二项分布应用举例
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式摘要：一、二项分布简介1.二项分布概念2.二项分布的应用场景二、二项分布的分布律公式1.公式推导2.公式含义解释3.公式应用举例三、二项分布与概率论的关系1.二项分布与概率的关系2.二项分布与其他分布的关系四、结论1.对二项分布的理解和掌握2.对二项分布应用的建议和展望正文：一、二项分布简介二项分布，是离散型概率分布的一种，描述了在n 次独立重复试验中，成功次数k 的概率分布。
它的名字来源于二项式定理，是概率论中非常重要的一个分布。
二项分布的应用场景非常广泛，例如：掷骰子的点数、抽奖中奖的概率、产品检验中的合格率等，都可以用二项分布来描述。
二、二项分布的分布律公式二项分布的分布律公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，P(X=k) 表示成功次数为k 的概率，C(n, k) 表示从n 个元素中选取k 个元素的组合数，p 表示每次试验中成功的概率，n 表示试验次数。
公式推导：假设成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么在n 次独立重复试验中，成功次数k 的概率可以表示为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)。
公式含义解释：P(X=k) 表示在n 次独立重复试验中，成功次数为k 的概率。
C(n, k) 表示从n 个元素中选取k 个元素的组合数，反映了试验的组合方式。
p^k 表示每次试验中成功的概率，(1-p)^(n-k) 表示每次试验中失败的概率。
公式应用举例：假设有一个产品检验过程，每次检验成功的概率为0.8，失败的概率为0.2。
现在进行5 次独立重复检验，求成功次数为3 次的概率。
根据公式，P(X=3) = C(5, 3) * 0.8^3 * 0.2^2 = 10 * 0.512 * 0.04 =0.2048。
三、二项分布与概率论的关系二项分布与概率的关系密切，它是概率论中最基本的分布之一。
二项分布与其他分布的关系也很重要，例如，当n 趋近于无穷大时，二项分布可以近似为正态分布。
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
二项分布最大概率项的取法
二项分布最大概率项的取法 1. 什么是二项分布？ 大家好，今天咱们来聊聊一个看似复杂但其实蛮有趣的数学话题——二项分布。别被它的名字吓到，其实二项分布就是用来描述那些每次试验都有两个可能结果的情况，比如抛硬币。你是不是还记得小学时候的那个经典例子：你抛了硬币若干次，问问硬币正面朝上的次数，结果会是怎样的？这就是二项分布的基本应用。 2. 二项分布的最大概率项 好啦，既然我们知道了什么是二项分布，那接下来就来看看如何找到最大概率项。别担心，这里不会有太多晦涩难懂的公式，我们用一种简单的方式来搞定它。咱们先来个形象的比喻：你在聚会中想找最受欢迎的食物，那你自然会想知道大家最喜欢什么对吧？这就像我们找二项分布中的最大概率项一样。 2.1. 确定概率 首先，我们得了解一下什么情况下，某个结果的出现概率最大。在抛硬币的例子里，每次抛硬币都有50%的概率是正面，50%的概率是反面。那如果你抛了很多次硬币，你会发现，正面朝上的次数大概是总次数的一半，这种情况下的概率最大。这就是所谓的“期望值”或者说是“中间值”。 2.2. 公式来帮忙 如果我们把这个情况用数学公式表达出来，那么就是用二项分布公式里的“k”值，也就是成功次数。找到这个“k”值，就等于找到了概率最大的那个项。这个“k”值其实就是“n乘p”的结果，n是总次数，p是每次试验成功的概率。比如说，抛10次硬币，成功的概率是0.5，那么“k”值就是10乘0.5，也就是5次。 3. 实际应用 好啦，咱们来看看这个理论在实际生活中怎么用。想象一下你在一个拼图比赛里，每个拼图的概率都是独立的。你希望知道在完成拼图的过程中，哪一步的成功概率最大。用咱们刚才的理论，你就可以算出在完成一半拼图的时候，你成功的几率最大。这样一来，你就能更好地安排你的拼图策略了，真是妙不可言！ 3.1. 计算举例 为了让大家更明白，我们来个具体例子。假设你在投掷一枚不太均匀的骰子，总共投掷了20次，骰子朝上3点的概率是0.2。你想知道出现3点的次数最有可能是多少？那你就要把20乘以0.2，结果是4次。也就是说，你最有可能在20次投掷中看到4次3点的结果。 3.2. 小贴士 有个小贴士，大家可以记住。很多时候我们用的“最大概率项”就是一个很棒的估计值，但实际情况可能会有所不同。因为生活中有很多不确定因素，有时候我们做出的预测和实际情况会有差距。就像买彩票一样，哪怕我们算出了概率最大的号码，也不一定能中头奖，不过，至少能让你在这个过程中充满乐趣。 总结一下，二项分布虽然名字听起来挺吓人，但实际操作起来其实非常简单。通过了解每次试验成功的概率，以及计算期望值，我们就能找到概率最大的结果。这不仅仅是数学上的应用，更能帮助我们在生活中更好地做决策。希望这篇文章能让你对二项分布有更清晰的认识，也能让你在各种概率问题上如鱼得水。
二项分布与正态分布的应用
二项分布与正态分布的应用二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，而正态分布则是统计学中常见的连续型概率分布。
二项分布和正态分布在现实生活中有着广泛的应用，本文将分别探讨它们的应用领域及相关计算方法。
一、二项分布的应用二项分布适用于满足以下条件的离散随机变量：每次试验只有两种可能结果，且每次试验相互独立。
具体而言，二项分布常用于以下几个应用领域：1.1 质量检验在制造业中，常常需要对产品进行质量检验。
假设某产品每个单位有一定的概率存在缺陷，而每次抽取的产品相互独立。
那么我们可以利用二项分布来计算在一定抽取数量下，出现指定数量缺陷的概率。
这对于质量控制非常重要。
1.2 投资决策在金融领域中，投资是一项风险较高的行为。
