高二上学期数学竞赛试题(含完整答案)

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专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)

（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是。

2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是。

5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是。

8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为。

二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。

福建省泉州市部分地区2024-2025学年高二上学期开学联考试题数学含答案

2024-2025学年福建省泉州市部分地区高二上学期开学考试数学试卷（答案在最后）【满分：150】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.复数2023i 12iz =-在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a ,b 满足3a =,5a b ⋅=- ,则()2a b a -⋅= ()A.-1B.2C.15D.193.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为()A.6.8B.6.9C.7D.7.24.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是()A.若m α⊥，//n α，则m n ⊥B.若m α⊥，//m n ，则n α⊥C.若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD.若m α⊥，m n ⊥，则//n α5.为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党,知史爱国的热情,某校举办了“学党史,育文化的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分,成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为()A.a 的值为0.005B.估计这组数据的众数为75分C.估计这组数据的第85百分位数为85分D.估计成绩低于60分的有250人6.在ABC △中,2AE EB = ,12AF FC =,M ,N 为线段BC 上（不包含端点）不同的两个动点.若(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R,则2λμ+=()A.3B.4C.6D.77.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件A =“出现的点数为奇数”,B =“出现的点数不大于3”,事件C =“出现点数为3的倍数”,则下列说法正确的是()A.A 与B 互为对立事件 B.()()()P A B P A P B =+ C.()23P C =D.()()P A P C =8.在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,123AA =O 为BC 的中点,M ,N 分别为线段11B C ,AM 上的动点,且MN MOMO MA=,则线段MN 的长度的取值范围为()A.31513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.)15,4⎡⎣C.115,47⎡⎢⎣⎦D.1513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.9.已知圆22:(1)(2)25C x y ++-=,直线()():311420l m x m y m +++--=,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,则()A.直线l 恒过定点()1,1B.当15m =时,AB 最长C.当35m =-时,弦AB 最短D.最短弦长AB =10.已知向量(,1)x =a ，(4,2)=b ，则下列结论正确的是()A.若//a b ，则2x =B.若⊥a b ，则12x =C.若3x =，则向量a 与向量b 的夹角的余弦值为10D.若1x =-，则向量b 在向量a 上的投影向量为11.在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,将ABD △沿对角线BD 折起,使点A 至点P （P 在平面ABCD 外）的位置,则()A.在折叠过程中,总有BD PC ⊥B.存在点P ,使得2PC =C.当1PC =时,三棱锥P BCD -的外接球的表面积为3π2D.当三棱锥P BCD -的体积最大时,32PC =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知()5,2,1A ，()4,2,1B -，()0,1,0C -，()1,0,1D ，则直线AB 与CD 所成角的余弦值为______.13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为x ，y ，z ，6.若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为________.14.在圆台12O O 中,圆1O 的半径是2,母线2PC =,圆2O 是ABC △的外接圆,60ACB ∠=︒,AB =则三棱锥P ABC -体积最大值为___________．四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）如图,在ABC △中,25AD AB =,点E 为AC 中点,点F 为BC 上的三等分点,且靠近点C ,设CA a = CB b = .(1)用a ,b 表示EF ,CD ;(2)如果60ACB ∠=︒,2AC =,且CD EF ⊥,求||CD.16.（15分）甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为12,负的概率为13,且每局比赛之间的胜负相互独立.（1）求第三局结束时乙获胜的概率;（2）求甲获胜的概率.17.（15分）如图,在三棱台111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,4AB AC ==,1112A A A B ==,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ;（2）求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值.18.（17分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数：（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率：（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.19.（17分）在①b a =,②2sin tan b A a B =,③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若___________.（1）求角B ;（2）若2,3a c ==,点D 在ABC △外接圆上运动,求BD BC ⋅的最大值.答案以及解析1.答案：D解析：因为20233i i i ==-,所以()()()i 12i i 2i12i 12i 12i 5z -+--===--+,所以,复数z 在复平面内所对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以,复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限.故选:D.2.答案：D解析：因为3a = ,5a b ⋅=-,所以()()22292519a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯-= .