分式方程的应用(工作效率)。
分式方程应用题—工程问题
分式方程应用题—工程问题工程问题：这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
【类型一】工作量不统一，时间相同的工程问题，以时间为等量关系： 实际效率实际工作量原计划效率原计划工作量 1.某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。
2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
3.某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，求计划每天生产多少吨化肥？4.A 做90个零件所需要的时间和B 做120个零件所用的时间相同，又知每小时A 、B 两人共做35个机器零件。
求A 、B 每小时各做多少个零件。
【类型二】前后效率不同，时间提前了，以时间为等量关系： 提前的时间实际效率工作量计划效率工作量 - 1、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%。
问原计划这项工程用多少个月。
3.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？4.某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？5.某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？6.打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？7.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
分式方程的应用
分式方程的应用在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，分式方程就是其中一个重要的工具。
它不仅在数学领域中有着重要的地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
先来说说分式方程在行程问题中的应用。
假设小明从家到学校，如果以每分钟 50 米的速度行走，会迟到 3 分钟；如果以每分钟 70 米的速度行走，会提前 5 分钟到校。
那么小明家到学校的距离是多少呢？我们可以设小明按时到校需要 x 分钟。
根据路程相等，我们可以列出分式方程：50(x ＋ 3) ＝ 70(x 5) 。
通过解方程，我们可以求出 x 的值，进而求出小明家到学校的距离。
分式方程在工程问题中也发挥着重要作用。
比如一项工程，甲单独做需要 x 天完成，乙单独做需要 y 天完成。
两人合作需要多少天完成呢？我们知道工作效率＝工作总量÷工作时间。
设工作总量为 1 ，那么甲的工作效率就是 1/x ，乙的工作效率就是 1/y 。
两人合作的工作效率就是 1/x ＋ 1/y ，那么两人合作完成这项工程需要的时间就是 1÷（1/x ＋ 1/y) ，这就是一个分式方程。
在销售问题中，分式方程同样有用武之地。
某商店销售一种商品，进价为 40 元/件。
当售价为 60 元/件时，每天能卖出 100 件。
经过市场调查发现，每件商品售价每降低 1 元，每天就能多卖出 10 件。
如果要使每天的利润达到 2240 元，那么商品的售价应该定为多少呢？我们设商品的售价定为 x 元/件。
那么每件商品的利润就是 x 40 元，每天的销售量就是 100 ＋ 10(60 x) 件。
根据利润＝每件利润×销售量，我们可以列出分式方程：（x 40)100 ＋ 10(60 x) ＝ 2240 。
通过解方程，我们就能求出商品的售价。
再来看一个分式方程在生产问题中的应用。
某工厂要生产一批零件，原计划每天生产 x 个，由于改进了生产技术，实际每天比原计划多生产 10 个，结果提前 3 天完成了任务。
资料分式方程应用题归类及常见题型(最新整理)
列分式方程解应用题的常见类型分析列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。
这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。
一、路程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。
它们的数量关系是：路程=速度×时间。
列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例1 A、B两地相距60千米。
甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。
已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。
相等关系：二、工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率×工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例2某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天？相等关系：三、销售问题:解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价×商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价。
例3 某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。
后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。
这种钢笔原来每枝进价是多少元？本题中的主要等量关系：练习：1.某地为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？2.甲乙两车在A、B两城间连续往返行驶，甲车从A城出发，乙车从B城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离200千米和240千米的C处第一次相遇。
163分式方程的应用(1)
1 1(1 1) 1
3 23 x
解得 x=1
∵ 1> 1
3
经检验， x=1是原方程的解。 ∴乙队施工速度快
答:乙队施工速度快。
效果检测
例3、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施 工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两 队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施 工速度快？
②此项工程是分哪几个阶段完成的？相等关系是什么？
③若设乙队单独施工x个月完成，则甲队单独施工1个月
完成的工作量为_____，两队共同工作半个月的工作量
为___________。你能由此列出方程吗？
④你能找到其他的相等关系并列出方程吗？
⑤请归纳列分式方程解应用题的一般步骤。
⑥完成课本P31练习第1题。
5
240 x4
240 B． x
5
240 x4
C．240 5 240
x
x4
D．240 5 240
x
x4
当堂训练
2、某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此 项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如 果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、 乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚 好如期完成。 问原来规定修好这条公路需多长时间?
