第一章集合与函数的性质复习提要
2019-2020学年高一数学《第一章 集合与函数概念》复习与小结.doc
2019-2020学年高一数学《第一章集合与函数概念》复习与小结一、内容与解析(一）内容：复习与小结（二）解析：本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.二、教学目标及解析通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.教学重点：①集合与函数的基本知识.②含有字母问题的研究.③抽象函数的理解.教学难点：①分类讨论的标准划分.②抽象函数的理解.三、教学过程问题1.①第一节是集合，分为几部分？②第二节是函数，分为几部分？③第三节是函数的基本性质，分为几部分？④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1应用示例[例1] 1.已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．(0,1)，(1,2)B ．{(0,1)，(1,2)}C ．{y |y ＝1或y ＝2}D ．{y |y ≥1}2.定义集合A 与B 的运算A*B={x|x∈A 或x∈B,且x ∉A∩B},则(A*B)*A 等于( )A.A∩BB.A∪BC.AD.B[例2] 已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．[例3] 1.设集合A ＝{a |a ＝3n ＋2，n ∈Z}，集合B ＝{b |b ＝3k －1，k ∈Z}，试判断集合A 、B 的关系．2.集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.[例4] 已知函数的定义域为R ，且对任意m 、n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，当x >－12时，f (x )>0，试判断函数f (x )的单调性．【例5】求函数()f x =[例6] 已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )(x ∈R ，y ∈R)，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数．[例7] 如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，求f (2)的取值范围．[例8] 设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1]上的最小值是g (t )，求g (t )的解析式．【例9】求函数y=x+x4的奇偶性与单调性. 求函数()(0)k f x x k x=+>的奇偶性与单调性 求函数()(0)k f x x k x=->的奇偶性与单调性课堂小结常见的解题策略与方法：1．对于集合问题，首先要确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形)，然后确定处理这类问题的方法．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论；掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性，这是正确解决集合问题的关键；重视图形(数轴、坐标系、Venn 图)在解决问题中的作用．2．进行集合运算时，要根据题意，善于运用其他数学知识解题，通常分层次考虑，使复杂的问题转化为若干简单的问题，分别解决后再反映到原问题上．解决综合性问题时，分类与整合思想、方程思想的运用是非常重要的，注意等价条件的不同形式，如A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .通过等价转化，达到沟通已知与未知的目的，从而解决问题．3．函数相等，当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数，即①定义域相同；②值域相同；③化简后的解析式相同．函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，在这个映射中，原象的集合称为定义域，象的集合称为值域．4．对于复合函数，要注意区分内层函数和外层函数；对于分段函数，要注意依照自变量的取值范围选取相应的对应法则，求函数的解析式，就要清楚对接受法则的对象实施什么运算或建立怎样的式子．另外，在进行变量代换的过程中，要注意变量取值范围的变化．5．研究函数的单调性，必须在定义域内进行，函数的单调区间可以是它的定义域，也可以是定义域的真子集、子区间，因此，讨论函数的单调性，必须明确函数的定义域，同时也要注意有的函数不具有单调性．复合函数的单调性：当内外层函数同增(减)时，该函数为增函数，当内外层函数增减性相反时，该函数为减函数．6．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，如要判断f (x )的奇偶性，只要判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在其定义域内是否恒成立．由取特殊值构造反例，推知f (x )的奇偶性，同时也要记住一些常用初等函数的奇偶性．7. 记住以下函数的性质，有利于解题：①两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；②两个偶函数的和、差、积、商是偶函数；③一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；④奇函数图象关于原点对称，并且在两个有单调性的对称区间上有相同的单调性； ⑤偶函数图象关于y 轴对称，并且在两个有单调性的对称区间上单调性相反．作业复习参考题任选两题.。
高中数学第一章集合与函数概念阶段复习课第2课函数及其基本性质课件新人教A版必修1
即－f(x)＝ －x＋1，∴f(x)＝－ －x－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝10＋ ，x＝x，0，x>0， － －x－1，x<0.
