概率论与数理统计(B)试题及答案

陕西科技大学2010级 试题纸

课程 概率论与数理统计（B ） 班级

学号 姓名

1、A B C 表示随机事件,,A B C 至少有一个不发生. （ ）

2、若()1P A =，则A 是必然事件. （ ）

3、若2~(2,1),~(2,0.5)X N Y N －，则(0)0.5P X Y >=＋. （ ）

4、X 为随机变量，当12x x <时，则有12()()P X x P X x >≤>.. ( )

5、设

(,)X Y 是二维正态随机变量，则随机变量X 与Y 独立的充要条件是

cov(,)0X Y =. ..( )

二、填空题（每小题3分，共15分） 1、设,A B 为随机事件，()0.6P A =

，()0.4P B =，()0.8P A B = ,则

()P B A = .

2、在区间(0,1)上随机取两个数,x y ，则关于t 的一元二次方程220t xt y -+=有实根的概率为 .

3、设随机变量~()X P λ,且3(0)P X e -==，21Y X =-,则()D Y = .

4、设随机变量~(0,1),~(2,1)X N Y N ，且X ，Y 相互独立，设随机变量21Z X Y =-+，则Z ～ _ .

5、设随机变量X~U[1,2]，由切比雪夫不等式可得3

2P X ?-≥≤??

.

三、 选择题（每小题3分，共15分）

1、对事件,A B ，下列命题中正确的是（ ）

A 、若,A

B 互斥，则,A B 也互斥. B 、若,A B 互斥,且()0,()0P A P B >>,则,A B 独立.

C 、若,A B 不互斥，则,A B 也不互斥

D 、若,A B 相互独立，则,A B 也相互独立. 2、设随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，则随σ的增大，概率(22)P X σ-<是（ ） A 、单调增加 B 、 单调减小 C 、 保持不变 D 、 无法判断 3、设(,)F x y 为(,)X Y 的分布函数,则以下结论不成立的是（ ）

A 、0(,)1F x y ≤≤

B 、 (,)1F -∞+∞=

C 、(,)0F -∞+∞=

D 、 (,)0F -∞-∞=

4、把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为（ ） A 、1

15

B 、1

12

C 、1

10

D 、18

5、若121000,...X X X 是相互独立的随机变量，且(1,)(1,2,,1000)i X B p i = 则下列说法中不正确的是（ ）

A 、1000

111000i i X p =≈∑ B 、1000

1

()()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑ C 、

1000

1

~(1000,)i i X B p =∑ D

、10001()i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑

四、（12分）设(,)X Y 的联合概率分布如下,求： ①()()E X E Y 、 ②()E XY 、(,)COV X Y

③Z X Y =+的概率分布.

五、（10分）甲、乙、丙三人同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.3、0.2、0.5，目标

被命中一发而被击毁的概率为0.2，目标被命中两发而被击毁的概率为0.6，目标被被命中三发则一定被击毁，求三人在一次射击中击毁目标的概率.

六、（16分）设随机变量X 的概率密度为()2,10

0,10

A

x f x x x ?>?=??≤?，求:

①A ; ②(15)P x <; ③求X 的分布函数()F x ; ④设2Y X =,求Y 的概率密度.

七、（16分）设二维随机变量()Y X ,的概率密度为()22,01,0

,0,

y e x y f x y -?≤≤>=??其它 求:

① (2)P Y X ≥; ②关于X 与Y 的边缘概率密度; ③X 与Y 是否独立？为什么？ ④(24)E X Y +.

八、（6分）设X 与Y 相互独立，其分布函数分别为()X F x 、()Y F x .证明：随机变量X 与Y 的最大值max(,)U X Y =分布函数为()()X Y F u F u ?.

