平行线被折线所截问题 教案设计 习题分类 中考相关
人教初中数学七下 《平行线的判定》教案 (公开课获奖) (2)
5.2.2平行线的判定(一)教学过程设计尝试应用1.观察课本13页图5.2-7，写出木工用角尺画平行线的道理是 .2.如图，∠2=∠4，你能得到a∥c吗？cPba43213.如第2题图，.∠1+∠4=180°，你能得到a∥c吗？方法总结：根据2，3题，你能得出什么结论？学生利用两直线平行，同位角相等，进行简单应用，特别第2，3题既应用了判定1，进行了巩固练习，又得出了平行线的判定方法2，3.让生初步感受定理是需要利用已学的定理来推理得出的。
所以此环节仍然体现了学生自主探究的过程。
判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单记为:内错角相等,两直线平行.判定方法3：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.简单记为:同旁内角互补,两直线平行.补偿提高1.P14页练习T1、2、3；2、如图1,如果∠3=∠7,或____ __,那么__ ____,理由是__________;如果∠5=∠3,或笔________,那么________,理由是______________; 如果∠2+ ∠5= ______ 或者_______,那么a∥b,理由是__________.87654321GFE21DCBA(1) (2) （3）3. 图2,点E在CD上,点F在BA上,G是AD延长线上一点.(1)若∠A=∠1,则可判断_______∥_______,因为________.(2)若∠1=∠_________,则可判断AG∥BC,因为_________.(3)若∠2+∠________=180°,则可判断CD∥AB,因为____________.4、如图3，图中∠AEF的同位角有哪几个？图中哪两个同学生自主完成，小组交流结果；15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷---（3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ． 所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到D CA BD CABDCA B∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结D CAB这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业EDCA B P备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算： (1) x x x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算：(1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(a a a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）b a ab - （3）3 五、1.(1)22yx xy - (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
优品课件之平行截割
平行截割第十九讲平行截割平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形：例题求解【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= ． (河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨图中有形如“X”型的基本图形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一条线段的代数式表示．【例2】如图，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为( ) A． B．1 C． D．2 (江苏省泰州市中考题) 思路点拨已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含，的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．【例3】如图，BD、BA，分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足． (1)求证：四边形AEBD为矩形； (2)若 =3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且，求证：△AHG是等腰三角形． (厦门市中考题)思路点拨对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG．【例4】如图，梯形AB CD中，AD∥BC，AB＝DC． (1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF； (2)如果P是BC上的任意一点(中点除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由． (上海市闽行区中考题)思路点拨对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF，即需证明，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明．注若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在： (1)利用比例线段求线段的长度； (2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．【例5】如图，在四边形ABCD 中，AC与BD相交于点O，直线平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM×PN=PR×PS (山东省竞赛题)思路点拨由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系学力训练 1．如图，△ABC中有菱形AMPN，如果，则． (南通市中考题) 2．