参数方程的概念(教案)
高中数学第二章参数方程第1节第1课时参数方程的概念教学案新人教A版选修
第1课时 参数方程的概念[核心必知]1．参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．联系变量x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．普通方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[问题思考]1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝2t （t ∈R ）和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ＋1，y ＝m (m ∈R ) 都表示直线x ＝2y ＋1.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．(1)把点M 1的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t ，－1＝3t 2－1， ∴t ＝0.即点M 1在曲线C 上．把点M 2的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1， 得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t ，10＝3t 2－1，方程组无解．即点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2.即a 的值为2. ——————————————————已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．1．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<π)，则下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)在曲线上的点是________．解析：将A (1，3)点代入方程得θ＝0；将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故B 、C点不在曲线上．答案：A (1，3)如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x 和y .法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵|OA |＝a 2－t 2，∴|BQ |＝a 2－t 2. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t ，(0＜t ＜a ) 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos (π2－θ)＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a （sin θ＋cos θ），y ＝a sin θ.(θ为参数，0＜θ＜π2)．——————————————————(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．2.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cosθ＝OA ·cos 2θ＝2a cos 2θ，y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容．本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知弹道曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t cos π6，y ＝2t sin π6－12gt 2.(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用． [解] (1)令y ＝0，则2t sin π6－12gt 2＝0，解之得t ＝2g.∴炮弹从发射到落地所需要的时间为2g.(2)y ＝2t sin π6－12gt 2＝－12gt 2＋t＝－12g (t 2－2g t )＝－12g [(t －1g )2－1g 2]＝－12g (t －1g )2＋12g ，∴当t ＝1g 时，y 取最大值12g .即炮弹在运动中达到的最大高度为12g .一、选择题1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：选C 将点的坐标代入方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．2．直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1| 解析：选C ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )，∴|P 1P |＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝t 21＋t 21＝2|t 1|.