专题训练二平面汇交力系平衡的解析条件
汇交力系
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例题2-2. 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计.在
B点作用一水平力 P ,设P = 20kN.求支座A和D的约
束反力。
B P
2m
C
A
4m
D
8
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解： ①平面钢架ABCD为研究对象 P
②画受力图 ③列平衡方程 B RA C
5
§ 2-3 平面汇交力系合成与平衡的几何法
[例2－1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm 的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障 碍物的压力。 解： ①选碾子为研究对象 ②几何法
F Ptga
NB P cos a
r 2 (r h) 2 tga 0.577 r h
2m
A
D
4m
Fix = 0 P +RA cos = 0 Fiy = 0 RA sin +RD = 0
④求解方程
RD
RD
C P
RA = - 22.36 kN RD =10 kN
RA
9
§ 2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法 求SCD , RA
[例2－3] 已知 P=2kN
解： ①研究AB杆 ②画出受力图
2
§ 2-1
力在空间直角坐标轴上的投影
Rx X 1 X 2 X 4 X
二、合力投影定理
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
简写为：
Rx X
Ry Y
结论：平面汇交力系合力在任一轴上的投影，等于
各分力在同一轴上投影的代数和。
第二章平面汇交力系及平面力偶系
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
平面汇交力系的平衡充要条件
平面汇交力系的平衡充要条件《平面汇交力系的平衡充要条件》我给大家讲个事儿啊。
有天我和我那二货朋友小明去搬东西，我们打算一起抬一个大箱子。
我在左边用力$F_1$，他在右边用另一个力$F_2$。
这个箱子就像是个平面汇交力系里的受力物体。
当时呢，我使了好大的劲儿，方向向左下方，小明也使了比较大的力，方向右下方。
这箱子呀，就那么原地晃悠，一会儿往左动一下，一会儿往右动一下，就是稳稳当当不按照我们想要的走直线。
这时路过的学霸小红看到就说：“你们可真笨，这就像平面汇交力系不平衡。
如果这些力要平衡啊，是有条件的。
”我们就好奇地看着她。
好了，咱们现在开始正经说说平面汇交力系的平衡充要条件吧。
首先呢，平面汇交力系是指作用于物体上的力都在同一平面内，而且它们的作用线汇交于一点的力系。
对于这样的力系来说呢，平衡的充要条件是力系的合力为零，这是关键的一点。
具体怎么理解这个合力为零呢？我们可以从矢量相加的角度来看。
假设这些力分别为$F₁$、$F₂$、$F₃$等等，这些力既然是矢量，就有大小还有方向啦。
要是把它们一个一个按照矢量加法的规则加起来，得到的合力矢量大小得是零才行。
比如说在我们抬箱子这个例子里，如果我们俩的力按照平行四边形法则合成起来的结果是有一个多余的分力，那箱子肯定不能稳稳当当的，就跟我们开始的时候一样，箱子在那儿乱动。
要是从解析的角度来看呢，建立一个合适的坐标系，通常是直角坐标系啦。
可以把每个力分解成$x$方向和$y$方向的分力。
这个时候呢，平衡的充要条件就可以表述为，所有力在$x$轴方向的分力之和等于零，所有力在$y$轴方向的分力之和也等于零。
就是$\sum F_x = 0$和$\sum F_y = 0$。
就像我们要准确知道在水平方向和竖直方向需要多大的力才能把箱子稳稳抬起来，不能让它往左斜或者往右斜，也不能让它前倒或者后仰。
再从几何关系方面说几句。
如果用多边形法则来表示力系的合成，那当力系平衡的时候，这些力所构成的力多边形是自行封闭的。
平面汇交力系
B
A
C
P
a
a
匀速起吊重P的预制梁如图所示，如果要求绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问a 角应在什么范围内？
思考题：
而如将力F沿正交的x、y坐标轴方向分解（图b），则所得分力Fx 、F y 的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。
图b
力在坐标轴上的投影
y
x
O
B
A
a
b
F
F
x
F
y
Fx
Fy
b1
a1
式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。
∑Fx=0 ， ∑Fy=0
x
O
y
FRx
FR y
FR
F1
F2
Fn
A
B
C
60
45
。
。
（a）
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。
