2018年高考数学 黄金100题系列 第01题 集合的性质与运算 文
高中数学高考2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练课件 第一章 集合与常用逻辑用语 3
∈N，n2≤2n，故选C.
14．[2016·浙江高考]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得
n≥x2”的否定形式是(
)
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2
解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词
2．[2016·浙江金华二模]已知命题p：“存在a>0，使函 数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a ∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧ q”为真命题，求实数a的取值范围．
解
若p为真，则对称轴x＝－
－4 2a
＝
2 a
在区间(－∞，2]
)
A．p是假命题；綈p：“任意x∈[1，＋∞)，都有
(log23)x<1” B．p是真命题；綈p：“不存在x0∈[1，＋∞)，使得
(log23)x0<1”
C．p是真命题；綈p：“任意x∈[1，＋∞)，都有 (log23)x<1”
D．p是假命题；綈p：“任意x∈(－∞，1)，都有 (log23)x<1”
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是(
)
A．p2，p3 C．p1，p4
B．p1，p2 D．p1，p3
的解集记为
解析 作出不等式组表示的可行域，如图所示，
令z＝x＋2y，则y＝－
1 2
x＋
z 2
，平移直线x＋2y＝0，可
知当过点A(2，－1)时，z有最小值0，无最大值，故p1，p2
解析 x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定为：x∉A或 x∉B.
2018高考数学文理一轮复习检测：综合过关规范限时检测 第一章 集合与常用逻辑用语 含解析 精品
第一章综合过关规范限时检测(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·天津)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝导学号30070116(D)A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4}[解析]由题意知集合B＝{1,4,7,10}，则A∩B＝{1,4}．故选D.2．(2016·江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为导学号30070117(B)A．2 B．－2 C．0 D. 2[解析]若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±6，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.3．(2017·甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝4x，x＞0}，B＝{y|y＝2x，x＜1}则A∩(∁RB)＝导学号30070118(B)A．(0,2) B．[2，＋∞) C．(－∞，0] D．(2，＋∞) [解析]根据求出集合A，B，结合集合的交集及补集运算定义，可得答案．解：∵集合A＝{y|y＝4x，x＞0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝2x，x＜1}＝(0,2)，∴∁R B＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，∴A∩(∁R B)＝[2，＋∞)，故选B4．(2017·江西省高三第一次联考测试数学试题)下列命题中：①“∃x0∈R x x20－x0＋1≤0”的否定；②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题；其中真命题的个数是导学号30070119(C)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]只有③不正确，故选C.5．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q 是真命题，p∧q是假命题，(¬q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为导学号30070120(D) A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名[解析](¬q)∧r是真命题意味着¬q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.6．(2016·陕西西安质检)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则导学号30070121 (B)A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0[解析]∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故应选B.7．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的导学号30070122 (D)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由|a|＝|b|无法得到|a＋b|＝|a－b|，充分性不成立，由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，也无法得到|a|＝|b|，必要性不成立．故选D.8．(2017·山东省临沂市某重点中学高三上学期开学数学试题)下列有关命题的说法错误的是导学号30070123(C)A．命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0.则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0[解析]根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D 的真假，进而得到答案．解：命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”故A 为真命题；“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件．故B 为真命题；若p ∧q 为假命题，则p 、q 存在至少一个假命题，但p 、q 不一定均为假命题，故C 为假命题；命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0.则非p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，故D 为真命题；故选C.9．(2017·广东韶关六校联考)已知命题p ：∀x ≥0,2x ≥1，命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.则下列命题为真命题的是导学号 30070124( B )A ．p ∧qB ．p ∧¬qC ．¬p ∧¬qD ．¬p ∨q[解析] 显然p 为真，又x ＝－1，y ＝0时，x >y ，但x 2<y 2，∴q 为假，∴p ∧¬q 为真，故选B.10．(2016·河北唐山一中等五校上学期第二次联考)下列结论错误的是导学号 30070125( C )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若¬q ，则¬p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1)，e x ≥1；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的否命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题[解析] 因为命题“若p ，则q ”与命题“若¬q ，则¬p ”互为逆否命题”，所以选项A 为真命题；因为命题p ：∀x ∈[0,1)，e x ≥1是真命题，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0是假命题，则p ∨q 为真命题，所以选项B 正确；因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为假命题，因此否命题也为假命题，所以选项C 是错误的；若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，所以选项D 正确，故选C.11．(2017·湖南省衡阳市八中高三第二次月考数学试题)“p ∨q 为真”是“p 为假”的什么条件导学号 30070126( B )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要[解析] 因为p 假时，p ∨q 真，此时¬p 为真，所以，“p ∨q 真”不能得“¬p 为假”，而“¬p 为假”时p 为真，必有“p ∨q 真”，故选B.12．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是导学号 30070127( A )A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞)D ．(－∞，－12][解析] 当x ∈[0,3]时，[f (x )]min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，[g (x )]min ＝g (2)＝14－m ，由[f (x )]min ≥[g (x )]min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2016·江苏高考改编)已知集合A ＝{－1,2,3,6}，B ＝{x |－2<x <3}，则A ∩B 子集的个数为_4_.导学号 30070128[解析] 由交集的定义可得A ∩B ＝{－1,2}．因此A ∩B 子集为Φ，{－1}，{2}，{－1,2}． 14．(2017·江苏省苏州市高三上学期期中数学试题)若命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0，则¬p: ∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0 .导学号 30070129[解析] 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0，则¬p ：∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0.故答案为：∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0.15．(2015·山东高考)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_1_.导学号 30070130[解析] 由题意知m ≥(tan x )max . ∵x ∈[0，π4]，∴tan x ∈[0,1]，∴m ≥1.故m 的最小值为1.16．(2016·浙江杭州7校联考)若“x ∈{a,3}”是“不等式2x 2－5x －3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(3，＋∞) .导学号 30070131[解析] 由不等式2x 2－5x －3≥0，得x ≤－12或x ≥3，则a ≤－12或a ≥3.由集合中元素的互异性，得a ≠3，则a 的取值范围是(－∞，－12)∪(3，＋∞)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，求a 的值.导学号 30070132[答案] a ＝2或a ＝3[解析] A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴B ＝∅或{1}或{2}或{1,2}．当B ＝∅时，无解；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝a ，1×1＝a －1，得a ＝2；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝a ，2×2＝a －1，无解；当B ＝{1,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a ，1×2＝a －1，得a ＝3.综上：a ＝2或a ＝3.18．(本小题满分12分)(2016·广东珠海六校第二次联考)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}.导学号 30070133(1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．[答案] (1)A ＝{x |a －2≤x ≤a ＋2}；∁R B ＝[－4，－2] (2){a |a <－6或a >0} [解析] (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤a ＋2， ∴集合A ＝{x |a －2≤x ≤a ＋2}， ∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． ∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a . 解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．19．(本小题满分12分)(2016·安徽安庆七中专题训练)已知c >0且c ≠1，命题p ：指数函数y ＝(2c －1)x 在R 上为减函数，q ：不等式x ＋(x －2c )2>1的解集为R .若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求c 的取值范围.导学号 30070134[答案] (12，58)∪(1，＋∞)．[解析] 当p 为真命题时，函数y ＝(2c －1)x 在R 上为减函数，所以0<2c －1<1， 所以12<c <1；当q 为真命题时，不等式x ＋(x －2c )2>1的解集为R ，所以当x ∈R 时，x 2－(4c －1)x ＋(4c 2－1)>0恒成立．所以Δ＝(4c －1)2－4·(4c 2－1)<0，所以－8c ＋5<0，所以c >58.由题设，若p 和q 有且只有一个为真命题，则①当p 真，q 假时，⎩⎨⎧12<c <1，0<c ≤58，所以12<c ≤58；②当p 假，q 真时，⎩⎨⎧0<c ≤12或c >1，c >58，，所以c >1.综上所述，c 的取值范围是(12，58)∪(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)(2016·邵阳模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0.导学号 30070135(1)求p 中对应x 的取值范围．(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [答案] (1)1≤x ≤4 (2)1≤a ≤4 [解析] (1)因为x 2≤5x －4， 所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4， 即p 中对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}． 由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0， 得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a >2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }； 当a <2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}； 若p 是q 的必要不充分条件，则B A ， 当a ＝2时，满足条件；当a >2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}， B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2<a ≤4； 当a <2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}， B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a <2. 综上，1≤a ≤4.21．(本小题满分12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.导学号 30070136[证明] 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负极． 当a <0时，Δ＝4(1－a )>0，方程有两个不相等的根， 且1a<0，方程有一正一负两个根． 必要性：若方程ax 2＋2a ＋1＝0有且只有一负极． 当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1. 当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a <1时，若方程有且只有一负根， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，1a <0，所以a <0. 综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负根的充要条件为a ≤0或a ＝1.22．(本小题满分12分)(2016·湖北教学合作联考)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |(x －2)(x －3)<0}，函数y ＝lg x －(a 2＋2)a －x的定义域为集合B .导学号 30070137(1)若a ＝12，求集合A ∩(∁U B )；(2)已知命题p ：x ∈A ，q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． [答案] (1)A ∩(∁U B )＝{x |94≤x <3}． (2)(－∞，－1]∪[1,2][解析] (1)集合A ＝{x |2<x <3}． 因为a ＝12，所以函数y ＝lg x －(a 2＋2)a －x＝lg x －9412－x ，由x －9412－x >0，可得集合B ＝{x |12<x <94}．所以∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以A ∩(∁U B )＝{x |94≤x <3}．(2)q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ⊆B . 由A ＝{x |2<x <3}，而集合B 满足x －(a 2＋2)a －x>0.因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74>0，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，即a ≤－1或1≤a ≤2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．。
2018年高考数学黄金100题系列第02题命题真假的判断文!