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M (14，a )在曲线C 上，则a ＝( )A ．－3－5 3B ．－3＋5 3C ．－3＋53 3D ．－3－53 3解析：选A ∵(14，a )在曲线C 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14＝6＋4cos θ， ①a ＝5tan θ－3. ②由①得：cos θ＝12，又π≤θ＜2π.∴sin θ＝－1－（12）2＝－32，∴tan θ＝－ 3.∴a ＝5·(－3)－3＝－3－5 3.4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2(t 为参数)所表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．两条直线解析：选B 因为x ＝t ＋1t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即x ≤－2或x ≥2，故是两条射线． 二、填空题5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为________．解析：由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得： (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(其中t 为参数，a ∈R )．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.答案：17．曲线(x －1)2＋y 2＝4上点的坐标可以表示为________(填序号)． ①(－1＋cos θ，sin θ)，②(1＋sin θ，cos θ)， ③(－1＋2cos θ，2sin θ)，④(1＋2cos θ，2sin θ)解析：分别将①、②、③、④代入曲线(x －1)2＋y 2＝4验证可知，只有④使方程成立． 答案：④8．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为：x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .∴参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)三、解答题9．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，运动开始时质点位于A (2，0)，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ又θ＝π60·t ，故参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t(t 为参数)．10．过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，设中点P (x ，y )则有：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0∴y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.(k 为参数)这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．11．舰A 在舰B 的正东，距离6千米；舰C 在舰B 的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为 203g3千米/秒，其中g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰A 炮击的方位角与仰角．解：以BA 为x 轴，BA 中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则B (－3，0)，A (3，0)，C (－5，23)．设海中动物为P (x ，y )．因为|BP |＝|CP |，所以P 在线段BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝33(x ＋7)．又|PB |－|PA |＝4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x 24－y 25＝1.从而得P (8，53)．设∠xAP ＝α，则tan α＝k AP ＝3，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A 为原点，AP 为x ′轴建立坐标系x ′Ay ′，(如图)．|PA |＝10，设弹道曲线方程是⎩⎪⎨⎪⎧0y ′＝v 0t sin θ－12gt 2，(其中θ为仰角)将P (10，0)代入，消去t 便得sin 2θ＝32，θ＝30°或60°这样舰A 发射炮弹的仰角为30°或60°.。
