极限的概念_函数的连续性详解

第二章.极限概念 函数的连续性

对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，

因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。

对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种

描述作为一般的判别标准。

这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。

数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法）

设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一

个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。

观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律：

对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个a N 元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的值小于ε，

换一句话来说，对于任意的ε，总是存在一个N ，当n>N 时， 总是有ε<-a a n 成立

这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列

,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示该数列极限。

否则我们就说数列{}a n 是发散的。

这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。

在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个：1。数值ε是任意的。就是说只要存在一个ε的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。

这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的ε都进行检验，才能得到最后的判断呢？不是的,在实际问题中，由于我们的

目的是希望知道变量

a

a n-是否越来越小，一般只要取ε大于0，并且足

够小（我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，），当然这样不能减少我们对ε的任意取值进行验证的任务，但是我们所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化，一般从这个数列的变化规律本身就可以找到由ε决

定的N的值，使得

a

a n-

小于ε，或者是找到反例。从而实现对所有可能

的ε们进行判断.

不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。

2.满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。

初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N 的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。

那么数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数

的表达式称为通项a n的通项公式。

不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，有时由变量n和第n项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。

利用极限的定义和应用不等式（绝对值不等式.）对一个数列进行检验是否存在极限，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。

答疑解难。

1．数列的极限的定义当中，ε与N的取值是一一对应的吗？

[答]：不是。

初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入，并且常常产生歧义，这个问题就是最为典型的。

尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由ε推出N的表达式，但这并不是意味着这两个变量之间具有一定的函数关系，这两个变量之间确实是具有一定的关系，但决不是函数的关系，而是一种两个区间的相互影响与决定的关系，实际上，我们给出一个ε的意思，实际上是给出了一个区间，同样由此而得到的N，也是一个区间的概念，而不是两个数值变量的关系，因此N的求法是很多形式的，实际问题当中，我们只是选择了最为方便的形式而已。

那么在不知道预先极限值时，有没有方法验证数列是否有极限，这就是

相当重要的柯西收敛原理：

我们说数列{}a n 收敛，它的充要条件是：对于任意的ε>0，总是存在

正整数N ，使得对于任意的自然数p 和n>0，有

ε<-+a a n p n 成立。

可以看到，在这里对数列所进行的检验与极限的定义当中对数列所进行

的检验是存在一点差异的，就是在这里对数列进行检验，我们并不需要知道这个数列的极限a 究竟是多少，而通过检验，我们也只是知道这个极限是否存在极限，但求不出极限是多少。

而在极限的定义当中，要对一个数列进行检验，实际上是预先假设知道

了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。

柯西原理是更为方便的验证是否有极限方法

其他判别极限存在定理

（1）数列{}a n 以a 为极限的另一个说法，或者说一个充要条件是：对

于数列{}a n 的任意一个子数列{}a n i 都以a 为极限。

我们只要能够在一个数列里，构造出一个发散的子数列，或者是构造出

两个具有不同收敛极限的子数列，就可以说明这个数列是发散的。

（2）如果数列{}a n 的子数列{}12a k +和{}2a k 都收敛于同一个极限，那

么数列{}a n 也收敛于这个极限。

显然这个定理比性质（1）所需要的条件更弱，但结论是一样的，这是

因为我们选取了特定的子数列。

（3）如果两个不同数列具有相同的极限：c b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，而另外

一个数列{}c n 满足条件：存在一个确定的自然数N ，当n>N 时，总是有

b c a n n n ≤≤

成立，那么数列{}c n 收敛，并且极限为c 。

这个性质被称为夹逼定理，常常用来求某个合适的数列的极限，前提是

已知另外两个数列的极限，并且这三个数列具有定理所要求的关系。

（4）如果我们把数列看成是以自然数为自变量的函数，那么就可以相

应地定义这个函数的有界性和单调性，这两个概念是相当直观的，并且显然可以知道一个收敛数列必然是有界的，因为按照极限(收敛)的定义，满足

ε>-a a n 的项总是有限的，因此总能够得到一个确定的函数的界。

反过来，则还必须加上一个条件(单调)：

单调而且有界的数列必定存在极限。

这是一个相当重要的极限存在定理，因为往往判定一个数列的单调性和

有界性是比较容易的。

数列存在极限判别方法中，定义法、子数列法、夹逼法、需要

知晓极限然后去验证。单调有界法、柯西法不需要知晓极限就可以验证

极限四则运算的理解

如果一个数列是由两个收敛数列通过四则运算得到的，那么这个数列的

收敛性质就由这两个数列决定，

这就是数列极限的四则运算性质：