2010级概率论与数理统计（B ）试题答案 一、√； ×； ×； ×； √ 二、1/3； 1/3； 12；N(-1,5)； 1/6 三、D ； C ； B ； A ； B 四·

(,)()()()5/144COV X Y E XY E X E Y =-=-…………………………2分

五、解：设A ：甲击中；B ：乙击中；C ：丙击中 i D ：击中i 发，(1,2,3)i =；E ：击毁目标

1()()0.47P D P ABC ABC ABC =++= 2()()0.22P D P ABC ABC ABC =+++=

3()()0.03P D P ABC ==………………………………………………5分

3

1()()()

0.470.20.220.60.0310.256i i i P E P D P E D ===?+?+?=∑…………………………5分

5/12EX =…………………………2分

1/12EY =…………………………2分

②

()0E XY =…………………………2分

③

……………………………4分

六、①

210

1A

dx x +∞

=?

，则A ＝10 ……………………………………………4分

②

15

2

1010

(15)1/3P x dx x <==?

……………………………………………4分

③ 10,()0x F x <=

210101010,()()1x

x

x F x f x dx dx x x -∞

≥===-?

?

…………………………4分

④

20,()0Y y F y <=

2

2101020,()()()2y

Y y y F y P Y y P X dx

x ≥=≤=≤=?

2

0,20

()[()]20/,20Y Y y f y F y y y ≤?'==?>? ………………………………… 4分

七、①

4

1

20

21(2)24y

x

e P Y x dx e

dy -+∞

--≥==

??………………………………… 4分

②

1,

01()(,)0,

X x f x f x y dy +∞

-∞

≤≤?==?

??

其它

22,0

()(,)0,0y Y e y f y f x y dx y -+∞

-∞

?>==?

≤??

…………………………… 4分

③ X 与Y 独立. 因为

(,)()()X Y f x y f x f y = …………………………… 4分

④ 11

(24)24243

22E X Y EX EY +=+=?+?= ……………………… 4分

八、证明：

()()(max(,))(,)U F u P U u P X Y u P X u Y u =≤=≤=≤≤………… 3分

()()()()X Y P X U P Y U F u F u =≤≤= ……………………… 3 分

陕西科技大学2011级 试题纸

课程 概率论与数理统计（B ） 班级

学号 姓名

1.设()1P AB =,则事件A 必然发生且事件B 必然不发生。（ ）

2.如果事件,A B 相互独立，则事件,A B 也相互独立。（ ）

3.设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且满足?+∞

∞-=1)(dx x f ，则)(x f 一定可以作

为某个随机变量的分布密度函数。（ ）

4.设随机变量Y X ,不相关，且DY DX ,存在，则DY DX Y X D +=+)(。（ ）

5.设随机变量X ~),(2σμN ,则随着σ的增大，概率(3)P X μσ-<也增大。（ ）

二、填空题（每空3分，共15分）

1.设3.0)(,5.0)(,8.0)(_

===A B P B P A P ,则=)(B A P ______________________ 2.设X ~U[1,5],则=≤)3(X P __________________________________ 3.设X ~),2(p B ,),3(~p B Y ,且9

5

)1(=

≥X P ,则=≥)1(Y P __________________ 4.设5.0,16,9===XY DY DX ρ则=-)32(Y X D ___________________________ 5.设X ~),4,2(-N Y ~)9,3(N ,且Y X ,独立，设53+-=Y X Z 则Z ~___________________________________ 三、选择题（每小题3分，共15分）

1.当随机变量X 的可能值充满（ ）时，x x f sin )(=可以成为X 的概率密度函数： （A ）]2

,2[π

π-

(B)]2,0[π (C)]23,0[π

(D)],0[π

2.设X 的标准差2=X σ，则由切比雪夫不等式有≤≥-)3(EX X P ( ) (A)

92 (B)94 (C)93 (D)9

2 3.设Y X ,的方差存在满足)()(Y X D Y X D -=+,且0>DXDY ,则（ ） （A ）Y X , 独立 (B)Y X , 不相关 (C)0=DY (D)0)(=XY D 4.设X ~),(p n B ，44.1,4.2==DX EX ,则p 和n 为（ ） （A ）6.0,4==p n (B)4.0,6==p n （C ）3.0,8==p n (D)1.0,24==p n 5.设随机变量X 的密度函数为4