高中数学第二章参数方程2.1参数方程的概念教案新人教A版选修4
2.1 参数方程的概念【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
参数方程》教案(新人教选修
“参数方程》教案(新人教选修)”一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点。
2. 学会将直角坐标方程转换为参数方程。
3. 能够解参数方程并将其转换回直角坐标方程。
4. 掌握参数方程在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 参数方程的定义和特点引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。
分析参数方程与直角坐标方程的关系。
2. 参数方程的转换教授如何将直角坐标方程转换为参数方程。
练习将给定的直角坐标方程转换为参数方程。
3. 解参数方程讲解参数方程的解法步骤。
练习解给定的参数方程并将其转换回直角坐标方程。
4. 参数方程的应用通过实际问题引入参数方程的应用。
练习解决实际问题，运用参数方程。
三、教学方法1. 讲授法：讲解参数方程的定义、特点和转换方法。
2. 练习法：通过练习题让学生巩固参数方程的转换和解法。
3. 问题解决法：通过实际问题引导学生运用参数方程解决实际问题。
四、教学准备1. 教学PPT：制作参数方程的相关PPT课件。
2. 练习题：准备一些参数方程的练习题供学生练习。
3. 实际问题：准备一些实际问题供学生解决。
五、教学过程1. 引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。
2. 讲解如何将直角坐标方程转换为参数方程，并进行练习。
3. 讲解参数方程的解法步骤，并进行练习。
4. 通过实际问题引入参数方程的应用，并进行练习。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，观察学生对参数方程的理解程度和应用能力。
根据学生的反馈情况进行调整教学方法和教学内容，以便更好地达到教学目标。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对参数方程的理解程度。
2. 练习题：布置一些参数方程的练习题，评估学生的掌握情况。
3. 实际问题解决：让学生解决一些实际问题，观察他们运用参数方程的能力。
七、拓展与延伸1. 讲解参数方程在实际应用中的更深入例子，如工程、物理等领域。
2. 介绍参数方程与其他数学概念的联系，如极坐标方程。
3. 引导学生进行参数方程的相关研究项目，加深对参数方程的理解。
参数方程教案
参数方程教案教案：参数方程一、教学目标1. 了解参数方程的定义和基本概念；2. 掌握参数方程与直角坐标方程之间的转化方法；3. 能够通过参数方程描绘简单的平面曲线和空间曲线；4. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
二、教学重点1. 参数方程的定义和基本概念；2. 参数方程与直角坐标方程之间的转化方法。
三、教学难点1. 掌握参数方程与直角坐标方程之间的转化方法；2. 能够通过参数方程描绘平面曲线和空间曲线。
四、教学准备1. 教材及教具：教科书、多媒体教学设备；2. 课外参考资料：相关习题集、教学视频等。
五、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些平面曲线和空间曲线的图片，引导学生思考这些曲线的特点和方程形式，并介绍参数方程的概念。
2. 讲解参数方程的定义和基本概念（10分钟）通过教科书或多媒体教学设备，向学生详细解释参数方程的定义和基本概念，并以示例说明其意义和应用。
3. 参数方程与直角坐标方程之间的转化方法（15分钟）讲解参数方程与直角坐标方程之间的转化方法，包括将直角坐标方程转化为参数方程和将参数方程转化为直角坐标方程的步骤和注意事项。
4. 通过实例描绘平面曲线（15分钟）以常见的平面曲线（如直线、圆、椭圆等）为例，通过给定的参数方程，介绍如何描绘平面曲线。
5. 通过实例描绘空间曲线（15分钟）以常见的空间曲线（如直线、圆柱曲线、螺旋线等）为例，通过给定的参数方程，介绍如何描绘空间曲线。
6. 小结与拓展（10分钟）对本节课的内容进行小结，并提醒学生练习习题以提高理解和运用能力。
鼓励学生自主查找更多有关参数方程的资料，并探索更多的平面曲线和空间曲线的参数方程。
七、教学反思本节课以参数方程为主题，通过引导学生观察和分析曲线的特点和方程形式，帮助学生理解参数方程的定义和基本概念，并掌握参数方程与直角坐标方程之间的转化方法。
通过描绘平面曲线和空间曲线的实例，加深学生对参数方程的理解和应用能力。
内容设置合理，教学过程生动有趣，能够激发学生的学习兴趣和思维能力。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义解释参数方程的概念，强调参数在方程中的作用。
举例说明参数方程的常见形式，如直线参数方程和圆参数方程。
1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数图和参数曲线。