故选：D.3.答案：A解析：男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3:2.则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为1(610415)1210⨯⨯+⨯=.所以这10人答对题目的方差为22641(1012)0.5(1512) 6.81010⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.故选：A.4.答案：D解析：对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα= ，则//n l ，因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质知B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误.故选D.5.答案：C解析：根据频率分布直方图可知:10(23365)1a a a a a a +++++=,即0.005a =,故A 正确;由图易得在区间[70,80)的人最多,故可估计这组数据的众数为75,故B 正确;100.005(23)1000250⨯⨯+⨯=,故成绩低于60（分）的有250人,即D 正确;由图中前四组面积之和为:(2336)0.005100.7+++⨯⨯=,图中前五组面积之和为:(23365)0.005100.95++++⨯⨯=,故这组数据的第85百分位数在第五组数据中,设这组数据的第85百分位数为m ,则有0.750.005(80)0.85m +⨯-=,故86m =,即估计这组数据的第85百分位数为86分,故C 错误.故选:C.6.答案：C解析：因为2AE EB = ,12AF FC =,所以23AE AB = ,13AF AC = ,设()()101AM a AB a AC a =+-<< ,()()101AN bAB b AC b =+-<<,则()()11AM AN a AB a AC bAB b AC +=+-++- 3()(2)()3(2)2a b AB a b AC a b AE a b AF =++--=++--,又(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R ,且AE ,AF不共线,则()()3232a b a b λμ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩,所以26λμ+=.7.答案：C解析：抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数构成的样本空间为()()()()()(){}1,2,3,4,5,6,则()()(){}()()(){}()(){}1,3,5,1,2,3,6,3A B C ===,对于A,事件A ,B 可同时发生,故不是对立事件,A 错误,对于B,()()()(){}1,2,3,5A B = ,()23P A B = ,()()1P A P B +=,故B 错误,对于C,()()213P C P C =-=,C 正确,对于D,()12P A =,()13P C =,D 错误,故选:C 8.答案：D解析：取11B C 的中点Q ,连接OQ ,如图,以O 为坐标原点,OC ,OA ,OQ的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则()0,0,0O ,(0A ,(11,0,B -,(11,0,C .因为M 是棱11B C 上一动点,设(,0,M a ,且[]1,1a ∈-,所以(,0,OM a = ,(MA a =--.因为MN MOMO MA =,所以222MO MN MA ===.令t =4t ⎤∈⎦,则2233t t t t -==-,4t ⎤∈⎦.又函数3y t t =-在4⎤⎦上为增函数,所以线段MN 的长度的取值范围为13,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.9.答案：AC解析：直线方程可化为()3420x y m x y +-++-=,当340120x y x x y +-=⎧⇒=⎨+-=⎩,1y =,故直线l 恒过定点()1,1P ,A 正确;易知圆心()1,2C -,半径=5r ,显然当直线l 过圆心时,AB 最长,则()()()1311124205m m m m +⨯-++⨯--=⇒=-,故B 错误;当CP l ⊥时,此时弦AB 最短,即()3112311115m m m +--⨯=-⇒=-+--,故C 正确;当35m =-时,则弦长AB ==故D 错误.故选:AC 10.答案：AC解析：若//a b ，则240x -=，解得2x =，故A 正确；若⊥a b ，则420x +=，解得12x =-，故B 错误；若3x =，则(3,1)=a .又(4,2)=b ，所以向量a 与向量b的夹角的余弦值为10⋅==a b a b ，故C 正确；若1x =-，则(1,1)=-a .又(4,2)=b ，所以向量b 在向量a上的投影向量为(1,1)||||⋅⋅=-a b a a a ，故D 错误.故选AC.11.答案：AC解析：如图所示,取PC 的中点E ,连接BE ,DE ,则BE PC ⊥,DE PC ⊥,因为BE DE E = ,BD ,DE ⊂平面BDE ,所以PC ⊥平面BDE ,又BD ⊂平面BDE ,所以BD PC ⊥,A 项正确;在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,所以AC =,当ABD △沿对角线BD 折起时,0PC <<,所以不存在点P ,使得2PC =,B 项错误;当PC =1时,将正四面体补成正方体,根据正方体的性质可知,三棱锥P BCD -的外接球就是该正方体的外接球,因为正方体的各面的对角线长为1.所以正方体的棱长为2,设外接球的半径为R ,则22234122R ⎛=+= ⎝⎭,所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2342S R ππ==球,C 项正确;当三棱锥P BCD -的体积最大时,取BD 的中点O ,连接PO ,OC ,易知PO ⊥平面BCD,则PO OC ⊥,又122PO OC AC ===,所以2PC ==,D 项错误.故选:AC.12.答案：5解析：因为()1,0,2AB =-- ，()1,1,1CD =，所以cos ,5AB CD AB CD AB CD⋅===-，所以直线AB 与CD 所成角的余弦值为155.13.答案：4.5/92解析：易知这4个数据的极差为6x -，中位数为2y z+，即可得622y zx +-=⨯，所以6x y z ++=；又因为正整数x ，y ，z 互不相等且16x y z ≤<<<，可得1x =，2y =，3z =；由475%3⨯=为正数，因此这4个数据的第75百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即364.52+=，则这4个数据的第75百分位数为4.5.故答案为：4.514.答案：34解析：如图,设圆1O ,2O 的半径分别为1r ,2r ,则12r =,由正弦定理,232sin 60r =︒,解得21r =,设圆台的高为h ,则12h O O ===,在ABC △中,取AC b =,BC a =,由余弦定理,222cos 603a b ab +-︒=,即得2232a b ab ab +=+≥,即得3ab ≤,当且仅当a b ==.因三棱锥P ABC -的体积为11113sin 6033244ABC V S h ab ab =⋅=⨯=≤△,即a b ==,三棱锥P ABC -的体积的最大值为34.故答案为：3.415.答案：(1)3255CD a b =+ ,1132EF b a=-(2)635解析：(1)因为25AD AB =,所以()223232555555CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b =+=+=+-=+=+ ,11113232EF CF CE CB CA b a =-=-=-;(2)因为CD EF ⊥,所以231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以222301510b a -= ,由2a = ,可得3b = ,又60ACB ∠=︒,所以12332a b ⋅=⋅⋅= ,所以635CD === .16.