例 题 2- 3
y
x
B
mg
FCB
30
。
FAB
45
。
(b)
注意:
力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无ห้องสมุดไป่ตู้谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
O
x
y
F1
F2
FR
a
b
c
A
B
C
3. 合成
x
O
y
FRx
FR y
第二章 平面汇交力系
即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
9
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
15
4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R
（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
10
简易压榨机
11
求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
12
列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
机械设计基础典型试题1
《机械设计基础》试题一、填空与选择题（30分）1.力的三要素是 、 、 。
2.平面汇交力系平衡的几何条件是 ，解析条件是 。
3.在设计Ⅴ带传动时，根据_________和_________选择带的型号，根据_________选择小带轮的基准直径。
4.通常用于传动的螺纹牙型有 、 、 ，用于联接的螺纹牙型是 螺纹。
5.一对渐开线外啮合斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件是 、 、 。
6.渐开线直齿圆柱齿轮不产生根切的最少齿数是 。
7.螺纹的公称直径是 径。
8.闭式软齿面齿轮，主要失效形式是 ，通常按 强度设计，按 强度校核。
9.带的弹性滑动是由 引起的，打滑是由 引起的。
弹性滑动是 ；打滑是 。
（1）可以避免的 （2）不可避免的。
10.自行车轮的轴是 轴；自行车当中链轮的轴是 轴。
11.通常小齿轮齿宽与大齿轮齿宽之间的关系是mm b b )105(21—+=，是为了 。
12. 平键标记：键B20×80 GB1096-79，其中20×80表示 。
（A ）键宽×轴径 （B ）键高×轴径 （C ）键宽×键长 （D ）键宽×键高13. 一个滚动轴承的额定动载荷，是指该型号轴承 ，轴承所能承受的载荷。
（A ）使用寿命为106转时 （B ）额定寿命为106转时（C ）平均寿命为106转时 （D ）该轴承可靠度为95%时14.在平面连杆机构中，当最短杆与最长杆长度之和大于其余两杆长度之和时，该机构一定是 机构。
（A ） 曲柄摇杆机构 （B ） 双曲柄机构 （C ）双摇杆机构二、画出下列指定物体的受力图。
未画重力的物体重量均不计，所有接触处均为光滑接触。
（12分）三、计算图示平面机构的自由度，并判断机构具有确定运动的条件（机构中如有复合铰链、局部自由度、虚约束需明确指出）。
（8分）四、在图示的手动葫芦中，S为手动链轮，H为起重链轮。
已知z1=12,z2=28,z2’=14,z3=54,求传动比i SH。
1-2平面力系的平衡方程
F1
F3 F2
M1 F1
M3 F3
M2 F2
F1 M
F3
F
F2
(三)平面任意力系
2、平面任意力系的平衡条件及方程平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和力系对任一点O的主矩分别等于零
∑FR=0
∑M=0
用解析式表示 ∑Fx=0
∑Fy=0
∑MA（F）=0
上式共有3个独立方程，可求解三个未知量
(三)平面任意力系
也可以表示为两力矩形式，即
∑Mo(F)=0
∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0
但AB连线不能与诸力平行，此平衡方程有两个，只能解两个未知量
(三)平面任意力系
各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系，又称为平面一般力系 平面任意力系向一点简化如图所示由图可知，平面任意力系向作用面内一点简化， 可得到一个主矢F和一个主矩M
(1)力在坐标轴上的投影：
已知力F作用于构件的点A(图a)，
A
在力F作用线所在平面建立直角坐标系Oxy， 从力P的始点A和末端点B分别向x轴、 y轴作垂足a、b和a、b，通常F在x轴
图a y
上投影用Fx表示，在y轴上的投影用Fy 表示，Fx，Fy是力F沿x轴、y轴分解所 得到的两交分力，其正负号规定为： 若投影的指向与坐标轴正向一致为正，
(四)考虑摩擦时平衡方程的解法
2、摩擦角
将全约束反力与法线间夹角的最大值称为摩擦角
F
a FN
FT
当FT达到最大值FTmax时，a也达到最大值，即 tanØ m= Fmax/FN=us. FN/FN=us即： 摩擦角的正切值等于静摩擦系数
