第一篇、第一节集合的概念与运用
高一数学人教A版必修1第一章1.1集合的概念课件(共15张PPT)
４、集合的分类
（1）有限集： 含有有限个元素的集合 （2）无限集： 含有无限个元素的集合
不含任何元素的集合
叫做空集记作 。
自然数（非负整数）即用以计量事物的件数
５、常用数集及其或表记示事法物次序的数，是用数字0，1，2，3，
4，……所表示的数 有理数是整数和分数的统称或除无
由数组成的集合叫数集
限不循环小数以外的实数。
表示方法：
一般采用大写英文字母A，B，C，…表示集合 小写英文字母a，b，c,… 表示集合的元素.
２、元素与集合的关系
元素与集合
元素a是集合A 的元素，
.
记作aA，
读作a属于A.
元素a不是集合A 的元素，
记作a A，
读作a不属于A.
议一议
小组合作探究——集合元素的特征：
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
食品筐
面包 面粉 汉堡 果冻 薯片
文具筐
彩笔 水笔 橡皮 裁纸刀 尺子
讨论
以上哪些是整体？哪些是个体？ 整体
食品筐
文具筐
面包 面粉 汉堡 果冻 薯片
个体
彩笔 水笔 橡皮 裁纸刀 尺子
１、 集合与元素的定义
由某些确定的对象组成的整体叫做集合（简称集） 组成集合的对象叫做这个集合的元素．
说出由我们班的同学组成的集合是由哪些元素组成？
➢3、集合中元素的特征；
谢谢观看欢迎指导
(1)你所在班级中的全体同学；班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合
(2)班级中比较高的同学；因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合 (3)班级中身高超过178 cm的同学；因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个
第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念
2.描述法
思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？
由于小于10的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来， 因此这个集合不能用列举法表示．
但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1） 集合中的元素都是实数． （2）集合中的元素都小于10.
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，来自作: {x R | x 10}
2. 由1,3,0,5,|-3|这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？
不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 . 3.集合{1,2,3}与集合{3,2,1}的关系是什么？ 集合元素没有变化
集合中的元素的性质： 2.互异性
集合中的元素的性质： 3.无序性
两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.
【总结提升】求解此类问题必须要做到以下两点： ①熟记常见的数集的符号； ②正确理解元素与集合之间的“属于”关系.
探究4 集合的表示方法 1.列举法
思考1：地球上的四大洋 组成的集合如何表示？
元素一一列举出来
【提示】可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}. 思考2: 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合又如何用列举法表示呢？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
情景导学
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语 解释为:许多的人或物聚在一起. 康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国 数学家，集合论创始人.人们把康托尔于 1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集
合论思想的那一天定为集合论诞生日.
探究2： 集合中元素的性质 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
“帅”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“帅”才算“帅”？
集合的概念与运算讲义
集合与常用逻辑用语第1节集合的概念与运算基础知识诊断回顾教材务实基础【知识梳理】1．集合与元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A，B，C．．．表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a，b，c．．．表示．2．集合的分类集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）；也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等．3．集合中元素的性质对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性．4．常用集合符号R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；N*：正整数集（没有0）；Q：有理数集．5．元素与集合之间的关系元素与集合之间用“∈”或“∉”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系．6．集合与集合之间的关系（1）包含关系：如果对任一x A∈，都有x B∈，则称集合A 是集合B的子集，记作A B⊆，显然A A⊆，A∅⊆；（2）相等关系：对于集合A 、B，如果A B⊆，同时A B⊇，那么称集合A等于集合B，记作A B=；（3）真包含关系：对于集合A、B如果A B⊆，并且A B≠，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B⊂；（4）集是任何非空集合的真子集．7．集合之间的运算性质（1）交集：A B B A=，A B A⊆，A B B⊆，A A A=，A∅=∅，A B A B⊆⇔A=．（2）并集：A B B A=，A B A⊇，A B B⊇，A A A=，A A∅=，A B A B⊆⇔B=．（3）补集的运算的性质：()S SC C A A=，SC S∅=，SC S=∅，()SA C A=∅，()SA C A S=．8．