讲解如何从参数方程中得出曲线或图形的几何性质。
第二章：参数方程的求解与变换2.1 参数方程的求解讲解如何求解参数方程中的参数值，重点讲解代数方法和解的存在性。
举例说明求解参数方程的步骤和技巧。
2.2 参数方程的变换介绍参数方程之间的变换方法，如参数替换和变量替换。
讲解如何将一个参数方程转换为另一个参数方程，并解释其几何意义。
第三章：参数方程的应用3.1 物体的运动方程讲解参数方程在物体运动中的应用，如匀速直线运动和圆周运动。
举例说明如何根据物体的运动特点建立参数方程。
3.2 优化问题的参数方程解决方法介绍参数方程在优化问题中的应用，如最短路径问题和最大值问题。
讲解如何利用参数方程来解决优化问题，并给出实例。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 参数方程与直角坐标方程的互化讲解如何将参数方程转换为直角坐标方程，反之亦然。
举例说明互化过程中的注意事项和转换方法。
4.2 参数方程与极坐标方程的互化讲解如何将参数方程转换为极坐标方程，反之亦然。
举例说明互化过程中的关键点和转换方法。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在几何问题中的应用讲解参数方程在几何问题中的应用，如求解曲线的长度、面积和角度等。
举例说明如何利用参数方程解决几何问题。
5.2 参数方程在实际问题中的应用介绍参数方程在实际问题中的应用，如电子束聚焦和运动规划。
讲解如何将实际问题转化为参数方程问题，并给出解决方法。
第六章：参数方程在物理问题中的应用6.1 经典力学中的参数方程讲解参数方程在经典力学中的应用，如在描述抛体运动、圆周运动等问题。
举例说明如何根据物理定律建立参数方程，并分析其物理意义。
§2.1.1参数方程的概念-教案
课题：§2.1.1参数方程---参数方程的概念（第一课时）吴代军（恩施高中.恩施市445000 ）一、教学设计1．教学内容解析本课内容为北师大2003课标版《选修4-4》第二讲“参数方程”的起始课《参数方程的概念》，课本中给出的问题情境是“投铅球”，由于涉及投掷点的高度问题，对学生而言难度略大，从而构置学生熟悉的运动项目--“跳远”这一情景，层层深入的探究“跳远”这一运动项目的数学内涵，较为自然的生成“参数方程概念”，比较参数方程和普通方程在研究同一问题的数学直观与简洁美，通过学生生活问题数学抽象，再经过严密的逻辑推理，建立恰当的数学模型，进行合理的数学运算，进而培养学生良好的数学素养.2.2019年考试说明和教学大纲考试说明指出：要求学生“了解参数方程并了解参数方程参数的意义”，在对学生的能力层次要求上属于“了解”的程度，这就要求学生能根据问题的条件，学会引进恰当的参数建立参数方程，体会具体问题中参数的意义.f x y教学大纲指出：参数方程不仅可表示曲线，还可描绘事物运动变化的规律，对于较难建立(,)0的方程用参数方程描绘,x y间的联系更为方便，这就让我们感受到了学习参数方程的必要性。
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：根据问题情境和题设条件引入合适的参数，建立参数方程，并体会参数的意义.3．学生学情诊断课堂主体对象为湖北省重点中学、省级示范高中恩施高中，学生有较强的探究意识和学习能力，基于本节内容为学生对函数关系、运动变化、实际问题的建模已经有较为深刻的认知，已经学习了“曲线与方程”，探究动点轨迹方程有理性的认识，由此对本节课“参数方程的概念”的知识建构作了较好的铺垫.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：根据具体问题选取恰当的参数，建立曲线的参数方程，确定参数的范围.4．教学策略分析本课型为概念课，旨在通过实际情景问题的内涵挖掘，呼朋引伴式的合作与探究，从而达成对“参数方程的概念”新知的建构．在较强的生活背景下将本课时的帷幕渐渐拉开、循序渐进而又螺旋上升的感悟中生成知识，学生体会到数学源于生活，数学是有用的，展“为有源头活水来”之美．鉴于上述分析，本节课的教学策略确定为：情境教学法、发现式教学、启发式教学，为激发学生的学习兴趣，提升课堂效率,增强直观形象，需采用视频投放、实物投影仪、PPT.5．教学基本流程反思凝练)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧=-=αα二．课堂实录6.1 情境创设奥运会的田赛项目急行跳远起源于古希腊奥林匹克运动，首先，我们欣赏一个急行跳远的视频片段，请同学们猜想这样一个问题：若某运动员初速度0v 一定的情况下，以多大的倾斜角α起跳，会跳得更远呢？ 你能建构这一运动轨迹的函数关系(,)0f x y =吗？【设计意图】创设学生熟悉的运动项目“急行跳远”作为引入，从而激发学生兴趣；通过分析“急行跳远”这一运动项目，发现由于水平位移量x 和高度y 是两种不同的运动合成，因此直接建立,x y 所要满足的函数关系式很困难，从而可建立水平位移量x 和高度y 两个方向上的等量关系，比直接列出x ，y 的函数关系要方便得多，为引出“参数方程”的必要性做好铺垫.