去)，q ＝i －2(i≥4)为整数．(14分) 因为cq ＝c ＋d ，b 3＝c i ，对任意的正整数k≥4，欲证明b k 是数列{c n }中的项，只需b k ＝cq k －1＝c i ＋xd ＝b 3＋x(cq －c)＝cq 2＋x(cq －c)有正整数解x.等价于qk －1＝q 2＋x(q －1)，x ＝qk －1－q2q －1为正整数．因为x ＝qk －1－q 2q －1＝q 2（q k －3－1）q －1表示首项为q 2，公比为q ＝i －2(i≥4)，共k －3(k≥4)项的等比数列的和，所以x 为正整数．因此，{b n }中的每一项都是数列{c n }也即{1a n }中的项．(16分)2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(2分)即a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，(5分)则A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4301.(10分)B. 解：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M(2，0，)N(3，3)，则直线l ：y ＝3(x －2)，(2分)曲线C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，圆心为(2，－3)，半径r ＝2，则圆心到直线l 的距离d ＝|0－3|2＝32，(6分)则直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝13.(10分)C. 证明：因为a>0，b>0，c>0，a ＋b ＋c ＝2，由柯西不等式，得 [(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)](a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b )＝[(b ＋c)2＋(c ＋a)2＋(a ＋b)2][(a b ＋c )2＋(b c ＋a)2＋(c a ＋b)2]＝(b ＋cab ＋c ＋c ＋abc ＋a ＋a ＋bca ＋b)2(5分) ＝(a ＋b ＋c)2＝22，(8分)则a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥22（b ＋c ）＋（c ＋a ）＋（a ＋b ）＝44＝1. 所以a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.(10分)22. 解：因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分) (1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为点M 为线段AF 的中点，则x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分)则x 0＝2x －1，y 0＝2y ，代入抛物线方程，得y 2＝2x －1，即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0，设△AOB 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2.因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2. 因为S 1＝12OF ·y 1，S 2＝12OF ·|y 2|＝－12OF ·y 2，则y 1＝－2y 2 ①.(6分)设直线AB ：x ＝ty ＋1(t>0) ②，与y 2＝4x 联立，消去x ，得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ③，y 1y 2＝－4 ④.(8分)由①③④可得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)．综上，直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．(10分)23. 证明：(1) 当n ＝1时，a 2＝a 1(a 1－1)＋1＝3＝a 1＋1成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1…a 2a 1＋1.当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＝a k ＋1(a k a k －1…a 2a 1＋1－1)＋1 ＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1.则当n ＝k ＋1时，命题成立．综上，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1.(4分)(2) 要证a n ＋1>n n＋1，由(1)a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1，只需证a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n.下用数学归纳法证明：当n ＝1，2，3时，a 1＝2，a 2＝3，a 3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33.假设n ＝k(k≥3)时，结论成立，即a k a k －1a k －2…a 2a 1>k k，(6分) 则n ＝k ＋1时，a k ＋1a k …a 2a 1＝(a k a k －1…a 2a 1＋1)a k a k －1…a 2a 1>(a k a k －1a k －2…a 2a 1)2>k 2k.(7分)设f(x)＝2xln x －(x ＋1)ln(x ＋1)(x≥3)，则f′(x)＝ln x 2x ＋1＋1>ln x 2－1x ＋1＋1＝ln(x －1)＋1≥ln 2＋1>0，所以f(x)为增函数，则f(x)≥f(3)＝2(3ln 3－2ln 4)＝2ln 2716>0，则2kln k>(k ＋1)ln(k ＋1)，ln k 2k>ln(k ＋1)(k ＋1)，即k 2k>(k ＋1)(k ＋1)．即a k ＋1a k …a 2a 1>(k ＋1)k ＋1，则n ＝k ＋1时，命题成立．(9分)综上，a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，所以a n ＋1>n n＋1.(10分)。