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则；若，则．(江苏省镇江市中考题)3．如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为． (苏州市中考题) 4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE=x (�M)，BF=y(cm)，用x的代数式表示y 得． (黑龙江省中考题)5．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确比例式的个数有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q是BD、CE的中点，则等于( ) A． B． C． D． 7．如图，已知在平行四边形ABCD中，O1、O2，O3为对角线BD上三点，且BO1=OlQ2= O2O3=O3D，连结AOl并延长交BC于点C，连结EO3延长交AD于点F，则AD：FD等于( ) A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1 (河北省中考题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，则DF：FE等于( ) A．5：2 B．2：l C ．3：1 D．4：1 (江苏省竞赛题) 9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB= CD，E是AB上一点，AE=2BE，M是腰BC的中点，连结EM并延长交DC的延长线于点F，连结BD交EF于点N求证：BN：ND=l：10． (河南省中考题) 10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD． (1)求证：OE=OF，(2)求的值；（3）求证：．11．已知如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，我们可以证明成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则： (1) 还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED，S△BDC间的关系式，并给出证明． (黄冈市中考题) 12．如图，在梯形ABCD 中．AB∥CD，AB ＝3CD，E是对角线AC的中点，BE延长后交AD于F，那么 = ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD、BC的延长线分别交于F、E点，设BC=a，CD=b，CE=c，则CF= ． (山东赛区选拔赛试题) 14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD= a ，BC= b ，E、F分别是AD、BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为． 15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15m，分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处，向两侧地面上的E、D、B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC的交点P离地面的高度为 m． (2000年全国初中数学联赛试题) 16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E，F是BC的三等分点．AE、AF分别交BD于M、N两点，则BM：MN：ND=( ) A．3：2；1 B．4：2：l C．5：2：1 D．5：3：2 (2004年武汉市选拔赛试题)17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为( ) A． B． C． D． (山东省竞赛题) 18．如图，平行四边形ABCD中，F、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG= BG；④S△ABE=3S△AGE，其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值( )A． B． C． D． 20．如图，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF． (山东省竞赛题)21．如图，已知在平行四边形ABCD中，F为AB边的中点，AF= FD，FE与AC相交于G，求证：AG= AC． 22．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE． (湖北省黄冈市竞赛题) 23．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： (1)当时，有 (如图甲)；（2）当时，有 (如图乙)； (3)当时，有 (如图丙)；在图丁中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明(其中n是正整数) ( 山西省中考题)24．如图，在平行四边形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F． (1)求证：EF∥BD； (2)设平行四边形ABCD的面积是S，若S△AEF= S，求n的值． (山东省竞赛题)优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。
人教版七年级数学下平行线的性质2教学案导学案教学设计课时作业同步练习含答案解析