并为学生对北师大版习题2-1的第一题“摩托车飞跃黄河”这一实际问题的参数方程的刻画有了初步的认知.6.2 第一篇章 追本溯源直观想象 猜想验证为此，我们建立以起跳点为坐标原点的直角坐标系（如此建系较为直观），据物理学可知，以初速度0v ，与水平方向成α起跳后，其运动轨迹由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的反向重力加速度而合成，易得：同学能否验证自己的猜想呢？能否通过逻辑推理证明自己猜想的真伪？【设计意图】通过对“急行跳远”这一情景的挖掘，让同学们提出数学猜想、并通过逻辑推理验证自己的猜想，从而收获学习的乐趣，提升我们学生的数学核心素养；更为重要的是，从而为引出“参)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-⋅=αα数方程的概念”埋下伏笔.探中抽知 新知生成通过对“急行跳远”的探究，你能求它的普通方程么？通过对比研究我们发现了什么？参数方程的定义：如果曲线C 上任意一点P 的坐标y x ,都可以表示为变量t 的函数：{)()(t f x t g y ==， 反之，对于t 的每一个允许值，由函数式{)()(t f x t g y ==所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，则方程：{为参数）（t t f x t g y )()(==叫做曲线C 的参数方程,变量t 为参数.相比参数方程而言，直接给出坐标y x ,的关系称为普通方程.注：1、一般地，参数（...,,θαt ）是有条件限制的；2、参数是联系y x ,的桥梁，可有物理意义、几何意义，也可无明显的意义；3、对应关系.【设计意图】通过对特殊问题的研究，进而理性分析一般问题所蕴含的数学本质，培养学生归纳的数学能力，完成由感性到理性的新知识--“参数方程的概念”的认知建构，较为深刻的体会参数方程这一定义的函数本质.6.3 第二篇章 探究展示自主探究一：探求曲线的参数方程问题1：汶川地震，举国上下，万众一心，为灾区人民第一时间配给救援物资，某运输机在离灾区地面m 490的上空以h km /720匀速直线飞行，为使得救援物资准确投放灾区指定的安置点（不计空气阻)/8.9(2200214902s m g t t x gt y =⎪⎩⎪⎨⎧=-=为参数，力），飞行员如何确定投放时机？（重力加速度2/8.9s m g =）成果展示：剖析思维过程,并通过实物投影展示其解答过程！此处参数t 的意义是什么呢？范围如何选择？（追问：...）飞行员确定投放时机为：距离投放安置点水平距离2000米处投放物资可准确投放.【设计意图】将教材问题作适度的加工和处理，培养学生的数据处理能力，有利于学生对新知的理性认知，成果的展示让学生感受学习习得性成功的体验，与此同时，以地震作为问题背景，有利于培养学生的同情心、民族感，渗透数学学科的人文精神.合作探究二：参数方程概念辨析问题2-1：下列方程可看成参数方程的是（ ）)(012.)(02.22为参数为参数m mx y x B t t y x A =--+=-+{)(.)0(.cos 2cos 232为参数为参数，θθθ===-=>⎩⎨⎧x y a x a y D a a C 问题2-2：曲线的参数方程{为参数）ααα(sin 22cos ==x y ，则参数πα611=对应点的坐标是（ ） )21,1.(A )23,1.(-B )21,1.(-C )23,21.(-D 问题2-3：下列各点可能在方程{)232(2sin cos ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈==ππαααα，为参数，x y 所表示的曲线上的是（ ） )22,1.(A )21,1.(--B )21,23.(-C )23,21.(-D【设计意图】通过师生学生独立自主探究与合作探究相结合，使学生体验探究问题中比较、分析、推理、判断、辨析，使其对参数方程的概念有更进一步的深刻的理解，感受曲线的参数方程与点之间的对应关系，为后续圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程的学习谱写了序章.小组展示三：已知一个量求参数方程问题3（北师大版 选修4-428P 练习2 改编） 设2()cos y t t=为参数，曲线C ：229436y x -=. (1)求曲线C 的参数方程；(2)已知参数4t π=-对应的点(,)M a b 在曲线C 上，求a 的值.【设计意图】通过回归课本的典型问题及其对教材问题的深加工，让学生重视教材的问题原型，“饮水思源”，教材是我们研究问题和培养学生能力和核心素养的“根”，而枝繁叶茂、异彩纷呈的问题均源于此.6.4第三篇章 课堂小结 反思凝炼通过本节课的学习，你学习了那些知识？渗透了那些的数学思想？体现了什么样的数学核心素？ （请学生谈自己的学习体会）【设计意图】通过让学生畅所欲言的谈方法、谈收获、谈体验，使得学生学会学习，学会总结，学会反思，学会表达，进而养成学生良好的反思、小结的学习习惯，为学生的终生发展奠基.6.5课后作业 分层练习基础训练：完成对应章节的《课时作业》能力提升：（北师大课标版26P “问题提出”）一位铅球运动投掷铅球的瞬间铅球球心距离地面高度为h ，初速度为0v 且与水平方向成α角投掷铅球.(Ⅰ)请同学们探究该铅球的运动轨迹的参数方程；(Ⅱ)并研究以多大的倾斜角投掷时，铅球抛掷的水平距离最远？（忽略空气阻力）;(Ⅲ)试分析投掷铅球与急行跳远这两项运动的联系和区别？并举例说明我们身边还有哪些案例属于这类问题，并尝试给出最优化的研究方案.【设计意图】分层训练旨在尊重每一个学生的独立有个性化的发展，尊重他们的认知差异，在学生的最近发展区建构知识，给出能力提升这一问题，意在首尾呼应，让学生带着问题来，带着思考离，起到“言有尽而意无穷”的数学教学的延伸功能，与此同时，开放性问题的设计让学生充分发挥数学想象、通过逻辑推理、验证自己猜想的过程，完成由感性到理性的升华.6.6板书设计一览无余三、教后反思：①反思课前预案：②反思课堂活动：③反思教后改进：四、教学点评：。