苏锡常镇2019届高三三模数学试题及答案

2019届高三年级第三次模拟考试(十八) 数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝12cl ，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长.圆锥的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A ∩B ＝________.2. 已知复数z ＝3＋4i5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1，则其离心率为________.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________.6. 不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4. 若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 2，则S 12S 8＝________.8. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________.9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a ＋2b 2＋4b的最小值为________.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f (3x )>f (x 2＋2)的解集为________.11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________.12. 已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围为________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD. 求证：(1) EF ∥平面ABC ； (2) CE ⊥AB.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C. (1) 求角A 的大小；(2) 若cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝14，求cos C 的值.某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3) 如果A 1H →＝λA 1P →，试求λ的取值范围.已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －a ln x ，其中a ∈R.(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f (x )的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N *，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n－1a n ＝λ(n －1)a 1a n 恒成立.(1) 如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2) 已知λ＝1.①求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；②已知a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1＝1a 1，b 2＝1a 2，b 3＝1a i(i ∈N *)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 中的项．2019届高三年级第三次模拟考试(十八)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 0 1，求A 2.B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上的两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎫23，π6，求直线l 被曲线C 截得的弦长.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2.求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点.(1) 求线段AF 的中点M 的轨迹方程；(2) 已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程.23. (本小题满分10分)已知数列{a n }，a 1＝2，且a n ＋1＝a 2n －a n ＋1对任意n ∈N *恒成立．求证： (1) a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1(n ∈N *)； (2) a n ＋1>n n ＋1(n ∈N *).2019届高三年级第三次模拟考试(十八)(苏锡常镇)数学参考答案 1. (0，1) 2. 1 3.52 4. 8 5. 55 6. 137. 73 8. 23 9. 11 10. (－2，－1)∪(1，2) 11. 12 12. 1 13. －25314. (－2e －1，0]15. (1) 在三棱锥PABC 中，因为E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF 为△PCD 的中位线，(2分) 所以EF ∥CD.(3分)又EF ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB ⊥平面PCD ，平面PAB ∩平面PCD ＝PD ，AB ⊥PD ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥平面PCD.(11分)又CE ⊂平面PCD ，所以AB ⊥CE.(14分) 16. (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且3a c ＝2－cos A sin C.(1分) 得3sin A sin C ＝2－cos Asin C，(2分) 所以3sin A ＝2－cos A ，即3sin A ＋cos A ＝2，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1.(4分)因为A ∈(0，π)，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，7π6，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，因为A ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6>0.又因为cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝14，所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝154.(8分)因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos C ＝cos (π－A －B)＝－cos (A ＋B)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3(10分)＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋π6＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6sin π6＝－32×14＋12×154＝15－38.(14分) 17. 设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1) 由r ＝6，得V ＝13πr 2h ＝36π，则h ＝3，(1分)所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π，(2分) 又底面积为πr 2＝36π(平方米)，(3分)故该容器的表面积为185π＋36π＝18(2＋5)π平方米．