高三数学质量达标检测试题(doc 7页)
2020年12月四川省成都市高新区普通高中2021届高三上期第三次阶段性质量检测数学(文)试题及答案
绝密★启用前 四川省成都市高新区普通高中
2021届高三毕业班上学期第三次阶段性质量检测 数学(文)试题 2020年12月 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z满足(1)2zi，i为虚数单位，则=z（ ▲ ） A．1 B．1i C．2 D．1i 2.已知集合{(,)|,,}Axyxyyx*N，{(,)|8}Bxyxy，则AB中元素的个数为（ ▲ ） A．2 B．3 C．4 D．6 3.我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产,各旅游景区也逐渐恢复开放．某4A景区对重新开放后的月份x与该月游客的日平均人数y（单位：千人/天）进行了统计分析,得出下表数据：
月份x 4 5 7 8
日平均人数y 1.9 3.2 t 6.1
若y与x线性相关．且求得其线性回归方程为2yx,则表中t的值为（ ▲ ） A．4.7 B．4.8 C．5 D．无法确定 4. 在等差数列{}na中,nS为前n项和,7825aa,则6a（ ▲ ） A．5 B．10 C．55 D．60 5.已知P是边长为2的正方形ABCD的边BC中点,则APAB的值是（ ▲ ） A．2 B．3 C．4 D．22
6. 已知x,y满足不等式组22yxxyx,则2zxy的最大值为（ ▲ ） A．2 B．3 C．4 D．6 7. 已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是 A．若//mn,//m,则//n B．若mn,n,则m C．若m,mn,则//n D．若//m,n,则mn
8. 已知sin1a,13log4b,0.53c,则（ ▲ ） A．abc B．acb C．bca D．bac 9.已知1a,若直线4yx分别()xfxa与()logagxx的交点横坐标为,mn,则mn（ ▲ ） A．0 B．2 C．4 D．8 10. 命题:p函数()sin2fxx的最小正周期为的充要条件是1；命题:q定义域为R的函数gx满足()=()gxgx,则函数gx的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是（ ▲ ） A．pq B．()()pq C．()pq D．()pq 11. 已知(cos,sin)P,(cos,sin)Q,则||PQ的最大值为（ ▲ ） A．2 B．2 C．4 D．22
2022-2023学年江苏省盐城市盐城中学高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48 B ．63 C ．99 D ．1203．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．8l D ．－814．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )A ．5B ．15C ．10D ．55．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 6．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 7．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 8．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e 9．复数21i - (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i10．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．1211．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5C D12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ）A ．5B ．3C ．－12D ．－13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年山东省济南市历城二中数学高三第一学期期末达标检测试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A ．22B 1121-C 521+D ．233．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)4．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．235．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． y =D ．y =7．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．59．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π10．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．111．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．312．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省襄阳市第五中学2024年高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
湖北省襄阳市第五中学2024年高三数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．123．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣24．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2807．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．8．已知函数()(1)(2)x ef x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e+B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -9．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞12．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．93B ．123C ．163D ．183二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理(含解析)
湖北省武汉市2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. [﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A. 2 B. 4 C.12D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得11 2a q =⎧⎨=⎩或11612aq=-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. 53B.85C.138D.2113【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4 i≤，终止循环，输出s.【详解】第一次循环，2,1s i==，第二次循环，3,22s i==，第三次循环，5,33s i==，第四次循环，8,45s i==，第四次循环，13,58s i==，此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A. 2 B. 1C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,2C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.故选：B .1=是解题的关键. 9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】 【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2-e 2] 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1x e x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x xe x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 【答案】9.14h. 