效果检测
例3、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施 工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两 队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施 工速度快？ ②此项工程是分哪几个阶段完成的？相等关系是什么？
甲1个月完成 甲、乙合作完成
的工作量 + 的工作量 = 工作总量
效果检测
例3、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施 工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两 队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施 工速度快？ 解：设乙队单独施工x个月完成，则
分式方程的应用(工作效率)
3、列一元一次方程解下列问题 一件工作，甲单独做需要20天完成，乙单独 做需要30天完成，问甲、乙合作多少天可以完成。
分析：甲工作效率是？乙呢？ 等量关系：（甲工作效率+乙工作效率）×甲乙合作完成时间=1
解：设甲、乙合作x天可以完成，得
1 1 x 1 20 30
解得：
一车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高 25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加 工1800个零件所用的时间还少30分钟；设乙组每小时 加工x个零件
等量关系：甲组工作时间+30分钟=乙组工 作时间
工作效率 甲 工作时间 工作量
2000 1 25%x个 1 25% x 乙 1800 x个 x
练习、某工程队需要在规定日期内完成任务。若甲队 单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期 3天才能完成。现由甲、乙合作2天，余下工程由乙队 单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？ 这是工程问题，设规定日期是x天
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
工作效率 工作时间 甲
完成的工作量
1 x
1 x3
10 4x
乙
4x
1 等量关系：乙用的时间-甲用的时间=20分钟= 小时 3
速度（千米/时） 甲
路程（千米）
时间（时）
3x 4x
6 10
乙
6 3x
10 4x
1 等量关系：乙用的时间-甲用的时间=20分钟= 小时 3
解：设甲的速度3x千米/时，则乙的速度是4x千米/时，得
1 10 6 4x 3x 3
99 小明的工作时间： 天。 3
甲、乙两班参加植树活动，已知甲班每天比乙班多植 树5棵，甲班植树100棵与乙班植树80棵所用的时间相 等。设甲班每天植树x棵
最新人教版八年级上册数学第十五章分式第59课时分式方程的应用(1)——工程问题
典型例题
知识点1
“t1=t2”型
【例1】甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用
的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两
人每天共加工35个玩具，求甲每天加工的玩具数.
解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工
（35-x）个玩具.
由题意，得
解得x=15.经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意.
作10天完成了剩余的工程，乙工程队单独完成这项工程需
要几天？
返回目录
解：甲工程队单独完成这项工程需要10÷ =40（天），设乙
工程队单独完成这项工程需要x天.
依题意,得
×10=1－ .
解得x=20.
经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意.
答：乙工程队单独完成这项工程需要20天.
返回目录
返回目录
A组
4. 已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，
两人每天共做140个零件，设甲每天做x个零件，根据题意，
可列方程为
（ A ）
返回目录
5. 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，
甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每
小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方
原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1 h，求采用
新工艺前每小时加工的零件数.
解：设采用新工艺前每小时加工x个零件.
根据题意,可得
解得x=4.经检验，x=4是原分式方程的解.答：采用新工艺前
每小时加工4个零件.