答案：（1）427（2）265432解析：（1）设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知,乙每局获胜的概率为13,不获胜的概率为23.若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=（2）设事件B 为“甲获胜”.若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率1111224P =⨯=.若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=.若第四局结束甲以积分获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜,则乙的积分为0分,总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=17.答案：（1）见解析（2）3015解析：（1）证明：以A 为坐标原点,以AB ,AC ,1AA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,根据题意可得()0,0,0A ,()4,0,0B ,()0,4,0C ,()12,0,2B ,()10,2,2C ,()0,3,1D ,∴()12,0,2BB =- ,()0,4,0AC = ,()12,0,2,AB =设平面1AB C 的法向量为(),,n d e f =,则140220n AC e n AB d f ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1d =,即1f =-,0e =,则()1,0,1n =- ,12BB n ∴=- ,1//BB n ∴,1BB ∴⊥平面1AB C .（2）由（1）知()4,4,0BC =- ,()0,1,1CD =- ,设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =,则4400m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,令1y =,即1x =,1z =,即()1,1,1m = ,由（1）知,()4,0,0AB = ,()0,3,1AD = ,设平面ABD 的法向量为(),,e a b c =,则4030e AB a e AD b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1b =,即0a =,3c =-.即()0,1,3e =- ,设平面BCD 与平面ABD 的夹角为θ,则1330cos cos ,15310m e m e m e θ⋅-====⨯,∴平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值为3015.18.答案：（1）0.030t =，85；（2）35；（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.解析：（1）由题意得：10(0.010.0150.0200.025)1t ⨯++++=，解得0.03t =，设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得85x =，第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220⨯=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320⨯=人，设为a 、b 、c .则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=.设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A a A b A c B a B b B c =，()6n M =，因此()63()()105n M P M n ===Ω，所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35.（3）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028⨯⨯=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312⨯⨯=个.记在区间[70,80)的数据分别为1x ，2x ，，8x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1y ，2y ，，12y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s .由题意，75x =，85y =，26.25xs =，20.5ys =，且8118i i x x ==∑，121112j j y y ==∑，则8128751285812020x y z +⨯+⨯===.根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()88812121222221111111()2((2(20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ======⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ====-=-=-=-=∑∑∑∑，可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑2222188(1212(20x y s x z s y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦222223(()55x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦22236.25(7581)0.5(8581)26.855⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.19.答案：（1）π3（2）213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（1）选①,由正弦定理得sin sin B A =sin 0A ≠,cos 1B B -=,即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0πB << ,ππ5π666B -<-<∴,ππ66B ∴-=,π3B ∴=.选②,2sin tan b A a B = ,sin 2sin cos a Bb A B=,由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B B A A B =⋅,sin 0A ≠,1cos 2B ∴=,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.选③,sin()sin(π)sin A B C C +=-=,由已知结合正弦定理可得22()a c a c b -+=,222a cb ac ∴+-=,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.（2）π2,3,3a c B ===,,,根据余弦定理2222cos 4967b a c ac B =+-=+-=,b ∴=ABC∴△外接圆的直径2sin 2bR B===过D 作DG BC ⊥,垂足为G ,而cos BC BD BC BD DBC ⋅=∠,若BC BD ⋅取到最大值,则cos BD DBC ∠ 取最大值,故可设DBC ∠为锐角,故此时BC BD BC BG ⋅=,当BG取最大值时,DG 与圆相切且G 在BC 的延长线上（如图所示）,设此时切点为H ,垂足为F ,取BC 的中点E ,外接圆圆心为O ,连接OE ,OH ,则//OE FH 且OH FH ⊥,故四边形OHFE 为矩形,故3EF OH R ===,故1123BF BC R =+=+,()max21213BC BD⎛⎫∴⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭ .。