F E D CB A 平行线的性质一【目标导航】教学目标1．使学生理解平行线的性质和判定的区别； 2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．重点：平行线的三个性质难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定关键：能结合图形用符号语言表示平行线的三条性质．【预习引领】平行线的判定方法1：平行线的判定方法2：平行线的判定方法3：【要点梳理】知识点1 平行线性质1(公理)：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：几何语言：知识点2 平行线性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：几何语言：知识点3 平行线性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：几何语言：4．平行线判定与性质的区别与联系：（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补．（2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行．联系是：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的．例1如图所示，AB ∥CD ，AC ∥BD ．找出图中相等的角与互补的角．注：此题一定要强调，哪两条直线被哪一条直线所截．练习：1．如图：已知：AD ∥BC ，∠AEF =∠B ，求证：AD ∥EF ．B C A BD C F E132例1-1A BCP Q D D C B A2．如下左图，一条公路两次拐弯后，欲和原来的方向相同．第一次拐弯的角∠B =145°，则第二次拐弯的角∠C = °．3．选择：以下判定中，正确的个数有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c（2）若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c（3）若同旁内角相等，则两直线平行（4）若同位角相等，则两直线平行A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如上右图AB ∥CD ∥PQ ，若∠ABC =50°，∠CPQ =150°，则∠BCP ＝ ．例2（1）填空：如右上图，①∵ ∥ （已知），∴∠A = ∠BED （ ）．②∵ ∠2 = ∠ （已知），∴ AC ∥ ED （ ）．③∵AB ∥ FD （已知），∴ ＋ ∠AFD =180°（ ）．例3如上右图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A =100°，∠B =115°，梯形另外两个角分别是多少度？【课堂练习】D C B A 1E D C B A OF E D C B A F E DC B A G F ED C B A 1D C B AD C BA 12DC B A 1.如图，AB ∥CD ，则与∠1相等的角(∠1除外)共有 个．2.如图2所示，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B =72°，∠ACB =40°，•那么∠BDC ＝ ．3.如图CD ∥AB ，OE 平分∠AOD ，OF ⊥OE ，∠D =50°，则∠BOF ＝ ．4.若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相 ．5.下列说法:①两条直线平行，同旁内角互补②同位角相等，两直线平行;•③内错角相等，两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行，其中是平行线的性质的是 ( )A.①B.②和③C.④D.①和④6.如图所示，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )•A.6个B.5个C.4个D.3个第6题 第7题 第8题7.如图，如果DE ∥AB ，那么∠A +___=180°，或∠B +_____=180°，根据是___ ___；如果∠CED =∠FDE ，那么_____∥_____．根据是_____ ___．8.如图，AB ∥CD ，∠CAD :∠BAC =3:2，∠D =80°，则∠CAD =_____，∠ACD =•_____．9.如图AD ∥BC ，∠1=78°，∠2=40°，求∠ADC 的度数.10.如图所示，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠A 的2倍与∠C 的3倍互补，求∠A 和∠D 的度数.AE BF C D 12例3平行线的性质二例1.如图，E 为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，可以推出AC ∥DF ．解： ∵ ∠1=∠2 （已知）∠4=∠2 （ ），∴ ∠4=∠1 （ ）．∴ ∥ （ ），∴∠C =∠ABD （ ）．∵∠C =∠D （已知），∴∠D =∠ABD （ ），∴AC ∥DF （ ）．例2.如图，AB ∥CD ，∠ A =∠F ，那么EF ∥CD 吗？为什么？变式：若EF ∥CD ，∠ A =∠F 那么AB ∥CD 吗？为什么？例3.如图，请分别添加一个能使下列结论成立的条件：（1）AD ∥BC ；（2）∠1=∠2．（所找的条件各不少于两个）例4 .如图4-1，若AB ∥EF ∥CD ．试探求∠BED 与∠B 、∠D 之间的关系，并说明理由．F E0D CB A 例2F E 0D C B A 例2F E D C B A 12G F E D C B A 12变式1：在AB ∥EF ∥CD 不变的前提下，若∠B =52°，∠D =38°，则BE 与DE 的位置关系是 ． 变式2：若图形变为图4-2，其他条件不变，∠BED 、∠B 、∠D 之间还有原来的关系吗？思考题：通过对例4中两个图形的研究，对你有何启发？试探求右图（此时AB ∥CD ）中∠BED 与∠B 、∠D 之间的关系？变式：（2011山东枣庄）如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E 等于（ ）A ．30° Ｂ．40°C ．60° Ｄ．70°【课堂练习】1．如图，已知直线AB ，CD 被直线EF 所截，若∠1=∠2，•则∠AEF+∠CFE =________．2．如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F ，EG •平分∠BEF ，若∠1=72°，则∠2=_______．3． （2011湖南怀化）如图2，已知直线a ∥b ，∠1=40°,∠2=60°，则∠3等于（ ）A B D C E A C B D Eb a 3412NM GF E D C B AE D C B A A.100° B.60°C ．