2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标卷)解析版(1)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标卷)解析版(1)

绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第

一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素

的个数为（ ）

()A 3 ()B 6 ()

C 8

()D 10

【解析】选D

5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个

（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安

排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的

安排方案共有（ ）

()A 12种 ()B 10种 ()C 9种

()D 8

种

【解析】选A

甲地由1名教师和2名学生：122

4

12

C C

=种

（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：

其中的真命题为（ ） 1

:2p z = 22

:2p

z i

= 3

:p z 的共轭复数为1i +

4:p z

的虚部为1-

()A 2

3

,p p ()B 1

2

,p p ()C ,p p 2

4

()D ,p p 34

【解析】选C

22(

1)

11(1)(1)

i z i i i i --===---+-+-- 1

:2p z =，22

:2p

z i

=，3

:p z 的共轭复数为1i -+，

4:p z

的虚部为1-

（4）设1

2

F F 是椭圆

22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，P

为直线32a x =上一点，

?21

F PF 是底角为30o

的等腰三角形，则E 的离心

率为（ ）

()A 12 ()B 23 ()C 3

4

()

D 4

5

【解析】选C

?21

F PF 是底角为30o

的等腰三角

形2

2133

2()224

c PF

F F a c c e a ?==-=?==

（5）已知{}n

a 为等比数列，4

72

a

a +=，

568

a a =-，则1

10

a a +=（ ）

()A 7 ()B 5

()C -5

()D -7

【解析】选D

472

a a +=，

56474784,2

a a a a a a ==-?==-或

472,4

a a =-=

471101104,28,17a a a a a a ==-?=-=?+=- 471011102,48,17

a a a a a a =-=?=-=?+=-

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和

实数1

2

,,...,n

a a a ，输出,A B ，则

（ ）

()A A B +为1

2

,,...,n

a a a 的和

()

B 2

A B +为1

2

,,...,n a a a 的算术平均数

()C A 和B 分别是1

2

,,...,n

a a a 中最大的数和最小的数 ()D A

和B 分别是1

2

,,...,n

a a a 中最小的数和最大的数

【解析】选C

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

（ ）

()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18 【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3

此几何体的体积为11

633932

V =????=

（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，

C

与抛物线x

y

162

=的准线交于,A B

两点，

AB =C 的实轴长为（ ）

()

A ()

B ()

C 4

()D 8

【解析】选C

设2

22:(0)

C x

y a a -=>交x

y

162

=的准线:4l x =-于

(4,A -(4,B --

得：

2

22(4)4224

a

a a =--=?=?=

（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2

π

π上单调递减。则ω的取值范围是（ ）

()A 15[,]

24 ()B 13[,]24 ()C 1

(0,]2

()D (0,2]

【解析】选A

592()[,]4

4

4

x πππ

ωω=?+∈ 不合题意 排除()D

351()[,]4

4

4

x πππ

ωω=?+∈ 合题意 排除()()B C

另：()22πωππω-≤?≤，3()[,][,]424422x ππππππ

ωωπω+∈++? 得：315,2424224

πππππωπωω+≥+≤?≤≤

（10） 已知函数1()ln(1)f x x x =+-；则()y f x =的图像大致为（ ）

【解析】选B

()ln(1)()1()010,()00()(0)0x g x x x g x x

g x x g x x g x g '=+-?=-

+''?>?-<<?<=

得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D （11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，

SC

为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）

()

A 26

()B

36

()C

23

()

D 22

【解析】选A

ABC ?的外接圆的半径33

r =

，点O 到面ABC 的距

离d==

SC为球O的直径?点S到面ABC的距离

为

2

3

d=

此棱锥的体积为11

2

33436

ABC

V S d

?

=?=?=

另：12

36

ABC

V S R

?

B C D

（12）设点P在曲线1

2

x

y e

=上，点Q在曲线ln(2)

y x

=上，则PQ最小值为（）

()A1ln2

-()B

ln2)

-()

C1ln2

+

()

D ln2)

+

【解析】选A

函数1

2

x

y e

=与函数ln(2)

y x

=互为反函数，图象关于y x=对称

函数1

2

x

y e

=上的点1

(,)

2

x

P x e到直线y x=的距离

为d=

设函

数

min min

11

()()1()1ln2

22

x x

g x e x g x e g x d

'

=-?=-?=-?=

由图象关于y x=对称得：PQ最小值为

min 2ln 2)

d =-

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b r r 夹角为45?

，且1,2a a b =-=r r r ；则_____b =r

【解析】

_____b =

r

222(2)1044cos 4510a b a b b b b ?

-=?-=?+-=?=r r r r r r r

(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??

-≥-??+≤?