2024-2025湖北省“新八校协作体”高二年级12月联考数学试题(含答案)

2024-2025湖北省“新八校协作体”高二年级12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间向量a=(1,n,2)，b=(−2,1,2)，若a与b垂直，则|a|等于( )A. 5B. 7C. 3D. 412.椭圆x2m+y2=1(m>0)的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )A. 14B. 12C. 2D. 43.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是( )A. 至少有1名女生与全是女生B. 至少有1名女生与全是男生C. 恰有1名女生与恰有2名女生D. 至少有1名女生与至多有1名男生4.已知一组数据x1，x2，⋯，x n的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据x1，x2⋯，x n，80的平均数和方差分别为x，s2，则( )A. x>80B. x<80C. s2>21D. s2<215.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90∘，AC=BC=AA1=2，E为A1C1的中点，则BA1与AE所成角的余弦值是( )A. 3010B. 1515C. 12D. 15106.过点M(2,1)的直线l与椭圆x28+y26=1相交于A，B两点，且M恰为线段AB的中点，则直线l的斜率为( )A. 23B. −23C. 32D. −327.已知圆C1:(x+2)2+(y−1)2=1，圆C2:(x−2)2+(y−3)2=4，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为( )A. 42−3B. 25−3C. 42D. 52−48.在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0(x0,y0,z0)，点P(x,y,z).(1)若直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为x−x0a =y−y0b=z−z0c;(2)若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，则平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.利用以上信息解决下面的问题：已知平面α的方程为x+y+z−1=0，直线l是平面x+2y−2=0与平面x−z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )A. 33B. 75C. 539D. 79二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题(含解析)