用平面上一条封闭的曲线，（通常情况下是矩形）的内部代表集合，这个图形就叫做（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 元素与集合间的关系【例1】（2020•路北期中）下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）①1-∉N *Z ；③32∈Q ；④π∈Q ．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例2】（2020•新课标Ⅲ）已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则AB 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3】（2020•新课标Ⅲ理）已知集合{()|A x y x =，，*y N ∈，}y x ≥，{()|8}B x y x y =+=，，则AB中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解题总结】1．一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N 与N*的区别．2．当集合用描述法时，一定要注意描述的是点还是数，是x 还是y ．【跟踪训练】1．（2020•黄山期末）下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ） A ．0N ∈B ．0Z ∈C ．32Q ∈D ．Q π∈2．（2020•黄陵月考）集合2{|1}A y y x ==+，集合2{()1}(B x y y x A ==+，∣，B 中x R ∈， )y R ∈选项中元素与集合的关系都正确的是（ ） A ．2A ∈，且2B ∈ B ．(12)A ∈，，且(12)B ∈，C ．2A ∈，且(310)B ∈，D ．(310)A ∈，，且2B ∈考点二 集合与集合间的关系【例1】（2021•齐齐哈尔一模）已知集合{41A x x n ==-∣，}n N ∈，{3B =，8，11，14}，则AB 的真子集个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例2】（2019•沂水县期中）关于以下集合关系表示不正确的是（ ） A ．{}∅∈∅ B ．{}∅⊆∅ C ．*N ∅∈ D ．*N ∅⊆【例3】（2020•新课标Ⅲ）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4B =-，1，3，5}，则A B =（ ）A ．{4-，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}【例4】(2020•新课标Ⅲ)设集合2{|40}A x x =-≤，{|20}B x x a =+≤，且{|21}AB x x =-≤≤，则a =（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【例5】（2020•新课标Ⅲ）已知集合{|3A x x =<，}x Z ∈，{|1B x x =>，}x Z ∈，则AB =（ ）A ．∅B ．{3-，2-，2，3}C ．{2-，0，2}D ．{2-，2}【例6】（2020•山东）设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则AB =（ ）A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<【例7】（2020•江苏）已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则AB = ．【解题总结】1．如果一个集合中带有变量n ，我们不妨用列举法一一列出来，虽然是无限的集，但可以发现其中的规律．2．如果一个集合中有m 个元素，则其真子集个数为21m -个．3．空集是最特殊的集合，在有关空集的解题一定注意它是元素还是集合．【跟踪训练】 1.设集合{|180452kM x x ︒︒==⋅+，}k Z ∈，{|180454kN x x ︒︒==⋅+，}k Z ∈，则（ ）A ．M N =B ．M NC ．NMD ．MN =∅2.(2020•新课标Ⅱ)集合{210123}U =--，，，，，，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()UA B =（ ） A ．{2-，3} B ．{2-，2，3}C ．{2-，1-，0，3}D ．{2-，1-，0，2，3}3.(2020•天津)设全集{3210123}U =---，，，，，，，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2，3}，则()U A B =（ ）A ．{3-，3}B ．{0，2}C ．{1-，1}D ．{3-，2-，1-，1，3} 4.(2020•上海)已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则AB = ．考点3 集合的基本运算【例1】（2018•全国卷Ⅲ）已知集合{0A =，2}，{2B =-，1-，0，1，2}则AB =（ ）A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2-,1-,0,1,2}【例2】(2020•福州期末)下列集合与集合{2A =，3}，相等的是（ ）A ．{(23)}，B ．{()|2x y x =，,3}y =C ．2{|560}x x x -+= D ．2{|90}x N x ∈-≤【解题总结】1．有些情况列举法也会考察交并补，注意别看错题就可以．2．要注意集合中元素到底是数集还是点集． 3．要特别注意N 表示的是自然数集，最小为0．【跟踪训练】1．（2021•东莞模拟）集合{|52M x x k ==-，}k Z ∈，{|53P x x n ==+，}n Z ∈{103S x x m ==+|，}m Z ∈之间的关系是（ ） A ．S PM B ．S P M =C ．SP M = D ．P MS =考点4 韦恩图【例1】（2020•肥城期中）已知全集U R =，则正确表示集合{2M =-，0，2}和2{|20}N x x x =-=关系的韦恩(Venn)图是（ ） A ．B ．C ．D ．【例2】（2020•汕尾期末）已知全集U R =，集合2{|260}M x x x =+-<与集合{|21}N x x k k Z ==-∈，的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解题总结】1．韦恩图有有效的减少计算量，适当的用韦恩图来 解决问题可以事半功倍．2．韦恩图可以解决问题更直观、更快捷．【跟踪训练】1．（2020•和平期末）已知集合{|13}A x x =-≤≤，3{|0}1x B x x -=≤+，则用韦思图表示它们之间的关系正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．。
第1讲集合的概念和运算