投资者通过分析过往数据，可以得到某种投资方式的成功概率。
假设某个投资方式成功的概率为p，通过多次投资实验，我们可以利用二项分布来计算在一定次数内成功的概率。
这对于投资者来说，有助于做出更加明智的决策。
1.3 调查统计在社会科学研究中，调查统计是常用的研究方法。
假设我们想了解某个群体中某个现象出现的比例，如访问某个特定网站的比例。
我们可以通过抽样调查来获得样本中观察到该现象的次数，并利用二项分布来计算整个群体中该现象出现的比例。
二、正态分布的应用正态分布又称高斯分布，是一种常见的连续型概率分布。
其分布曲线呈钟型，对称且唯一峰值。
正态分布在各个领域都有着广泛的应用，以下是其中的几个例子：2.1 身高体重在人类的身高体重统计中，存在着一定的规律性。
大多数人的身高和体重集中于某个平均值，而相对极端的个案则较为罕见。
这种现象可以通过正态分布进行描述和分析，通过均值和标准差等参数，我们可以了解身高和体重在整个人群中的分布情况。
2.2 考试成绩在教育领域中，学生的考试成绩往往服从正态分布。
通过对一组学生的考试成绩进行统计，我们可以得到平均分数和标准差等指标，进而分析成绩的分布和学生群体的整体表现。
2.3 经济指标在经济学中，许多指标也服从正态分布。
二项分布的应用
二项分布的应用二项分布是重要的离散型随机变量概率模型，在解决许多数学问题和现实生活问题中有着广泛的应用．应用二项分布解题，不仅能加深对知识的理解和掌握，而且有利于创新思维能力的培养和提高．下面举例说明．例1 证明0122()n n n n n n C C C C n *++++=∈N ．分析：本题是二项式系数的重要性质，在二项式定理一节中是运用“赋值法”证明的．这里通过构建二项分布模型，给出颇具新意的巧证．证明：记事件Ａ：“掷一均匀硬币出现正面向上”，则掷n 次硬币，即进行n 次独立重复试验中事件Ａ发生的次数Ｘ服从二项分布，即~(0.5)X B n ，．故11()01222k n k kn P X k C k n -⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．由分布列和的性质得(0)(1)(2)()1P X P X P X P X n =+=+=++==，0112201211111111122222222n n n n nn n n n C C C C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即0122n n n n n n C C C C ++++=．点评：许多与正整数n 有关的组合数求和问题，都可以通过构建二项分布模型得以创新解决．例2 抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点Ｐ的横坐标，另一枚的点数为点Ｐ的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点Ｐ在圆2216x y +=内的次数Ｘ的分布列．分析：先求出一次试验中，点Ｐ在圆2216x y +=内的概率Ｐ，然后由题意可知~(3)X B p ，，从而求出其分布列．解：由题意可知，Ｐ点的坐标可能有6636⨯=种情况，而符合题意的点只有下列8个：(11)(12)(21)(22)(31)(13)(23)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，那么在抛掷骰子时，点P 在圆2216x y +=内的概率为82369=．由题意可知2~39X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以030327343(0)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 121327294(1)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21232784(2)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 3033278(3)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故得X 的分布列为 01 2 3点评：本题将分布列的计算与事件的概率结合起来，有利于我们提高分析、综合能力．例3 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦．已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否相互独立．（1）现因当地供电紧张，供电部门只能提供50千瓦的电力．这10台机床能够正常工作的概率为多大（2）在一个工作班的８小时内，不能正常工作的时间大约是多少分析：明确题设含义，将问题转化为二项分布模型求解． 解：（1）设10台机床中实际开动的机床数为随机变量Ｘ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此~(10)X B p ，．其中p 是每台机床开动的概率，由题意121605p ==．从而101014()0121055k k kP X k C k -⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．根据题意，50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作．这一事件的概率为10928370123101010104141414(5)5555555P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭······≤． 465545101014140.9945555C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭····（2）由（1）知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0．006，从而在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间只有大约８×60×0．006=2．88分钟，这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响．点评：根据题意明确某一时刻正在工作的机床台数X服从二项分布是解题的关键，否则，就有可能造成解题的失误．。
