多元函数微分学练习题

第五章（多元函数微分学） 练习题

一、填空题 1. (,)(0,0)sin()

lim

x y xy y

→= ．

2. 22

(,)(0,0)

1

lim ()sin

x y x y x y →+=+ ． 3. 1

(,)(0,0)

lim [1sin()]xy

x y xy →+= ．

4. 设2

1sin(), 0,

(,)0, 0x y xy xy f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

则(0,1)x f = ．

5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ．

6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ．

7. 设2

2

2

1u x y z

=

++，则d u = ．

8. 若

(,)f

a a a x ∂=∂，则(,)(,)lim

x a f x a f a a x a

→-=- ． 9. 设函数222ln u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M -处

的方向导数的最大值为 ．

10. 设函数2

3

u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-v

的方向导数

为 ．

11. 设2z xy =，3l i j =+，则

21

x y z l

==∂=∂ ．

12. 曲线cos ,sin ,tan 2

t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ．

15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．

17. 曲线2226,

2

x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ．

18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则

=)1,1,0(x f ．

二、选择题

1. 设0x 是n R ⊂E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ）

(A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ⊂E 的内点，则0x 是E 的 （ ）

(A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点．

3. 设22

2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪

=+⎨⎪=⎩

，则(0,0)y f =( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-

4. 若),(y x f 在),(00y x =0x 的两个偏导数

)(0x x

f

∂∂，)(0x y f ∂∂存在，则 ( ）

(A)f 在0x 可微； (B)f 在0x 连续； (C)f 在0x 存在任何方向的方向导数； (D)f 在0x 关于x 与y 皆连续．

5. 二元实值函数),(y x f 的两个偏导数

x

f

∂∂，y f ∂∂在),(00y x =0x 连续是f 在0x 可微的(

)

(A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 既不是充分也不是必要的条件

6. 函数22223u x y xz y =+-+-在点(1,1,2)-处的方向导数的最大值为（ ）

(A)42； (B)32； (C)22； (D)2． 7. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是( )

(A) (0,0) (B) (2,2) (C) (2,0) (D) (0,2)

8. 设),(y x f z =在),(00y x =0x 可微,z ∆是f 在0x 的全增量,则在0x 处有 ( ）

(A)dz z =∆； (B)y x f x f z y x ∆'+∆'=∆)()(00x ； (C)dy f dx f z y x )()(00x x '+'=∆； (D)))()((),(22y x dz z ∆+∆=+=∆ρρο． 9. 设)(22z x yf z x -=+（其中f 可微），且能确定隐函数),(y x f z =，则=∂∂+∂∂y

z

y x z z

（ ）

(A) )()(22z x f z y y x -'++； (B) x ； (C) )()2(22z x f xz y y x -'++； (D) z ．

10. 设方程)()(22y x F y x F y +++=能确定隐函数)(x f y =（其中F 可微），且

1)4(,21

)2(,2)0(='='=F F f ，则=')0(f （ ）

(A) 71； (B)71-； (C)41-； (D)3

1

-．

11. 曲面1=xyz 上平行于平面03=+++z y x 的切平面方程是 （ ）

(A)03=-++z y x ； (B)02=-++z y x ； (C)01=-++z y x ； (D)0=++z y x ． 三、计算与证明题

1. 设(,)w f x y z xyz =++，f 具有二阶连续偏导数，求2,w w

x x z

∂∂∂∂∂．

2. 设函数(,)z z x y =是由方程2222(,)0F z x z y --=所确定的隐函数，其中(,)F u v 具有一阶连续偏导数，试求表达式

11z z

x x y y

∂∂+∂∂． 3. 设函数(,)()x y z f xy g y x =+，f 具有二阶连续偏导数，g 二阶连续可导，求2z

x y

∂∂∂．

4. 设函数(), ()y y x z z x ==由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+=确定，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

dz

dx

． 5. 设(,,)u u x y z =由方程222222(,,)0F u x u y u z ---=所确定，求证：

1111

u u u x x y y z z u ∂∂∂++=∂∂∂． 6. 设方程222()z x y z yf y

++=能确定隐函数(,)z z x y =，求证：

222()

22z z x y z xy xz x y

∂∂--+=∂∂． 7. 求函数23z x y y =+-的极值． 8. 求函数22(2)x z e x y y =++的极值．

9. 在平面320x z -=上求一点，使它与点(1,0,1)A ，(2,2,3)B 的距离平方和为最小．