【解析】 【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则AC ＝450，则有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 22AD DC +=450，22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣2t +175＝0 ∴t 1025=或1025，1024159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA 3SB 3，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 【答案】12- 【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=，故212R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，23r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O ，1332r ==⨯.设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角. 故221132OO R r =-=，222232OO R r =-=，1133DO CD ==，2132DO SA ==. 1tan 3ODO ∠=，故13ODO π∠=，2tan 3ODO ∠=，故23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值；（2）求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）12；（2）43 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.（2）计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin A =，1sin 432S bc A =≤，故△ABC 面积的最大值为43.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（23 【解析】 【分析】（1）作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=. 22211232222PNLa S NL NP a a a ∆=⋅=⋅⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，3） （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （2p，0），利用FP =（2，，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p ，0），满足FP =（2，）的P 的坐标为（22p +，，P 在抛物线上， 所以（2＝2p （22p+），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y yy yy yy y+⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y0可得y1y2＝12，易知直线k NL124y y=+，则直线NL的方程为：y﹣y1124y y=+（x214y-），即y124y y=+x1212y yy y++，故y124y y=+x1212y y++，所以y124y y=+（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101iix=∑= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y363254x=+ˆa.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆy bx a=+中，11221ˆniiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.（2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】（1）46；（2）1051y =，41.96y = 【解析】 【分析】 （1）直接根据101380ii x==∑计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii i i x y x ybx x ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.（1）证明函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数.又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 【答案】（1）2212516x y +=，（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2.【分析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0），所以：PO === 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，13-]；（2）[﹣2，1]. 【解析】（1）根据a ＝4时，有f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|， （i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集[5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii ）当x ≤2时，原不等式可化为﹣3x +7≥8，解可得x 13≤-， 此时不等式的解集（∞，13-]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，13-]，（2）（i ）当a ﹣112a =即a ＝2时，f （x ）＝3|x ﹣1|22a ≥=2显然不恒成立，（ii ）当a ﹣112a ＞即a ＞2时，()1321211123211x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，， 结合函数的单调性可知，当x 12a =时，函数取得最小值f （12a ）112a =-， 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则211122a a -≥，此时a 不存在，（iii ）当a ﹣112a ＜即a ＜2时，f （x ）3211111213212x a x a x a x a x a x a ⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立，则121122a a -≥， 解得﹣2≤a ≤1，此时a 的范围[﹣2，1]，综上可得，a 的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题 理(含解析)
重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2023届湖南省长沙市宁乡市第一高级中学高三上学期11月质量检测数学试题(解析版)
2023届湖南省长沙市宁乡市第一高级中学高三上学期11月质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}3,Z A x x x =<∈，()(){}120B x x x =+-<，则A B =（ ） A ．{}12x x -<< B ．{}1,0,1,2- C ．{}0,1D ．{}12x x -≤≤【答案】C【分析】由题知{}2,1,0,1,2A =--，{}12B x x =-<<，再求交集即可. 【详解】解：因为{}{}3,Z 2,1,0,1,2A x x x =<∈=--， ()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<，所以，A B ={}0,1 故选：C2．设复数z 满足i 4i z +=-，则42iz=+（ ） A ．42i - B ．42i + C ．34i5+ D ．34i5- 【答案】D【分析】先求得z ，然后结合复数的除法运算求得正确答案. 【详解】依题意42i z =-，()()()242i 42i 1216i 34i42i 42i 42i 42i 205z ----====+++-. 故选：D3．设a ，b ，c 是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别判断充分性和必要性成立情况得出结论.【详解】若a b a c ⋅=⋅，则()0a b c ⋅-=，()a b c∴⊥-b c =；若b c =，则0b c -=，00a ∴⋅=即()0a b c ⋅-=⇒a b a c ⋅=⋅.“a b a c⋅=⋅”是“b c=”的必要而不充分条件；故选：B.4π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．19-B．19C．13D．89【答案】A【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A5．