返回目录
变式训练
2. 某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是含有至少一个分式的方程，其解法与整式方程有一定的区别。
本文将介绍分式方程的解法及其应用。
一、分式方程的解法解分式方程的关键在于将方程化简为整式方程，以下是常见的几种解法：1. 通分法：当分式方程中含有多个分母时，可以通过通分的方式将其转化为整式方程。
首先找到所有分母的公倍数，然后将方程两边都乘以公倍数，从而得到一个整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
2. 消去法：当分式方程中存在相同的因式时，可以通过消去的方式将其化简为整式方程。
首先找出方程中的公因式，然后将其约去，从而得到一个整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
3. 倒数法：当分式方程中含有一个分式的倒数时，可以通过倒数的方式将其转化为整式方程。
首先将方程两边的分式取倒数，然后将其化简为整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
二、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 比例问题：比例问题通常可以表示为分式方程。
例如，某商品的原价为x元，打折后的价格为x/2元，求折扣后的价格是多少。
可以建立分式方程x/2 = 折扣后的价格，然后通过解方程求得折扣后的价格。
2. 水箱问题：水箱问题中常涉及到进水速度、出水速度等概念，可以通过分式方程求解。
例如，一个水箱的进水口每小时进水1/3箱，出水口每小时排水1/4箱，求水箱在多长时间内装满。
可以建立分式方程1/3 - 1/4 =水箱装满的时间，然后通过解方程求得水箱装满的时间。
3. 工作效率问题：工作效率问题中常涉及到多个人或物共同工作时的效率关系，可以通过分式方程求解。
例如，甲、乙两人共同完成一项任务需要5小时，如果甲的效率是乙的2倍，那么甲独自完成此任务需要多长时间。
可以建立分式方程1/甲的效率 - 1/乙的效率 = 5，然后通过解方程求得甲独自完成任务的时间。
总之，分式方程的解法与整式方程有一定的区别，可以通过通分法、消去法、倒数法等方式来解决。
分式方程应用题及解题技巧
分式方程应用题及解题技巧嘿，你问分式方程应用题及解题技巧？这事儿咱可得好好唠唠。
分式方程应用题呢，就是那种带着分数的方程问题，一般都是讲生活中的事儿。
比如说工程问题啊，路程问题啊啥的。
做这种题呢，首先得读懂题目，搞清楚题目在说啥。
就像你听别人讲故事，得先明白故事的情节吧。
比如说题目说“甲做一项工程要 10 天，乙做同样的工程要 15 天，两人合作要几天完成？”你就得明白这是个工程问题，涉及到工作效率和工作时间。
然后呢，设未知数。
不能瞎设哦，得设一个能帮你解题的未知数。
比如说上面那个问题，你可以设两人合作要 x 天完成。
这样就有了一个目标，后面就可以根据题目中的条件来列方程了。
接着，根据题目中的条件列方程。
这一步很关键哦，要仔细分析题目中的关系。
比如说工程问题，工作效率×工作时间=工作总量。
在上面那个问题中，甲的工作效率是 1/10，乙的工作效率是 1/15，两人合作的工作效率就是 1/10 + 1/15，工作总量是 1。
所以可以列出方程（1/10 + 1/15）x= 1。
列好方程后，就解方程呗。
这一步就像玩解谜游戏，把未知数解出来。
解方程的时候要注意分母不能为零哦，不然就出错啦。
最后，检验答案。
把解出来的未知数代入原方程，看看等式是不是成立。
还要看看答案是不是符合实际情况。
比如说时间不能是负数啥的。
我记得有一次，做一道分式方程应用题。
题目是“一艘船顺流航行 120 千米用的时间和逆流航行 90 千米用的时间相同，已知水流速度是 3 千米/小时，求船在静水中的速度。
”我先设船在静水中的速度是 x 千米/小时。
然后根据顺流速度和逆流速度的关系，列出方程 120/（x + 3） = 90/（x - 3）。
接着解方程，得到 x = 21。
最后检验了一下，答案是正确的。
总之呢，做分式方程应用题要读懂题目、设未知数、列方程、解方程、检验答案。
就像打怪升级，一步一步来，就能解决问题。
咋样，明白了不？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习目标
学会用列表法列分式方程解决工程和行程问题
一、知识回顾
1、工程问题中的等量关系：
工作效率=
工作总量 工作时间
2、工作总量：所要完成任务或所要做事情的多少。
工作效率：每天（每小时、每周）单位时间完成工
作或任务的多少。
工作时间：完成任务所需要的时间。
例如：要完成植树99棵的任务，小明每天植树3棵， 小军每天植树9棵，则 工作总量：植树99棵 小明的工作效率：每天植树3棵；
等量关系：甲组工作时间+30分钟=乙组工 作时间
工作效率
工作时间 工作量
甲
2000
1 25%x个 1 25%x 2000
乙
x个
1800 x
1800
某部队接到打30口井的任务，每天比原计划多 打3口井，结果提前5天完成任务，设原计划每 天打井x口
等量关系：实际工作时间+5天=原计划工作时间
工作效率
工作时间 工作量
原
计 x口/ 天
划 实
际 x 3口/ 天
30 30 x
30 30
x3
练习4、 A、B两种机器人都被用来搬运化工原 料，A型 机器人比B型机器人每小时多搬运 30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器 人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时 分别搬运多少化工原料？ 等量关系：时间相等 思考：设机器人A每小时搬运xkg
二、用列表法列分式方程解问题
P152例3：两个工程队共同参与一项筑路工程， 甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这 时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工 程全部完成。哪个队的施工速度快？