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数满足，则（）z ()i 12i34z +=-z=C. 3D. 52. 设为实数，已知直线，若，则（a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=12l l ∥a =）A. 6B. C. 6或 D. 或33-3-6-3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（）x 2213x y m+=m A. B. C. 12D. 3421412-4. 已知，则（）cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. D. 33-5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,AB ABC V 8，则（）a=A. B. C. 11-6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 为（）A. B.3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=C. D.2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度118,2AB A B ==恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别1223为，则（）12,V V 12V V =A. B. C. D. 23652872083872088. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，()222210+=>>x y a b a b ()00,P x y 切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，00221x x y ya b +=()2222:10x y C a b a b +=>>F A 过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率F x C M M l l 与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（）1k AM 2k 1220k k +=A.C.1323二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A. 0.025a =B. 高一年级抽测成绩的众数为75C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ m n αβ）A. 若，，，则B. 若，，，则//αβ//m αn β⊥m n⊥//αβm α⊂n β⊂//m nC .若，，，则 D. 若，，，则m α⊥//n β//m n αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥11. 已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（）22(2)4x y -+=A. 若圆与圆C 恰有3条公切线，则221080x y x y m +--+=16m =B. 圆与圆C 的公共弦所在直线为2220x y y =++20x y +=C. 直线与圆C 恒有两个公共点()()2132530m x m y m +++--=D. 点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为P y P ,A B ,A B ，若定点，则的最大值为6M ()5,3N MN 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍1,2,3,4,5数的概率为______.13. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.P 22:194x y C +=()1,0A PA14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD ≤正整数的最小值是__________.t 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，且.ABC V ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =（1）求角；A（2）若的周长.a ABC =△ABC V 16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.1OO PA AB C AB（1）证明：平面平面；PAC ⊥PBC （2）若，求二面角的余弦值.24PA AB ==A PB C --17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答,A B A B A 对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中B A p B q ，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答01,01p q <<<<A 34B 23两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.,A B 1316（1）求的值；,p q （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=相切.M（1）求圆的方程；M （2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.()0,2D -l M ,A B A DB l 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C ､分别为椭圆的左､右焦点，.1F 2F C 126A F =（1）求椭圆的方程；C （2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线x l C P Q ､P Q ､x ，的斜率分别为.12,A P A P 21,A Q A Q 1234,,,k k k k （i ）求的值；12k k （ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，()142353k k k k +=+PQ 说明理由.2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数满足，则（）z ()i 12i 34z +=-z=C. 3D. 5【正确答案】B【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解.12i z =--【详解】由题意知，，34i (34i)(12i)36i 4i 812i 12i (12i)(12i)5z ------====--++-.=故选：B2. 设为实数，已知直线，若，则（a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=12l l ∥a =）A. 6B. C. 6或 D. 或33-3-6-【正确答案】A【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为，所以，解得：或.12l l ∥()318a a -=6a =3a =-当时，，平行；6a =12:6320,:6340l x y l x y +-=++=当时，，可判断此时重合，舍去.3a =-12:3320,:6640l x y l x y -+-=-+=故选：A3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（）x 2213x y m +=m A. B. C. 12D.3421412-【正确答案】C【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，3,3m a b c >===又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C4. 已知，则（）cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B.D. 33-【正确答案】B【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得，结合两角和的正切公式计tan 2α=算即可求解.【详解】由，得，cos πsin()4αα=-πcos )sin cos 4αααααα=-==-即，所以.tan 2α=πtan 13tan(341tan 1ααα++===---故选：B5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,A B ABC V8，则（）a =A. B.C. 11-【正确答案】C【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距π2ACB ∠=(0,2)C 20x ay ++=离，再利用点线距公式建立方程，解之即可.d 【详解】由三角形的面积公式可得，214sin 82ABC S ACB =⨯∠= 得，由，得，sin 1ACB ∠=0πACB <∠<π2ACB ∠=所以为等腰直角三角形，ABC V 所以圆心到直线的距离为(0,2)C 20x ay ++=π4sin4d ==由点到直线的距离公式得，解得.d 1a =故选：C6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 为（）A. B.3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=C .D.2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=【正确答案】C【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可.P M 【详解】设点，因为，所以，(),P x y ()2,4MP =-()2,4M x y -+代入直线方程可得：，()()223410x y -+++=化简可得.2390x y ++=所以的轨迹方程为.P 2390x y ++=故选：C7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度118,2AB A B ==恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别1223为，则（）12,V V 12V V =A. B. C. D. 2365287208387208【正确答案】D【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.12,V V 【详解】设四棱台的高度为h ，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则，((1211291291046425,43663323h h h h V V =+⋅==++⋅=所以.12387208V V =故选：D.8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，()222210+=>>x y a b a b ()00,P x y 切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，00221x x y ya b +=()2222:10x y C a b a b +=>>F A 过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率F x C M M l l 与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（）1k AM 2k 1220k k +=A .C.1323【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解,M A l AM 即可.【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，(,0),(,0)A a F c -x c =-2b y a =±2(,)b Mc a -则切线，即，切线的斜率，222:1b ycx al a b -+=y ex a =+l 1k e =直线的斜率，则，所以.AM 22221()b a c a k e c a a a c -==-=---+2(1)0e e +-=23e =故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A. 0.025a =B. 高一年级抽测成绩的众数为75C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分【正确答案】ABD【分析】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．【详解】对于A ：由，解得，正确；()0.002520.0100.020.04101a ⨯++++⨯=0.025a =对于B ：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75，正确；对于C ：因为，由，0.025a =()0.002520.0100.025100.4⨯++⨯=，所以70百分位数是，故()0.002520.0100.0250.04100.8⨯+++⨯=3801087.54+⨯=错误；对于D ：高一年学生成绩的平均数约为分；450.04550.11650.18750.35850.22950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=高二年学生成绩的平均数约为分，450.025550.025650.1750.25850.4950.280.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为，故正确；7480.75<故选：ABD10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ m n αβ）A. 若，，，则B. 若，，，则//αβ//m αn β⊥m n⊥//αβm α⊂n β⊂//m nC. 若，，，则D. 若，，，则m α⊥//n β//m n αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.【详解】对于A ，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，//m αm αc //m c而，，则，，因此，A 正确；n β⊥//αβn α⊥n c ⊥m n ⊥对于B ，由，，，得是平行直线或异面直线，B 错误；//αβm α⊂n β⊂,m n 对于C ，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，//n βn βl //n l 由，得，又，则，因此，C 正确；//m n //m l m α⊥l α⊥αβ⊥对于D ，，，，当都平行于的交线时，，D 错误.αβ⊥m α⊂n β⊂,m n ,αβ//m n 故选：AC11. 已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（）22(2)4x y -+=A. 若圆与圆C 恰有3条公切线，则221080x y x y m +--+=16m =B. 圆与圆C 的公共弦所在直线为2220x y y =++20x y +=C. 直线与圆C 恒有两个公共点()()2132530m x m y m +++--=D. 点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为P y P ,A B ,A B ，若定点，则的最大值为6M ()5,3N MN 【正确答案】BCD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B ；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M 恒有两个公共点，即可判断C ；易知直线AB 恒过定点，由得出点M 的轨迹，结合点与圆的位(0,0)CM A B ⊥置关系计算即可判断D.【详解】A ：由题意得：的圆心为，半径为221080x y x y m +--+=(5,4)=该圆与圆有3条公切线，则两圆外切，22:(2)4C x y -+=，解得，故A 错误；2+32m =B ：两圆的圆心分别为，半径分别为和2，(0,1),(2,0)-1则，所以两圆相交，211312-=<<=+与相减得：，2220x y y =++22(2)4x y -+=20x y +=故圆与圆C 的公共弦所在直线为，故B 正确；2220x y y =++20x y +=C ：变形为，(21)(32)530m x m y m +++--=()235(23)0x y m x y +-++-=令，解得，2350230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=⎩即直线恒过点，(21)(32)530m x m y m +++--=()1,1由于，点在圆M 内，()221214-<+()1,1所以与圆M 恒有两个公共点，故C 正确；(21)(32)530m x m y m +++--=D ：如图，圆，半径为2，则圆C 与y 轴相切，切点为原点，即为，(2,0)C O A 易知直线恒过点，又为的中点，则，AB (0,0)A M AB C M A B ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，M AC (1,0)又，所以的最大值为，故D 正确.(5,3)N MN16=故选：BCD关键点点睛：本题D 选项的关键点在于直线AB 恒过定点，由得出点M 的(0,0)CM A B ⊥轨迹为圆.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍1,2,3,4,5数的概率为______.【正确答案】##250.4【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.【详解】从五张卡片中任取两张共有，25C 10=两张卡片上的数字之和是3的倍数有，共4种，()()()()1,2,1,5,2,4,4,5所以概率.42105p ==故2513. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.P 22:194x y C +=()1,0A PA【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函PA d d 0(P x 0)y 033x -≤≤数的性质即可求的最小值．d 【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点，(1,0)A PA d P E 设,,,0(P x 0)y 033x-≤≤所以：．d ===由于，故时，有最小值，且033x -≤≤095x =d d 14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD ≤正整数的最小值是__________.t 【正确答案】4【分析】求出直线AC 的方程，设.由，列不等式，利用判别式22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭AD ≤法求出t 的范围，即可求解.【详解】由题意知直线AC 的方程为.22y x t =-+因为点D 是直线上的动点，所以可设.AC 22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因为，AD≤≤化简得：对任意x 恒成立,2282615024x x t t ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎭+≥⎝所以，化简得,22244150862t t ⎛⎫⎛⎫-⨯∆⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++224708t t +-=≤∆解得t 为正整数得：t 的最小值为4.t ≥t ≤故4四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，且.ABC V ,,A B C ,,ab c sin2sin b A a B =（1）求角；A （2）若的周长.a ABC =△ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2）.5+【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解.bc 【小问1详解】因为，所以.sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =根据正弦定理，得，2sin sin cos sin sin B A A A B =因为，所以.sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =又，所以.