某车间生产一种圆台型纸杯，其杯底直径为R，杯口直径为2R，高为ℎ，将该纸杯装满水（水面与杯口齐平）的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的17，则hR=（）A B C D【答案】B【分析】利用圆台及球的体积公式结合条件即得.【详解】由题可得圆台型纸杯的体积为22217ππ3412R R hV R h⎛⎫=⋅=⎪⎪⎝⎭，小铁球的体积为33433ππ3416R R ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 由题可得2317π713π216R h R =⨯， 即334h R =. 故选：B.6．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且在()2,+∞单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分析()f x 的对称性、单调性、零点，求得()2f x +的对称性（奇偶性）、零点，结合()g x 的单调性、零点以及特殊点的函数值判断出函数()()2y f x g x =+的图象. 【详解】()()22f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称， 则()2f x +的图象关于直线0x =即y 轴对称，()2f x +是偶函数，()4g x x =为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()()2y f x g x =+是偶函数，图象关于y 轴对称，排除AD 选项.()()()()4222200f f f f =+=-==，由于()f x 在()2,+∞上递增，在(),2-∞上递减， 所以()f x 有且仅有2个零点：0和4，另外有()30f <， 所以()2f x +有且仅有2个零点：2-和2，()g x 有唯一零点：0，所以()()2y f x g x =+有且仅有3个零点：2-、0和2. 当1x =时，()110g =>，()()()()121310y f g f g =+⋅=⋅<， 从而排除C 选项， 故B 选项正确. 故选：B7．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，AB 是圆O 的一条直径，且||4AB =．C ，D 是圆O 上的任意两点，||2CD =，点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．3,2⎡⎤⎣⎦C ．[]3,4D ．[]1,0-【答案】D【分析】设O 为圆心，连接OP ，根据数量积的运算律得到2||4PA PB PO ⋅=-，根据点P 在线段CD 上，即可求出PO 的取值范围，即可得解． 【详解】解：如图，O 为圆心，连接OP ，则2222()()()||4PA PB PO OA PO OB PO PO OB PO OA OA OB PO PO OB OA OA PO ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅=+⋅+-=-，因为点P 在线段CD 上且||2CD =，则圆心到直线CD 的距离22213d =-= 32PO ， 所以23||4PO ，则21||40PO --，即PA PB ⋅的取值范围是[1-,0]． 故选：D ．8．设15ln13a =，14ln14b =，13ln15c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】D【分析】构造函数()()()14ln 14f x x x =+-，利用函数()f x 的导数讨论函数()f x 的单调性.【详解】令()()()14ln 14f x x x =+- ，[]11x ∈-，， 则()()1413=ln 14ln1501415x f x x x +'--<-<-， 所以()()()14ln 14f x x x =+-在[]11-，上单调递增 ， 所以()()()101f f f -<<，即13ln1514ln1415ln13<<， 所以，a b c >> 故选：D二、多选题9．已知())cos(2)2f x x x πθθθ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭是偶函数，将函数()f x 图像上所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则（ ） A ．()g x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为()1,1-B ．()y g x =的图像关于直线76x π=对称 C ．()g x 在23,1212ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭有5个零点D ．()y g x =的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BD【分析】由题知()2cos2f x x =，()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质依次讨论各选项即可.【详解】解：())cos(2)2sin 26f x x x x πθθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 为偶函数， 所以,Z 62k k ππθπ+=+∈，即,Z 3k k πθπ=+∈，因为2πθ<，所以3πθ=，即()2sin 22cos 263f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A 选项，,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 所以22cos 2cos 22cos 033x ππ⎛⎫⎛⎫-<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12cos 223x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，故错误；对于B 选项，令2,Z 3x k k ππ-=∈得,Z 62k x k ππ=+∈，故当2k =时76x π=，故()y g x =的图像关于直线76x π=对称，B 选项正确； 对于C 选项，当23,1212x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，72,322x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，因为函数2cos y x =在7,22ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有4个零点，分别为2π-，2π，32π，52π， 所以，()g x 在23,1212ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭有4个零点，故C 选项错误；对于D 选项，由于512x π=时，232x ππ-=，函数2cos y x =关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以，()y g x =的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 选项正确.故选：BD10．在ABC 中，BC =，AB ＝1，tan 2ABC ∠=-，将ABC 绕AB 旋转至ABP 处，使平面ABP ⊥平面ABC ，则（ ）A ．在旋转的过程中，点C 的运动轨迹长度为πB ．点B 到平面P ACC ．直线AP 与直线PC 所成角为π3D ．直线AB 与平面PBC【答案】ABC【分析】根据旋转的知识判断A 选项的正确性，根据线线角的知识判断C 选项的正确性，建立空间直角坐标系，利用向量法判断BD 选项的正确性.【详解】延长AB ，过C 作CO AB ⊥，交AB 的延长线于O ， 根据旋转的知识可知PO AB ⊥，由于平面ABP ⊥平面ABC ，且交线为AB ，PO ⊂平面ABP ，所以PO ⊥平面ABC ，由于CO ⊂平面ABC ，所以PO CO ⊥，故,,AO CO PO 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，1,tan 2BC AB ABC ==∠=-，所以tan 2CBO ∠=，CBO ∠为锐角，22sin 2cos sin cos 1CBOCBOCBO CBO ∠⎧=⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，解得cos CBO CBO ∠=∠=所以1,2BO CO PO =====. 所以在旋转的过程中，点C 的运动轨迹长度为()21π2π4⨯⨯=，A 选项正确.