40° D.20°4．（2011山东临沂）如图，已知AB ∥CD ，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．110°5．如图，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数．6． 如图，已知EAB 是直线，AD ∥BC ，AD 平分∠EAC ，试判定∠B 与∠C 的大小关系，并说明理由．7．如图所示，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若∠EFG =50°，求∠DEG 的度数．F E 21DC B A8．如图，已知B 、E 分别是AC 、DF 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ．(1)∠ABD 与∠C 相等吗?为什么?(2)∠A 与∠F 相等吗?请说明理由．参考答案：平行线的性质一例1答案：相等的角∠1＝∠2，直线AB、CD被BC所截；∠3＝∠4，直线AC、BD被AD所截；∠5＝∠6，直线AB、CD被BC所截；∠7＝∠8，直线AC、BD被AD所截；互补的角∠ACD＝∠CAB，直线CD、AB被AC所截；∠ACD＝∠CDB，直线AC、BD被CD所截；∠CAB ＝∠ABD，直线AC、BD被AB所截；∠ABD＝∠CDB，直线AB、CD被BD所截练习答案1：证：∵AD∥BC∴∠A+∠B=180°又∵∠AEF=∠B∴∠A+∠AEF =180°∴AD∥EF2. 145 °．3.（B）4. 20°例2答案：①DE，AC（两直线平行，同位角相等）．②DFC （两直线平行，内错角相等）．③∠A（两直线平行，同旁内角互补）．例3答案解：∵四边形ABCD为梯形∴AB∥CD∴∠A+∠D=180°，∠C+∠B=180°又∵∠A=100°，∠B=115°∴∠D=80°，∠C=65°【课堂练习】答案1. 32. 88°3. 25°4. 平行5. （A）6. （B）7.∠AED，∠BDE，两直线平行，同旁内角互补；DF，AC_，内错角相等，两直线平行8. 60°，40°9. 解：∵AD∥BC∴∠ADB=∠2=40°∴∠ADC=∠ADB+∠1=118°10. 解：∵AD∥BC，AB∥CD∴∠A+∠B=180°∠C+∠B=180°∴∠A=∠C又∵2∠A+3∠C=180°∴∠A=36°∵∠A+∠D=180°∴∠D=144°平行线的性质二例1答案：∵∠1=∠2 （已知）∠4=∠2 （对顶角相等），∴∠4=∠1 （等量代换）．∴DB∥CE（同位角相等，两直线平行），∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）．∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠ABD（等量代换），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）例2答案：答：EF∥CD∵AB∥CD∴∠ A=∠FCD∵∠A=∠F∴∴EF∥CD变式：答：AB∥CD∵EF∥CD∴∠F=∠FCD∵∠A=∠F∴∠ A=∠FCD∴AB∥CD例3答案：答：（1）添加∠ DAC=∠ACB或者∠EAD=∠ABC(2) 添加AB∥CD或者∠ EAD=∠ADC例4答案：关系是：∠BED=∠B+∠D变式1：垂直变式二：∠B+∠D+∠BED=360°思考题：答：通过添加辅助线，来找寻角度之间的关系∠BED=∠B－∠D 变式：答案：（A）【课堂练习】1. 1802. 54°3.（A）4.（D）5.解：∵∠1=72°，∠2=72°∴∠1=∠2∴a∥b∴∠3+∠4=180°∵∠3=60°∴∠4=120°6.答：∠B=∠C∵AD平分∠EAC∴∠EAD=∠DAC∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C∴∠B=∠C7. 解：∵四边形ABCD为长方形∴AD∥BC∴∠DEF=∠EFG=50°又∵沿EF折叠∴∠DEF=∠GEF=50°∴∠DEG=100°8.解：（1）答：∠ABD=∠C∵∠1=∠2∴DB∥CE∴∠ABD=∠C(2) 答：∠A=∠F∵∠ABD=∠C，∠C=∠D∴∠ABD=∠D∴AC∥DF∴∠A=∠F。
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料9.4.1平行线的判定 教学设计(2)
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料9.4 平行线的判定教学设计【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；了解平行于同一条直线的两条直线平行.2.教材分析本节的主要内容是平行线的判定公理及两个判定定理，由分析画平行线的过程得知，画平行线实际上就是画相等的同位角，由此得到平行线的判定公理一一“同位角相等，两直线平行”，以判定公理为基础应用对顶角性质和邻补角关系，从而引出平行线的两个判定定理。
在一定意义上说，前一节内容为本节的学习作了准备，这一节内容又为学习下一节内容提供了条件,本节内容不仅起着承前启后的作用，而且又是非常重要的基础知识，在今后学习有关图形的问题中经常用到。
本节课从学生已学过的平行线的性质出发，通过演示同位角相等，两直线平行，引出平行线的判定定理，进而引导学生应用定理分析图形，进行推理与计算.3.学情分析通过前面的学习，学生已经掌握了直线平行线的性质并能够利用性质进行说理.在学习本节课的过程当中学生可能会在图中找同位角、内错角、同旁内角时产生混乱；初一学生的认知特点是只局限于一问一答的简单推理，不善于进行连续推理，在应用判定时选择具有两步推理的证明题，让学生在解决问题的过程中学会连续的推理论证，培养学生的推理能力.在整个教学过程中，要不断给学生渗透数形结合、转化的数学思想方法，突破难点，教师板演，学生模仿，从而规范学生几何语言的书写和做题的步骤.【学习目标】1.通过用三角尺和直尺画平行线的活动过程，能说出平行线判定公理的内容2.通过以平行线判定公理为依据，能够推导平行线的两个判定定理.3.会在具体的问题中，恰当地运用平行线的三个判定方法进行说理，培养学生的合理推理能力．第一课时【学习目标】1.通过实验与探究，能说出平行线判定公理的内容.2.通过以平行线判定公理为依据，能够推导平行线的两个判定定理.3.会在具体的问题中，恰当地运用平行线的三个判定方法进行说理.【评价任务】目标1评价任务1.阅读“实验与探究”，说出平行线的判定公理.2.自主完成课本40页练习2，考查学生对平行线的判定公理的运用.目标2评价任务1.说出两个判定直线平行方法的内容；并能说出判定的依据；2.自主完成学案的自学检测和当堂训练的1,2,3题，落实三种判定方法的运用；目标3评价任务通过例题的自主分析与合作，引导学生寻求分析问题的方法，落实解题的步骤.图2图3本节课我们通过画图、观察、思考、总结等活动，探索平行线的判定方法，并会解决简单的问题，通过对平行线判定方法的探究，了解数形结合、转化、发展合情推理与初步的逻辑推理能力，附：板书设计9.4.1 平行线的判定判定方法：1.2.3.【教学反思】。