参数方程教案.doc
参数方程(教案).备考方向要明了1.考什么：能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程;能用参数方程解决问题2.怎么考：本节考查的重点是参数方程与普通方程的互化及其参数方程的应用，热点是参数方程、极坐标方程的综合性问题，难度较小，主要考查转化和化归的思想方法。
.学习重点：参数方程化普通方程及其参数方程的应用学习难点：直线参数方程的应用.知识整合1.参数方程的概念如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数=⑴，反过来,|x = f(t)对于t的每个允许值，由函数式，所确定的点P(x, y)都在曲线C上，那么方程, ly=g(t)叫做曲线C的参数方程，变量t是参数.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程为(0为参数).2 2(2)椭圆§+%=l(a>b>0)的参数方程为(0为参数).a D3.直线的参霄京程过xOy平呻生整鼻&枷0)®理涮爪回捋翔，取的参数方程为［y=y0+tsinO ' ，其中参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离4.直线与圆锥曲线的参数方程的应用(1)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：直线上任意一点M到M0的距离|M0M|——直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为tl, t2,则弦长——；设弦M1M2中点为M,则点M对应的参数值——(由此可求|M0M|及中点坐标).特别的定点M0是弦M1M2的中点——；.考点逐一突破考点一参数方程化普通方程fx=sin0,例l|y=cos2。
伸为参数，昵［°，2丸］)・解:sin20+cos2e=l, .,.x2+y=l, BP y= 1 -x2.XV|sin0［<l,其普通方程为y=l — x2(|x|^l).方法规律(1)将参数方程化为普通方程的方法角函数关系式消参，如sin2 9 +cos2。
人教版高中数学选修(4-4)-2.1《参数方程的概念》参考教案2
参数方程的概念
一、教学内容分析
本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学选修4-4（人教A版）》第二章2.1.1参数方程的概念。
教材通过“平抛运动中运动物体的位置与时间的关系”引导学生从实际问题中体会物体的水平位移量与物体距地面的高度都与时间t有着关系，进而引出参数方程的概念。
二、学生学习情况分析
本节课是一节概念课，由于前面已经学习了曲线的普通方程，学生在学习参数方程的概念时很容易出现不重视本节课内容的情况，造成对参数方程的概念理解不透彻、不深刻的问题。
三、设计思想
鉴于学生在学习本节课可能出现的问题，在介绍参数方程概念时，应多举例子让学生体会参数方程在解决实际问题时的作用，尤其是要体会参数的设法和作用。
四、教学目标
（一）知识与技能
理解曲线参数方程的概念，能根据实际问题引进适当的参数，写出参数方程，并体会参数的意义
（二）过程与方法
在解决实际问题的过程中，体会参数的基本思想
（三）情感、态度与价值观
初步了解如何应用参数方程来解决具体问题，提高数学抽象思维能力
五、教学重点与难点
1. 重点：参数方程的概念，能根据问题列出参数方程
2. 难点：根据实际问题列出参数方程，并体会参数的意义
六、教学过程设计。
高中数学参数方程全集教案
高中数学参数方程全集教案教学目标：1. 了解参数方程的概念与特点。
2. 掌握参数方程表示的直线、抛物线、圆等几何图形的方法。
3. 能够应用参数方程解决实际问题。
教学内容：1. 参数方程的概念与意义。
2. 直线的参数方程。
3. 抛物线的参数方程。
4. 圆的参数方程。
5. 应用题解析。
教学流程：一、导入（5分钟）通过展示一道简单的参数方程题目引起学生对参数方程的兴趣。
二、教学理论与实践（30分钟）1. 参数方程的概念与意义。
2. 直线、抛物线、圆的参数方程推导与展示。
3. 学生跟随教师完成一些简单的参数方程练习。
三、示范与练习（20分钟）1. 教师示范更复杂的参数方程计算方法。
2. 学生分组完成一些参数方程应用题。
四、梳理知识（10分钟）1. 整理参数方程的要点。
2. 鼓励学生提出问题与疑惑。
五、拓展应用（15分钟）1. 学生尝试解决更具挑战性的参数方程应用题。