(4分) 答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(5分) (2) 因为V ＝13πr 2h ＝36π，所以r 2＝3×36ππh ＝108h ，其中h>0，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2 ＝π1082h 2＋108h ·h 2＝π1082h 2＋108h ＝π108108h 2＋h.(8分) 记f(h)＝108h 2＋h ，令f′(h)＝－216h 3＋1＝h 3－216h 3＝0，得h ＝6.(10分)当h ∈(0，6)时，f ′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h ∈(6，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增，(12分) 所以当h ＝6时，f(h)最小，此时S 最小．(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．(14分)18. (1) 由椭圆C 的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4得，a ＝2，a 2c ＝4，故c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. ①(3分)(2) 设直线A 1D ：y ＝k(x ＋2)(k>0) ②，则与右准线x ＝4的交点D(4，6k)．又A 2(2，0)，所以设直线A 2D ：y ＝3k(x －2)，联立①得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3k （x －2），解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 2－21＋12k 2，－12k 1＋12k 2，(5分) 则直线OG 的斜率为k OG ＝－6k12k 2－1.③因为OG ⊥A 1D ，所以－6k12k 2－1·k ＝－1.又k>0，所以k ＝66，(7分) 则直线A 1D 的方程为y ＝66(x ＋2)．(8分) (3) 由(2)中③知，设直线OG ：y ＝－6k12k 2－1x ，联立②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6k 12k 2－1x ，y ＝k （x ＋2），解得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 2＋212k 2＋5，12k 12k 2＋5.(10分) 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋2），解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2.(12分)因为AH →＝λAP →，所以(x H ＋2，y H )＝λ(x P ＋2，y P )，则y H ＝λy P ，λ＝y H y P ＝f(k)＝12k 12k 2＋512k 3＋4k 2 ＝3＋4k 212k 2＋5＝112k 2＋9－43＋4k 2＝13－43＋4k 2.(14分)因为f(k)在(0，＋∞)上为减函数，(15分) 所以λ∈⎝⎛⎭⎫13，35.(16分)19. 因为f(x)＝x 2＋(2－a)x －a ln x ，所以f′(x)＝（x ＋1）（2x －a ）x 2.(1分)(1) 因为曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，所以f′(1)＝2(2－a)＝1，解得a ＝32.(2分) (2) ①当a ≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)不存在极值．(3分)②当a>0时，令f′(x)＝0，得x ＝a 2.(5分)则f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a －a 24－a ln a 2≤a 2. 因为a>0，所以12－a 4－ln a 2≤0. 令g(a)＝12－a 4－ln a 2＝12＋ln 2－a 4－ln a ，则g′(a)＝－14－1a<0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递减，(7分)又g(2)＝0，所以g(a)≤g(2)＝0，则a ≥2，则实数a 的最小值为2.(8分)(3) 记f(x)在[1，2]上的值域为A ，在[4，8]上的值域为B ，“任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立”等价于“A ⊆B ”．①当a 2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，由(2)知f(x)在[1，8]上为单调函数，不合题意；(9分)②当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，故f ⎝⎛⎭⎫a 2∈A ，但f ⎝⎛⎭⎫a 2∉B ，不合题意；(10分) ③当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A ＝[f(2)，f(1)]，B ＝[f(4)，f(8)]，由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥f （4），f （1）≤f （8），则⎩⎪⎨⎪⎧8－2a －a ln 2≥24－4a －2a ln 2，3－a ≤80－8a －3a ln 2，解得⎩⎨⎧a ≥162＋ln 2，a ≤777＋3ln 2.(11分) 因为0<ln 2<1，所以2<2＋ln 2<3，即4<163<162＋ln 2<8. 又因为e >2.7，计算得e 3>24，所以e 72>e 3>24，即72>ln 24＝4ln 2，即7>8ln 2，也即21>24ln 2，即777＋3ln 2－8＝21－24ln 27＋3ln 2>0，即777＋3ln 2>8，所以162＋ln 2≤a ≤8.(13分) ④当4<a 2<8，即8<a<16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)，所以a ≤777＋3ln 2<777＝11<16，则8<a ≤777＋3ln 2.(15分) 综上，162＋ln 2≤a ≤777＋3ln 2.(16分) 20. (1) 因为当n ≥3且n ∈N *时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝λ(n －1)a 1a n 恒成立，所以当n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2λa 1a 3，因为数列{a n }各项都不为0，所以同除a 1a 2a 3得2λa 2＝1a 1＋1a 3.(1分) 又因为1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，所以2a 2＝1a 1＋1a 3，(2分) 比较得2λa 2＝2a 2，所以λ＝1.(3分) (2) ①当λ＝1，n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2a 1a 3，①整理得1a 1＋1a 3＝2a 2，则1a 2－1a 1＝1a 3－1a 2.②(4分) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＝3a 1a 4，③③－①得a 3a 4＝3a 1a 4－2a 1a 3，所以1a 1＝3a 3－2a 4，又1a 1＋1a 3＝2a 2，所以1a 4－1a 3＝1a 3－1a 2.④(5分) 当n ≥3时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝(n －1)a 1a n .a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1两式相减得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n .因为a n ≠0，所以1a 1＝n a n －n －1a n ＋1.(6分) 进一步有1a 1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，所以n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，整理得1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n(n ≥3)，⑤(7分) 由②④⑤得1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n 对任意的正整数n ≥1恒成立，(8分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 成等差数列．