第02题 命题真假的判断I ．题源探究·黄金母题【例1】将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断真假（1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等.【解析】（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.它是假命题．（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题．（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．精彩解读【试题来源】人教版A 版选修1-1，2-1第4页例3.【母题评析】本题考查了假言命题的形式及其真假的判定.作为基础题，命题的四种形式及其真假的判定，是历年来高考的一个常考点.【思路方法】可以借助相关的基础知识判定一个命题是真命题，而判断假命题只要举一个反例即可！II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】试题分析：由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题，由221(2),12<->-可知q 是假命题，所以p q ∧⌝是真命题，故选B ．【命题意图】本题考查或、且、非命题真假的判断，属容易题．它考查学生的逻辑推理能力，考查学生分析问题与解决问题的能力.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易.【难点中心】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断． 【例3】【2017高考北京，文13】能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为【命题意图】本题主要考查不等式的性质. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等. 【考试方向】这类试题在考查题型上，______________________________． 【答案】1,2,3---（答案不唯一）【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题.通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合题意，通过举反例应用“排除法”解题.III ．理论基础·解题原理考点一 四种命题及其真假的判断 （1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题. 常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题．（2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二 含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：①p q ∨真,p q ⇔至少一个真()()p q ⇔⌝∧⌝假； ②p q ∨假,p q ⇔都假()()p q ⇔⌝∧⌝真； ③p q ∧真,p q ⇔都真()()p q ⇔⌝∧⌝假； ④p q ∧假,p q ⇔至少一个假()()p q ⇔⌝∨⌝真； ⑤p ⌝真p ⇔假；p ⌝假p ⇔真． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．【技能方法】（1）写出命题的四种形式中的某种时，要注意分清原命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论与原命题之间的关系．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题等价简化，再进行判断．判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．要判断一个命题是假命题只需举出反例．（2）从集合的角度认识“或、且、非”：“或”是具有“选择性”的逻辑联结词，“或”的符号是“∨”，与集合的并集符号“ ”含义一致；“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，“且”的符号是“∧”，与集合的交集符号“ ”含义一致；“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，“非”的符号是“⌝”，与集合的补集符号“C ”含义一致．因此常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题．【易错指导】（1）在四种命题的构造中，否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．断出错；二是对构成它的命题,p q 的真假的判断对，但是对含有逻辑联结词的命题的真值表中的“且”与“或”搞混，应注意“p q ∧”是两真才真，一假必假；“p q ∨”是一真必真，两假才假，应注意区别．（3）否命题与命题的否定是两个不同的概念，它们的区别如下表： V ．举一反三·触类旁通考向1 四种命题及其真假的判断【例4】【2017甘肃兰州一诊】下列命题中，真命题为（ ） A. ， B.，C. 已知为实数，则的充要条件是D. 已知为实数，则，是的充分不必要条件【答案】D)【解析】A. ，，故A不正确；B.当，时，故B不正确；C.充分性：当时，可能，此时不成立，所以充分性不成立，故C不正确；D.当，时，成立，所以充分性成立；当时，可能为复数，故必要性不成立.正确，故选D.【例5】【2017吉林二调】下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题：，，则，；D. 命题“，”是真命题【答案】D【例6】【2017江西师大附中、临川一中联考】下列说法中错误的是_______（填序号）①命题“有”的否定是“有”；②已知，则的最小值为；③设，命题“若，则”的否命题是真命题；④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是.【答案】①④【例7】【2017山东淄博3月模拟】下列命题为真命题的是（）.A. 若，则B. “”是“函数为偶函数”的充要条件C. ，使成立D. 已知两个平面，若两条异面直线满足且，则【答案】D【解析】对于A：令，，则不成立，故排除A；对于B：“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，故排除B；对于C：根据幂函数，当时，函数单调递减，故不存在，使成立，故排除C；对于D：已知两个平面，若两条异面直线满足且，可过作一个平面与平面相交于，由线面平行的性质定理可得，再由线面平行的判断定理可得，，由面面平行的判断定理可得，所以D正确；故选D.考向2 含有逻辑联结词命题真假的判断【例8】【2017安徽蚌埠3月质检】在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件（）A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】A【例9】【2017山西五校联考】给出下列两个命题：命题：若在边长为1的正方形内任取一点，则的概率为.命题：若函数，则在区间上的最小值为4,.那么，下列命题为真命题的（）A. B. C. D.【答案】C【例10】【2017广东梅州一检】已知命题:，命题:，使，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为命题为假命题，命题为假命题，所以为真命题，选D．。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第一章 集合与常用逻辑用语 课时作业3 含答案
课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．已知命题p ：∀x >0,x 3>0,那么綈p 是( ) A ．∃x ≤0,x 3≤0 B ．∀x >0,x 3≤0 C ．∃x >0,x 3≤0D ．∀x <0,x 3≤0解析：“∀x >0,x 3>0”的否定应为“∃x >0,x 3≤0”,故选C. 答案：C2．命题“存在φ0∈R ,使得函数f (x )＝tan(πx ＋φ0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称”的否定是( )A ．存在φ0∈R ,使得函数f (x )＝tan(πx ＋φ0)的图象都不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称B ．对任意的φ∈R ,函数f (x )＝tan(πx ＋φ)的图象都不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称C ．对任意的φ∈R ,函数f (x )＝tan(πx ＋φ)的图象都关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称D ．存在φ0∈R ,使得函数f (x )＝tan(πx ＋φ0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0不对称 解析：所给命题是特称命题,因此其否定一方面要把“特称”改“全称”,另一方面要否定结论,故其否定应该为“对任意的φ∈R ,函数f (x )＝tan(πx ＋φ)的图象都不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称”．答案：B3．(2017·河北唐山模拟)命题p ：∃x ∈N ,x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1,＋∞),函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0),则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真解析：因为x 3<x 2,所以x 2(x －1)<0, 所以x <0或0<x <1.故命题p 为假命题,易知命题q 为真命题．选A. 答案：A4．“对x ∈R ,关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( )A ．∃x 0∈R ,使得f (x 0)>0成立B ．∃x 0∈R ,使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ,f (x )>0成立D ．∀x ∈R ,f (x )≤0成立解析：“对x ∈R ,关于x 的不等式f (x )>0有解”的意思就是∃x 0∈R ,使得f (x 0)>0成立,故选A.答案：A5．如果命题“非p 或非q ”是假命题,给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．其中正确的结论是( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：“非p 或非q ”是假命题,则“p 且q ”为真命题,“p 或q ”为真命题,从而①③正确． 答案：A6．已知命题p ：∃x 0∈R ,x 0－2>lg x 0,命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,sin x ＋1sin x ≥2,则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题解析：当x ＝10时,10－2>lg10＝1成立,所以命题p 为真命题；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以sin x >0,sin x ＋1sin x≥2sin x ·1sin x ＝2 ①,当且仅当sin x ＝1sin x,即sin x ＝1时等号成立．又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以sin x ≠1,所以①中等号不成立,命题q 是假命题,故选C.答案：C7．已知命题“∃x 0∈R ,x 20＋ax 0－4a <0”为假命题,则实数a 的取值范围为( ) A ．[－16,0] B ．(－16,0) C ．[－4,0]D ．(－4,0)解析：由题意可知“∀x ∈R ,x 2＋ax －4a ≥0”为真命题．所以Δ＝a 2＋16a ≤0,解得－16≤a ≤0,故选A.答案：A8．(2017·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ,e x 0－mx 0＝0,q ：∀x ∈R ,x 2＋mx ＋1≥0,若p ∨(綈q )为假命题,则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞,0)∪(2,＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅解析：由p ∨(綈q )为假命题知p 假q 真．由p 假知命题“∀x ∈R ,e x－mx ≠0”为真命题． 即函数y ＝e x与y ＝mx 的图象无交点,设直线y ＝mx 与曲线y ＝e x相切的切点为(x 0′,y 0′)． 则切线方程为y －e x 0′＝e x 0′(x －x 0′),又切线过原点． 则可求得x 0′＝1,y 0′＝e,从而m ＝e, 所以命题p 为假时有0≤m <e. 命题q 为真时有Δ＝m 2－4≤0. 即－2≤m ≤2.综上知,m 的取值范围是0≤m ≤2.故选B. 答案：B 二、填空题9．命题“∃x 0∈R ,cos x 0≤1”的否定是________．解析：因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词,且对结论否定,所以该命题的否定为∀x ∈R ,cos x >1.答案：∀x ∈R ,cos x >110．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R ),命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0,＋∞)上单调递增,给出下列命题：①p ∨q ②p ∧q ③(綈p )∧(綈q ) ④(綈p )∨q 其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题,綈p 为假命题．因为f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14,所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．所以命题q 为假命题,綈q 为真命题．所以p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,(綈p )∧(綈q )为假命题,(綈p )∨q 为假命题． 答案：②③④11．已知命题“∀x ∈R ,sin x －a ≥0”是真命题,则a 的取值范围是________． 解析：由题意,对∀x ∈R ,a ≤sin x 成立．由于对∀x ∈R ,－1≤sin x ≤1,所以a ≤－1. 答案：(－∞,－1]12．已知命题p ：“∀x ∈[0,1],a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ,使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________．解析：若命题“p ∧q ”是真命题,那么命题p ,q 都是真命题．由∀x ∈[0,1],a ≥e x,得a ≥e；由∃x0∈R,使x20＋4x0＋a＝0,知Δ＝16－4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.答案：[e,4]1．(2016·浙江卷)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B．∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C．∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D．∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知,选D.答案：D2．(2017·湖南长沙一模)已知函数f(x)＝e x,g(x)＝x＋1,则关于f(x),g(x)的语句为假命题的是( )A．∀x∈R,f(x)>g(x)B．∃x1,x2∈R,f(x1)<g(x2)C．∃x0∈R,f(x0)＝g(x0)D．∃x0∈R,使得∀x∈R,f(x0)－g(x0)≤f(x)－g(x)解析：设F(x)＝f(x)－g(x),则F′(x)＝e x－1,于是当x<0时F′(x)<0,F(x)单调递减；当x>0时F′(x)>0,F(x)单调递增；从而F(x)有最小值F(0)＝0,于是可以判断选项A为假,其余选项为真,故选A.答案：A3．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛,记“甲得第一名”为p,“乙得第二名”为q,“丙得第三名”为r,若p∨q是真命题,p∧q是假命题,(綈q)∧r是真命题,则选拔赛的结果为( )A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名解析：(綈q)∧r是真命题意味着綈q为真,q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题,由于q为假,只能p为真(甲得第一名),这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛,只能肯定其他队员得第二名,乙没得第二名,故选D.答案：D4．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1,若命题“∃x0>0,f(x0)<0”为真,则m的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1),若命题“∃x 0>0,f (x 0)<0”为真,则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧,且与x 轴有两个交点,所以Δ＝m 2－4>0,且－m2>0,即m <－2,所以m 的取值范围是(－∞,－2)． 答案：(－∞,－2)5．已知命题p ：“∀x ∈[1,2],12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ,x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题,则实数a 的取值范围是________．解析：命题p ：a ≤12x 2－ln x 在x ∈[1,2]上恒成立,令f (x )＝12x 2－ln x ,f ′(x )＝x －1x＝x －x ＋x.当1<x <2时,f ′(x )>0,∴f (x )min ＝f (1)＝12.∴a ≤12.即p ：a ≤12.命题q ：Δ＝4a 2－4(－8－6a )≥0, ∴a ≥－2或a ≤－4.综上,a 的取值范围为(－∞,－4]∪[－2,12]．答案：(－∞,－4]∪[－2,12]。
复数的概念及其运算-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列(Word版含答案)
第94题 复数的概念及其运算I ．题源探究·黄金母题【例1】使复数为实数的充分而不必要条件是 （ ） A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数 D ．z z -+为实数【答案】B【解析】即要找出由选项能推出“复数z 为实数”，但“复数z 为实数”不能推出选项成立，故选B ．【例2】若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数，则a = ． 【答案】1,2k k α=π+π∈Z 【解析】依题意得sin 201cos 20αα=⎧⎨-≠⎩，即21,,222k k k k ααα=π⎧∴=π+π∈⎨≠π⎩Z ．【例3】如果35a <<，复数()()22815514i z a a a a =-++--在复平面上的对应点Z 在 象限． 【答案】三【例4】设,C z ∈满足条件.12141log 21->--+-z z 的复数z 所对应的点Z 的集合表示什么图形?【答案】表示以()10,为圆心以8为半径的圆的外部． 【解析】由1214log 112z z -+>---，得140212Z Z -+<<--，化简得18Z ->，∴复数z 所对应的点Z 的集合表示以()10,为圆心以8为半径的圆的外部．【例5】20181i 22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的共轭复数为 （ ）精彩解读【试题来源】例1、例2：人教A 版选修2-2P 103例1改编；例3：人教A 版选修2-2习题3．1A 组P 106T 5改编；例5：人教A 版选修2-2复习参考题P 116B 组T 2改编．【母题评析】考查复数的基本概念、复数代数形式的四则运算、复数加减法的几何意义等，突出考查基本运算能力与数形结合思想． 【思路方法】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．复数(,)z a bi a b =+∈R ，当0b ≠时，z 为虚数，当0b =时，z 为实数，当0,0a b =≠时，z 为纯虚数．复数的几何意义：复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)平面向量 OZ ．A．122-+ B．122-- C．122+ D．1i 22- 【答案】B【解析】3211111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，67220183211112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，201812⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭的共轭复数为12-，故选B ． II ．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标1理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B也属于实数，故4p 正确，故选B ． 【例2】【2017高考新课标2理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D ． 【命题意图】这类题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的四则运算、复数加减法的几何意义等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易． 【难点中心】1．要熟悉复数相关基本概念、复数的分类等，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2．复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的方程即可．共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： （1）1212z z z z ±=±；【例3】【2017高考山东，理2】已知a R ∈，i是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a= （ ）A ．1或-1 BC ．D【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A ． 【例4】【2017高考新课标3理2】设复数z 满足(1+i )z =2i ，则∣z ∣= A ．12BCD ．2【答案】C【解析】由题意可得：21iz i =+，由复数求模的法则：1121z z z z =可得：21i z i===+C ． 【例5】【2017高考北京理2】若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞） 【答案】B【解析】()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B ．【例6】【2017高考江苏2】 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++==．