)2(2

21)(--

=x e

x f π

，b aX Y +=~)1,0(N

则（ ） （A ）1,21==

b a (B)2,2

2

==b a (C) 1,21-==

b a (D)2,2

2-==b a 四、（12分）从40件正品，5件次品的产品中任取5件，求下列事件的概率： 1）恰有两件是次品。 2) 至少有两件是次品。 3）最多有两件是次品。

五、(12分)设三个箱子装有黑白两种颜色的球，第一箱有5只黑球3只白球，第二箱有3只黑球，3只白球，第三箱有4只黑球，2只白球，现随机地取一个箱子，再从中取出3只球，求： 1）取得2只白球的概率。

2)假设已经发现取到两只白球，则它们取自于第一箱的概率。

六、（15分）设)

,

(Y

X是二维离散型随机变量，联合分布列如下：

求：1）X和Y的边缘分布2）DY

DX,3))

,

(Y

X

COV

七、（16分）设随机变量)

,

(Y

X的联合概率密度为

(4),0,0 (,)

0,

x y

Ce x y

f x y

-+

?>>

=?

?其它

求：1）常数?

=

C

2）X和Y的边缘密度函数

3))3

,2

(<

X

P

4）X与Y是否独立，并说明理由。

八、（5分）设二维随机变量)

,

(Y

X满足平面上由5

,2

,1=

+

=

=y

x

y

x所围区域上的均匀分布，试求)

,

(Y

X的分布函数)

,

(y

x

F。

2011级概率论与数理统计（B ）答案

一、

× √ × √ × 二、

1、0.86

2、0.5

3、2719

4、108

5、

)85,6(-N

三、 1、（B ） 2、（A ） 3、（B ）4、（B ） 5、（D ） 四、

设321,,A A A 分别是“恰有、至少和最多有两件是次品三个事件”。则

1）545253401)(C C C A P = 2)5

451

5

44054554021)(C C C C C A P --= 3)5

452

5340545154405455403)(C C C C C C C C A P ++=

五、

设B 事件为“取得两只白球”，i A （i=1,2,3）分别为“取自于第一、二、三箱”

由全概率公式，得5619313131)()()(3

6

1

422

3613233815233

1=?+?+?==∑=C C C C C C C C C A B P A P B P i i i

由贝叶斯公式，得195

5619565

)(1==

B A P

六、

1）X 和Y 的边缘分布密度如下

2）

2141221141)2(=?+?+?

-=EX 254142114142=?+?+?=EX

49)21(252=-=

∴DX

4341221)1(41)3(-=?+?-+?

-=EY 415

4142114192=?+?+?=EY

1651169415=-=

∴DY

67)(-

=XY E

2419

)43(21)67()(),(-

=-?--=-=∴EXEY XY E Y X COV

七、 1）由??

+∞

+∞

+-=00

)

4(1

dxdy Ce

y x ，得

4141

=∴=?

C C

2)

?

∞+∞

--??

?>==其它

,00

,.),()(x e dy y x f x f x X

?

∞+∞

--??

?>==其它

,00

,.4),()(4y e dx y x f y f y Y

3）

??--+---==<<3

122)4(20

)