；则2z x y =-的

取值范围为

【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]- 约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C

则2[3,3]z x y =-∈-

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布2

(1000,50)N ，且各个元件能否正常相

互独立，那么该部件的使用寿命

超过1000小时的概率为

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为

38

三个电子元件的使用寿命均服从正态

分布2

(1000,50)N

得：三个电子元件的使用寿命超过1000

小时的概率为12

p = 超过1000小时时元件1或元件2正常工

作的概率2

1

3

1(1)

4

P p =--=

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2

138

p

p p =?=

（16）数列{}n

a 满足1

(1)21

n n n a

a n ++-=-，则{}n

a 的前60项和

为

【解析】{}n

a 的前60项和为 1830

可证

明

：

14142434443424241616

n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+

1

1

234151514

1010151618302

b a a

a a S ?=+++=?=?+

?=

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B

C 的对边，cos sin 0a C C b c --=

（1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。

【解析】（1

）由正弦定理得：

cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C

--=?-=+

sin cos sin sin()sin 1

cos 1sin(30)2

303060A C A C a C C

A A A A A ????

?+=++?

-=?-=

?-=?=

（2

）1sin 4

2

S bc A bc ==

?=

2222cos4

=+-?+=

a b c bc A b c

解得：2

==（l fx lby）

b c

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若

干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n

（单位：枝，n N∈）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-

得：1080(15)()80(16)

n n y n N n -≤?=∈?

≥?

（2）（i ）X 可取60，70，80

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7

P X P X P X ======

X 的分布列为

2

2

2

160.160.240.744DX =?+?+?=

（ii ）购进17枝时，当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

y =?-??+?-??+?-??+??=

76.476> 得：应购进17枝

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱

111

ABC A B C -中，

112

AC BC AA ==

，

D

是棱1

AA 的中点，BD

DC

⊥1

（1）证明：BC

DC

⊥1

（2）求二面角1

1

C B

D A --的大小。 【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?

∠=

同理：1

1

14590A DC

CDC ??

∠=?∠=

得：

111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥

面

1

BCD DC BC ?⊥

（2）1

1,DC

BC CC BC BC ⊥⊥?⊥

面11

ACC A BC AC ?⊥

取11

A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接1

1

,C O C H

1

1

11111

AC B C C O A B =?⊥，面11

1

A B C ⊥面1

A BD

1C O ?⊥

面

1

A BD

1

OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合

且1

C DO ∠是二面角1

1C BD A --的平面角

设

AC a =，则1

C O =

，1

11230C D C O C DO ?

=

=?∠=

既二面角1

1

C B

D A --的大小为30?

（20）（本小题满分12分）

设抛物线2

:2(0)

C x

py p =>的焦点为F ，准线为l ，

A C

∈，已知以F 为圆心，

FA

为半径的圆F 交l 于,B D 两点；

（1）若0

90=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =

点

A 到准线l 的距离d FA F

B ===

1

22

ABD

S BD d p ?=???=?= 圆F 的方程为2

2(1)8

x y +-=

（2）由对称性设

2

00(,)(0)

2x A x x p

>，则(0,)2p

F

点

,A B

关于点

F

对称得：

222

2

0000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,

)2

p

A

，直线

3:02p p p m y x x -=

+?+=

22

2233

x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点(

,)36

p

P

直线:06p n y x x p -=?-=

坐标原点到,m n

3=。（lfx

lby ）

（21）（本小题满分12分）

已知函数()f x 满足满足1

2

1()(1)(0)2

x f x f e

f x x -'=-+

；

（1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2

1()2

f x x

ax b

≥++，求(1)a b +的最大值。

【解析】（1）1

211

()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e

f x x f x f e f x

--'''=-+?=-+

令1x =得：(0)1f =

12

11()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+

?==?=

得：2

1()()()12

x

x f x e

x x g x f x e x '=-+

?==-+

()10()

x

g x e

y g x '=+>?=在x R ∈上单调递

增

()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2

x

f x e

x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）

2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++?=-+-≥得

()(1)

x h x e a '=-+

①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增

x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当

10

a +>时，()0ln(1),()0ln(1)

h x x a h x x a ''>?>+

得

：当

ln(1)

x a =+时，

min

()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 2

2(1)(1)

(1)ln(1)(10)

a b a a a a +≤+-+++>

令2

2

()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<< 当

x =max

()

2

e F x =

当1,

=-=时，(1)

a e

b e

+的最大值

a b

e

为

2

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，,D E分别为ABC

?边,AB AC的中点，直线DE交

CF AB，证明：

ABC

?的外接圆于,F G两点，若//

（1）CD BC

=；

（2）BCD GBD

??

:

【解析】（1）//

CF AB，//////

DF BC CF BD AD CD BF

??=

?=?=

CF AB AF BC BC CD

//

（2）//

?==

BC GF BG FC BD

//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD

??:

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线1

C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??

?

?

?

?==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线2

C 的坐标系方程是2=ρ，

正方形ABCD 的顶点都在2

C 上，

且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1

C 上任意一点，求2

2

2

2

PA

PB PC PD

+++的取

值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636

ππππ 点

,,,A B C D

的直角坐标

为

1,1)

--

（2）设0

(,)P x y ；则00

2cos ()

3sin x y

???

=??

=?

为参数 2

2

2

2

224440

t PA

PB PC PD x y =+++=++

2

5620sin

[56,76]

?=+∈（lfxlby ）