()()()()2,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C P ， ()()()2,2,0,0,2,2,1,0,0AC PC BA =-=-=，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =， 则1111220220m AC x y m PC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，故可设()1,1,1m =，所以B 到平面PAC的距离为13m BA m⋅==，B 选项正确. AP PC AC ===PAC 是等边三角形，所以直线AP 与PC 所成角为π3，C 选项正确.()()1,0,2,0,2,2PB PC =-=-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =，则222220220n PB x z n PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，故可设()2,1,1n =， 设直线AB 与平面PBC 所成角为θ， 则26sin 36n BA n BAθ⋅===⋅，所以D 选项错误. 故选：ABC11．设0,0,1a b a b >>+=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥C 116++a b ．3314a b +≥【答案】ABD【分析】对于A ：利用基本不等式“1”的妙用直接证明； 对于B ：利用基本不等式直接证明；对于C 116a b ++ 对于D ：结合立方和公式得3313a b ab +=-，再结合B 选项即可判断. 【详解】解：对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()111111224b a b aa b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号. 所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确； 对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=， 所以()()311a b =+++≥记u =0u >，所以21111336u a bb =+++++≤+=，所以0u <≤故C 错误； 对于D ：因为0,0,1a b a b >>+=，所以，()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，由B 选项知2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以1134ab -≥，即3314a b +≥，故D 选项正确. 故选：ABD12．设函数()f x '是函数()f x 的导函数，且满足()()ln f x f x x x'-=，11e ef ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 有极大值 B ．()()4234f f <C ．()()1e f f '>D ．()11ef '>【答案】BD【分析】利用构造函数法，由11e ef ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得()f x ，结合导数确定正确答案.【详解】依题意可知0x >， ()()()()2ln ln ,f x xf x f x xf x x x x x'-'-==， ()ln f x x x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()()21ln 2f x x b x =+（b 为常数，0x >） 所以()()()21ln 02f x x x bx x =+>，21111211ln ,e 2e e e2e e 2b b f b +⎛⎫⎛⎫=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()211ln 22f x x x x =+， ()()()()22111111ln 2ln ln ln 22222f x x x x x x x '=+⋅⋅+=++()21ln 102x =+≥， 所以()f x 在()0,∞+上递增，没有极大值，A 错误. ()()()()11,e 2,1e 2f f f f ''==<，C 选项错误.()1112ef '=>，D 选项正确. ()()()()()2222ln 21,42ln 428ln 22f f =+=+=+，()()()()()()()2222424ln 24,3424ln 264ln 2420ln 2242f f f =+=+=+++>，B 选项正确.故选：BD【点睛】关于函数()f x 和导函数()f x '都有的表达式，可以考虑利用构造函数法来进行研究，构造函数的思路，可结合乘法、除法等导数运算来进行构造.三、填空题13．设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则2a b -=___________.【解析】由||1a b +=平方后求得a b ⋅，再求22a b -可得结论． 【详解】∵,a b 为单位向量，∴2222||()21211a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=，∴12a b ⋅=-．∴2222(2)4444a b a b a a b b -=-=-⋅+=-．14．若关于x 的方程22sin 210x x m +-=在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有实数根，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[2,1)-【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可.【详解】 22sin 210x x m +-=，∴ 1cos 23sin 210x x m --+-= ，即cos 23sin 20x x m +-=，∴ 2sin(2)6x m π+= ，即sin(2)62m x π+=，,2πx π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7132(,)666x πππ+∈，设7132,(,)666x t t πππ+=∈，则sin 2m t =在713(,)66t ππ∈上有实数根， ∴ 1sin y t =，22m y =在713(,)66t ππ∈的图像有交点，如图由于131sin62π= 由图象可知， 1122m -≤< ，即21m -≤< 故答案为：[2,1)-15．过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0xy a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】设出切点的坐标，利用导数研究切点和斜率，根据切线有2条，通过构造函数法，结合导数求得a 的取值范围.【详解】设切点坐标为(),e tt a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t -=-，代入()2,e P 得()e e e 2t ta a t -=-，整理得()e3e t t a-=-， 构造函数()()3e t f t t =-，()()2e tf t t '=-⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '-∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =-，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0xy a a =>相切，则2e 1e 0,ea a --<<>， 所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】利用导数研究曲线的切线，关键点有两个，一个是切点的坐标，另一个是切线的斜率.切线的斜率可以利用导数求得，然后利用点斜式()()000y y f x x x '-=-来求得切线方程.16．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且23l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是______． 【答案】12827,814⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】该球的半径为3r =，进而根据几何关系得正四棱锥P ABCD -的高h ，底面ABCD 的边长为a 与侧棱长l 之间的关系22122a h h =-，26l h =，再计算体积，结合导数求解最值即可.