1)(1(4)3,2e e dy e dx Y X P y x （

4）由于),((y x f y f x f Y X （））=，故Y X ,相互独立。

八、

由题设知，密度函数为

?????≤≤≤≤=其它,04

2,31,2

1

),(y x y x f

由分布函数的定义，可得

?????????????≥≥≥<≤--≥<≤---<≤<≤--<<=≤≤=3

,413,42)4)2

(21

4

,31)3)(121

52,31)2)(1(21

21,0),(),(x y x y y y y x x x x y x y x y x y Y x X P y x F 且，，（，（，时或

陕西科技大学 试题纸

课程 概率论与数理统计（B ） 班级

学号 姓名

1.设()1P AB =,则事件A 必然发生且事件B 必然不发生。（ ）

2.如果事件,A B 相互独立，则事件,A B 也相互独立。（ ）

3.设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且满足?+∞

∞-=1)(dx x f ，则)(x f 一定可以作

为某个随机变量的分布密度函数。（ ）

4.设随机变量Y X ,不相关，且DY DX ,存在，则DY DX Y X D +=+)(。（ ）

5.设随机变量X ~),(2σμN ,则随着σ的增大，概率(3)P X μσ-<也增大。（ ）

二、填空题（每空3分，共15分）

1.设3.0)(,5.0)(,8.0)(_

===A B P B P A P ,则=)(B A P ______________________ 2.设X ~U[1,5],则=≤)3(X P __________________________________ 3.设X ~),2(p B ,),3(~p B Y ,且9

5

)1(=

≥X P ,则=≥)1(Y P __________________ 4.设5.0,16,9===XY DY DX ρ则=-)32(Y X D ___________________________ 5.设X ~),4,2(-N Y ~)9,3(N ,且Y X ,独立，设53+-=Y X Z 则Z ~___________________________________ 三、选择题（每小题3分，共15分）

1.当随机变量X 的可能值充满（ ）时，x x f sin )(=可以成为X 的概率密度函数： （A ）]2

,2[π

π-

(B)]2,0[π (C)]23,0[π

(D)],0[π

2.设X 的标准差2=X σ，则由切比雪夫不等式有≤≥-)3(EX X P ( ) (A)

92 (B)94 (C)93 (D)9

2 3.设Y X ,的方差存在满足)()(Y X D Y X D -=+,且0>DXDY ,则（ ） （A ）Y X , 独立 (B)Y X , 不相关 (C)0=DY (D)0)(=XY D 4.设X ~),(p n B ，44.1,4.2==DX EX ,则p 和n 为（ ） （A ）6.0,4==p n (B)4.0,6==p n （C ）3.0,8==p n (D)1.0,24==p n 5.设随机变量X 的密度函数为4

)2(2

21)(--

=x e

x f π

，b aX Y +=~)1,0(N

则（ ） （A ）1,21==

b a (B)2,2

2

==b a (C) 1,21-==

b a (D)2,2

2-==b a 四、（12分）从40件正品，5件次品的产品中任取5件，求下列事件的概率： 1）恰有两件是次品。 2) 至少有两件是次品。 3）最多有两件是次品。

五、(12分)设三个箱子装有黑白两种颜色的球，第一箱有5只黑球3只白球，第二箱有3只黑球，3只白球，第三箱有4只黑球，2只白球，现随机地取一个箱子，再从中取出3只球，求： 1）取得2只白球的概率。

2)假设已经发现取到两只白球，则它们取自于第一箱的概率。

六、（15分）设)

,

(Y

X是二维离散型随机变量，联合分布列如下：

求：1）X和Y的边缘分布2）DY

DX,3))

,

(Y

X

COV

七、（16分）设随机变量)

,

(Y

X的联合概率密度为

(4),0,0 (,)

0,

x y

Ce x y

f x y

-+

?>>

=?

?其它

求：1）常数?