(9分) ②设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，令c n ＝1a n ，c 1＝1a 1＝c (c ≠0)，则b 1＝c 1＝c ，b 2＝c 2＝c ＋d ，d ＝c 2－c 1＝b 2－b 1＝cq －c .当i ＝2时，b 3＝c 2＝b 2，从而q ＝1，b 2＝b 1，所以a 1＝a 2，与已知不符；(10分)当i ＝3时，由b 3＝c 3，cq 2＝c ＋2d ＝c ＋2c (q －1)，得q 2＝1＋2(q －1)，所以q ＝1，与已知不符；(11分)当i ＝1时，由b 3＝c 1，cq 2＝c ，得q 2＝1，则q ＝－1(上面已证q ≠1)为整数．数列{b n }为c ，－c ，c ，…；数列{c n }中，c 1＝c ，c 2＝－c ，公差d ＝－2c .数列{b n }中的每一项都是{c n }中的项(c ＝c 1，－c ＝c 2)．(12分)当i ≥4时，由b 3＝c i ，cq 2＝c ＋(i －1)d ＝c ＋(i －1)·c (q －1)，得q 2－(i －1)q ＋(i －2)＝0，所以q ＝1(舍去)，q ＝i －2(i ≥4)为正整数．(14分)因为cq ＝c ＋d ，b 3＝c i ，对任意的正整数k ≥4，欲证明b k 是数列{c n }中的项，只需证b k ＝cq k －1＝c i ＋xd ＝b 3＋x (cq －c )＝cq 2＋x (cq －c )有正整数解x .等价于q k －1＝q 2＋x (q －1)，x ＝q k －1－q 2q －1为正整数．因为x ＝q k －1－q 2q －1＝q 2（q k －3－1）q －1表示首项为q 2，公比为q ＝i －2(i ≥4)，共k －3(k ≥4)项的等比数列的和，所以x 为正整数，所以数列{b n }中的每一项都是数列{c n }也即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 中的项．(16分) 21. A. 因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，(2分) 所以a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 101，(5分) 则A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 30 1.(10分) B. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M (2，0)，N (3，3)，则直线l 的方程为y ＝3(x －2)，曲线C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，圆心为(2，－3)，半径r ＝2，则圆心到直线l 的距离d ＝|0－3|2＝32，(6分) 则直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝13.(10分)C. 因为a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝2，由柯西不等式得[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )](a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b) ＝[(b ＋c )2＋(c ＋a )2＋(a ＋b )2]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b 2] ≥[b ＋c a b ＋c ＋c ＋a b c ＋a ＋a ＋b c a ＋b]2(5分) ＝(a ＋b ＋c )2＝22，(8分)则a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥22（b ＋c ）＋（c ＋a ）＋（a ＋b ）＝44＝1，所以a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.(10分) 22. 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分)(1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为M 为线段AF 的中点，所以x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分) 则x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入抛物线方程得y 2＝2x －1，即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0，设△AOB 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2，因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2.因为S 1＝12OF ·y 1，S 2＝12OF ·|y 2|＝－12OF ·y 2，所以y 1＝－2y 2.①(6分) 设AB ：x ＝ty ＋1(t>0)②，与y 2＝4x 联立，消去x 得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ，③y 1y 2＝－4，④(8分)由①③④得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)．综上，直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．(10分)23. (1) 当n ＝1时，a 2＝a 1(a 1－1)＋1＝3＝a 1＋1成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1…a 2a 1＋1.当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＝a k ＋1·(a k a k －1…a 2a 1＋1－1)＋1＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1，则当n ＝k ＋1时，命题成立．综上，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1.(4分)(2) 要证：a n ＋1>n n ＋1，由(1)知a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1，只需证：a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，下面用数学归纳法证明：当n ＝1，2，3时，a 1＝2，a 2＝3，a 3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33.假设当n ＝k(k ≥3)时，结论成立，即a k a k －1a k －2…a 2a 1>k k ，(6分)则当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k …a 2a 1＝(a k a k －1…a 2a 1＋1)a k a k －1…a 2a 1 >(a k a k －1a k －2…a 2a 1)2>k 2k .(7分)设f(x)＝2x ln x －(x ＋1)ln (x ＋1)(x ≥3)，则f′(x)＝ln x 2x ＋1＋1>ln x 2－1x ＋1＋1＝ln (x －1)＋1≥ln 2＋1>0，所以f(x)为增函数，则f(x)≥f(3)＝2(3ln 3－2ln 4)＝2ln 2716>0，则2k ln k>(k ＋1)ln (k ＋1)，ln k 2k >ln (k ＋1)k ＋1，即k 2k >(k ＋1)k ＋1，则a k ＋1a k …a 2a 1>(k ＋1)k ＋1，则当n ＝k ＋1时，命题成立．(9分)综上，a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，所以a n ＋1>n n ＋1.(10分)。