【详解】解：因为该球的体积为36π，所以该球的半径为3r =，如图，设正四棱锥P ABCD -的高为h ，底面ABCD 的边长为a ，中心为1O ，球的球心为O ，则球的球心O 在1O P 上，1O B =，1O P h =，所以，22211O O O B OB +=，即()222332h a ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22122a h h =-因为22211O P O B PB +=，即222h l ⎫+=⎪⎪⎝⎭所以，26l h =， 因为23l ≤≤，所以，469h ≤≤，解得2332h ≤≤，所以，该正四棱锥体积为()()22321121224333V h a h h h h h h ==-=-+，2332h ≤≤，所以()()228240V h h h h h '=-+=-->在23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()V h 在23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()min 2128381V h V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()max 32724V h V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，该正四棱锥体积的取值范围是12827,814⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12827,814⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知命题p ： {11}A x a x a =-<<+，命题q ： {}2430B x x x =-+≥.（1）若,A B A B R ⋂=∅⋃=，求实数a 的值； （2）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2;(2) 实数a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.【详解】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合B 化简后，由,A B A B R ⋂=∅⋃=，借助于数轴列方程组可解a 的值；（2）把p 是q 的充分条件转化为集合A 和集合B 之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a 的取值范围.试题解析：（1）B={x|x 2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a ﹣1＜x ＜a+1}， 由A∩B=∅，A ∪B=R ，得11{13a a -=+= ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A ∪B=R 的实数a 的值为2；（2）因p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，且A≠∅，所以结合数轴可知， a+1≤1或a ﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p 是q 的充分条件的实数a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．18．设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度． 【答案】(2)35【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，再利用余弦定理，即可求得. （2）首先利用重心的性质，求出AG ，再利用余弦定理求出2BAD π∠=，再结合cos cos AGF AGE =-∠∠，解出sin AGF ∠，最后利用正弦定理即可求解.【详解】（1）依据题意，由12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+可得2212cos 2ac B a b bc =-+，则2222212cos 22a b bca cb B ac ac-++-==，212c bc ∴=， 22b c ==，2222411cos 242b c a a BAC bc +-+-===-∠，解得a =BD =271cos AD B +-==，解得AD（2）G 为ABC的重心，23AG AD ∴==，371cos 0,2BAD BAD π+-=∴=∠∠，EG =cos cos AGF AGE =-=∠∠，sin AGF =∠21cos cos()322DAC DAC ππ=-==∠∠，cos cos()AFE AGF DAC ∴=-+=∠∠∠ sin sin sin AG AF AFE AFE AGF ==，∠∠∠，35AF ∴=19．已知数列{}n a 满足：11a =，*11,21,N 22,2n n n a n n k a k a n n k +⎧+=+⎪=∈⎨⎪-=⎩． (1)求2a ，3a ；(2)设22n n b a =-，*N n ∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列{}n a 前10项中所有奇数项的和． 【答案】(1)2335,22a a ==-(2)证明详见解析，12n nb =- (3)51116-【分析】（1）根据题目所给已知条件求得23,a a .（2）结合已知条件以及等比数列的定义证得数列{}n b 是等比数列，并求得其通项公式. （3）求得13579,,,,a a a a a ，从而求得正确答案.【详解】（1）依题意，数列{}n a 满足：11a =，*11,21,N 22,2n n n a n n k a k a n n k+⎧+=+⎪=∈⎨⎪-=⎩， 所以213213351,442222a a a a =+==-=-=-.（2）222,2n n n n b a a b =-=+， 122211212111222122122n n n n n b a a a n a n ++++++=-=-=++-=+- ()()2211114211212222n n n n a n n a b b =-+-=-=+-=. 所以数列{}n b 是首项为12312222b a =-=-=-，公比为12的等比数列，所以12n nb =-. （3）2122n n a =-，21214242n nna a n n +=-=--， 所以57923411128,212,216222a a a =--=--=--， 所以1357923451111282122162222a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-+--+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51116=-. 20．如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明详见解析 17【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得AB FM ⊥.（2）先判断出直线EF 与平面P AD 所成的角最大时E 点是PD 的中点，然后利用向量法求得平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值.【详解】（1）设O 是AD 的中点，连接,OP OC ， 三角形PAD 是等边三角形，所以OP AD ⊥，3OP =四边形ABCD 是直角梯形，//,OA BC OA BC =，所以四边形ABCO 是平行四边形，也即是矩形，所以OC AD ⊥，2==OC AB .折叠后，7PC =222OP OC PC +=，所以OP OC ⊥， 由于,,AD OC O AD OC ⋂=⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD ，则,,OC OD OP 两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0,AB OC ==()1,1,0F -，设)()0,31,01E t t t -<<，()2,0,0C ，所以)311,,22t t M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则)3120,,22t t FM ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以0AB FM ⋅=， 所以AB FM ⊥.（2）由于OP ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OP AB ⊥， 由于,,,AB AD AD OP O AD OP ⊥⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以AB AE ⊥， 所以FEA ∠是直线EF 与平面PAD 所成角， 在直角三角形AEF 中，tan AF FEA AE∠=， 由于1AF =，所以当AE 最小时，tan FEA ∠最大，也即FEA ∠最大，由于三角形PAD 是等边三角形，所以当E 为PD 的中点时，AE PD ⊥，AE 取得最小值.由于()0,0,3P ，()0,1,0D ，故此时130,,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，平面PAD 的法向量为()1,0,0m =，()()()330,1,0,2,0,0,2,1,0,0,,22A C AC AE ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则2033022n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设()1,2,23n =-， 设平面ACE 与平面PAD 的夹角为θ， 则117cos 1717m n m nθ⋅===⋅.21．