二项分布趋近于泊松分布的例子
二项分布趋近于泊松分布的例子
一个典型的例子是在大量独立重复试验中事件的发生次数。
假设有一个事件在每次试验中独立地以概率p发生。
在n次独立重复试验后，我们可以得到事件发生的次数X。
当n趋近于无穷大时，二项分布趋近于泊松分布，即X ~ Poisson(np)。
举个例子，假设有一家餐馆，顾客到达的速率为每小时10人。
现在想要知道下一个小时内总共会有多少顾客到达。
假设X表示在一个小时内到达的顾客数，那么X服从参数为
λ=10的泊松分布。
根据泊松分布的特性，平均每小时到达
λ=10人的顾客。
现在，我们想要知道在下一个小时内，有几个顾客到达该餐馆。
我们可以使用二项分布来进行建模。
假设我们观察了n=60分钟，每分钟都统计一次有没有顾客到达。
每分钟独立地到达顾客的概率为p=10/60=1/6。
那么在观察的60分钟内，事件发生的次数X服从参数为
np=60*(1/6)=10的二项分布。
随着n趋近于无穷大，二项分布
趋近于泊松分布，所以在这个例子中，X也会趋近于泊松分布参数为10。
因此，我们可以使用泊松分布来近似计算下一个小时内到达的顾客数。
二项分布书写格式
二项分布书写格式一、引言在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。
它描述了在一个固定次数的独立重复试验中，成功次数的概率分布。
二项分布在许多实际问题中都有广泛应用，如掷硬币、抽样检测等。
本文将详细介绍二项分布的书写格式，帮助读者更好地理解和应用这一重要概念。
二、二项分布的定义二项分布（Binomial Distribution）是指在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n, p)。
其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
三、二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）描述了随机变量X取某个特定值k的概率。
对于二项分布B(n, p)，其概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]这里，"!"表示阶乘，即n! = n (n-1) ... 3 2 1。
四、二项分布的性质1. 期望值：二项分布的期望值E(X)表示在n次试验中成功的平均次数，计算公式为：E(X) = n p2. 方差：二项分布的方差D(X)表示成功次数X的离散程度，计算公式为：D(X) = n p (1-p)五、二项分布的应用二项分布在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个典型例子：1. 掷硬币：假设有一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为p=0.5。
现在进行n次独立重复的掷硬币试验，正面朝上的次数X服从参数为n 和0.5的二项分布，即X~B(n, 0.5)。
2. 抽样检测：在生产线上，产品合格的概率为p。
现在从生产线上随机抽取n个产品进行检测，合格的产品数量X服从参数为n和p的二项分布。
3. 通信中的误码率：在数字通信中，信号在传输过程中可能受到噪声干扰导致误码。
二项分布
为 n 次独立重复试验.
分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一枚硬币 5 次，其中 3 次正面向上； ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8， 他射击 10 次; ⑶;一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个 黑球），有放回地依次从中抽取 5 个球，其中 两个红球； ⑷生产一种零件，出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
分析：包含C24种情况 每种情况的概率都为：0.82 （1 0.8）2
P( X 2) C420.8（2 1 0.8）2
恰好投中三次呢？
P( X 3) C430.8（3 1 0.8）1
P( X 0) （1 0.8）4 C400.8（0 1 0.8）4
4棵，试求：
（3）恰好成活3棵的概率；
（4）至少成活2棵的概率.
（3）恰好成活3棵的概率为
P(X
3)
C43
(
9 10
)（ 3 1
9 ）1 10
2916 104
（4）至少成活2棵的概率为
P( X 2) P( X 2) P( X 3) P( X 4)
C42
9 ( 10
⑶ P( AB) P( A)P(B) （当 A与B 相互独立时） 那么求概率还有什么模型呢？
分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一枚硬币 5 次，其中 3 次正面向上； ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8， 他射击 10 次; ⑶;一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个 黑球），有放回地依次从中抽取 5 个球，其中 两个红球； ⑷生产一种零件，出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.