2. 学生展示解题过程与答案。
六、作业布置（5分钟）安排相关参数方程题目作业，并要求学生在下节课前完成。
教学反馈：在下节课开始时，教师可以让学生展示他们的参数方程作业，并进行讨论和纠正。
教学资源：1. 教材《高中数学参数方程》。
2. 大黑板、彩色粉笔等。
教学评价：通过观察学生在课堂上的表现以及他们完成的作业，评估学生对参数方程的理解与掌握情况，并根据需要调整后续教学计划。
备注：本教案仅作示范参考，具体实施时可根据学生情况和教学进度做出适当调整。
数学参数方程教案
数学参数方程教案一、引言数学参数方程是描述曲线或曲面的一种常见方法，通过引入参数来表示曲线上的各个点或曲面上的各个点。
本教案旨在向学生清晰地解释什么是参数方程，以及如何利用参数方程进行数学运算和描述几何形状。
二、理论基础1. 参数方程的定义参数方程是一种表示几何图形上各个点的方法，它通过引入参数来表示，并将几何图形的坐标与参数之间建立关系。
2. 参数方程的优点a) 参数方程可以用简洁的形式表示复杂的曲线或曲面。
b) 参数方程可以描述一些传统的坐标系下难以表达的几何形状。
c) 参数方程可以方便地进行运算和推导，尤其在微积分和向量运算中应用广泛。
三、常见的参数方程形式1. 平面曲线的参数方程a) 直线的参数方程：x = x₀ + at, y = y₀ + bt，其中(x₀, y₀)为直线上一点，a和b为方向向量。
b) 圆的参数方程：x = a + rcos(t), y = b + rsin(t)，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
c) 椭圆的参数方程：x = a cos(t), y = b sin(t)，其中(a, b)分别为椭圆在x和y轴的半径。
d) 抛物线的参数方程：x = at², y = 2at，其中a为常数。
...2. 空间曲面的参数方程a) 球面的参数方程：x = a + rsinθcosφ, y = b + rsinθsinφ, z = c + rcosθ，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径，θ和φ为参数。
b) 椭球面的参数方程：x = a cosθsinφ, y = b sinθsinφ, z = c cosφ，其中(a, b, c)分别为椭球面在x，y和z轴上的半径，θ和φ为参数。
c) 双曲面的参数方程：x = a secθsinφ, y = b secθcosφ, z = c tanφ，其中(a, b, c)分别为双曲面在x，y和z轴上的半径，θ和φ为参数。
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参数方程的概念
教学目标:
① 掌握参数方程的概念;
② 理解参数在方程中的意义;
③ 理解参数方程与普通方程的区别.
重点
:参数方程的概念及对参数的理解.
难点:
由参数方程解有关的量.
教学过程:
一. 教学回顾
1、什么是曲线方程?
2、P．21． 探究
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援
物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
二、新课
1、由上问题引出：什么是参数方程？
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数
x=f(t),y=g(t), 并且对于t的每一个允许值,由此所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程就
叫做这条曲线的参数方程.t为参数.
2、参数方程与普通方程
①参数方程有一个参变量；普通方程给出两个变量直接的关系；
②参数有一定的几何或物理意义，也可以没有；
x
y
500
o
③参数方程可以转化为普通方程。
3、变式教学
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行。在离灾区指定目标1000m时投放救援物资
（不计空气阻力，重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）
4、例题
例1: 已知曲线C的参数方程是
（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。
练习：
（1）曲线 与x轴交点坐标是 ；
（2）方程 表示的曲线是 。
例2已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a; （2）求曲线C的普通方程.
5、思考题：
动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12，运动开始时位于点P（1，
2），求点M的轨迹参数方程。
三、小结
1、学习了参数方程，学生谈学习的意义
2、参数方程与普通方程的区别与联系
四、作业布置：
作业本P.54~P.55
2
3,()21.xttyt
为参数
2
1,(43xttyt
为参数）
sin,(cosxy
为参数）
2
12,().xttyat
为参数,aR