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为0T ，那么经过t 分钟后，温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 为室温，h 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75C 的茶水放在25C 的房间，10分钟后茶水降温至50C .（参考数据：lg 20.30,lg30.48≈≈） (1)若欲将这杯茶水继续降温至35C ，大约还需要多少分钟？（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x 千台空调，需另投入成本()f x 万元，且()2460,040,36003013700,40.x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 【答案】(1)13分钟(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与x 的函数关系，结合基本不等式求解最值【详解】（1）由题意可得()101502575252h⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得10h =.设经过t 分钟，这杯茶水降温至35C ，则()101352550252t⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得2110log 51010213lg2t ⎛⎫=-=⨯-≈ ⎪⎝⎭（分钟）. 故欲将这杯茶水降温至35C ，大约还需要13分钟. （2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为()W x ，当040x <<时，()223002004604(30)3400W x x x x x =---=--+，当30x =时，()W x 取得最大值3400万元； 当40x 时，()3600360030020030137003500W x x x x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭， 因为360023600120x x+=，当且仅当60x =时，等号成立， 则当60x =时，()W x 取得最大值3380万元.因为34003380>，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.22．已知函数3()ln f x x x mx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <． (1)求实数m 的取值范围；(2)证明：2221210319m m x x m-++-<．参考数据：1.64 1.65<． 【答案】(1)e 0,6⎛⎫⎪⎝⎭；(2)证明见解析；【分析】（1）()f x 有两个极值点等价于()f x '在()0,∞+有两个变号零点，分别对0m ≤、0m >，用导数法结合零点存在定理讨论()f x '的零点情况即可； （2）由12()()0f x f x ''==，结合对数运算得()211221ln ln 3x x m x x x x -=+-，令211x t x =>构造并用导数法证()()()21ln 101t g t t g t -=->=+，则可等价成证()121223m x x x x +>+，即122x x x ，则2222222222101.659x x x x x x <-<-+++，则原证明等价为证2222219109031m m x x m -+++≤-，即()22221133x x m m +≤+，由()2m x x x =+单调性可等价成证213x m≤，再由()f x '单调性可等价成证1()03f m '≤【详解】（1）∵()f x 有两个极值点，∴2()ln 13f x x mx '=+-在()0,∞+有两个变号零点. 记2()ln 13g x x mx =+- 0x >，1()6g x mx x'=-， i. 当0m ≤，()0g x '>，()f x '在()0,∞+单调递增，至多有一个零点，不合题意； ii. 当0m >，由()0g x '>得216x m <，即0x <<()(),0;,0x g x x g x ⎛⎫''∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭，∴()g x 即()f x '在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减， ()l 12f x f ''≤=，由112210ln e e 2l f --'>⇔⇔>=得e 6m <，且当e 0,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，213()e e0mf '=<-， 令()()1ln 1,xh x x x h x x-'=-+=，当()0,1x ∈，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∈+∞，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10ln 1h x h x x ≤=⇒+≤，且当1x =时等号成立.故()2()331f x x mx mx x =-'≤-，故当13x m>时，()10()3f x m x x '≤-<， 综上，由零点存在定理得，当e 0,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()ln 13f x x mx '=+-在()0,∞+有两个变号零点，即()f x 有两个极值点；（2）12()()0f x f x ''==，即()222111221221ln ln ln 31,ln 313x x x mx x mx m x x x x -=-=-⇒=+-， 令211x t x =>，()()21ln 1t g t t t -=-+，由()()()22101t g t t t -'=>+，故()g t 单调递增，故()()10g t g >=， ∴()()121212212ln ln ln 1t x x t x x t x x -->⇒->++，即()21122112ln ln 23x x m x x x x x x -+=>-+，即()2121223x x x x m +>⇒+> 由e 0,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得1212x x x x +>>，故222222212222222240101.65339x x x x x x x x x x <--<+++=--+<， 故要证2221210319m m x x m -++-<，即需证2222219109031m m x x m -+++≤-，即()2222222103131119933109m m m x x m m m m -++++≤+=+=， 令()2m x x x =+ ()0x >，即需证()213m x m m ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又()21124m x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,∞+单调递增，即需证213x m≤， 由（1）得2x ⎫∈+∞⎪⎭，且由3m <13m ⎫∈+∞⎪⎭，由()f x '在⎫+∞⎪⎭单调递减，且2()0f x '=，故只需证111()ln 10333f m m m '=+-≤， ∵12,3e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故11()()033f h m m '=≤，得证. 【点睛】关键点点睛：（1）不等式ln 1x x ≥+与对数均值不等式211221ln ln 2x x x x x x -+<-的使用； （2）结合结论的形式进行适当的缩放，以达到简化表达式及方便构造的效果，如题中的2222212222222101.659x x x x x x x x -<+++<-<-；。
北京市156中学2024年高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
北京市156中学2024年高三数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．63C ．33D ．232．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6744．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x xB ．20,(1)(1)∀+>-x x x xC ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x5．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 6．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,29．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．2010．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 12．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海市浦东新区高三二模数学试卷含答案