二项分布及其应用-概率、统计与统计案例
= 1(
64
C6 + C6 + C6 + C6
21 ) 32
=
(20+15+6+1)=
. 返回目录
解法二：“至少3人同时上网”的对立事件是“至多 2人同时上网”，即事件A0+A1+A2.因为A0,A1,A2是彼此互 斥的事件，所以“至少3人同时上网”的概率为 P=1-P(A0+A1+A2)
=1-［P(A0)+P(A1)+P(A2)］
的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有 一个一等品的概率. 返回目录
【分析】 (1)将三种事件设出,列方程,解方程即可求 出.(2)用间接法解比较省时,方便.
【解析】 (1)设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机 床各自加工的零件是一等品的事件.
1 P(A· B)= 4 1 由题设条件有 P(B· C)= 12 2 P(A· C)= , 9 1 P(A)· ［1-P(B)］= 4 1 即 P(B)· ［1-P(C)］= 12 2 P(A)· P(C)= 9
【分析】解决好概率问题的关键是分清属于哪种 类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一 条件下的概率，属于条件概率. 返回目录
【解析】设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为 事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活 率为:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件,概率公式 P(AB)=P(B|A)· P(A)=0.9×0.8=0.72， 即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 【评析】在解决条件概率问题时，要灵活掌握 P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间的关系，即 P(AB) P(AB) P(B|A)= ,P(A|B)= ,P(AB)=P(A|B)· P( P(B) P(A) B)+P(B|A)· P(A). 返回目录
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
推荐精选 二项分布及其应用 知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做 ，用符号
来表
示，其公式为P(B|A)＝ . 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个
数，则P(B|A)＝ . (2)条件概率具有性质： ① ； ②如果B和C是两互斥事件，则P(B＋C|A)＝ ． 2．相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ ， P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝ ．
(3)若A与B相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则 ． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为 (p为事件A发生的概率)，若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为 ． 自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A.18 B.14 C.25 D.12
解析：条件概率P(B|A)＝PABPA P(A)＝C23＋1C25＝410＝25，P(AB)＝1C25＝110，∴P(B|A)＝11025＝14. 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C10123810582 B．C91138958238 C．C911589382 D．C911389582
解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P(ξ＝12)＝C911389·582·38. 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) 推荐精选
A.12 B.35 C.23 D.34 解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12. 记甲获冠军为事件A，则P(A)＝12＋12×12＝34
4．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P＝P1＋P2＝0.128. 5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．
解析：设事件A为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A的对立事件A为“所有人出生月份均不相
同”，则P(A)＝1－P(A)＝1－A912129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129 ≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985. 题型讲解 例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________； (2)P(B|A)＝________.
[解析] ∵P(A)＝S正方形S圆＝22π＝2π. P(B|A)＝PABPA＝S△EOHS正方形＝14.
[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.
这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA. 练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点 推荐精选
数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率． 推荐精选 解析：(1)①P(A)＝26＝13. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共
有10个．∴P(B)＝1036＝518. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，
故P(AB)＝536. (2)由(1)知P(B|A)＝PABPA＝53613＝512. 例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 解析] 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1,2,3)． (1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(C)＝P(A1B1)＋P(A1 B1 A2B2)＋P(A1 B1 A2 B2 A3 B3)
＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) ＝23×12＋232122＋233123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A1 B1 A2B2)＋P(A1 B1 A2 B2A3)
＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3) ＝232122＋23212213＝427. [规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事
件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单． 练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．
解析：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F.则D，E，F分别表示甲不胜A、
乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DE F)＝0.6×0.5×0.5 推荐精选
＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55 (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知D EF、D EF、DE F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P(D EF)＋P(DE F)＋P(DE F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5
＝0.35， P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 推荐精选
P 0.1 0.35 0.4 0.15
例3.(2010·四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字
样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率， (2)求中奖人数Ｘ的分布列．
[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16.
P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝16×562＝25216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216.
(2)X的可能取值为0,1,2,3. P(Ｘ＝k)＝Ck316k563－k，k＝0,1,2,3.所以中奖人数X的分布列为 X 0 1 2 3
P 125216 2572 572 1216
[规律方法]………………►►(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行
的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数． 练习3．(2012·四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统
A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值； (2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．
解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C－)＝1－110·p＝4950.解得p＝15. (2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D， 那么P(D)＝C23110·(1－110)2＋(1－110)3＝9721000＝243250.