函数的性质及应用 已知函数 f(x)＝a1x＋＋xb2是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f 12＝25. (1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义证明 f(x)在(－1,1)上是增函数． 思路探究：(1)用 f(0)＝0 及 f 12＝52求 a，b 的值； (2)用单调性的定义求解．
阶段复习要素 定义域、对应关系系、值值域域． 2．函数的表示方法 解析法、列表法、图象法．
3．函数的单调性
①奇函数在对称区间上的单调性相同 ；偶函数在对称区间上的单调性相反 ． ②在公共区域上：增函数＋增函数＝增函函数数，减函数＋减函数＝减函数，增 函数－减函数＝增函数 ，减函数－增函数＝减函数 ．
母题探究：1.在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解] 由 f(t－1)＋f(t)<0 得
f(ft(－t－11)<)<－－f(ft()t＝)＝f(f－(－t)t．)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－－11<<tt－－11<<－－tt<<11，，∴∴00<<tt<<1212，，∴∴不不等等式式的的解解集集为为
[解]
f0＝0，
(1)由题意，得 f
21＝25，
∴ab＝＝10，，
故 f(x)＝1＋x x2.
高一函数复习提纲
高一函数复习提纲概要:第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说...第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ …} 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
高一数学必修一第一章复习提纲
第一章《集合与函数概念》复习提纲一、概念（一）集合的相关概念：元素，集合，子集，真子集、交集、并集、全集、补集。
（二）函数的相关概念：函数，定义域、对应法则、值域，区间，分段函数。
1、函数：2、定义域：3、值域；4、对应法则5、如何判断一个对应关系是否是函数：非空数集；A中任意、B中唯一。
6、区间：开区间的表示、闭区间的表示、集合与区间之间的互换。
7、分段函数：1）分段函数的解析式2）会根据解析式作图（图象应在同一坐标系）、会由图象写相应的解析式。
点金24页3、5题，25页9题。
3）定义域：4）值域：（三）映射的相关概念。
1、映射：2、映射与函数的区别和联系（结合定义）：3、如何判断一个对应关系是否是映射：非空集合；A中任意、B中唯一。
二、性质（一）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
1、确定性、2、无序性、3、互异性：<重点：一个集合间元素的互异性、两个集合相等时元素间的互异性>。
（例题以及点金训练4页8题，5页11、13题）（二）函数的基本性质：单调性、最值、奇偶性。
1、单调性（局部性质---定义域的区间内）：要理解定义中的几个关键词：区间、任意、都有。
1）单调递增：2）单调递减：3）单调性与单调区间、单调函数：4）常值函数不具有严格的单调性（根据定义判定）2、最值：1）最大值：2）最小值：3、奇偶性（整体性质---整个定义域内）：（定义域内的任意x，奇偶性都要满足定义域要关于原点对称，然后再用定义判断。
）1）奇函数（图象关于原点对称）：2）偶函数（图象关于Y轴对称）：3）既奇且偶函数与非奇非偶函数：4、勾函数（点金训练P28，重点记住结论：其单调性、单调区间和区间最值）：1）勾函数的单调性：2）勾函数的区间最值：三、表示法（一）集合的表示法：列举法、描述法、数轴与韦恩图（注意不要把列举和描述混合了，严格按照各自的书写要求来写，注意点集与数集的区别）。
1、列举法：2、描述法：3、数轴与韦恩图：注：当出现不等式形式表示集合的时候一般在数轴上表示，利用图形直观准确地解决集合间的基本关系问题。
高中数学：第1章《集合与函数概念》知识点归纳
第一章《集合与函数概念》主要知识点归纳 一、集合对于以下几个问题，你弄清楚了吗1、集合中的元素有什么特征（确定性、互异性、无序性）2、符号“∈”与“⊆”有什么区别分别怎么用4、集合的表示方法主要有哪几类你能用描述法正确表示集合了吗5、集合之间的关系主要有几种他们分别怎么表示各个关系怎么理解`6、下面几个集合中的重要性质，你知道了吗（1）.,,B A B A A B A B A A ⋃⊆⋂⊆⋂⋃⊆.（2）B B A B A =⋃⇔⊆;A B A B A =⋂⇔⊆.7、空集特殊性你知道了吗（空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.）8、如何用图像法（韦恩图、数轴法）正确表示集合之间的包含关系9、一个有限集有多少个子集有多少个真子集10、对于集合,,A B A B C A 的含义，你能正确理解吗(交集：{}|,A B x x A x B ⋂=∈∈且；并集：{}|,A B x x A x B ⋃=∈∈或；~ 补集：若{},|,U B U C B x x U x B ⊆=∈∉则且；)11、对有关含参数问题，你能正确运用分类讨论解题了吗你能正确进行分类吗书写格式清楚吗@*!（二）主要方法：}1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．5．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用，正确运用数形结合解题。