浦东新区2017学年度第二学期质量抽测高三数学试卷答案 2018．4注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1.21lim 1n n n →+∞+=-________.2 2.不等式01xx <-的解集为________.(0,1)3.已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S =________.114.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.35.91)x二项展开式中的常数项为________.846.椭圆2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)7.满足约束条件2423x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为________.1638.函数2()cos 2,R f x x x x =+∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。
当水面下降1米后，水面的宽为_____米。
10.—个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，0)，则该四面体的体积为________.1311.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值围是________.[1,0]-12.已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上存在1m +个实数012,,,,m a a a a 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++成立，则m 的最大值为________.6二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．13.已知方程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（ ）A A ． 3± B ．5± C.3,5 D ． 3,5±±14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；相应的在向量运算中，下列式子：（1）a b a b +≤+，（2）a b a b ⋅=⋅，（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；正确的个数是（ ）BA ． 0B ．1 C.2 D ．315.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
陕西省安康市2022-2023学年高三上学期第一次质量联考试题(一模) 数学(理) Word版含解析
绝密★启用前安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数，数列、立体几何．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则|1|z -=（ ）A ．2BC ．D ．2．记集合{}(){}2||2,ln 3M x x N x y x x=>==-，则MN =（ ）A ．{}23x x <≤ B ．{}32x x x ><-或 C ．{}02x x ≤<D ．{}23x x -<≤3．若4sin()5πα+=-，则cos(2)πα-=（ ） A ．35 B ．35- C ．725 D ．725-4．设c ∈R ，则a b >成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．22ac bc >B ．c c a b< C ．22a c b c++> D ．2c a b ->-5．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则异面直线1B E 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A B ． C D ． 6．已知函数()sin2(0)f x x xf '=-，则该函数的图象在2x π=处的切线方程为（ ） A ．30x y π+-= B ．30x y π--= C ．30x y π+-= D ．30x y π++= 7．记函数()()sin 4f x x b πωω*⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭N 的最小正周期为T ，若2T ππ<<，且()y f x =的最小值为1．则曲线()y f x =的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．7,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭8．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（ ） A ．18 B ．19 C ．21 D ．229．已知O 是ABC △内一点，230OA OB mOC ++=，若AOB △与ABC △的面积之比为47，则实数m 的值为（ ） A ．103- B ．103 C ．203- D ．20310．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x 恒有1(2)()1,(1)()2f x f x f x f x +≥++≤+，且(2)2f -=，则(2024)f 的值为（ ） A ．2026 B ．1015 C ．1014 D ．101311．若函数2()e 3xf x k x =-+有三个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．362e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2e,0)-D ．36,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 12．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，60,ABC EA ∠=︒⊥平面,,22ABCD EA BF AB AE BF ===∥，点M 在棱EC 上，且EM EC λ=，平面MBD 与平面ABCD 的夹角为45︒，则下列说法错误的是（ ）A ．平面EAC ⊥平面EFCB ．34λ=C ．点M 到平面BCFD ．多面体ABCDEF 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学质量达标检测试题
(doc 7页)
10.已知函数lnyxx，则其在点1x处的切线方程是
（ ）
.A22yx .B
22yx
.C 1yx .D 1yx
11.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m、n作
为点P的坐标，则点P落在圆2216xy 内的概率
为
（ ）
.A29 .B 736 .C
1
6
.D
1
4
12．已知抛物线xy82的焦点与双曲线1222yax的一
个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）
.A5154 .B 332 .C 3 .D
3
第Ⅱ卷（共72分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共
16分）
13．已知一个几何体的三视图（单位：cm）如右
图所示，则该几何体的侧面积为 _____cm2.
14．若执行如右图所示的程序框图，则输出的
S
= .
15.某校高三数学测试中，对90
分以上（含90分）的成绩进行统
计，其频率分布直方图如右图所
示，若130～140分数段的人数为
90，则90～100分数段的人数为 .
16.已知实数,xy满足09201yxyxx，则yxz的最大值
为 .
三．解答题（本大题共6小题，其中前4个小题
每题8分，后2个小题每题12分，共56分）
17. 在ABC△中，5cos13A，3cos5B．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设5BC，求ABC△的面积．
18．已知等差数列}{na中，82a，前10项和18510S.
(1) 求数列}{na的通项公式
(2) 若从数列}{na中依次取出第2，4，8，…, n2,…
项，按原来的顺序排成一个新的数列，
试求新数列的前n项和nA.