【例7】【2017高考浙江12】已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5，2（2） 1212z z z z ⨯=⨯； （3）22z z z z ⋅==； （4）121212z z z z z z -≤±≤+． (5)1212z z z z =⨯； (6)1121z z z z =． 3．对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．注意下面结论的灵活运用：（1）()21i 2i ±=±；（2）1i 1ii i 1i 1i+-==--+，．【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==．【例8】【2017高考天津理9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-． III ．理论基础·解题原理1．复数的概念（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式()i ,z a b a b =+∈R ；（3）复数的实部、虚部，虚数与纯虚数．2．复数的分类：复数()i ,z a b a b =+∈R (0)(0,0)(0)(0,0)b a b b a b =⎧⎪=≠⎧⎨≠⎨⎪≠≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．相关公式：（1）i i ,a b c d a b c d +=+⇔==；（2）i 00a b a b +=⇔==；（3）i z a b =+=（4）z a bi =-．z z ，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）． 4．复数运算（1）复数加减法：()()()()i i i a b c d a c b d +±+=±+±； （2）复数的乘法：()()()()i i i a b c d ac bd bc ad ++=-++；（3）复数的除法：()()()()i i i i i i a b c d a b c d c d c d +-+=++-()()222222i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++ （类似于无理数除法的分母有理化→虚数除法的分母实数化）（4）复数加法、乘法的运算定律：复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数123,,z z z ，有()()1221123123,z z z z z z z z z z +=+++=++；复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数123,,z z z ，有()()()12211231231231213,,z z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+=⋅+⋅．5．常见的运算规律①z z =；②2,2z z a z z bi +=-=；③2222z z z za b ⋅===+；④z z =；⑤z z z =⇔∈R ；⑥41424344i i ,i 1,i i ,i1n n n n ++++==-=-=；⑦()21i i ±=±；⑧21i 1i i ,i ,i 1i 1i +-==-=±-+；⑨设12ω-+=是1的立方虚根，则231323310,,,1n n n ωωωωωωω+++++====． 6．复数的几何意义（1）复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x 轴叫做复平面的实轴，y 轴叫做复平面的虚轴．复数的模：i z OZ a b ==+= ．()i ,z a b Z a b OZ=+←−−−→一一对应复数复平面内的点平面向量（2）复数加法、减法的几何意义：若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ为邻边的平行四边形对角线OZ 所对应的复数；复数12z z -是连接向量12,OZ OZ 终点，并指向被减数向量1OZ，即向量21Z Z所对应的复数． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的四则运算、复数加减法的几何意义等，突出考查基本运算能力与数形结合思想．在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为容易题．【技能方法】1．处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题．2．在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．3．在进行复数的乘法运算时：（1）复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i 作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i 的幂写成简单的形式；（2）实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．4．在进行复数的除法运算时，关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：（1）分子、分母同时乘分母的共轭复数；（2）对分子、分母分别进行乘法运算；（3）整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．【易错指导】在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时不一定成立：（1）()nm mn zz =（,m n 为分数时不成立）；（2）m nz z m n =⇒=（i z =时等式不成立）；（3）22121200z z z z +=⇔==（121i ,1i z z =+=-时不成立）． V ．举一反三·触类旁通考向1 复数的有关概念对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，,a b 取不同值其类别也不一样：①0a ≠且0b ≠，则z 为虚数；②0a =且0b ≠，则z 为纯虚数；③0b =，则z 为实数． 【例1】【2018衡水金卷信息卷（五）】已知i 为虚数单位，复数()11i ai z i+=+的虚部为2，则实数a =A ．1B ．2C ．3D ．4 （ ） 【答案】C【例2】【2018天津高三9校联考】若复数z 满足121ii z-=-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 【解析】∵12i z -=1﹣i ，∴z= ()()()()121123111122i i i i i i i -+-==---+，∴3122z i =+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（3122，），位于第一象限．故选A ．【例3】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-． 【名师点睛】1．复数()i ,a b a b +∈R 的实部为a 、虚部为b (),a b 、共轭复数为i a b -． 2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 【跟踪练习】1．【2018山西联考】i 是虚数单位，若()2ii ,1ia b a b +=+∈+R ，则()lg a b +的值是( ) A ．2- B ．1- C ．0 D ．12【答案】C 【解析】()()()()()2i 1i 3i 3131i i ,,,lg 01i 1i 22222a b a b a b +--+===-∴==-∴+=+- ，故选C ．2．【2018河南六市联考】已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2ii-+a 为纯虚数，则复数2z a =的模等于( )A B C D 【答案】C3．【2018重庆高三二模】已知i 是虚数单位，则复数()211i z i-=+的虚部是 （ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 【答案】A【解析】由题得()211i z i -=+=()()()2211+22221.11112i i i i i ii i i i i -----====-+++-所以()211i z i -=+的虚部是-1．故选A ．4．【2018上海浦东新区高三一模】已知i 是虚数单位，复数z 满足()11z ⋅+=，则z =________ 【答案】12【名师点睛】复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 考向2 复数的运算复数的加、减、乘运算可以类比多项式的运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意把i 的幂写成最简形式．记住几个常用结论，在解题时很有用：（1）()21i 2i ±=±；1i i 1i +=-；1ii 1i-=-+． （2）44142434414243i 1,i i ,i 1,i i ,i i i i 0,n n n n n n n n n ++++++*===-=-+++=∈N ．【例4】31ii+=+ （ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D ． 【例5】已知复数()()()1i i 24i ,a b a b ++=+∈R ，则函数()2sin 6f x ax b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是（ ）A ．,16π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,018π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,1185π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】()()()()()()24i 1i 24i 1i i 24i ,i 3i ,311i 1i 1i a b a b a b +-+++=+∴+===+∴==++- ，．()2sin 316f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，令36183k x k x k πππ+=π,∴=-+,∈Z ．令1k =，得18x 5π=，()2sin 316f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,1185π⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．【例6】【2018陕西联考改编】如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB，则复数1212,z z z z +-对应点的坐标分别为 ．【答案】()2,0- ()2,2--【跟踪练习】1．已知,i a ∈R 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a =（ ）A ．1或1-BC ．D 【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A ． 2．【2018四川资阳高三4月模拟考试（三诊）】复数z 满足()11i 1iz -=+，则z = （ ）A ．22- B ．22+ C ．1i - D ．1i + 【答案】B【解析】()()()()21111,1111z i z i i i i i-=+∴-+=++ ，())2111z i i i =-+=+，z ∴=，故选B ． 3．【2018湖南永州高三下三模】已知i 为虚数单位，复数z 满足()25i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】()()()5252222i z i i i i +===+--+，所以虚部为1，故选C ．4．【2018衡水金卷调研五】已知复数123z i =+，2z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），若1218z z i =+，则a 的值为A ．12B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】()()()12232323z z i a i a a i =++=-++，由已知有1218z z i =+，所以231{ 238a a -=+=，解出2a =，选C ．5．已知,a b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5，2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，225a b ∴+=．6．32i -+是方程220x px q ++=的一个根，且,p q ∈R ，则p q +=________． 【答案】38【解析】由题意得()()2232i 32i 0p q -++-++=，即()2512i 32i 0p p q --++=，即()()103242i 0p q p -++-+=，1030,2420,p q p -+=⎧∴⎨-+=⎩解得12,3826,p p q q =⎧∴+=⎨=⎩． 考向3 复数的几何意义复数的加法、减法的几何意义在解决点的坐标、轨迹，及一些简单几何问题的证明中要注意使用，并且要有意识地与向量知识联系，体现数形结合的思想．共轭与模是复数的重要性质，主要有：（1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⨯=⨯；（3）22z z z z ⋅==； （4）121212z z z z z z -≤±≤+；（5）1212z z z z =⨯；（6）1121z z z z =． 【例7】【2018贵州省高三适应性考试】在复平面内，复数1iz i=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】()()()111112i i i iz i i i -+===++-，∴z 在复平面内对应的点为1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，在第一象限，故选A ．【例8】（1）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z = （ ）A ．12B ．2C D ．2 （2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(),1-∞- C ．()1,+∞ D ．()1,-+∞【答案】（1）C ；（2）B ．【名师点睛】复数的几何意义及应用（1）复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ 相互联系，即()()i ,,z a b a b Z a b OZ =+∈⇔⇔R ．（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【例9】【2018河北衡水金卷调研五】设i 为虚数单位，现有下列四个命题：1p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；2p ：复数22z i=-+的共轭复数为1+i 3p ：已知复数1z i =+，设()1,i a bi a b R z-+=∈，那么2a b +=-； 4p ：若z 表示复数z 的共轭复数，z 表示复数z 的模，则2zz z =．其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【解析】1p ：若复数z 满足()()5z i i --=，56z i i i ∴=+=-，故1p 正确；2p ：22z i=-+所以4p 正确，故选B ．【跟踪练习】1．【2018贵州凯里一中高三下学期黄金卷（三）】已知复数()1z i i =-，其中i 是虚数单位，则在复平面内，z 的共轭复数z 对应的点所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】()211z i i i i i =-=-=+，1z i =-，所以z 所对应的点在第四象限，故选D ．2．【2018衡水金卷调研（三）】复数()2i z x x =++（其中i 为虚数单位，R x ∈）满足2i z+是纯虚数，则z =（ ）A B ． C D 【答案】D 【解析】根据题意可设()2i 0bi b R b z+=∈≠且，∴()()2i 2i 2x x bi b x xbi ⎡⎤+=++⨯=-++⎣⎦，∴()22{ 1b x xb=-+=，解得：2x 3=-，∴2433z i =-+，∴3z =，故选D ． 3．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟】已知复数12z z 、在复平面内对应的点关于实轴对称，若()23201812i z i i i i -⋅=++++ （其中i 是虚数单位），则复数2z 的虚部等于A ．15-B ．15C ．35-D ．15i - 【答案】A【解析】因为n i （*n N ∈）的取值呈现周期性，周期为4，234110i i i i i i +++=--+=，所以()2320182121i z i i i i i i i -⋅=++++=+=-+ ，所以11325i i z i -+-+==-，所以 235i z --=，所以2z 的虚部等于15-．故选A ． 4．已知复数()()1i 12i ,z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．【解析】()()1i 12i 1i 12i z =++=++==5．【2018上海杨浦区高三下学期质量调研（二模）】若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是________【答案】2 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ．1z = ，221a b ∴+=，1b =6．【2018上海长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】已知复数z 满足z =，2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．【答案】（1）1i z =+或1i z =--（2） 1ABC S ∆=．【解析】试题分析：（1）设i z x y =+，根据条件列出方程即可求解；（2）根据复数对应点的含义，求出三角形顶点坐标，即可求出三角形面积．（2）由（1）知，1i z =+时，22i z =，21i z z -=-，所以，()1,1A ，()0,2B ，()1,1C -， 1ABC S ∆=．当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--，所以()1,1A --，()0,2B ，()1,3C --，1ABC S ∆=．【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．。
椭圆中的基本问题-2018精品之高中数学(文)黄金100题系列(word版含答案)
第73题 椭圆中的基本问题I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，圆O 的半径为r ，A 是圆O 内的一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？【解析】连接QA ，由于线段AP 的垂直平分线l 和半径OP相交于点Q ，则QA QP =，则r QO QP QO QA =+=+，由于A 为圆内一点，则r OA <，根据椭圆定义，点Q 的轨迹是以A 、O 为焦点的椭圆．精彩解读【试题来源】人教版A 版选修1-1P 42习题2．1A 组T7．【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法，本题动点Q 满足到两个定点距离之和是一个常数（大于两定点距离），符合椭圆定义，可以利用定义法求出动点Q 的轨迹．同理，符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如此．利用定义不仅可以求轨迹，也可以解决很多相关问题，如求曲线方程、求离心率等，因此在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定义”【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆锥曲线的定义，如圆的定义，椭圆、双曲线、抛物线的定义，考虑问题注意运用线段的垂直平分线性质，两圆内切、外切的条件等．II ．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考浙江卷】椭圆22194x y+=的离心率是（ ） A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B 【解析】94533e -==，故选B ． 【例2】【2017新课标III 】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质等． 【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据椭圆的定义求椭圆的标准方程（选择、填空，解答题第一问，常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）椭圆性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求椭圆中距离、周长或者面积等；（4）求直线与椭圆相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定椭圆中的弦长、式子的定的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 （ ）A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0 ，半径为r a = ，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：222abd a a b ==+，整理可得223a b =，即()222223,23a a c a c =-=，从而22223c e a == ，椭圆的离心率2633c e a ===，故选A ． 值问题，确定与椭圆有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求椭圆中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）． 【难点中心】1．利用定义解题，是数学常见题，灵活应用定义，一方面考查对定义的理解，另一方面体现在灵活应用的“活”字上，利用定义解题的题型很多，涉及求离心率，求轨迹，求焦三角形的周长、面积等．2．解决椭圆的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到ca ,的关系式，建立关于cb a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【例3】【2016高考新课标II 】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为 （ ）A.2 B ．23C ．3D ．2 【解析】离心率122122F F c ce a a MF MF ===-， 122112190sin 33MF F MF F MF x MF x ∠=︒∠===,,,Q ，122222,3xF F x e x x=∴=-，故选A ． 【例4】【2017高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离3．涉及直线与椭圆的位置关系的问题，只要联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量．等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理．心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737(,)77． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①．∵两准线之间的距离为8，∴228a c=②．联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=． （2）解法一：由（1）知()()121,0,1,0F F -．