F Ø m FN
FTmax
第二章、平面汇交力系
60o
试求该平面汇交力系的合力。
45o
解：（1）计算合力的投影
F3
由合力投影定理，得合力的投影
FR
F1
30o
45o
x
F4
FRx F1 cos 30o F2 cos 60o F3 cos 45o F4 cos 45o 129.3N
FRy F1 sin 30o F2 sin 60o F3 sin 45o F4 sin 45o 112.3N
理 平面汇交力系—平衡
论
力 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该利息的合力FR等于零，
学
则有
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
亦即 Fx 0 Fy 0
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是： 力系中所有力在作用面内两个任选的坐标轴上的投影代数和 分别等于零。称为平面汇交力系的平衡方程。
4、求解平衡问题的主要步骤是：
（1）选取研究对象；
（2）进行受力分析，画出受力图；
（3）应用平衡条件（列平衡方程）求解；
（4）进行校核，必要时应分析和讨论计算结果。
应用举例
第二章 平面汇交力系
应用举例
理 例题 2-1
论
y
力 学
已知 F1=200N F2=300N F3=100N F2
F4=250N 各力的方向如图所示，
学
合力为零
即: FR FR2x FR2y ( Fx )2 ( Fy )2 0
平面汇交力系的平衡方程:
Fx 0 Fy 0
平面汇交力系平衡的必要且充分的解析条件为： 力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
平面汇交力系有两个独立平衡方程，可求解两个未知数。
第二章、平面汇交力系
第二章 平面汇交力系§2-1平面汇交力系的合成与平衡— 几何法
理 力系合成—几何法
论
力
学
F1
F2
F3
A
c F3
d
F2
FR1 FR2
F4 e
b
F4
F1
FR
a
F2
F4
FR F1
F3
结论: 平面汇交力系可以合成为一个合力，合力作用线通过 汇交点，合力的大小和方向可由力多边形的封闭边矢量 确定，即等于各分力的矢量和。
论
将上述合力投影与分力投影的关系
力 推广到n个力组成的平面汇交力系中，则得
学
FRx = F1x+ F2x+ F3x……+ Fnx= ∑Fx
第二章 平面汇交力系§2-1平面汇交力系的合成与平衡— 几何法
理 力系合成—几何法
论
力
学
F1
F2
F3
A
c F3
d
F2
FR1 FR2
F4 e
b
F4
F1
FR
a
F2
F4
FR F1
F3
若各力合成的次序不同，则得到的力矢图的形状显然各不 相同，但是所得合力矢FR则完全相同，由此可知，合力矢FR与 各分力矢的作图次序无关。
理 力在坐标轴的投影
投影与力的大小及方向有关。
论
力
设力F与坐标轴正向间的夹角分别为α及β，
学
则分力的大小为：
Fx F cos
y
Fy
F
c
os
F
即力在某轴上的投影等于力的大小 Fy
x
乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。
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专题训练二：平面汇交力系平衡的解析条件
一、 知识准备：
1、平衡的概念（二力的平衡条件？？？）
2、平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。
用解析式表达是：
二、 计算公式：
平面汇交力系的平衡方程
所以，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两坐标轴上的投影的代数和分别为零。
（几何条件？？？利用平衡方程可以做什么？？？）
三、 解题步骤：
1、选取研究对象，画出研究对象的受力图。
思考：须注意些什么？
2、建立直角坐标系。
思考：如何建可使问题简化？
3、列平衡方程求解未知力。
思考：求出的未知力的正负号说明什么？
四、 例题精讲：
例1：如图所示，已知F=10KN ，A 、B 、C 三处为铰接，杆的自重不计，试求三角支架AB 、AC 两杆所受的力。
五、 参考例题：
课本P 31、32例2-7、2-8、2-9.
六、
课后练习：课后题P 692-11、 2-12（a ）、2-13。
A F ∑X=0
∑Y=0
七、练习题
1、已知P=10KN ，A 、B 、C 三处都是铰接，杆自重不计，试用解析法求图中的三角支架各杆所受的力。
2、支架由杆AB 、AC 构成，A 、B 、C 三处都是铰链连接，在A 点作用有铅垂力G 。
试求在图示的三种情况下，AB 与AC 杆所受的力。
杆的自重不计。
3、如图所示，三角支架中，已知P=10KN ，A 、B 、C 三处为铰接，当AB 、AC 两杆自重不计，试求三角支架AB 、AC 两杆的作用力。
A
A。