19．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾
客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖
P
A
D
B
C
E
箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两
次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中
一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖。
（1）求中三等奖的概率； （2）求中奖
的概率。
20．如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为
2
的正方形，,BCPB CDPD，且EPA,2点满足
PDPE31
.
（1）证明：PA平面ABCD .
（2）在线段BC上是否存在点F，使得//PF平面EAC？
若存在，确定点F的位置，若不存在请说明理由 .
21．设函数bxxgaxxxf232)(,)(，已知它们的图象在
1x
处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数)(xf和)(xg的解析式；
（Ⅱ）若函数)()()(xgmxfxF在区间[3,21]上是单
调减函数，求实数m的取值范围．
22．已知椭圆)0(1:22221babyaxC的离心率为33，直线
l：02yx 与以原点为圆心，以椭圆C
1
的短半轴
长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线
1l过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线2l垂直直线1
l
于点P，线段PF2的垂直平分线交2l于点M，求点
M
的轨迹C2的方程；
（3）若)2,(1xA、),(22yxB、),(00yxC是C2上不同的点，且
BCAB
，求y0的取值范围．
高三3月份质量达标检测 数学答案（文科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共
48分）
1. A 2. D 3. D 4. D 5. A 6. A
7. B 8. C 9. B 10. C 11. A 12.
B
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共
16分）
13. 80 14. 420 15.810
16. 6
三．解答题（本大题共6小题，其中前4个小题
每题8分，后2个小题每题12分，共56分）
17.解：（Ⅰ）由5cos13A，得12sin13A，
由3cos5B，得4sin5B．
又ABC
所以16sinsin()sincoscossin65CABABAB．
（Ⅱ）由正弦定理得45sin13512sin313BCBACA．
所以ABC△的面积1sin2SBCACC113165236583．
18．解.(1) 数列}{na为等差数列，82a，18510S.
185291010811da
da
351da
233)1(5nna
n
（2）新数列的前n项和naaaaAn2842...＝
nn2)2....842(3
nn221)21(2.3
nn2)12(6
19．解：18．解：设“中三等奖”为事件A，“中
奖”为事件B，
从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，
1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1）
（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）
16种不同的结果
（1）两个小球号码相加之和等于4的取法有
3种： （1，3），（2，2），（3，1）
两个小球号相加之和等于3的取法有4种：
（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）
由互斥事件的加法公式得： 167164163)(AP，
即中三等奖的概率为.167
（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有
4种；（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）
两个小球相加之和等于4的取法有3种；（1，3），
（2，2），（3，1）
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：
（2，3），（3，2）
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：
（3，3）
由互斥事件的加法公式得：
.85164163162161)(BP
即中奖的概率为.85
20．（1）证明：BCBCPBBCAB平面PABCPAB，
同理 PACD，又CBCCD，所以PA平面ABCD.
（2）当F为BC中点时，//PF平面EAC，理由如下：
设AC,FD交于点S
因为 FCAD// 所以 21ADFCSDFS 又因
为 21EDPE 所以 ESPF//
因为 PF平面EAC，ES平面EAC， 所以
//PF平面EAC
.
21．解：(I) ,4)(,3)(2xxgaxxf
),1()1(),1()1({gfgf
,1.0,21,43{{abba
a
23
2)(,)(xxgxxxf
(Ⅱ) ,2)()()(23mxxxxmgxfxF 143)(2mxxxF
若x∈[1/2，3]时，F(x)是减函数，则
01432mxx
恒成立，得
0)3('0)21('F
F
37m （若用xxm4132，则必
须求导得最值）
22．解：(Ⅰ) 33e，∴31222222abaace,
∴2223ab
∵直线l：02yx与圆222xyb相切，
∴22b，∴2b
∴23a. ∴椭圆C1的方程是22132xy．
(Ⅱ) ∵2MPMF ∴动点M到定直线
1
1lx：
的距离等于它的定点F2（1，0）的距离．
∴动点M的轨迹是以1l为准线，F2为焦点的抛
物线，
由12p 得p=2 ， ∴点M的轨迹C2的方程为
xy42
．
(Ⅲ) 由（Ⅱ）知A（1，2），
2000202
2
2
,2),,4(),,4(yyyyyCyyB
，y2≠2，①
则),4(),2,44(202220222yyyyBCyyAB
又因为0,BCABBCAB所以 ,
0))(2(444202222022yyy
yy
y
整理得0216)2(02022yyyy，
则此方程有解 ∴0)216(4)2(020yy解得
60y或100y
，
又检验条件①：06y时，22y 不符合题意．
∴点C的纵坐标y0的取值范围是610,,．