6．含参数的问题，要有讨论的意识，集合子集分类讨论时要防止在空集上出问题；7．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．8．在集合运算过程中应力求做到“三化”：（1）》（2）意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集（3）具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．（3）直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．】…二、函数的概念对于以下几个问题，你弄清楚了吗1、如何从集合与对应的角度来定义函数的概念函数的三要素分别是什么如何判断两个函数相同2、求函数的定义域是指什么3、求函数的值域是指什么主要有哪些常用的求法（观察法、分离常数法、配方法（二次型函数）、反表示法、换元法、图像法、单调性法）4、什么叫做映射映射与函数有什么关系你会判断一个对应具有映射关系}5、你会求两个集合之间可以建立多少个映射吗（如课本第10页 习题A 组第10题）6、函数表示法具体有哪些7、什么叫分段函数它的表达式有什么特征如何求它的定义域和值域如何求它的单调区间如何判断它的奇偶性（图像法）8、哪些集合可以用区间表示（一些连续自然数的集合）9、增（减）函数的图像有什么特征他们的定义如何如何利用单调性的可逆性解题10、什么叫函数的单调区间常用方法有哪些11、函数单调性的等价含义设[]b a x x ,,21∈，()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； … ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。
第一章集合与函数概念复习
思考交流
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图 中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
2
y
A
2
2
B
y
2
0
x
y 2
0
0
2
x
C
2
D
2
x
0
x
思考交流
x+2, (x≤－1) 2x, ( x≥2 )
x2, (－1＜x＜2) 1. 已知函数f (x)=
若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 A. 1 B. 1或 2 3 C. 1, 3 , D. 3
函数单调性的判断方法1.定义法.2.图象法
3.直接法:利用已知结论
(1)y=cf(x)(c 0 ), c 0时 , 单调性与 f ( x ) 相同 ,
c 0时 , 则相反
y (2)f(x)恒正或恒负时, 性相反 1 f ( x) 与
y=f(x)单调
(3)在公共区域内,增+增=增,增-减=增,减+减= 减,减-增=减 (4) f ( x ) 0时 , f ( x ) 与y=f(x)单调性相同
2
例1: (1)已知f(x+1)=x2+2x+4,求f(x). (2)已知y=f(x)是一次函数,且有f[f(x)]=9x+8, 求f(x). 例2:设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数 的定义域. (1) y=f(3x);(2) y=f(x+1/3)+ f(x－1/3)
例1： （1）：求值域 y 2x x 1
分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是2x+1，故
高一数学必修1第一章_集合与函数概念知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3．元素与集合的关系——（不）属于关系（1）集合用大写的拉丁字母A、B、C…表示元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a A;4.集合的表示方法：列举法与描述法。
（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式：{ a,b,c,d }适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x |x满足的条件}例如：{x R| x-3>2} 或{x| x-3>2}适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}有理数集Q实数集R有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，A⊆（或B⊇A）记为BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同注意：①B一集合。
②符号∈与⊆的区别反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B定义：如果A B 同时 B A 那么A=B实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”3.真子集:如果A B,且存在元素x∈B,但x∉A,那么就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)4.性质①任何一个集合是它本身的子集。
必修一知识点总结第一章-集合与函数概念
高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念（1）集合的概念： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法：N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系：对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法②列举法.③描述法④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类：①含有限个元素的集合叫有限集.②含无限个元素的集合叫无限集.③不含任何元素的集合叫空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）集合A 有(1)n n ≥个元素，则有2n 个子集，有21n -个真子集，有21n -个非空子集，有22n -非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =（2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ð 2()U A A U =ð()()()U U U A B A B =痧?()()()U U U A B A B =痧?【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅二、函数及其表示（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空数集，按照对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧复合函数：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值①观察法：对于比较简单的函数，可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．（5）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象yxo 三、函数的基本性质（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去。