第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。
高考数学复习 第一章 第一节 集合的概念及运算课件 文
m＋1<2m－1， 综上，m 的取值范围为(－∞，4]． [点评] 在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑 A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合 思想的应用．
集合的运算
集合的基本运算包括集合间的交、并、补集的运算，解决此类 问题应注意以下几点：一是看元素的组成，这是解决问题的前 提；二是把集合化简，先化简再研究其关系并进行运算；三是 注意数形结合思想的应用，在进行集合运算时要尽可能地借助 Venn图或数轴使抽象问题直观化．
集合的概念 1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注 意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利 找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，检验集合的元素 是否满足互异性以确保答案正确． 2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性 质．如集合{x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意 义不同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成 的集合，集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0 有实数解时参数a的范围构成的集合．
【例 1】 已知集合 A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，
则 a＝________． 解析 ∵－3∈A，∴－3＝a－2 或－3＝2a2＋5a. ∴a＝－1 或 a＝－23. (1)当 a＝－1 时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．
(2)当 a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3. ∴a＝－23满足条件．
4．常用数集及表示符号
名 非负整 正整
有理
整数集
实数集
高中数学高考第1讲 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
20
(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为______．
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第一章 集合与常用逻辑用语
24
2．已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合 A 的真子集的个数为
()
A．7
B．8
C．15
D．16
解析：选 A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，
{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共 7 个．
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第一章 集合与常用逻辑用语
8
2．设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选 C．A 中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共 5 个，所以 A∩Z 中的元
素个数为 5.
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
11
2．已知集合 A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则 A∩B＝________，A∪B＝ ________，(∁RA)∪B＝________. 解析：由已知得 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}， 所以 A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1 或 x>2}． 答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
集合知识点总结第一章
集合知识点总结第一章一、集合的概念集合是指具有某种共同特征的事物的整体。
通常用大写字母A、B、C...表示，元素一般用小写字母a、b、c...表示。
集合可以是有限的，也可以是无限的。
例如：自然数集合N={1,2,3,4,5,...}，整数集合Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}。
二、集合的表示方式1. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来。
如：A={1,2,3,4}。
2. 描述法：用适当的条件句描述集合的成员的性质和特征。
如：A={x|x为正整数，且x<5}。
三、集合间关系1. 包含关系：如果一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
2. 相等关系：如果两个集合A和B中的元素完全相同，那么称A和B是相等的，记作A=B。
四、常见集合1. 自然数集合N={1,2,3,4,5,...}2. 整数集合Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}3. 有理数集合Q4. 实数集合R五、常见操作1. 并集：将两个集合中的所有元素放在一起，去除重复的元素所组成的集合。
记作A∪B。
2. 交集：将两个集合中共同的元素组成的集合。
记作A∩B。
3. 差集：从集合A中去除集合B中的元素所得的集合。
记作A-B。
六、集合的运算律1. 交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)七、集合的基本定理1. 包含关系的基本定理：对任意集合A，都有A⊆A。
2. 交集的基本定理：对任意两个集合A和B，都有A∩B⊆A和A∩B⊆B。
3. 并集的基本定理：对任意两个集合A和B，都有A⊆A∪B和B⊆A∪B。
八、集合的应用集合论在数学中有广泛的应用，如概率统计、逻辑推理、数学分析等领域。
同时在日常生活中，集合论也有着重要的作用，比如在数据库管理、编程算法设计、决策分析等方面都有着集合论的影子。
1.1集合的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
不是，不能；集合的元素具有确定性.