平行线中的折线成角问题课件
由∠F+∠1=∠3 可得 ∠F=∠3-∠1
2)由基本图形一，你能得到你能得到
∠ABE+∠CDE的值吗？
由∠ABE+∠CDE+∠E=360º可得 ∠ABE+∠CDE=220º
3）由第（2）问的结论，将∠ABE转化成∠1，
将∠CDE转化成∠3，看看你能得到什么结论？
因为∠ABE=180º-2∠1 ,∠CDE=2∠3 ,所以 180º-2∠1 +2∠3 =220º，所以2∠3 -2∠1 =40º 所以∠3 -∠1 =20º即 ∠F=20º
(2)由基本图形一，你能得到你能得 到∠ABE+∠CDE的值吗？
(3）由第（2）问的结论，将∠ABE转 化成∠1，将∠CDE转化成∠3，看看 你能得到什么结论？
变式题
• 变式题：将上题中的∠ABE的平分线改为它的补角 ∠ABG的角平分线，其它条件不变，则∠F= 20º
学法指导：
1)由基本图形四，你能得到∠F与∠1和∠3的
A
B
P
C
D
在这两个图形中∠APC、∠A、∠C 之间的数量关系。
A P
C
B
A
B
P
D
C
D
基本图形一
A
B
P
1 2
E
C
D
两直线平行同旁内角互补
基本图形二
A
B
E
1
2P
C
D
两直线平行内错角相等
∠A+∠C=∠APC
牛刀小试
（1）如图1，a//b,M、N分别在a、b上， P为两平行线间一点，如果∠3= 135º， 那么∠1+∠2= 225º
M
沪教课标版七年级下册数学：探究活动 平行线被折线所截问题
布置作业
1.完成校本作业 2.合作完成拓展延伸思考题
2：我们学过的平行线的性质是两条平行直线被第三条 直线所截，现在却变成折线，那怎么研究各角数量关 系？ 3：如果纸被再继续剪下去……
合作探究
自我检测 学
1.选择题
如图，AB//DE,∠B=200,
∠BCD=500,则∠D的度数是 D _
A.450 B.400 C.700 D.300
自我检测
2.如图：在铁路建设修到一个美丽的村庄边上，为 了不破坏村庄的自然环境，需要拐弯绕道通过，若 第一次拐弯的∠B是100度，第二次拐弯的∠C是150 度，第三次拐弯的是∠D，这时的道路恰好与第一
次拐弯前的平行，那么∠D= 1300 .
拓展延伸
拓展延伸
如图，若已知∠1 + ∠3 = ∠2 ， 请问：AB与CD平行吗？
课堂小结
通过这节课的学习， 你有哪些收获？
课堂小结
方向朝左边的角的 和等于方向朝右边
的角的和
当有n个折时， ∠1 + ∠2+ ∠3+… ∠n+2=（n+1）1800
课堂小结 F型 U型
A
C 化 繁 为 简
Z型
1 3
B
1
3 D 追 Z型 根 溯 源
课前热身
如图所示，
U型
(3) 因为__A__B__∥_C__D___
所以 ∠3+∠4=1800
( 两直线平行，同旁内角互补 )
4 3
A
C 化 繁 为 简
B
4
3 D 追 U型 根 溯 源
话题……
起 聊 纸 A4 张 一
从
动手动脑
思考 1：图中这些小于平角的角之间会有什么数量关系呢？
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13.4平行线的判定 13.5平行线的性质 中考链接
一、运用平行线的性质.
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
． B ． C ． D ．
考点： 平行线的性质．
练1.（2013•株洲）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、l 3上．若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC= 度．
（答案：120）
练2.（2009•日照）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）
A .70°
B .65°
C .50°
D .25°
（答案：C ）
E D B C ′
F C D ′ A
二、平行线的判定和平行线的性质的综合运用.
解题要点：通常先由两角的关系说明两直线平行，再运用两直线平行说明另外两角的关系。
即先运用平行线的判定，再运用平行线的性质。
例1.（2013•孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）
A.120°
B.130°
C.140°
D.40°
分析：首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据
平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．
解答：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3=∠5，
∵∠3=40°，
∴∠5=40°，
∴∠4=180°﹣40°=140°，
故选：C．
点评：此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
练1.（2013•恩施州）如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4
等于（）
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
（答案：D）
练2.（2013•广安）如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，
则∠4= ．
（答案：63°30′）
练3.（2013•白银）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）。