=

C

2）X和Y的边缘密度函数

3))3

,2

(<

X

P

4）X与Y是否独立，并说明理由。

八、（5分）设二维随机变量)

,

(Y

X满足平面上由5

,2

,1=

+

=

=y

x

y

x所围区域上的均匀分布，试求)

,

(Y

X的分布函数)

,

(y

x

F。

概率论与数理统计（B ）答案 一、× √ × √ × 二、

1、0.86

2、0.5

3、

27

19

4、108

5、)85,6(-N 三、 1、（B ） 2、（A ） 3、（B ）4、（B ） 5、（D ） 四、

设321,,A A A 分别是“恰有、至少和最多有两件是次品三个事件”。则

1）545253401)(C C C A P = 2)5

451

5

44054554021)(C C C C C A P --= 3)5

45

2

5340545154405455403)(C C C C C C C C A P ++= 五、

设B 事件为“取得两只白球”，i A （i=1,2,3）分别为“取自于第一、二、三箱” 1） 由

全概率公式，得

5619313131)()()(3

61

422

3613233815233

1

=?+?+?==∑=C C C C C C C C C A B P A P B P i i i 2） 由贝叶斯公式，得19556

19565

)(1==B A P

六、

2）

2141221141)2(=?+?+?

-=EX 254142114142=?+?+?=EX 4

9

)21(252=-=∴DX

4341221)1(41)3(-=?+?-+?-=EY 415

4142114192=?+?+?=EY

16

51169415=-=

∴DY

6

)(-=XY E

24

19

)43(21)67()(),(-=-?--=-=∴EXEY XY E Y X COV

七、 1）由??

+∞+∞

+-=0

)4(1dxdy Ce y x ，得414

1

=∴=?

C C 2)

?

∞

+∞

--??

?>==其它,00

,.),()(x e dy y x f x f x X ?

∞

+∞

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?>==其它

,00

,.4),()(4y e dx y x f y f y Y 3）??

--+---==

<<3

122)4(2

)1)(1(4)3,2e e dy e dx Y X P y x （

4）由于),((y x f y f x f Y X （））=，故Y X ,相互独立。 八、

由题设知，密度函数为

?????≤≤≤≤=其它

,04

2,31,2

1

),(y x y x f

由分布函数的定义，可得

?????????????≥≥≥<≤--≥<≤---<≤<≤--<<=≤≤=3

,413,42)4)2

(21

4

,31)3)(121

52,31)2)(1(21

21,0),(),(x y x y y y y x x x x y x y x y x y Y x X P y x F 且，，（，（，时或

陕西科技大学2013级 试题纸

课程 概率论与数理统计（B ） 班级

学号 姓名

一、判断题（每小题2分，共10分）

1、X 为随机变量，当1

2x x <时，必有12()()P X x P X x >≤>.

( ) 2、若()()0P A P B ?≠，而且

A B 、是互斥事件，则A B 、不是相互独立的.

( )

3、设随机变量X ～2(,)N μσ，则随σ的增大，概率(2)P X μσ<+是不变的. ( )

4、若存在常数,(0)a b a ≠，使()1,P Y aX b =+=且0,DX <<+∞那么X

与Y 的相关

系数ρ满足

1ρ=.

( )

5、设相互独立的随机变量

X 与Y 的分布函数分别为()X F x 、()Y F y ，则随机变量

min(,)U X Y =的分布函数min ()F u 为()()X Y F u F u ?.

( )

二、填空题（每小题3分，共15分）

1、甲乙丙三人高等数学考试及格的概率分别为212,,325

，则三人中至少有两人及格

的概率是 .

2、设),3(~),,2(~p B Y p B X ，且19

(Y 1)27

P ≥=

，则X 1P

≥=（） . 3、设X 服从[1,6]上的均匀分布，则关于t 的一元二次方程2

10t Xt ++=有实根的概率为 .

4、设()X P λ:，且3

(0)P X e -==，则(31)D X -+＝ .

5、设随机变量~(0,1),~(1,1)X N Y N ，且X ，Y 相互独立，设随机变量21Z X Y =-+，则Z 的概率密度为 .