思考2：集合A：0,1,2组成的集合和集合B： 0,2,1组成的集合一样吗？
一样，集合的元素具有无序性.
集合中元素的性质：
确定性，互异性，无序性
思考3：1,2,1,3,4组成的集合中有几个元素？
4个，集合的元素具有互异性.集合相等：且有些集合不能 Nhomakorabea列举法表
示
描述法
把集合中元素所具有的性
质描述出来，具有抽象性、
概括性、普遍性的特点
不易看出集合的具体元素
自然语言
练习巩固
1．下列关系中正确的个数为（ ）
①2 ∈ R； ② 2 ∉ Q； ③| − 3| ∈ N ； ④| − 3| ∈ Q
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
对于①，2 ∈ R显然正确；
式表示集合呢？
新知探究
• 地球上的四大洋组成的集合可以表示为： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋};
• 方程 2 − 3 + 2 = 0的所有根组成的集合可以表示为：{1,2}.
列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”
括起来表示集合的方法.
注：元素与元素之间用“，”隔开.
练一练
代表元素
共同特征
练一练
2.试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x 2 − 2 = 0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合.
解：(1)设x ∈ A,则x是一个实数，且x 2 − 2 = 0.因此，用描述法
表示为
A = {x ∈ R|x 2 − 2 = 0}.
思考：你能用列举法表示x − 7 < 3的解集吗？
新教材高中数学第一章预备知识1集合1-1集合的概念与表示第1课时集合的概念课件北师大版必修第一册
2.(多选题)下列关系正确的是( BD )
A.0∈N+
B.(√2 − √7)∉Q
C.0∉Q
D.8∈Z
3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边
形一定不是(
)
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
答案 C
解析 因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选
可能只含有一个元素.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系;
(2)集合中元素的三个特性及应用;
(3)常用数集的表示.
2.方归纳:分类讨论.
3.常见误区:忽视集合中元素的互异性.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2022湖北襄阳月考)判断下列各组对象可以组成集合的是(
)
(1)1
N+;
(2)-3
N;
1
(3)3
Q;
(4)√3
1
(5)-2
(6)π
Q;
R;
R+.
答案 (1)∈ (2)∉
(3)∈ (4)∉ (5)∈
(6)∈
重难探究•能力素养全提升
探究点一 集合的概念
【例1】 给出下列各组对象:
①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的
全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ √的
第一章
第1课时 集合的概念
课标要求
1.通过实例,了解集合的含义.
2.掌握集合中元素的三个特征.
3.理解元素与集合的“属于”关系.
4.记住常用数集及其记法.
内
容
人教A版高中数学必修1第一章1.1集合的概念与运算课件
人教A版高中数学必修1第一章1.1集合 的概念 与运算 课件
5.集合分类:
按集合中元素个数的多少可分为:有限集和无限集. 含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 若按集合中元素属性来分:数集,点集 高中数学主要研究数集和点集.
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列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用 花括号{ }括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意:对含有较多元素的集合，如果构成该集 合的元素具有明显的规律，可用列举法表 示，但是必须把元素间的规律显示清楚后， 才能用省略号表示.
x2 x
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P4 思考？
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描述法：用集合所含元素的共同特征
表示集合的方法称为描述法.