从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+ ① F 1 ⋅O⋅F 2xy(第17题)直线2l 的方程：001(1)x y x y -=-- ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，∴2001(,)x Q x y --． ∵点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=．因此点P 的坐标为4737(,)77． 解法二：设00(,)P x y ，则000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得02001x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴2220020(1)33y x y -=，∴2200169,77x y ==，故点P 的坐标是4737,77⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 解法三（参数方程）：设()2cos ,3sin 0,2P θθθ⎛π⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123sin 3sin ,,2cos 12cos 1PF PF k k θθθθ==∴+-直线12,l l 方程分别为()()2cos 12cos 11,13sin 3sin y x y x θθθθ+-=-+=--．联立解得214cos 2cos ,,3sin Q θθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭又Q 在椭圆上，()2222cos 14cos 11433sin θθθ-⎛⎫-∴+= ⎪⎝⎭，整理得427cos 10cos 80,θθ+-=()()22247cos 4cos 20,cos 7θθθ∴-+=∴=．又22210,,cos ,sin ,277θθθπ⎛⎫∈∴==∴ ⎪⎝⎭点P 的坐标是4737,77⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 解法四（秒杀技）：由已知得1290QF P QF P ∠=∠=︒，故这四个点共圆．若12,,,P F Q F 四点共圆，则圆以12F F 为直径，方程为221x y +=，但它与椭圆22143x y +=无交点，故应该是12,,,P Q F F 四点共圆（即在以PQ 为直径的圆上），从而,P Q 关于y 轴对称．设()()0000,0,0P x y x y >>，则()00,Q x y -，且,P Q 是圆()22200x y y x +-=与椭圆22143x y +=的交点，又12,F F 在此圆上，()2200220010,1,43y x x y ⎧+-=⎪∴⎨+=⎪⎩解得0047,737.7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（注意000,0x y >>）． III ．理论基础·解题原理 考点1 椭圆的定义椭圆的概念（1）文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． （2）代数式形式：集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段；③若a c <，则集合P 为空集．考点2 椭圆的标准方程1．椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，()222210x y a b a b +=>>；（2）焦点在y 轴，()222210y x a b a b+=>>．2．满足条件：22222,,0,0,0a c a b c a b c >=+>>>考点3 椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件22222,,0,0,0a c a b c a b c >=+>>>图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围 x a y b ≤≤, x b y a ≤≤,对称性曲线关于,x y 轴及原点对称顶点 长轴顶点()0a ±, ，短轴顶点()0b ±, 长轴顶点()0a ±, ，轴顶点()0b ±,焦点 ()0c ±,()0c ±,焦距 222122()F F c c a b -＝＝离心率() 0,1ce a ∈＝，其中c ＝22a b -通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为22b aIV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体，考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识．椭圆问题借助定义a PF PF 221=+，结合试题所给其它条件解题，特别是在焦三角形中，经常利用三角形的边角关系（正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式）解题，注意1212,PF PF PF PF +⋅之间的联系，灵活应用定义解题．椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题． 【易错指导】1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆()222210x y a b a b+=>>上点的坐标为P(x ，y)时，则|x|≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．3．学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：（1）椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为2222b b e c a⋅=等． （2）设椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．（3）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．（4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2． 4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．V ．举一反三·触类旁通考向一 椭圆的定义与焦点三角形【例1】设P 是椭圆221255x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，120,PF PF ⋅=12F PF ∆则面积是________． 【答案】5【解析】由椭圆方程可知5,25525a c ==-=，即12210PF PF a +==，12245F F c ==．因为120,PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，所以222121280PF PF F F +==，因为222121212()2PF PF PF PF PF PF +=++，解得1210PF PF =．因为12PF PF ⊥，所以1212152F PF S PF PF ∆==． 【例2】(2018浙江省名校联考)已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点，过点F 2作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．【名师点睛】1．涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．2．涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解．3．应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2．【例3】【2018江苏扬州模拟】已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，那么动点M 的轨迹是________． 【答案】椭圆【跟踪练习】1．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为________．【答案】22132x y +=2．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→．若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【答案】3考向二 椭圆的标准方程【例4】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．【答案】22132x y += 【解析】由椭圆的定义可得，121222,AF AF a BF BF a +=+=，又因为1212 AF AF BF BF +++=43，所以4a =43，解得a =3，又因为33c e a ==，所以1c =， 2222b a c =-=，所以椭圆方程为22132x y +=． 【例5】求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过点()3,0A ；（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)．【答案】（1）22+y =19x 或22y +=1819x ；（2）22y +=1129x 或22y +=1912x ；(3)x 29＋y 23＝1．（3）设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )．∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1．【名师点睛】1．求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为22=1x y m n + (0)0m n m n ≠＞，＞且，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221Ax By ＋＝(A ＞0，B ＞0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便． 2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量2,,,,a a b c e c等之间的关系，并能熟练地应用．【温馨提醒】1．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断焦点的位置．（2）设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且． （3）找关系：根据已知条件，建立关于a b c m n 、、或、的方程组． （4）求解，得方程．2．（1）方程2222y +=1x a b 与2222y +=(>0)x a bλλ有相同的离心率．（2）与椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 【跟踪练习】1．【湖北省八校2018届第一次联考】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()5,0F -为C 的左焦点， P 为C 上一点，满足OP OF =且6PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2213616x y += B ．2214015x y += C ．2214924x y += D ．2214520x y += 【答案】C考向三 椭圆的几何性质（离心率、通径等）【例6】椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ^BF ，设6π=∠ABF ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．13- C ．33 D ．231-【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为矩形，,2c FM AB ==，则由6π=∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+，32c c a +=，13-=∴e ．【例7】【2018福建厦门模拟】设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．233D ．33 【解析】由条件1PF PQ =，而0160F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴等边三角形 的边长为43a ，在焦点三角形12PF F ∆中，14||3a PF =，22||3aPF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即223a c =，∴22213c e a ==，∴33e =．【例8】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___． 【解析】不妨设12PF PF >，则121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以124,2PF a PF a ==，因为01230PF F ∠=，所以1223F F a =，所以232ce a==．【跟踪练习】1．【2018贵州贵阳高中高三8月摸底考试】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于两点,P Q ，若3cos 5PAQ ∠=，则椭圆C 的离心率e 为( ) A ．12 B ．22 C ．33 D ．23【答案】A4223449230c a c a c a --+=，据此得到关于离心率的方程： 4249230e e e --+=，分解因式有：()2131022e e e ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率12e =，故选A ． 2．【2018重庆一中11月月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 是椭圆上一点， 12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若120,3PF F π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得 PF 2=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 1 =2a-PF 2=2a-2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则1,1cos 32πθπθ<<∴-<<，△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos θ=22222ac c a c +- 由-1＜cosθ 可得 3e 2+2e-1＞0，e ＞13，由cosθ＜12，可得 2ac ＜a 2，e=12c a <，综上1132e <<，故选D 3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的端点()0,P b 、()0,Q b -，长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若,PA PB 的斜率之积等于14-，则P 到直线QM 的距离为__________． 【答案】2554．【2018河南师大附中高三8月开学考试】椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线30x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为__________． 【答案】31-【解析】设F '为右焦点，则π,,3,23AF AF AF F AF AF FF AF ⊥∠=∴''=='''，因此椭圆C 的离心率为2c 231231FF a AF AF ===-+'+'． 【方法点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 5．【2018河南八市重点高中高三第一次测评】已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0,A M 为圆上一动点，线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ； （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过()0,2F 的直线L 交曲线于不同的两点,G H ，（点G 在点F ，H 之间），且满足35FG FH =，求直线L 的方程．【答案】（Ⅰ）22 1.2x y +=（Ⅱ）2 2.y x =±+（Ⅱ）设()()1122,,,,G x y H x y当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为： 2y kx =+，222{ 12y kx x y =+∴+=，整理得： 2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 由0∆>，解得： 2121222343,,.11222k k x x x x k k >+=-⋅=++ ------①又()()1122,,2,,,2FG x y FH x y =-=-，由35FG FH =，得1235x x =，结合①得22235651212k k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，即2322k =>， 解得 2.k =±∴直线l 的方程为： 22y x =±+，当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为10,3x FG FH ==与35FG FH =矛盾． ∴直线l 的方程为： 2 2.y x =±+6．【2018湖南岳阳一中高三上学期第一次月考】已知点P 是直线:2l y x =+与椭圆()22211x y a a+=>的一个公共点， 12,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设12PF PF +取得最小值时椭圆为C ． （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）已知,A B 为椭圆C 上关于y 轴对称的两点， Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点()()0,,0,M m N n ，试判断mn 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1) 2213x y +=；（2）1 ．（2）设()()()112100,,,,,A x y B x y Q x y ，且()()0,,0,M m N n ，【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．7．【2018黑龙江大庆实验中学高三上学期期初考试】已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点()3,0，且经过点31,2⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于,A B两点（点A在x轴的上方）（1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN 的长．【答案】（1）2214x y +=（2）421212AM MB =，有122y y =-，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，，三者消12y y ，得222242,244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，最后关于,m t 的解方程组得243m =， 243t =，根据切线长公式可得MN 的长． 试题解析：（1）由题意知()22222233{2114a b c b -==⎛⎫- ⎪-⎝⎭+=，即()()24430a a --=， 又2233a b =+>，故224,1a b ==，椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设(),0M m ，直线()()1122:,,,,l x ty m A x y B x y =+， 由2AM MB =，有122y y =-，由()222221{42404x y t y my m x yy m+=⇒+++-==+，由韦达定理得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++， 由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，则()()221212122y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，222242,244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-，原点O 到直线的距离21m d t =+，考向四 直线与椭圆位置关系【例9】【2018黑龙江省齐齐哈尔模拟】已知椭圆22:12x C y +=，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，其中点B 是椭圆的上顶点，椭圆C 的左顶点为D ，直线AD BD 、分别与直线:22m x =--相交于M N 、两点．则ABDMNDS S ∆∆=（ ）A．12B．11223-C．22D．13【答案】B【跟踪练习】1．【2018南京市联考】已知椭圆：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为F，过F作直线l（不过原点O）交椭圆于,A B两点，若,A B的中点为M，直线OM交椭圆的右准线于N（1）若直线l垂直X轴时，AB MN=，求椭圆的离心率e；（2）若椭圆的离心率12e=，当直线l斜率存在时设为1k，直线NF的斜率设为2k，试求12k k的值．2．【2018四川成都一诊】已知()()00,0,0,A x B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23.OP OA OB =+（1）求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；（2）直线:1l x ty =+与曲线C 交于A B 、两点， ()1,0E -，试问：当t 变化时，是否存在一直线l ，使ABE ∆得面积为23？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（2）由方程组221{ 143x ty x y =++=得()2234690*t y ty ++-=（） 设()()1122,,,,A x y B x y 则12122269,03434t y y y y t t +=-=-<++ 所以22212121222269121||()44343434t t y y y y y y t t t +⎛⎫⎛⎫-=+-=---= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭因为直线1x ty =+过点()1,0F ，所以ABE ∆的面积22122211121121||2223434ABEt t S EF y y t t ∆++=-=⨯⨯=++，令221212334t t +=+则223t =-不成立，不存在直线l 满足题意．考向五 与椭圆有关的最值、取值范围问题【例10】设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．【跟踪练习】1．【2018浙江名校协作体模拟】设,A B 是椭圆22:14x y C k +=长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足120APB ∠=，则k 的取值范围是（ ）A ．[),,4012+3⎛⎤∞ ⎥⎝⎦B ．[),20,6+3⎛⎤∞ ⎥⎝⎦C ．[),,2012+3⎛⎤∞ ⎥⎝⎦D ．