三、选择题（每小题3分，共15分）

1、设离散型随机变量的分布函数为()F x ，则()P a X b ≤≤=（ ）

A 、()()F b F a -

B 、()()()F b F a P X a --=

C 、()()()F b F a P X b --=

D 、()()()F b F a P X a -+= 2、设X 的方差DX 存在，且满足不等式2

(X-EX 3)9

P ≥≤

，则一定有（ ） A 、2DX = B 、7

(X-EX 3)9P <<

C 、2DX ≠

D 、7

(X-EX 3)9

P <≥

3、设~(,)X B n p ，20,15EX DX ==，则,n p 的值为（ ）

A 、40,0.5n p ==

B 、100,0.2n p ==

C 、200,0.1n p ==

D 、80,0.25n p ==

4、设12(0,1)n X X X N X ，，是总体的样本，和S 分别为样本的均值和标准差，则（ ） A 、~(1)X

t n S

- B 、22(1)~(1)n S n χ--

C 、~(0,1)X N D

~(1)t n -

5、设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量序列，且(1,2,)i X i = 服从参数为λ的

指数分布，且2

2

()t x x dt -Φ=

?

，则有（ ） A

、lim ()n i n X n P x x →∞??-???≤=Φ??????∑ B

、lim ()n i n X n P x x λ→∞??

-???

≤=Φ??

????∑

C

、lim ()n i n X P x x λ→∞??-???≤=Φ??????∑ D 、1lim ()n i i n X P x x n λλ=→∞??

-????

≤=Φ????

????∑

四、（6分）一个盒子中有50个零件，其中有5个次品，从中任取3个产品，求：

（1）恰有一件次品的概率；（2）最多有两件次品的概率.

五、（8分）在电报通讯中不断发出信号0和1.统计资料表明，发出0的概率为0.6，而发

出1的概率为0.4.由于存在干扰，发出0时，分别以概率0.70和0.30收到0和1；发出1时，分别以概率0.80和0.20收到1和0.求： （1）收到“1”的概率；

（2）收到“1”时确实是发出“1”的概率.

六、（12分）若随机变量X 的概率密度为2

,()010,0

A

f x x x x ??=>+??≤?，求：

（1）常数A ； （2）求X 的分布函数()F x ；

（3）(1)P X ≤； （4）设2Y X =，求Y 的概率密度()Y f y .

七、（18分）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为

(2),0,0;

(,)0,x y Ae x y f x y -+?>>=?

?

其它 求：（1）系数A ； （2）边缘概率密度()X f x 、()Y f y ；

（3）判断X 与Y 是否相互独立，为什么？

（4）(01,02)P X Y <<≤≤； （5）2

(2)E XY X

-.

八、(16分) 设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律如右表，求： （1）X 和Y 的边缘分布律； （2）Y X Z -=的分布律； （3）),max(Y X Z =的分布律； （4）协方差(,)COV X Y .

2013级 概率（B ）答案

一、×√√√×

二、1、815 2、59 3、45 4、27 5

、2

10()z Z f z -=

三、1D 2 D 3D 4B 5B

四、（1）12

545

3

50

C C C ?； 3分 （2）35

350

1C C -. 3分

五、解：以A 表示发出“0”，A 表示发出“1”；B 表示收到“0”，B 表示收到“1”. （1）()()()()()0.60.30.40.80.5P B P A P B A P A P B A =+=?+?= 4分

（2）()()

0.40.8

()0.640.5

()

P A P B A P A B P B ??==

= 4分 六、（1）

20

21,1A dx A x π

+∞

==+?

； 3分 （2）0,()0;x F x ≤=

2

22

0,()()arctan (1)x

x F x p X x dt x t ππ>=≤==+?

； 3分 （3）1

2021

(1)(11)(1)2P X p X dx x π≤=-≤≤=

=+?； 3分

（4）0,()0;Y y F y ≤=

220

220,()()arctan

(1)2

y

Y y

y F y p Y y dt t ππ>=≤==+?

20,0

()()4

,0(4)

Y Y y f y F y y y π≤??

'==?>?+?

. 3分 七、（18分）

（1）

20

1,2x

y Ae dx e dy A +∞

+∞

--?==?

?； 3分