高中数学集合与函数概念知识点总结
高中数学集合与函数概念知识点总结第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示一、集合的含义我们先看一些实例：①1~20以内的所有质数（素数）；有限集②到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点；③全体自然数；无限集④方程 x2+3x+2=0 的所有实数根；⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.分别归纳概括出它们具有什么共同特征?一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.注意：几种特殊的数集问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做集合”，这些集合里的元素必须具备什么特性？二、集合中元素的特性先思考以下两个问题：① 高一级身高较高的同学，能否构成集合? 否② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？否1.确定性：集合中的元素必须是确定的。
即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。
(具有某种属性)如：高一级身高160cm以上的同学组成的集合.2.互异性：集合中的元素是互异的。
即集合元素是没有重复现象的。
(互不相同)如：2, 4, 2 这三个数不能组成一个集合，但2,4可组成集合.3.无序性：集合中的元素是不讲顺序的。
即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合。
(不考虑顺序)如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋组成的集合集合B：印度洋，大西洋，太平洋组成的集合集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.三、元素与集合的关系高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之间各自有什么关系？四、集合的表示(1)自然语言表示法1~20以内的质数组成的集合(2)列举法例如，地球上四大洋组成的集合：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}例1、用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自然数组成的集合.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为B，则B={0,1}(3)设所求集合为C，则C={6,12,18}集合的分类：有限集，无限集：你能用列举法表示不等式 x －7< 3 的解集吗？无限集(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
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第一章集合与函数的概念复习提要
集合含义及表示
一、基础知识：
1、集合中元素的三个特征： ， ， 。
2、元素与集合间可用哪些符号？ 集合与集合间可用哪些符号？
3、实数集记为 ，有理数集记为 ，整数集记为 ，自然数集记
为 ，正整数集记为 。
二、基本应用：
1、用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数的集合；
（2）方程xx2所有实数根组成的集合；
（3）由1到20以内的所有素数组成的集合；
2、用列举法表示下列集合：
（1）方程022x的所有实数根组成的集合；
（2）不等式x-7<3的解集；
3、用适当的方法表示下列集合；
（1）由方程0)32(2xxx的所有实数根组成的集合；
（2）一次函数3xy与62xy的图像交点组成的集合。
4、用适当的符号填空：
（1）a {a,b,c} （2）0 {x02x}
(3) {x|012x} (4){0} {x|xx2}
集合的基本运算
基本知识：
集合A与集合B交集的定义： 记为：BA
集合A与集合B并集的定义： 记为：BA
集合A在全集U中的补集定义： 记为：ACU
基本应用：
1、设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8} 求BA, BA
2、设集合U=R A={x|-1
函数及其表示
基本应用：
1、已知函数f(x)=213xx
（1） 求f(x)的定义域；
（2） 求f(-3),f()32,f[f(-3)]的值；
（3） 当a>0时,求f(a),f(a-1),的值。
2、求下列函数的定义域：
(1)F(x)=741x (2)f(x)=31xx +1 (3)f(x)=14xx
3、下列哪些函数与函数y=x相等?
(1)2)(xy (2)33xy (3) 2xy (4)xxy2
函数的基本性质
一、基本概念：
1、F(x)在区间D上是增函数的定义：
2、F(x)在区间D上是减函数的定义：
3、F（X）是奇函数的定义：
4、F（X）是偶函数的定义：
5、用定义法证明函数单调性的步骤是：
二、基本应用：
画出下列函数的图像并说出它的单调区间
（1）y=x+2 (2) y=x1 (3) y=2x (4)y=322xx
2 、用定义证明下列函数的单调性：
（1）求证xxf1)(在（0，+）上单调递减；
（2）求证1)(2xxf在（0，+）上单调递增。
3、求下列函数的值域
（1）12)(xxf
（2）xxf1)(
（3）xxxf2)(2
（4）32)(2xxxf
4、判断下列函数的奇偶性：
（1）4)(xxf (2) 5)(xxf (3) f(x)=|x|+1
(4) f(x)=xx1 （5）xxxf2)(3 （6）xxxf1)(2
5、已知1)(2axxxf为偶函数则a得值为
6、已知f(x)为R上的奇函数，且)1()(0xxxfx时，求f(-1)的值。