[),40,6+3⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【答案】A2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点为12,F F ，离心率为e ．P 是椭圆上一点，满足212PF F F ⊥，点Q 在线段1PF 上，且12FQ QP =．若120F P F Q ⋅=，则2e =（ ） A ．21- B ．2-2 C ．2-3 D ．52- 【答案】C3．已知()(),00A a a >，M (x 0，y 0)是椭圆C ：x22+y 2＝1上的一点，则AM 的最小值()g a = ．【答案】 221,0222,2a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩【注意问题】因为02x ≤，所以当202a <≤时，()21g a a =-，当22a >时，()()22122122g a a a a =-+-=-．4．【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】已知点M 是圆心为E 的圆()22316x y ++=上的动点，点()3,0F，线段MF 的垂直平分线交EM 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【答案】(1) 2214x y +=；(2) 810S ≤≤．试题解析：（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)， 23,423EF => 所以点P 的轨迹是以,E F 为焦点的椭圆，其中24,223a c ==，所以P 点轨迹C 的方程是2214x y +=2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 ()()2222221212122222221212124164144141111k k k k k k S k k k k k k +++++==+++++ ()()2212221241742k k k k ++=++()22212122994444212k k k k =⋅+=⋅+⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号）， 所以9444422S <≤⋅++，即810S <≤， 由①②可知， 810S ≤≤．5．【2018安徽合肥高三调研性检测】已知M 为椭圆22:1259x y C +=上的动点，过点M 作x 轴的垂线段MD ， D 为垂足，点P 满足53PD MD =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若,A B 两点分别为椭圆C 的左右顶点， F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线,QF PA 的斜率分别为,QF PA k k ，求QF PAk k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）动点P 的轨迹E 的方程为()22250x y y +=≠ （Ⅱ）QF PAk k ∈ ()2,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭求出0911254QF PAk k x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，进而借助055x -<<且04x ≠-，及014x +在()5,4--和()4,5-都是单调减函数，求出0911254x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的范围为()2,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭：解：（Ⅰ）设()(),,,P x y M m n 依题意(),0D m ，且0y ≠， ∵53PD MD =，即()()5,0,3m x y n -=-， 则有0{ { 5335m x m xy n n y-==⇒-=-=．又∵(),M m n 为椭圆22:1259x y C +=上的点，可得22351259y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即2225x y +=， 即动点P 的轨迹E 的方程为()22250x y y +=≠．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Ω： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，直线l ：y ＝2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1． (Ⅰ) 求椭圆Ω的方程；(Ⅱ) 已知椭圆Ω的上顶点为A ，点B ，C 是Ω上的不同于A 的两点，且点B ，C关于原点对称，直线AB ，AC 分别交直线l 于点E ，F ．记直线AC 与AB 的斜率分别为1k ， 2k ． ① 求证： 12k k ⋅为定值； ② 求△CEF 的面积的最小值．证法二：直线AC 的方程为11y k x =+， 由2211{21x y y k x +==+，，得()22111240k x k x ++=，解得121421C k x k =-+，同理222421B k x k =-+，因为B ，O ，C 三点共线，则由1222124402121C B k k x x k k +=--=++， 整理得()()1212210k k k k ++=，所以1212k k ⋅=-． ②直线AC 的方程为11y k x =+，直线AB 的方程为21y k x =+，不妨设10k >，则20k <，令y ＝2，得2111,2,2E F k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，而221112211421112121C C k k y k x k k -+=+=-+=++， 所以，△CEF 的面积()122CEFC S EF y ∆=⨯⨯-212121*********k k k k ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭ 22112121611221k k k k k k -+=⋅⋅+． 由1212k k ⋅=-得2112k k =-，则CEF S ∆ 22111211121611362212k k k k k k ++=⋅=+≥+，当且仅当166k =取得等号，所以△CEF 的面积的最小值为6．7．如图，过椭圆C ： 2214x y +=的左右焦点12,F F 分别作直线1l ， 2l 交椭圆于,A B 与,C D ，且12//l l ．（1）求证：当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时， 12k k 为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．（2）当1l 的倾斜角为0时， 1l 与2l 重合，舍去．当1l 的倾斜角不为0时，由对称性得四边形ABCD 为平行四边形， ()13,0F -，设直线1l 的方程为3x my =-，代入2214x y +=，得()2242310my y +--=．显然0∆>， 122234y y m +=+， 12214y y m -⋅=+．所以()22122222132311342322444OABm m S y y m m m∆⎛⎫-+=⋅⋅-=⋅-⋅=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭，设21m t +=，所以21m t =-， ()1,t ∈+∞．所以()22221119691246m t t t m t t+==≤+++++．当且仅当9t t=即2m =±时等号成立，所以()max 123112OAB S ∆=⋅=．所以平行四边形面积的最大值为()()max 44ABCD OAB S S ∆=⋅=． 8．已知点P 是长轴长为22的椭圆Q ： 22221(0)x y a b a b +=>>上异于顶点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点，点M 为线段PA 的中点，且直线PA 与OM 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆Q 的方程；（2）设过左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,C D 两点，线段CD 的垂直平分线与x 轴交于点G ，点G 横坐标的取值范围是1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，求CD 的最小值．设()()1122,,,A x y B x y ， AB 中点()00,N x y ，∴()22121222422,1212k k x x x x k k -+=-⋅=++． ∴()()2012002212,121212k kx x x y k x k k =+=-=+=++ ∴CD 的垂直平分线方程为()001y y x x k -=--，令0y =，得00211242G x x ky k =+=-++ ∵1,04G x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤．()()4222221216421221121k k k CD k x x k k -+-=+-=+⋅+()2113222+22221k ⎡⎤⎢⎥=≥+⎢⎥⎣⎦，min 32||2CD =． 考向六 椭圆中的定点、定值、定直线及存在性问题【例11】【2018辽宁沈阳联考】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是32，抛物线E ： 22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限， E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ， B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ， PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．()223441410m x m x m +-+-=，由0∆>，得025m <<+且3122441m x x m +=+，因此312022241x x m x m +==+，将其代入22m y mx =-得()202241m y m =-+，因为0014y x m =-，所以直线OD 方程为14y x m =-．联立方程1{ 4y x m x m=-=，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线14y =-上（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m y mx =-，令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又21,,0,,22m P m F D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32222,41241m m m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以()2111124S GF m m m ==+，()()222022112841m m S PM m x m +=⋅-=+，所以()()()221222241121m m S S m ++=+， 令221t m =+，则()()1222211112t t S S t t t-+==-++，当112t =，即2t =时， 12S S 取得最大值94，此时22m =，满足0∆>，所以点P 的坐标为21,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为21,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【跟踪练习】1．如图，12,A A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT+=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．7 【答案】A2．【2018江苏如东期中】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，其左、右焦点分别为12F F 、，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且5OP =， 1216PF PF ⋅=（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．（2）设动直线l 的方程为： 1y kx =-，由221{ 1189y kx x y =-+=得()22214160k x kx +--=． 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122421k x x k +=+， 1221621x x k ⋅=-+．假设在y 轴上是否存在定点()0,M m ，满足题设，则()11,MA x y m =-， ()22,MB x y m =-．()()1212MA MB x x y m y m ⋅=+--=()2121212x x y y m y y m +-++()()()21212121111x x kx kx m kx kx m =+----+-+()()()221212121k x x mk k x x m m =+++++++()()22221614212121k k mk k mm k k -++=-+++++()222221821521m k m m k -++-=+，由假设得对于任意的k R ∈， 0MA MB ⋅=恒成立，即222180{ 2150m m m -=+-=解得3m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过该点，点M 的坐标为()0,3．3．已知椭圆C ： 22221(0)y x a b a b+=>>的上下两个焦点分别为1F ， 2F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两点， 2MNF ∆的面积为3，椭圆C 的离心力为32． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，直线l ： y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ， B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．且12224kmx x k -+=+， 212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=，∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m km k +--=．当21m =时， 222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m mm ->-，∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述， m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．。
第03题 量词的应用-2018原创精品之高中数学(理)黄金100题系列(原卷版)
第3题 量词的应用I ．题源探究·黄金母题【例1】写出下列命题的否定，并判断它们的真假： （1）:p 任意两个等边三角形都是相似的；（2）2000:,220p x R x x ∃∈++=．【解析】（1）:p ⌝存在两个等边三角形，它们不相似．p ⌝是假命题．（2）:,220p x R x x ⌝∀∈++≠．p ⌝是真命题．精彩解读【试题来源】人教版A 版选修1-1，2-1第25页例5．【母题评析】本题考查了全称命题与特称命题的否定以及真假的判断．作为基础题，全称命题与特称命题的否定以及真假的判断，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】（1）对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． （2）命题p 与p ⌝真假性恰好相反．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （ ）A ．∧p qB ．⌝∧p qC ．⌝∧p qD ．⌝⌝∧p q 【答案】B【解析】由0x >时11,ln(1)x x +>+有意义，知p 是真命题，由222221,21;12,(1)(2)>>->--<-可知q 是假命题，即⌝,p q 均是真命题，故选B ．【命题意图】本题考查或、且、非命题真假的判断，属容易题．它考查学生的逻辑推理能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易． 【难点中心】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断．【例3】【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是 （ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <【命题意图】本类型主要考查全称的否定．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度一般不大；从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <，故选D ．【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记全称命题和特称命题的概念，以及全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．III ．理论基础·解题原理高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下三个命题角度： （1）全称命题、特称命题的否定； （2）判断全称命题、特称命题的真假性；（3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值或范围． 考点一 全称命题、特称命题的否定 1．全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．含有存在量词的命题，叫做特称命题．3．全称命题与特称命题的结构：命题全称命题“∀x ∈A ，p (x )” 特称命题“∃x ∈A ，p (x )” 表述方法①对所有的x ∈A ，p (x )成立；②对一切x ∈A ，p (x )成立； ③对每一个x ∈A ，p (x )成立； ④任选一个x ∈A ，p (x )成立； ⑤任意x ∈A ，都有p (x )成立①存在x ∈A ，使p (x )成立； ②至少有一个x ∈A ，使p (x )成立； ③对有些x ∈A ，p (x )成立； ④对某个x ∈A ，p (x )成立； ⑤有一个x ∈A ，使p (x )成立4．全称命题与特称命题的符号表示及否定全称命题:,()p x M p x ∀∈，它的否定00:,()p x M p x ⌝∃∈⌝．全称命题的否定是特称命题． 特称命题00:,()p x M p x ∃∈，它的否定:,()p x M p x ⌝∀∈⌝．特称命题的否定是全称命题． 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．注意：（1）全称命题(特称命题)的否定与命题的否定是不同的．全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定是只否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．（2）含有逻辑联结词的命题的否定是一个难点，其原理是：()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝，()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝．考点二 判断全称命题、特称命题的真假性 全称命题与特称命题真假的判断方法：命题名称 真假 判断方法一判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真否定为假 假 所有对象使命题假否定为真考点三 根据含有量词的命题的真假求参数的取值或范围 1．与全称命题相关的“恒成立” 问题；2．与特称命题相关的“存在” 或“是否存在”问题：IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小；从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．【技能方法】（1）对含有量词的命题进行否定的方法：全称命题:,()p x M p x ∀∈，它的否定00:,()p x M p x ⌝∃∈⌝．特称命题00:,()p x M p x ∃∈，它的否定:,()p x M p x ⌝∀∈⌝．（2）全称命题与特称命题真假的判断方法：要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 都成立；要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊元素0x ，使()0p x 不成立即可．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个特殊元素0x ，使()0p x 都成立即可否则这一特称命题就是假命题．无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，都可先判断其否定的真假． （3）与全称命题相关的“恒成立” 问题解题方法：常以二次函数、对数函数等函数为载体，解题时应注意函数思想、数形结合思想以及赋值法的应用． （4）与特称命题相关的“存在” 或“是否存在”问题解题方法：可假设存在，然后找出符合条件的元素得出肯定结论，或推出矛盾，从而得出否定结论． 【易错指导】写全称命题（特称命题）的否定，常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．V ．举一反三·触类旁通考点1 全称命题、特称命题的否定【例4】【2017黑龙江大庆一模】设命题p: 1,ln x x x ∀>>；则p ⌝为 （ ） A ．0001,ln x x x ∃>> B ．0001,ln x x x ∃≤≤C ．0001,ln x x x ∃>≤D ．1,ln x x x ∀>≤【例5】【2017山东日照】命题“02000,sin 1x x R x x e ∃∈++<”的否定是 （ ） A ．02000,sin 1x x R x x e ∃∈++>B ．02000,sin 1x x R x x e ∃∈++≥C ．2,sin 1xx R x x e ∀∈++> D ．2,sin 1xx R x x e ∀∈++≥考点2 判断全称命题、特称命题的真假性【例6】【2017湖南株洲一模】下列命题中假命题的是 ( ) A ．00,ln 0x R x ∃∈< B ．(),0,0xx e ∀∈-∞>C ．053x xx ∀>>， D ．0000+2sin cos x x x ∃∈∞<+（，），【例7】【2017辽宁沈阳大东区一模理数】以下四个命题中，真命题是 （ ） A ．()0,x π∃∈， sin tan x x =B ．“x R ∀∈， 210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈， 20010x x ++<”C ．R θ∀∈，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数D ．条件p ： 4{4x y xy +>>，条件q :2{2x y >>则p 是q 的必要不充分条件【例8】【2017江西赣州二模理科数学】对于下列说法正确的是 （ ） A ．若()f x 是奇函数，则()f x 是单调函数B ．命题“若220x x --=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则220x x --=”C ．命题:,21024x p x R ∀∈>，则0:p x R ⌝∃∈， 021024x<D ．命题“()2,0,2xx x ∃∈-∞<”是真命题【例9】【2017福建厦门一中高考考前模拟】不等式组34y xy x x y ≤≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩的解集记为D ，命题():,p x y D ∀∈，25x y +≥，命题():,q x y D ∃∈， 22x y -<，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．qC ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨【例10】【2017四川眉山中学高三5月月考】下列4个命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题0:p x R ∃∈，使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈，都有210x ->； ②已知()22,,(2)0.5X N P x σ~>=；③已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为ˆ23yx =-； ④“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例11】【2017百校大联考全国名校联盟届高三联考六】已知命题:p 直线1:230l x y -+=与2:230l x y ++=相交但不垂直；命题:q ()00,x ∃∈+∞， 002x x e +>，则下列命题是真命题的为（ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【例12】【2017河南洛阳三模理数】已知命题p ： x R ∀∈，都有23x x <；命题q ： 0x R ∃∈，使得32001x x =-，则下列复合命题正确的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【例13】【2017黑龙江大庆三模数学理】已知命题:p 若,a b 是实数，则a b >是22a b >的充分不必要条件；命题:q “2R,23x x x ∃∈+>”的否定是“2R,23x x x ∀∈+<”，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝考点3 根据含有量词的命题的真假求参数的取值或范围 【例14】【2017北京西城区二模数学理】函数．若存在，使得，则k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【例15】【2017山东淄博二模数学理】已知，函数，（是自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围．【例16】【2017湖北黄冈中学高三5月第三次模考理科数学】若命题“2000,20x R x x m ∃∈-+≤”是假命题，则m 的取值范围是__________．【例17】【2017江苏盐城三模】若命题“t R ∃∈，220t t a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．。