可分为：
（1）文字描述法——用文字把元素所具有的属性 描述出来，如﹛自然数﹜
（2）符号描述法——用符号把元素所具有 的属性 描述出来，即{x| P（x）} 或{x∈A| P（x）}，{(x,y)|f(x,y)=0}等。
其中能构成集合的有: (1) 不能构成集合的有: (2)(3)(4)
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在我们要了解集合的特征前,先看看这 些具有代表性的问题。 （1）A={1，3}，问3，5哪个是A的元素？ （2）A={素质好的人}能否表示成集合？ （3）A={2，2，4 }表示是否正确？ （4）A={太平洋，大西洋}，
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1 第一篇 集合与逻辑用语 第一节 集合的概念与运算 考纲要求 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算. 知识梳理 1．集合的概念与表示 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． (4)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集． (5)常用数集及表示：自然数集N；正整数集N＋(或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. 问题探究1：集合{Ø}是空集吗？它与{0}，Ø有什么区别？
2．集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)． 若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则AB(或BA)． Ø⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 问题探究2：若A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空
真子集有____个．
(2)集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； 补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集． (2)集合的运算性质 并集的性质A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质 2
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø；∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 自主检测 1．(2011年全国大纲卷)设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝( ) A．{1,2} B．{2,3} C．{2,4} D．{1,4} 2．(2011年江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN) 5．(2011年北京高考)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 6．(2011年上海高考)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________. 方法归纳
(1)在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答． (2)对于两集合A，B，当A⊆B时，别忘记A＝Ø的情况．
点1 集合的基本概念 1.掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确． 2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合． 例1 (1)下列各组中各个集合的意义是否相同，为什么？ ①{1,5}，{(1,5)}，{5,1}，{(5,1)}； ②{x|x2－ax－1＝0}与{a|方程x2－ax－1＝0有实根}． (2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.
变式训练1 (1)下面各个集合的意义是否相同，为什么？{x|x＝0}，{0}，{(x，y)|x＝0，y∈R}
(2)(2011年东北三校)有三个实数的集合，既可以表示为{a，ba，1}，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则a2011＋b2011＝________. 知识点2 集合的基本关系 1.判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想(借助数轴，韦恩图及函数图象等)解决． 2．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集．若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1. 例2 (1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集 3
合． (2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可能取值组成的集合． 变式训练2
(1)(2011年浙江高考)若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则( ) A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP (2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
①若a＝15，试判定集合A与B的关系； ②若B⊆A，求实数a组成的集合C.
知识点3 集合的基本运算 在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁． 例3 (1)(2011年湖南高考)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN＝{2,4}，则N＝( ) A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4} (2)(2011年山东高考)设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( ) A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]
变式训练3 (2011年天津高考)已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________． 解析：由已知得：A＝{x|－1
知识点4 与集合有关的新概念问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题．在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键． 例4 (2011年福建高考)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b于属同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练4 (2011年杭州五校质检)设全集U＝{x∈N*|x<10}，对集合A，B，定义运算“⊗”，A⊗B＝∁U(A∪B)，若集合M＝{1,2,3,4,5}，N＝{1,2,3,5,7,9}，则M ⊗ N＝( ) A．{4,6,7,8,9} B．{1,2,3,5} C．{0,6,8} D．{6,8} 集合易错点 （忽略隐含条件的挖掘） 4
(2010年天津高考改编)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1a的取值范围为________． 【错解】 由|x－a|<1得－1
即a－11a＋1<5，∴2【错因分析】 本题的错误在于漏掉了端点值，事实上a＝2时，A＝{x|1A⊆B，同理a＝4时也适合．
【正确解答】 由|x－a|<1得－11a＋1<5，∴2又当a＝2时，A＝{x|1误区警示 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意，如本节易错盘点例题．在集合的概念与运算中还要注意： (1)要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系． (2)在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．如本节例1中的(2)． (3)遗忘空集的存在性也是常见的致误原因，在A⊆B，A∪B＝B，A∩B＝A，A∩B＝Ø中容易忽视集合A＝Ø这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．如本节例2. 纠错练习 已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
1.若集合{|(4)(1)0}Mxxx=++=，{|(4)(1)0}Nxxx=--=，则MN=（ ）
A． B．1,4 C．0 D．1,4 2.设集合2{|}Mxxx，{|lg0}Nxx，则MN（ ） A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(,1] 3.已知集合3,2,1A，5,4,2B，则集合BA的真子集的个数为_______.
知识点1集合习题集锦 一、选择题 1.（11福建卷文科Ｔ1）若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于( ) (A).｛0，1｝ (B).｛-1，0，1｝(C).｛0，1，2｝ (D).｛-1，0，1，2｝ 2.（11福建卷文科Ｔ12）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2 011∈[1] ②-3∈[3]； ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中，正确结论的个数是（ ）