分式方程的概念,解法及应用

学习必备 欢迎下载 分式方程的解法及应用

一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标：  分式方程的概念以及解法；  分式方程产生增根的原因；  分式方程的应用题。 重点难点：  重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．  难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 学习策略：  经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。

二、学习与应用

（一）什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程．

使方程两边相等的 的值，叫做方程的解． （二）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示

是：

MBMABAMBMABA,（其中M是不等于0的整式）．

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 学习必备 欢迎下载 （三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。 （四）解下列方程：（1）9－3x＝5x＋5； （2）52221yyy

知识点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含

有 。 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于x的方程xx21和12723xx都是 方程，而关于x的方程xxa21和dcbx1都是 方程。 知识点二：分式方程的解法 （一）解分式方程的基本思想

把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分

母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二）解分式方程的一般方法和步骤 （1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

（2）解这个 方程。 （3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，

知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#233542 学习必备 欢迎下载 但增根不适合原方程，可使原方程的 为零。 （三）增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未

知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着 不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围 了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 知识点三：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是 ，它与学习一元一次方程时列方程解应用题

的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。 一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤： （1） 题意；

（2）设 ； （3）根据题意找 关系，列出分式方程； （4）解分式方程，并验根； （5）检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案． 知识点四：常见的实际问题中等量关系 （一）工程问题 （1）工作量＝ ×工作时间，_ _ _ _工作效率＝工作时间，

工作量_ _ _ _ _ ＝

工作效率

；

（2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1． （二）营销问题

（1）商品利润＝商品 一商品 ； （2）100%_ _ _ _ _商品利润率＝_ _ _ _ _ _； （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量； （4）商品的销售利润＝（销售价一成本价）× ． （三）行程问题 （1）路程＝ ×时间，_ _ _ _ _速度＝时间，路程_ _ _ _ _＝速度；

（2）在航行问题中，其中数量关系是： 学习必备 欢迎下载 顺水速度＝ ＋水流速度，逆水速度＝静水速度－ ； （3）航空问题类似于航行问题．

类型一：分式方程的定义 例1．下列各式中，是分式方程的是（ ） A．5xy B．2253xyz C．1x D.05yx

思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A．5xy因为方程里没有 ，所以 分式方程；B．2253xyz虽然有分母，但是分母里没有 ，所以 分式方程；C．1x没有 ，所以不是 ，它只是一个 ；D．05yx具备分式方程的三个特征，是 。

总结升华： 举一反三： 【变式】方程32xxab中，x为未知量，a，b为已知数，且ab，则这个方程

（ ） A．分式方程 B．一元一次方程 C．二元一次方程 D．三元一次方程

类型二：分式方程解的概念 例2．请选择一组,ab的值，写出一个关于x的形如bxa2的分式方程，使它的解

是x＝0这样的分式方程可以是 . 思路点拨：分式方程是 中含有 的 ，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的 .

经典例题-自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。 更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#233542 学习必备 欢迎下载 总结升华： 举一反三： 【变式】在0,x 1,x1x中，哪个是分式方程301xxx的解，为什么？

类型三：分式方程的解法 例3． (2011北京房山一模)解方程： xxx3113

2

思路点拨：在解分式方程的时候，要把分式方程变为 方程。原方程的两边都要乘 ，方程等号右边的常数1也必须乘 。在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。

总结升华： 例4. 已知分式方程112xax的解为非负数，求a的取值范围? 思路点拨：解这个分式方程即可，注意去分母后所得整式方程的解是非负数，且不等 学习必备 欢迎下载 于1.

举一反三： 【变式1】解方程：（1）13x＝x4， （2）1210x＋x215＝2.

【变式2】当a为何值时，关于x的方程53221aaxx的解是0？ 类型四：增根的应用 例5.当m为何值时，关于x的方程234222xxmxx会产生增根？会无解? 思路点拨：增根是分式方程去分母后的整式方程的根，它使最简公分母得________，且只适合_______，所以只需把可能出现的增根代入该整式方程中，就可以求得对应的m的值．而分式方程无解有两种情况，一是去分母后的整式方程的根都是_________，二是此整式方程__________． 学习必备 欢迎下载 总结升华：

举一反三： 【变式1】当m为何值时，方程会产生增根( ) A. 2 B. －1 C. 3 D.－3

分析：分式方程，去分母得___________，将增根______代入，得m。 【变式2】.若方程32xx＝2mx无解，则m＝ 。

类型五：分式方程的应用 （一）工程类应用性问题 例6.某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，现两队合作2天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？ 思路点拨：若设工期为x天，将总工程量设为“1”，则甲效为____；乙单独做需(x+3)天，乙效为_______.(法1)甲共做2天，乙共做x天，可将工作完成；(法2)乙独做多用的___天完成的工作量，相当于甲____天做的。

举一反三： ☆【变式1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施学习必备 欢迎下载 工速度快？ 分析：甲1个月完成1/3，即甲效率为1/3，或理解为甲单独做3个月完成，所以甲实际做1.5个月完成了1/2的工程，另外的1/2的工程由乙半个月完成，可见乙的效率为甲的3倍，显见乙的工效快。上述是计算的方法，以下为方程方法。

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

（二）行程中应用性问题 例7．甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度． 思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是：路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．

总结升华： 举一反三： ☆【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进