2018高三大一轮复习数学文课时规范训练：第一章 集合与常用逻辑用语 1-1 含答案 精品
课时规范训练(时间：30分钟)1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选B.由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个，故选B. 2．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．－3∈AB ．3∉BC ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析：选C.化简A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B . 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ． B ．(0,1]C ．解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}，M ∪N ＝，故选A.4．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B.具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.5．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁UB )等于( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅解析：选A.∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}， 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．6．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁R B )＝( ) A ． B ．C ．D ．(－∞，1]∪∪B ．10．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m 的可能取值组成的集合为________．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－1211．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析：A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}12．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3<x ≤－1}(时间：15分钟)13．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析：选C.由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018，故A ＝{x |1<x <2 018}． 由log 2x <m ，解得0<x <2m，故B ＝{x |0<x <2m}．由A ⊆B ，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.14．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：选 B.由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a ja i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误．15．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ． D ．(－∞，－1]∪．答案：(－∞，－1]18．已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：当B ＝∅时，只须2a >a ＋3，即a >3.当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)。
2018年高考数学黄金100题系列第04题充要条件判定文
第04题 充要条件判定I ．题源探究·黄金母题【例1】求圆222)()(r b y a x =-+-经过原点的充要条件．【解析】当圆222)()(r b y a x =-+-经过原点时，则222)0()0(r b a =-+-，化简得，222r b a =+； 当222r b a =+时，则22222(0)(0)a b a b r -+-=+=，所以222r b a =+经过原点．综上所述，圆222)()(r b y a x =-+-经过原点的充要条件是222r b a =+． 精彩解读【试题来源】人教版A 版选修2-1第12页A 组第4题【母题评析】本题以圆为为载体，考查充要条件的判定问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的．【思路方法】常利用命题真假与充要条件关系、集合间关系与充要条件关系转化为命题真假与集合间关系的判定问题求解，但需要注意：①分析清楚谁是条件谁是结论；②还要分析清楚由条件能否推出结论还是由结论能否推出条件！ II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项．【命题意图】本类题通常主要考查充要条件的判定． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与数列、不等式性质、函数性质、集合运算、平面向量、立体几何等数学知识有联系．【难点中心】对充要条件判定问题，首项要确定集谁是条件谁是结论，其次确定适合那类判定方法．常用的判定方法的方法：1．根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2．当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈，若A B ，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3．命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断．III ．理论基础·解题原理考点一 充要条件的概念1．如果q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； 2．如果q p ⇒且p q ⇒，则p 是q 的充要条件． 考点二 充要条件的常用的判断方法 1．定义法：（1）若p q ⇒，且q p ，则 p 是q 的充分不必要条件；（2）若q ⇒p ，且pq ，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充分必要条件； （4）若pq ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．此法适合原命题与逆命题都容易判定真假的充要条件问题． 2．等价法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 此方法特别适合以否定形式给出的充要条件问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件； 3．集合法：设满足条件p 的元素构成的集合为M ，满足条件q 的元素构成的集合为N ，则有下面结论：（1）若M N ，则p 是q 的充分不必要条件； （2）若N M ，则p 是q 的必要不充分条件； （3）若M=N ，则p 是q 的充要条件；（4）若M N 且N M ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．此法适合，若满足条件p 的元素集合和满足条件的q 的元素的集合容易求出充要条件问题．考点三 判断充分必要条件的步骤先确定谁是条件谁是结论，再根据条件与结论的类型选择合适的判断方法，最后作出判断．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与数列、不等式性质、函数性质、集合运算、平面向量、立体几何等数学知识有联系．【技能方法】解决此类问题一般先确定谁是条件谁是结论，其次要确定充要条件问题的类型，若充要条件的判断问题，需要根据条件和结论选择合适方法判断，若是已知充要条件求参数范围问题，通常转化为集合间的包含关系，借助数组求解．【易错指导】（1）在处理充要条件问题时，要分清谁是条件谁是结论，注意A 是B 的充分不必要条件与A 的充分不必要条件为B 的区别；（2）注意充分条件与充分不必要条件的区别：充分条件包括充分不必要条件与充要条件，条件集合是结论集合的子集，充分不必要条件则条件集合是结论集合的真子集；（3）注意必要条件与必要不充分条件的区别：必要条件包括充要条件与必要不充分条件，结论集合是条件集合的子集，必要不充分条件，则结论集合是条件集合的真子集． V ．举一反三·触类旁通 考向1 充要条件的判断【例3】【2017河北衡水中学下学期第三次摸底考】在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A-=-”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立．这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．【例4】【2017黑龙江哈尔滨二模】对于常数,m n ，“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】D【解析】依题意，两个正根即212124000m n x x m x x n ⎧∆=-≥⎪+=>⎨⎪=>⎩，令5m n ==，此时方程有两个正根，但是方程22551x y +=不是椭圆．反之，令1,12m n ==，方程2212x y +=是椭圆，但是21102x x -+=没有实数根．综上所述，应选既不充分也不必要条件． 考向2 根据充要条件求参数的值或范围【例5】【2017炎德英才大联考】已知函数()24sin 14f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，且给定条件:p “42x ππ≤≤”，条件:q “()2f x m -<”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A ．()3,5B ．[]3,5C ．()2,4D ．[]2,4 【答案】A 【解析】()1cos24412sin214sin 2123x f x x x x x ππ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅--=-+=-+ ⎪⎝⎭当42x ππ≤≤时，22633x πππ≤-≤，则1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()[]3,5f x ∈，又当()2f x m -<时， ()()2,2f x m m ∈-+，若p 是q 的充分不必要条件，则23{25m m -<+>，所以35m <<，故选择A ． 【例6】【2017黑龙江双鸭山一中高三全真模拟四】已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],0-∞考向3 充要条件与集合【例7】【2017河南郑州三模】若集合，，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】，若，则，此时，反之，若，则，故选择A ．【例8】【2017辽宁庄河市高级中学四模】已知集合()(){|0},{|24},{|420}x A x lgx B x C x x x =≥=≤=-+≤ ，则“x A B ∈⋂”是“x C ∈”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条【答案】A【解析】由题意可得：{|1},{|2},{|24}A x x B x x C x x =≥=≤=-≤≤，则{|12}A B x x ⋂=≤≤，则“x A B ∈⋂”是“x C ∈”的充分不必要条件．故选A ．考向4 充要条件与函数【例9】【2017吉林大学附属中学第八次模考】已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【例10】【2017湖南衡阳高三下学期第二次联考】已知函数()g x 的定义域为{|0}x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数()()11122xf xg x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是偶函数； q ：函数()g x 是奇函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由函数()()11122xf xg x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭是偶函数可得： ()()f x f x -=， (-)()g x g x ⇒=-，所以函数()g x 是奇函数，充分条件成立，当函数()g x 是奇函数时，有(-)()g x g x =-，又()g x =11122()xf x --，可得函数()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，即必要条件也成立，所以p 是q 的充要条件．【例11】【2017安徽省池州市届高三4月联考】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠，()()12122017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R∀∈，()2017f x '<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件【答案】B【解析】构造函数()32017f x x x =-+ ，则()()()()()3311221222121212122017201720172017x x x x f x f x xx x x x x x x -+--+-==-+++<--，所以()()12122017f x f x x x -<- ，但()2'320172017f x x =-+≤，所以命题P 不能推出命题Q ；由导数的定义，()()()1212012'limx x f x f x f x x x -→-=- ，所以当()'2017f x <有()()12122017f x f x x x -<-，故命题不能推出命题P ，P 是Q 的必要不充分条件．选B ．【名师点睛】本题主要考查了充分必要条件，涉及导数的定义与曲线()y f x =上割线的斜率，属于中档题．注意当判断命题为假时，可以举出反例． 考向5 充要条件、函数与方程【例12】【2017“超级全能生”浙江高三3月联考】“函数()()ln f x a x x e =+≥存在零点”是“1a <-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分不用必要条件【答案】B【例13】【2017北京西城区二模】已知函数()()21x f x x ax a e -=+-⋅，其中a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明： 0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件． 【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数()f x 求导有()()()1'2xf x x a x e-=-+-⋅ ，令()'0f x =，求出根，得到()'f x 的零点个数，注意分情况讨论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的分类讨论，分别利用导数与函数最值的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．试题解析：（Ⅰ）由()()21xf x x ax a e -=+-⋅，得()()()1212x xf x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅'()2122xx a x a e -⎡⎤=-+--⋅⎣⎦()()12x x a x e -=-+-⋅令()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有一个零点： 2x =；当2a ≠-时，函数()f x '有两个相异的零点： 2x =， x a =-．②当2a >-时， ()f x '， ()f x 的变化情况如下表：所以， 0a ≥时， ()f x 的极小值为()10af a a e +-=-⋅≤．又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时， ()()21x f x x ax a e -=+-⋅恒成立．所以()1af a a e +-=-⋅为()f x 的最小值．故0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分条件．③当5a =-时， ()f x '， ()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时， ()()21550xf x x x e -=-+⋅>，又()120f e -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值．所以，0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．点睛；本题注意考查了导数与函数的极值、最值的关系，属于中档题．涉及的考点有：用导数研究函数的极值、最值，充分不必要条件的判断，根的存在及个数判断．考查了学生分析问题和转化的能力以及分类讨论思想． 考向6 充要条件与三角函数【例14】【2017山东日照三模】命题:sin21p x =，命题:tan 1q x p q =，则是的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【例15】【2017陕西西安长安区一中高三4月模拟】设函数()()()()sin sin sin f x a x b x c x αβγ=+++++，则:p “02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭”是:q “()f x 为偶函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即πππsin sin sin 0222a b c αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos cos cos 0a b c αβγ++=，所以()()()()()()sin sin sin sin f x f x a x b x c x a x αβγα--=+++++--+-()()()sin sin cos cos cos sin 0b x c x a b c x βγαβγ-+--+=++=，即()f x 为偶函数；当5π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭时， ()f x 也为偶函数；所以:p “02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭”是:q “()f x 为偶函数” 的充分而不必要条件；故选A ． 考向7 充要条件与平面向量【例16】【2017河北武邑中学高三下学期第四次模拟】设向量()1,x x =-a ，()2,4x x =+-b ，则“⊥a b”是“2x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若“⊥a b”，则()()()()()21,2,41242320x x x x x x x x x x ⋅=-⋅+-=-++-=--=a b ，则2x =或12x =-；若“2x =”，则0⋅=a b ，即“⊥a b ”，所以“⊥a b ”是“2x =”的必要不充分条件．故选B ． 考向8 充要条件与数列【例17】【2017青海西宁二模】在ABC ∆中，,,A B C 成等差数列是()()b a c b a c ac +--+=的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)若A ，B ，C 成等差数列：2B =A +C ，所以3B =180°，B =60°；∴由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−ac ，∴a 2+c 2−b 2=ac，∴(b +a −c )(b −a +c )=b 2−(a −c )2=b 2−a 2−c 2+2ac =−ac +2ac =ac ，即(b +a −c )(b −a +c )=ac ，∴A ，B ，C 成等差数列是(b +a −c )(b −a +c )=ac 的充分条件． (2)若(b +a −c )(b −a +c )=ac ，则：b 2−(a −c )2=b 2−a 2−c 2+2ac =ac ，∴a 2+c 2−b 2=ac ，由余弦定理：a 2+c 2−b 2=2ac ⋅cosB ，∴1cos 2B =，∴B =60°，∴60°−A =180°−(A +60°)−60°，即B −A =C −B ，∴A ，B ，C 成等差数列，∴A ，B ，C 成等差数列是(b +a −c )(b −a +c )=ac 的必要条件．