江苏省七市(南、泰、扬、徐、淮、宿、连)2019届高三第三次调研考试数学试题Word版含解析

宿迁市2019届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70 分.1.已知集合'■ -：!：- ",「一：“ 「，贝U !【答案】【解析】【分析】直接由补集运算得解。

【详解】因为：-1门—所以:【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题。

2.已知复数/- ' . (i是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为J L. 1" O 艮【答案】-3【解析】【分析】a + i (a+ 3) + (1—ti + 3 整理…~~为，利用它是纯虚数列方程I ■，问题得解。

丄"I" JI JL I.? 丄U, 口十『仗十0G—引)⑴十®十(1—甌)(【详解】因为■■■-10l+ 3i (1 + 3£)(l-3i)因为复数是纯虚数，所以“ 解得：■■■一一」【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题。

3.下图是一个算法流程图•若输出的值为4，则输入x的值为【答案】-1【解析】【分析】对的范围分类，禾U用流程图列方程即可得解。

【详解】当I时，由流程图得：令—，解得：•- ！，满足题意。

当I时，由流程图得：一；•令解得I，-',不满足题意。

故输入的值为：-'1【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题。

4.已知一组数据6，6，9, • 丁的平均数是比且xy = l JO,则该组数据的方差为 __________________________________ .1斗【答案】：【解析】【分析】由这组数据6, 6, 9,,的平均数是可求得… -爲,结合可求得，再利用方差公式计算即可得解。

【详解】因为数据6, 6, 9,,的平均数是：6+6+x+y+9所以•，整理得：，-爲又“，解得：.,或,此时*都等于所以该组数据的方差为'—-宀九-叮—-7":二5 5【点睛】本题主要考查了平均数的计算公式及方差计算公式，还考查了方程思想，属于基础题。

江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试数学含答案

2019 届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修 42：矩阵与变换)
[ ] [ ] 2 1
a2 a＝2， c ＝4，故 c＝1，b2＝a2－c2＝3.(2 分)
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1 ①.(3 分)
(2) 设直线 A1D：y＝k(x＋2)(k>0) ②，则与右准线 x＝4 的交点 D(4，6k)．
又 A2(2，0)，所以设直线 A2D：y＝3k(x－2)，联立①，得
2019 届高三模拟考试试卷
数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
2019．5
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 已知集合 A＝{x|x<1}，B＝{x|0<x<3}，则 A∩B＝________．
3＋4i 2. 已知复数 z＝ 5i ，其中 i 是虚数单位，则|z|＝________．
因为 cos(B＋ 6 )＝4，所以 sin(B＋ 6 )＝
6 ＝ 4 .(8 分)
在△ABC 中，A＋B＋C＝π，(9 分)
π 所以 cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos(B＋ 3 )(10 分)
ππ
ππ
ππ
＝－cos[(B＋ 6 )＋ 6 ]＝－cos(B＋ 6 )cos 6 ＋sin(B＋ 6 )sin 6
11 1 (1) 如果a1，a2，a3成等差数列，求实数 λ 的值；

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