【高中数学】第2章 2.4 曲线与方程【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义

2.4曲线与方程

学习目标核心素养1．了解曲线上的点与方程的解之间的

一一对应关系．

2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)

3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法．

4．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．5．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)

6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养．

2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养．

3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养．

4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养．

我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用．

1．曲线与方程的概念

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于

x ，y 的解析式．

在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系： ①曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； ②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．

那么，方程F (x ，y )＝0叫做曲线的方程；曲线C 叫做方程的曲线． 思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，会出现什么情况？举例说明．

[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y ＝1－x 2表示的曲线是半圆，而非整圆．

思考2：如果曲线C 的方程是F (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？

[提示] 若点P 在曲线C 上，则F (x 0，y 0)＝0；若F (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上，所以点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0，y 0)＝0．

2．两条曲线的交点坐标

曲线C 1：F (x ，y )＝0和曲线C 2：G (x ，y )＝0的交点坐标为方程组⎩⎨⎧

F (x ，y )＝0，

G (x ，y )＝0

的实数解． 3．解析几何研究的主要问题 (1)由曲线求它的方程． (2)利用方程研究曲线的性质． 4．求曲线的方程的步骤

5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法

(1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性

设曲线C的方程为：f(x，y)＝0，一般有如下规律：

①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；

②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；

③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．

另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上．因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

(2)根据曲线的方程画曲线

①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形．

②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符．

③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程．()

(2)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．

()

(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．()

(4)求轨迹方程就是求轨迹．()

[答案](1)×(2)×(3)√(4)×

[提示](1)×曲线的方程必须满足两个条件．

(2)×以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4,6)就不在线段

AB 上．

(3)√ 对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样．

(4)× 求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形． 2．点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，则a 的值为( ) A ．1或－5 B ．－1或－5 C ．－2或3

D ．2或－3

B [由点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，得a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0得a ＝－1或a ＝－5．]

3．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称

D ．关于直线x －y ＝0对称

C [将(－x ，－y )代入xy 2－x 2y ＝2x 方程不变，故选C ．]

4．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )若AB →⊥BC →，则动点C 的轨

迹方程为 ．

y 2

＝8x (x ≠0) [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →

得2x －y 24＝0，即y 2

＝8x (x ≠0)．]

曲线与方程关系的应用

【例1(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫

m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．

[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，

∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．