综上得，A ，B ，C 成等差数列是(b +a −c )(b −a +c )=ac 的充要条件，故选C ．【例18】【2017北京西城区4月统一测试】数列{}n a 的通项公式为()*n a n c n N =-∈，则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【名师点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p ⇐q ，则说p 是q 的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p ⇒q ，且p q ⇐，则说p 是q 的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p ⇒q ，且p ⇐q ，则说p 是q 的既不充分也不必要条件． 考向9 充要条件与不等式【例19】【2017北京朝阳区二模】“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，由均值不等式成立．但时，只需要，不能推出．所以是充分而不必要条件．选A ．【例20】【2017辽宁实验中学高三下学期第六次模拟】设命题实数满足，命题实数满足0220220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则命题是命题的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【名师点睛】对于点集（x ，y ）的集合或命题关系时，我们可以画出两个集合或命题的的图像，再根据小范围推大范围来判断两个集合或命题关系，但是要注意两集合相等或命题等价的情况．考向10 充要条件与立体几何【例21】【2017湖北黄冈高三5月三模】设,m n 是空间两条直线， ,αβ是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）A ．当n α⊥时，“n β⊥”是“//αβ”的充要条件B ．当m α⊂时，“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件C ．当m α⊂时，“//n α”是“//m n ”的必要不充分条件D ．当m α⊂时，“n α⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件 【答案】C【例22】【2017安徽合肥一模】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设,A B 为两个同高的几何体， :,p A B 的体积不相等， :,q A B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知， p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】如果,A B 在等高处的截面积恒相等，则,A B 的体积相等，因此有p q ⇒，但q p ⇒不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 考向11 充要条件与解析几何【例23】【2017福建莆田高三下学期质量检查】设为实数，直线，则“”是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】，但不能推出．故是充分不必要条件．故选A ．【例24】【2017河南洛阳高三5月考】“15a =”是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的_________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）．【答案】充分不必要考向12 充要条件与复数【例25】【2017北京丰台区一模】已知，则“”是“复数是纯虚数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，当时，复数为纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而不充分条件，故选B ．【例26】【2017江西鹰潭二模】“11sin cos 2Z i θθ=-+⋅（其中是虚数单位）是纯虚数”是“26k πθπ=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】11sin cos 2Z i θθ=-+⋅，则1sin cos 2z i θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则z 为纯虚数，则10{20sin cos θθ-=≠， 即()26k k Z πθπ=+∈ 或()526k k Z θππ=+∈，结合题意可知：“11sin cos2Ziθθ=-+⋅（其中是虚数单位）是纯虚数”是“26kπθπ=+”的必要不充分条件，故选B．。
第14题 二次函数-2018之高中数学(文)黄金100题系列 含解析
第14题二次函数I．题源探究·黄金母题【例1】已知函数)(x f=xx22-，)(x g=xx22-（]4,2[∈x）．（1）求)(x f,)(x g的单调区间;（2）求)(x f,)(x g的最小值．【解析】（1)由题知,)(x f'=)1(2-x，)(xg'=)1(2-x，当x＜1时,)(x f'＜0，当x＞1时，)(x f'＞0，当42<<x时，)(x g'＞0，∴)(x f的单调减区间为)1,(-∞，单调增区间为（1，+∞）；)(x g的单调增区间为[2，4］．（2）由（1）知，当1=x时，)(min xf=)1(f=-1；当x=2时，)(min xg=)2(g=0．精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第39页B组第1题【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值．高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题,故本题是一个典型的二次函数问题．【思路方法】二次函数问题，常常借助其图象研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域,借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考山东文数】已知命题p:,x∃∈R210x x-+≥；命题q:若22a b<，则a〈b．下列命题为真命题的是【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题，由()2212,12<->-可知q 是假命题，∴p q ∧⌝是真命题，故选B ．【例2】【2017浙江卷】若函数f （x ）=x 2+ ax +b 在区间［0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m ()A ．与a 有关,且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关,且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a af b f a b f b ==++-=-中取，∴最值之差一定与b 无关，选B ．【例3】【2016高考新课标II 】已知函数f (x )（x ∈R)满足f （x ）=f （2—x ），若函数y =｜x 2-2x —3｜ 与y =f （x ） 图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2)，…，（x m ，y m )，则1=mi i x =∑（)调性及最值．．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现,往往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质等数学知识结合,难度为容易题题、中档题、也有有难题．【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问题，通常用换元法,转化为一元二次函数或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函(A ）0 (B ）m (C) 2m （D) 4m 【答案】B 【解析】()2,23y f x y x x ==--都关于1x =对称，∴它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=,故选B ． 数的最值问题,注意分类讨论结合图象处理．III ．理论基础·解题原理 考点一二次函数的概念与表示1．概念：形如：2f(x)=ax +bx+c (0)a ≠函数叫二次函数；2．表达形式有：（1）一般式：2f(x)=ax +bx+c (0)a ≠．(2）顶点式:若(,)m n 为抛物线的顶点坐标．,2()()f x a x m n =-+(3)截距式：设12,x x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，则12()()()f x a x x x x =--．．考点二二次函数图象与性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c （a >0） f (x )＝ax 2＋bx ＋c （a 〈0)图象定（－∞,＋∞) （－∞，＋∞）义域 值域 错误!错误!单调性 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减;在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增 在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减;在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递增对称性函数的图象关于x ＝－错误!对称考点三二次函数图象与性质的应用 1．一元二次方程的实根分布1x ，2x 是一元二次方程2ax bx c ++=0的根，设()f x =2axbx c ++．根的分布 充要条件 充要条件1充要条件22x ，1x ∈(m ，+∞)1x ＞m 且2x ＞m12122()()0()()040x m x m x m x m b ac ⎧-+->⎪-->⎨⎪∆=-≥⎩ 2240()0bm a b ac af m ⎧->⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪>⎪⎪⎩1x ,2x ∈（-∞，m )1x ＜m 且2x ＜m12122()()0()()040x m x m x m x m b ac ⎧-+-<⎪--<⎨⎪∆=-≥⎩ 2240()0bm a b ac af m ⎧-<⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪>⎪⎪⎩1x ＜m ＜2x 1x ＜m ＜2x12()()0x m x m --< ()0af m <m＜1x ＜2x ＜nm ＜1x ＜2x ＜n12()()0x m x n --<2240()0()0b m n a b ac af m af n ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪>⎪>⎪⎩ 称轴、判别式、端点函数值．． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与分段函数、复合函、方程、不等式等数学知识结合考查函数的值域、零点个数或方程解得个数,难度为中档或中档以上．【技能方法】解决此类问题通过分类整合结合化为分段函数,结合函数图象与性质解题，转化化归思想、分类整合思想、数形结合思想是解题的法宝．【易错指导】（1)对二次项系数含参数的问题，要分二次项系数大于0小于0两类，结合对应图象处理；(2）对可化为含参数的二次函数在某个区间上的最值问题，要根据对称轴在区间左、中、右分类结合图象求解；(3)在用换元法化为二次函数或二次方程问题时，注意新变量的取值范围．(4）对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值． V ．举一反三·触类旁通 考向1二次函数概念与表示【例1】【福建三明一中模拟】如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发,点P 以1cm/秒的速度沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 以2cm/秒的速度沿BC 运动到点C 时停止．设P 、Q 同时出发t 秒时,△BPQ 的面积为ycm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图(2)（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论:①5AD BE ==;②当05t <≤时，245y t =；③3cos 5ABE ∠=；④当292t =秒时，ABE ∆∽QBP ∆；⑤当QBP ∆的面积为24cm 时，时间t 的值是10或515；其中正确的结论是（）A ．①⑤B ．②⑤C ．②③D ．②④ 【答案】D【解析】根据图（2）可得,当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，∵点P 、Q 的运动的速度分别是1cm /秒、2cm /秒,∴BC =BE =10,∴AD =BC =10．又∵从M 到N 的变化是4，∴ED =4，∴AE =AD −ED =10−4=6．∵AD ∥BC ,∴∠EBQ =∠AEB ，∴3cos cos 5AE EBQ AEB BE∠=∠==,故③错误;如图1,过点P 作PF ⊥BC 于点F ,∵AD ∥BC ，∴∠EBQ =∠AEB ,∴4sin sin 5AB EBQ AEB BE∠=∠==,∴PF =PBsin∠EBQ =45t ，∴当0〈t ⩽5时，2114245225y BQ PF t t t =⨯=⨯⨯=，故①正确，如图3，当t =6秒时,点P 在BE 上,点Q 静止于点C 处．在△ABE 与△PQB 中，AE =BP ,∠EBQ =∠AEB ,BE =BC ，∴△ABE ≌△PQB （SAS )．故②正确；如图4，当292T =时，点P 在CD 上，∴29291104222PD BE ED =--=--=，115822PQ CD PD =-=-=，∴44,33AB BQ AE PQ ==,∴AB BQ AE PQ =，∵∠A =∠Q =90°，∴△ABE ∽△QBP ，故④正确．由②知,245y t =，当y =4时，2445t=，从而5t =,故⑤错误．故选D ．【例2】【2017江西上饶一模】已知正方形的面积为2，点在边上,则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B点睛：平面几何中有关于向量的运算常用到的几何法和坐标法两种方法，几何法在应用时主要是借助于向量的平行四边形法则与三角形法则实现向量的转化进而结合平面几何图形的性质求解，坐标法的应用首先要建立合适的坐标系，确定相关点的坐标,进而将所求的向量转化为数量问题求解，如本题中的向量的数量积转化为二次函数求最小值问题． 【跟踪练习】1．加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下,可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟D ．4.25分钟O 5430.80.70.5t p【答案】B2．【2018江苏省南通模拟】已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点()12，． （1)求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值．【答案】(1）()2f x x =；（2）1m -【解析】试题分析：（1)利用待定系数法依题意可设()()20f x ax bx a =+≠，根据该函数为偶函数可得0b =，根据导函数()'f x 的图象过点()12，，可得()2f x x =；（2）由（1）可得:()2222{ 22mx x m x g x mx x m x -+<=+-≥，，，，根据二次函数的性质分为12m <-，112m -≤≤和12m >三种情形判断其单调性得其最值． 试题解析:（1）因为二次函数()f x 经过原点，可设()()20f x ax bx a =+≠，又因为()f x 为偶函数，所以对任意实数x R ∈,都有()()f x f x -=,即()()22a x b x ax bx -+-=+，所以20bx =对任意实数x R ∈都成立,故0b =．所以()2f x ax =，()'2f x ax =,又因为导函数()'f x 的图象过点()12，，所以212a ⨯=，解得1a =．所以()2f x x =．（2)据题意，()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()222222mx x m x g x m x x m x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，，，，①若12m <-，即2m <-,当2m x <时，()()22211g x xx m x m =-+=-+-，故()g x 在2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减；当2m x ≥时，()()22211g x xx m x m =+-=+--，故()g x 在12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在()1-+∞，上单调递增,故()g x 的最小值为()11g m -=--． ②若112m -≤≤，即22m -≤≤，当2m x <时,()()211g x x m =-+-，故()g x 在2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减；当2m x ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故()g x 的最小值为224m mg ⎛⎫=⎪⎝⎭．③若12m >,即2m >，当2m x <时，()()22211g x xx m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递减，在12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增;当2mx ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故()g x 的最小值为()11g m =-．综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为24m ；当2m >时,()g x 的最小值为1m -．考向2二次函数图象与性质（奇偶性、单调性、对称性等）【例3】【2018山西45校第一次联考】函数xy a = (0a >且1a ≠）与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除． 【例4】【2017河北武邑中学二模】已知函数f(x)=12mcos2x +(m −2)sinx ，其中．若函数f(x)的最大值记为g(m)，则g(m)的最小值为（)A ．−14B ．1C ．3−√3D ．√3−1【答案】D【解析】f(x)=−msin 2x +(m −2)sinx +12m ，设,即f(u)=−mu 2+(m −2)u +m 2=−m(u −m−22m)2+(m−2)24m+m 2，−m <0对称轴，所以函数的最大值是g(m)=(m−2)24m+m 2=34m +1m −1，(m >0)，g ′(m)=34−1m2=0，解得m =23√3，当m ∈[1,23√3]时g ′(m)<0,当时，g ′(m)>0，所以当m =23√3时函数取得最小值,所以最小值是g(23√3)=√3−1，故选D ． 【例5】【2018江苏如皋联考】已知函数()21f x x x =++，[]1,3x ∈-，则函数()f x 的最大值是__________． 【答案】13【解析】由二次函数的对称轴方程为12x =-且图象开口向上知，当3x =时函数有最大值()3=13f ,故填13．【例6】【2017天津十二重点中学联考】若函数()()()222f x xx x ax b=+-++是偶函数，则()f x的最小值为()A．94B．114C．94-D．114-【答案】C【解析】由已知()()()()4321222f x x a x a b x b a x b=++++-+--，()f x为偶函数，则10{20ab a+=-=，解得1{2ab=-=-，即()2422595424f x x x x⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭，252x=时,()min94f x=-，故选C．【跟踪练习】1．【2017山东日照二模】函数()()()2f x x ax b=-+为偶函数，且在()0,+∞单调递增，则()20f x->的解集为（）A．{|22}x x-<<B．{2,2}x x x<-或C．{|04}x x<<D．{4,0}x x x<或【答案】D2．已知)(x f是定义在R上的奇函数，当0≥x时，xxxf3)(2-=，则函数3)()(+-=xxfxg的零点的集合为（）A．{1,3}B．{3,1,1,3}--C．{27,1,3}D．{27,1,3}-【答案】D【解析】因为)(x f是定义在R上的奇函数，当0≥x时，xxxf3)(2-=，∴⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=,3,3)(22xxxxxxxf，∴⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥+-=,34,34)(22xxxxxxxf,由⎩⎨⎧=+-≥342xxx解得1=x或3；由⎩⎨⎧=+--<342xxx解得72--=x，∴函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为{27,1,3}--，故选D ．3．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <,则实数m的取值范围为． 【答案】2(,0)2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<． 4．【2016高考浙江卷】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b 〈0"是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A当0<b 时,(())f f x 的最小值为24-b ，∴“0<b ”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0=b 时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，∴“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0<b ”．故选A ．5．【2016高考山东卷】已知函数2||,()24,x x mf x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________________．【答案】()3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()=有三个不同的根，需要红色部分图象在深蓝色f x b图象的下方，即22m>>-⋅+->,解得324,30m m m m m m m考向3 与二次函数有关的零点及方程个数问题【例7】【2017安徽合肥一模】已知函数，．方程有六个不同的实数解,则3a+b的取值范围是（) A．B．C．(6,11)D．(3,11)【答案】D【例8】【2017重庆巴蜀中学模拟】若函数恰有两个零点,则实数a 的取值范围为__________． 【答案】【例9】【2016高考天津文数】已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________．【解析】由函数()f x在R上单调递减得43201 31aaa-⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a≤≤，又方程|()|23xf x=-恰有两个不相等的实数解，∴12132,1637a aa<-≤⇒>≥，因此a的取值范围是12[,)33【跟踪练习】1．