这是_工__程_问题，
懂得列方程了吗？
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
分析：设 乙队单独 完成这项 工程要x 个月？
2x
1 6
1 2x
程的 ，两队半个月完成总工程的
。
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的
1 x
根据工程的实际进度，得:
11 1 1
3 6 2x
由以上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务， 对比甲队1个月完成任务的 1 ，可知乙队施工速度快。
3
答：乙队的速度快。
1.填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要 n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是 ______小时；
99
小明的工作时间： 天。
3
甲、乙两班参加植树活动，已知甲班每天比乙班多植 树5棵，甲班植树100棵与乙班植树80棵所用的时间相 等。设甲班每天植树x棵
等量关系：甲班工作时间=乙班工作时间
工作效率
工作时间 完成的工作量
甲 x棵 / 天 100 100棵
x
乙
x 5棵 / 天
80
80棵
x5
一车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高 25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加 工1800个零件所用的时间还少30分钟；设乙组每小时 加工x个零件
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤， 现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是 ______;
x
1
解得： x = 12
答：甲、乙合作12天可以完成。
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程. 4.解:认真仔细解这个分式方程. 5.验:检验.（是否符合题意） 6.答:注意单位和语言完整.
工作效率 工作时间 工作量 甲 乙
有两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队
单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加
了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全
部完成。设乙队单独施工x个月完成总工程？
1
分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队
3
如果单独施工1个月能完成总工程的
甲
1
x1，那么
队半个1月完成总工程的 6 ，乙队完成总工
工作量kg 工作效率kg/h 工作时间h
A
900
B
600
x
x-30
900 x
600
x 30
【例2】甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每 小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和 乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各 做多少个零件？
等量关系：甲用时间=乙用时间
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件， 依题意得：
90 60 x x6
2、我们一般设工作总量为 1
一件工作，甲单独做x小时完成，乙单独
11 做y小时完成，那么甲、乙的工作效率分别：x y
例如：要吃一个大西瓜，小明需要3天才能吃完，小
军需要2天才能吃完，则工作总量是多少？他俩的工
作时间、工作效率分别是多少？
他们一起吃这个西瓜的工作效率是多少？需要几天 才
1 1 1 x x8 3
3、列一元一次方程解下列问题 一件工作，甲单独做需要20天完成，乙单独
做需要30天完成，问甲、乙合作多少天可以完成。
分析：甲工作效率是？乙呢？
等量关系：（甲工作效率+乙工作效率）×甲乙合作完成时间=1
解：设甲、乙合作x天可以完成，得
1 20
1 30
2 x
x x3
工作效率 工作时间
甲
1 x
2
乙
1
x
x3
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
完成的工作量
2 x
x x3
解：设规定日期是x天，得
2 x 1 x x3
解得x=6
经检验，x=6是原分式方程的解 答：规定日期是6天。
小组合作完成练习
练习、某项工程若甲队单独做40天完成；若乙队先单 独做10天，余下工程由甲乙两队合做20天才能完成， 问乙队单独完成这项工程所需的天数？
这是工程问题，设乙队单独完成这项工程所需x天
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
工作效率 工作时间 完成的工作量
甲
1 40
2020 40乙1 Nhomakorabea30
x 10 20 x
练习3 ：一件工作．已知甲、乙两人合做要3小时可以 完成．而甲单独做比乙单独做少用8小时，问乙独做需
要多少小时。
解：设乙独做需要x 小时，甲独做需要（x-8） 小时。
练习、某工程队需要在规定日期内完成任务。若甲队 单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期 3天才能完成。现由甲、乙合作2天，余下工程由乙队 单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？
这是工程问题，设规定日期是x天
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
工作效率 工作时间 完成的工作量
甲
1
x
2
乙
1
x
x3