【2017南京、盐城二模】若函数f（x）＝x2－m cos x＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为_______．【答案】{2｝2．【2015高考天津卷】已知函数()()22,2,2,2,x xf xx x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩函数()()2g x b f x=--，其中b R∈,若函数()()y f x g x=-恰有4个零点,则b的取值范围是（) (A)7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭（B）7,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭（C）70,4⎛⎫⎪⎝⎭（D)7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x xf xx x-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x xf xx x--≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，∴222,0()(2)42,0222(2),2x x xy f x f x x x xx x x⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,∴()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． 3．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______ 【答案】(1,2) 【解析】4．已知函数23fxx x，x R ．若方程10f xa x 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()()0,19,+∞．【解析】方法一：在同一坐标系中画23f xx x和1gxa x 的图象（如图)，问题转化为fx与gx图象恰有四个交点．当1ya x 与23yx x （或1ya x 与23y x x ）相切时，f x 与gx图象恰有三个yxo交点．把1y a x 代入23yx x ，得231x x a x ，即230xa x a ，由0，得2340aa,解得1a 或9a ．又当0a 时，f x 与g x仅两个交点,01a ∴<<或9a >．xy13O考向4 二次函数零点（一元二次方程根）的分布问题【例10】【2017河北衡水中学模拟】已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是() A ．()12,20 B ．()12,18 C ．()18,20 D ．()8,18 【答案】A,而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20,过B点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20,选A ．点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，【例11】【2018浙江“七彩阳光”联盟上学期期初联考】设关于x 的方程220x ax --=和210x x a ---=得实根分别为12,x x 和34,x x ,若1324xx x x <<<，则a 的取值范围是__________．【答案】11a -<<． 【解析】由220xax --=得2a x x=-，由210x x a ---=得21a x x =--．在同一个坐标系中画出2y x x=-和21y x x =--的图象．由221x x x x-=--，化简得32220x x x --+=,此方程显然有根2x =，所以()()()32221120x x x x x x --+=+--=，解得1x =-或1x =或2x =，当2x =,或1x =-时，1y =；当1x =时，1y =-，由题意可知，11a -<<．目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得． 【跟踪练习】1．若一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，则k 的取值范围为________．【答案】（－∞，－错误!］∪（3，＋∞)【解析】依题意可知错误!解得k ≤－错误!或k 〉3．2．一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根，则k 的取值范围为________． 【答案】（0，3）【解析】依题意有错误!〈0⇒0〈k 〈3．3．已知方程x 2－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，则m 的取值范围为________．【答案】12〈m≤129 4解得12〈m≤错误!．4．已知方程x2＋2mx＋2m2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m的取值范围为________．【答案】－1－错误!<m〈－1＋错误!【解析】由题意得,应满足f（2）<0，即2m2＋4m＋1〈0，解得：－1－错误!〈m〈－1＋错误!．5．若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k的取值范围为________．【答案】－4＋2错误!≤k〈－错误!【解析】由题意得，应满足错误!解得：－4＋2错误!≤k〈－错误!．6．若方程x2＋(k－2）x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k的取值范围为________．【答案】错误!<k<错误!7．【2017浙江名校协作体】已知()()2,,0f x ax bx c a b R a =++∈≠．（1）当1,2a b ==时，若恰好存在两个实数()1212,x x x x ≠使得()()21,2if x i ==,求实数c 的取值范围;(2）若0a >,函数()f x 在[]5,2--上不单调，且它的图象与x 轴相切，记()()22f b a λ=-，求实数λ的取值范围．【答案】（1）13c -<<;（2)[)6,8 【解析】试题分析：(1）2|2|2x x c ++=有两个解，由图象可知222x x c ++=有两个不等的根且222xx c ++=-无根，所以总判别式120{∆>∆<，解不等式可解．（2）由题意可得0∆=，224b c a =,对称轴在5,2--（）内，解得2410{ 04ba bc a<<=>,由()()22f b a λ=-，得22242424244222b b b a b a b c a a a b b a b a aλ++++++===---,令2b t a-=可求得范围．试题解析:可得方程222x x c ++=有两个不等的根且222x x c ++=-无根，所以可得()()124420{134420c c c ∆=-->∴-<<∆=-+<（2)由0a >,函数()f x 在[]5,2--上不单调，且它的图象与x 轴相切，可得2522400b a b ac a ⎧-<-<-⎪⎪⎪∆=-=⎨⎪>⎪⎪⎩即241004b a b c a ⎧<<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，由()()22f b a λ=-得22242424244222b b b a b a b c a a a b b a b a aλ++++++===---,令2,28bt t a-=∴<<,且()()[)2211422239194436,84t t t t t t t tλ++++++===++∈考向5 含参数的二次函数问题【例12】【2018江西九江模拟】若x R ∀∈,函数()()22241f x mx m x =--+与()g x mx =的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围为（）A ．（0,4]B ．（0，8)C ．（2，5）D ．【答案】B当m ＞0时,若﹣2ba =42m m-≥0，即0＜m≤4时结论显然成立；若﹣2ba =42m m-＜0，时只要△=4（4﹣m ）2﹣8m=4（m ﹣8）（m ﹣2）＜0即可，即4＜m ＜8，则0＜m ＜8．故选B ．点睛：抓住最高次项的系数m,m ＜0时,()g x 在y 轴右侧恒小于零，m ＞0时，()g x 在y 轴右侧恒大于零,从而把问题转化为二次函数值在y 轴一侧恒大于零或恒小于零的问题，充分借助二次函数的图象特征，问题将迎刃而解．【例13】【2018浙江名校协作体】2241y ax x a =++-[)0,+∞，则a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()(),12,-∞-⋃+∞C ．[]1,2-D ．[]0,2 【答案】D【解析】由值域为[)0,+∞,可知2t 241axx a =++-取遍[)0,+∞上的所有实数，当0a =时，41t x =-能取遍[)0,+∞上的所有实数,只需定义域满足1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，当0a ≠时,要保证t 能取遍[)0,+∞上的所有实数，只需()0{ 16810a aa >∆=--≥，解得02a <≤,所以02a ≤≤，选D ．【点睛】本题要注意定义域是R,与值域是为[)0,+∞的两个题型的区别，值域为[)0,+∞，可知2t 241ax x a =++-取遍[)0,+∞上的所有实数，定义域是R ，是2241ax x a ++-0≥恒成立．【例14】【2018甘肃兰州西北师范大学附属中学高三调研】已知函数()24g x x bx =-+（1)求()g x 在区间[]1,2的最小值()g b 的表达式； （2）设()13ln 144f x x x x=-+-,任意()10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围．【答案】(1）()25,2{4,24 482,4b b b g b b b b -≤=-<≤->；（2）b 的取值范围是17,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭试题解析：(1)当1,b 22b ≤≤即时，()()min g x 15g b ==-当12,2b 42b <≤<≤即时,()2min g x 424b b g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭当2,b 42b >>即时，()()min g x 282g b ==-()25,2{4,24 482,4b b b g b b b b -≤∴=-<≤->（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞,()()()2231113444x x f x xx x --'=--=- 令()0f x '>，则13x <<令()0f x '<，则01x <<或3x >,可知函数()f x 在()0,1上单调递减,在()1,2上单调递增，所以对任意的()10,2x ∈，有()()11111ln111442f x f ≥=-+--=-，由条件知存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，所以()212g x ≤-，即存在[]21,2x ∈，使得()212g x ≤-分离参数即得到92b x x ≥+在[]1,2x ∈时有解，由于92t x x=+（[]1,2x ∈）为减函数，故其最小值为174，从而174b ≥，所以实数b 的取值范围是17,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【例15】【2017湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学高一下学期阶段性联考】若不等式()()2234410a a x a x -----<的解集为R ，则实数a 的取值范围是(）A ．[]0,4B ．()0,4C ．[)0,4D ．(]0,4 【答案】D【跟踪练习】1．【2017浙江台州高三4月调研】已知,若对任意的，不等式x 2cosθ+(x +1)2sinθ+x 2+x >0恒成立，则实数θ的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，恒成立，f(x)在[−1,0]恒成立，只需满足，故选A ．【点睛】本题考查了在给定区间二次函数恒成立的问题,结合二次函数的图象，列不等式组，得到结果，一般包含判别式大于0，对称轴的位置，以及端点值的范围这几个不等式，但可以根据实际情况,删减不等式．2．【2018河南洛阳模拟】已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围为． 【答案】4k ≤或8k ≥．3．【2015高考湖北卷】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a ．当a =_________时，()g a 的值最小．【答案】222-．【解析】因为函数2()||f x xax =-，∴分以下几种情况对其进行讨论:①当a ≤时，函数22()||f x x ax x ax=-=-在区间[0,1]上单调递增,∴max()(a)1f x g a ==-；②当0222a <<-时，此时22()|()|2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044a a a +--=-<，∴max()(a)1f x g a==-；③当2221a ≤<时，22()||f x xax x ax=-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2a x =时,()f x 取得最 大值2()24a a f =;④当2a ≥时，22()||f x x ax x ax=-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时,()f x 取得最大值(1)1f a =-,则21,22(),222241,2a a ag a a a a ⎧-<⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩在(,222)-∞上递减,(222,)+∞上递增，即当222a =-时，()g a 的值最小．故应填222-．4．【2018贵州思南中学模拟】已知函数()2f x x kx =-+． （1）若2k =,求函数()f x 在[]0,3上的最小值；(2）若函数()f x 在[]0,3上是单调函数，求k 的取值范围． 【答案】（1）3-;（2）()[),06,-∞⋃+∞． 【解析】试题分析：(1）()()[]222,211,0,3k f x xx x x ==-+=--+∈，对称轴为1x =，所以当3x =时，()f x 取得最小值3-;(2)函数()f x 在[]0,3上是单调函数,等价于对称轴在区间()0,3两侧,即02k ≤或32k ≥,解得0k ≤或6k ≥．试题解析： (1)()()[]222,21 1.0,3,k f x x x x x =∴=-+=--+∈∴由二次函数图象性质可知，当3x =时，()f x 取得最小值3-．（2）函数()2f x x kx =-+在区间[]0,3上是单调函数，∴函数()2f x x kx =-+的对称轴2k x =不在区间()0,3内．即02k ≤或3,02k k ≥∴≤或6k ≥,故k 的取值范围为(][),06,-∞⋃+∞．考向6 与二次函数有关的复合函数问题 【例16】函数22()log log (2)f x x x =⋅的最小值为_________．【答案】14-【例17】【2018浙江省名校协作体联考】已知函数()221f x ax x =++，若对任意(),0x R f f x ⎡⎤∈≥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是___．【答案】51a -≥【解析】当0a =时，f （x）=2x+1，f ［f(x ）］=4x+3不满足大于等于0恒成立，不符． 当0a <时，()211111f x a x a a a ⎛⎫=++-≤-⎪⎝⎭,令()11t f x a=≤-所以()()f f x f t ⎡⎤=⎣⎦一定有负值，不满足大于等于0恒成立不符． 当0a >时，()211111f x a x a a a ⎛⎫=++-≥-⎪⎝⎭，令()11t f x a=≥-所以()()f f x f t ⎡⎤=⎣⎦对称轴为111t a a=-<-，所以f(t ）在11,t a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，即()min 11110f t f a a a ⎛⎫=-=+-≥ ⎪⎝⎭即可，解得51a -≥，填51a -≥。
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第01题 集合的性质与运算 I．题源探究·黄金母题 【例1】已知集合|37,|210,AxxBxx 求()RCAB，()RCAB，()RCAB，()RACB. 【解析】甴已知利用数轴易得 210,37ABAB，，， (),210,RCAB， (),37,RCAB， ,37,,,210,RRCACB， ()2,37,10RCAB， (),23,710,RACB. 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修一第14页A组第10题
【母题评析】本题以不等式为载体，考查集合的运算问题.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.
【思路方法】借助数轴为工具，利用集合各类运算的方法直接求解，但需要注意区间方向以及区间端点值的验证，确保准确无误！
II．考场精彩·真题回放 【例2】【2017高考天津，理1】设集合1,2,6,A
2,4,15BCxxR，则()ABC
A．{2} B．{1,2,4} C．{1,2,4,6} D．{|15}xxR 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}ABC，，，，，，,选B.
【例3】【2017高考山东，理1】设函数24yx的定义域A，函数ln1yx的定义域为B,则AB A．1,2 B．1,2 C．2,1 D．2,1 【答案】D 【解析】由240x得22x，由10x得1x，
【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、并、补运算. 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系.
【难点中心】对集合运问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题. 故AB={|22}{|1}{|21}xxxxxx，选D. III．理论基础·解题原理 考点一 集合的基本概念 1．元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； （2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和； （3）集合的表示法：列举法、描述法、Venn图. 2．常见数集及其表示符号 自然数集用N表示，正整数集用*N或N＋表示，整数集用Z表示，有理数集用Q表示，实数集用R表示. 考点二 集合间的基本关系 （1）子集：对任意的xA，都有xB，则AB（或BA）； （2）真子集：若集合AB，但存在元素xB，且xA，则AB（或BA）； （3）性质：AAAABBCAC,,,； （4）集合相等：若AB，且BA，则AB. 考点三 集合的并、交、补运算： （1）并集：AABxx，或xB； （2）交集：AABxx，且xB； （3）补集：UCAxxU，且xA；U为全集，UCA表示集合A相对于全集U的补集． （4）集合的运算性质： ① ,ABABAABAAB； ② ,AAAA； ③ AAAAA,； ④ (C)UUUUACAACAUCAA,,. IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系. 4
【技能方法】 解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，先化简集合，常借助数轴求交集.求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件. 【易错指导】 （1）在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如AB
（B），则有A和A两种可能； （2）在子集个数问题上，要注意是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合是其本身的子集，在列举时千万不要忘记； （3）在用数轴法判断集合间的关系时，其端点值能否取到，一定要注意用回代检验的方法确定.如果两个集合的端点值相同，则这两个集合是否能取到端点值往往决定这两个集合之间的关系.
V．举一反三·触类旁通 考向1 集合关系的判断
【例4】【2016河北石家庄质检二，理1】设集合1,1M，2|6Nxxx，则下列结论正确的是 （ ） A. NM B. NM C.MN D. MNR 【答案】C 【解析】23xx，所以，，，故选C. 考向2 根据集合关系求参数的值或范围
【例5】【2017高考课标II，理2】设集合21,2,4,40ABxxxm。若1AB，则B
A.1,3 B.1,0 C.1,3 D.1,5 【答案】C
【点评】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性。 【例6】【2017高考江苏，1】已知集合{1,2}A，2{,3}Baa，若{1}AB则实数的值为 ▲ . 【答案】1
【考点】元素的互异性 【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,ABAB等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先
考虑是否成立，以防漏解.
考向3 集合中的子集或元素个数问题 【例7】【2017高考全国III，理1】已知集合A=22(,)1xyxy│，B=(,)xyyx│，则AB中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B 【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以0,0 为圆心， 为半径的单位圆
上所有点组成的集合，集合B表示直线yx 上所有的点组成的集合，圆221xy 与直线yx 相交于两点1,1 ，1,1 ，则AB中有两个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【例8】【2017北京朝阳区二模】已知两个集合,AB，满足BA．若对任意的xA，存在,ijaaBij，使得12ijxaa（12,1,0,1），则称B为A的一个基集．若 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A，则其基集B元素个数的最小值是 ．
【答案】4 6
【解析】若基集B元素个数不超过三个： ,,(,,ijkaaaijk互不相等），则最多可表示,,,,,,,,|ijkijkijkijkijkaaaaaaaaaaaaaaa九个元素，因此基集B元素个数的
最小值是4个，如2,3,6,7B。 【例9】【2015高考湖北文10理】已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，9定义集合
12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为 （ ） A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】C.
122,1,0,1,2xx，123,2,1,0,1,2,3yy，这种情形下和第一种情况下除12yy的值取3
或外均相同，即此时有5210，由分类计数原理知，AB中元素的个数为351045个，故应选C. 【点评】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力. 考向4 集合与不等式
【例10】【2017高考新课标，理1】已知集合1,Axx31,xBx则
A．0ABxx B．ABR C．1ABxx D．AB 【答案】A 【解析】由31x可得033x，则0x，即0,0,1,BxxABxxABxx故选A.
【例11】【江西百校联盟2017年2月联考】已知集合，，则的元素的个数为（ ）