()0,πA ∈π3A =【小问2详解】在中，由已知，ABCV 11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= 因为,π3A a ==由余弦定理可得，即7，2222cos a b c bc A =+-21()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭即，又,所以.27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=所以的周长周长为.ABC V 5+16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.1OO PA AB C AB （1）证明：平面平面；PAC ⊥PBC （2）若，求二面角的余弦值.24PA AB ==A PB C --【正确答案】（1）证明见解析（2）.23【分析】（1）由线面垂直的性质可得又，结合线面垂直和面面垂直的,PA BC ⊥AC BC ⊥判定定理即可证明；（2）如图，确定是二面角的平面角，利用定义法求解即可.CEO ∠A PB C --【小问1详解】因为是一条母线，所以平面，PA PA ⊥ABC 而平面则⊂BC ,ABC ,PA BC ⊥因为是底面一条直径，C 是的中点，所以，即，ABAB 90ACB ∠=AC BC ⊥又平面且，,PA AC ⊂PAC PA AC A = 所以平面，而平面，⊥BC PAC ⊂BC PBC 则平面平面.PAC ⊥PBC 【小问2详解】设，则，24PA AB ==PB =因为C 是的中点，为底面圆心，所以平面，AB O CO ⊥PAB 作，交于点连接，OE PB ⊥PB E CE 由可知，是二面角的平面角.,OE PB CE PB ⊥⊥CEO ∠A PB C --则，即，PB OE PA BO ⋅=⋅OE ==在直角中，.COECE ==所以.2cos 3CEO ∠==故二面角的余弦值为.A PBC --2317. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答,A B A B A 对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中B A p B q ，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答01,01p q <<<<A 34B 23两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.,A B 1316（1）求的值；,p q （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【正确答案】（1） 21,32p q ==（2）.1136【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求355355E C D C D C D =++解.【小问1详解】由题意得，()13116pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得.21,32p q ==【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.0,2,3,5记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =相互独立，,i i C D 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，则，且彼此互斥.355355E C D C D C D =++355355,,C D C D C D 易得.()31,6P C =，()()()35532113211,,4363432P D P C P D ⎛⎫=-⨯===⨯=⎪⎝⎭所以()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=⨯+⨯+⨯=所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.113618. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=相切.M （1）求圆的方程；M （2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.()0,2D -l M ,A B A DB l 【正确答案】（1）22(2)(1)5x y -+-=（2）或.0x =512240x y --=【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题.(),A x y ()2,22B x y +,A B 【小问1详解】设圆M 的方程为，222()()x a y b r -+-=因为圆过点，所以，M ()3,3A 222(3)(3)a b r -+-=①又因为圆心在直线上，所以②，M 250x y +-=250a b +-=直线与圆M 相切，得到，250x y -+=r 由①②③解得：因此圆的方程为2,1,a b r ===M 22(2)(1) 5.x y -+-=【小问2详解】设，因为A 为线段BD 的中点，所以，(),A x y ()2,22B x y +因为在圆上，所以，解得或,A B M ()()()()222221522215x y x y ⎧-+-=⎪⎨-++=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩24131613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当时，由可知直线的方程为；()0,0A ()0,2D -l 0x =当时，由可得斜率，2416,1313A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2D -162513241213k -+==-故直线的方程为，即.l 5212y x =-512240x y --=综上，直线的方程为或.l 0x =512240x y --=19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C ､分别为椭圆的左､右焦点，.1F 2F C 126A F =（1）求椭圆的方程；C （2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线x l C P Q ､P Q ､x ，的斜率分别为.12,A P A P 21,A Q A Q 1234,,,k k k k （i ）求的值；12k k （ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，()142353k k k k +=+PQ说明理由.【正确答案】（1）2211612x y +=（2）（i ）；（ii ）直线恒过点.34-l ()1,0D -【分析】（1）由离心率及，列出的等式求解即可.12A F ,,a b c （2）（i ）设直线方程，联立椭圆方程结合韦达定理和斜率公式即可求解；（ii ）x ty m =+由（i ）得到结合韦达定理及斜率公式代入化简即可.229.20PA QA k k =-【小问1详解】由于椭圆的离心率为，C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)12故，又，所以，12c a =126A F a c =+=2224,2,12a c b a c ===-=所以椭圆的方程为.C 2211612x y +=【小问2详解】（i ）设与轴交点为，由于直线交椭圆C 于两点（在轴的两侧）l x D l P Q ､P Q ､x 故直线的的斜率不为0，直线的方程为，l l x ty m =+联立，则，2211612x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463480t y mty m +++-=则22Δ12160,t m =-+>设，则，()()1122,,,P x y Q x y 21212226348,3434mt m y y y y t t --+==++又()()124,0,4,0,A A -故，122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---（ii ）由（i ）得.123434QA QA k k k k ==-因为，则.()142353k k k k +=+()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+又直线交与轴不垂直可得，所以，即l x 230k k +≠23920k k =-229.20PA QA k k =-所以，()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=-++-+-=--于是()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++-++-=()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++整理得，解得或，2340m m --=1m =-4m =因为在轴的两侧，所以，P Q ､x 21223480,4434m y y m t -=<-<<+又时，直线与椭圆有两个不同交点，1m =-:1l x ty =-C 因此，直线恒过点.1m =-l ()1,0D -。

湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题含答案

求曲线 C 的方程;
若直线
与曲线 C 交于 A，B 两点.
ⅰ 当 k 为何值时，
为定值，并求出该定值;
ⅱ 过 A，B 两点分别作曲线 C 的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点 Q 在直线探究：此时直线 l 是否过定点?若过，求出该定点;若不过，请说明理由.
上，
答案和解析
1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了两个空间向量的垂直关系，考查了模长求解，属于基础题．
，
直线 l 是平面
与平面
的交线，则直线 l 与平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6
分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则( )
根据平面的方程
，得平面的一个法向量
，设平面
与平面
的交线的方向向量为弦值. 【解答】
，求得
，由此可求出直线 l 与平面所成角的正
解：平面的方程为
，平面的一个法向量
，
同理，可得平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量
，
设平面
与平面
的交线的方向向量为
，
则
，取
，
设直线 l 与平面所成角为，
的最小值为( )
A.
B.
C.
8.在空间直角坐标系中，已知向量
D. ，M，N 分别是圆，上的动点，P 为 x
，点
D. ，点

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第 1 页万宁中学2012年高二数学竞赛（本试卷共22题，满分150分.考试时间120钟）一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共6 0分）

1．若集合aaa2,有4个子集，则实数a的取值范围是（）

A． 2,0 B．aaa,0R C．aaa,2R D．0aa且aa,2R 2. 若)(xfy是函数aayx(＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过（aa,），则 )(xf （）

A．x2log B．x21log C．x21 D．2x 3、已知53[,]42，则1sin21sin2可化简为（） A．2sin B. 2sin C. 2cos D. 2cos

4、已知圆C与直线0yx以及04yx都相切，圆心在直线0yx上，则圆C的方程为：（） A、2)1()1(2yx B、2)1()1(2yx

C、2)1()1(2yx D、2)1()1(2yx

5. 函数150()510xxxfxx，则该函数为（） A 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

6 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）

正视图侧视图俯视图（圆和正方形） 2 2 2

1 2

3 1

2 第 2 页

A. 4+52 B. 4+32 C. 4+2 D. 4+ 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)xy值依次记为：1122(,),(,),xyxy…，(,)nnxy，…若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x则数组中的x（） A．64 B．32 C．16 D．8

8、函数0,ln20,32)(2xxxxxxf的零点个数为（） A、1 B、2 C、3 D、4

9、设,,abc为同一平面内具有相同起点的任意三个向量，且满足a与b不共线，a⊥b，，︱a︱=︱c︱则︱b·c︱的值一定等于（） A、以a，b为两边的三角形面积 B、以b，c为两边的三角形面积 C、以a，b为邻边的平行四边形的面积 D、以b，c为邻边的平行四边形的面积

10、已知函数,1)(22xxxf那么下列式子求和结果为1111(1)(2)(3)(2012)()()()()2342012ffffffff （）

A、201021 B 、201121 C、 201221 D 、201321 11、在数列na中，12a，21a，且21nnnaaa，1,2,3,n…．则

2012a=（） A、－1 B、0 C、1 D、2 第 3 页

12、若实数x，y满足(x+3)2+(y-4)2=62，则x2+y2的最小值为（）

A、 2 B、 1 C、3 D、2

二、填空题（每题5分，共20分） 13、函数xxxf3245)(的值域是 . 14、将全体正整数排成一个三角形阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … 根据以上规律，数阵中的第63行，（从左到右）第59个数为。

15、向量(1,sin)a，(cos,3)b，R，则ab的取值范围为。 16、设a，b，c是正整数，且成等比数列，ba是一个完全平方数，

666logloglog6abc，则abc ．三、解答题（共6小题，满分70分解答必须写出文字说明，证明过程或者演算步骤）

17、（10分）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（3,4）、B(0,0)，C(c,0). （1）若c=5，求Asin的值。（2）若∠A是钝角，求c的取值范围。

18、（10分）已知函数),sin()(xAxf（A＞0,0＜＜),Rx的最大值为1，其图象经过点21,3M。（1）求)(xf的解析式。（2）已知,2,0,且,53)(f,1312)(f求)(f的值。第 4 页

19、（12分）一个公差不为零的等差数列，数列前n项和为nS，且7,725242322Saaaa。（1）求na的通项公式；

（2）试求所有的正整数m，使得21mmmaaa为数列na中的项。

20、（14分）已知函数)3(log)1(log)(xxxfaa （0＜a＜1）。（1）求函数xf的定义域；（2）求函数xf的零点；（3）若函数xf的最小值为-4，求a的值。

21、（14分）已知函数()sincosfxaxbx(,abR，0)的部分图象如图所示． ( 1 ) 求,,ab的值；

（2）若关于x的方程23()()0fxfxm在2(,)33x内有解,求实数m的取值范围．

21题图

22 、（10分）在直角三角形ABC中，90B，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PCPF，求证：PE∥BC．

EFP

DCB

22题图

x23

6

O1 第 5 页

数学竞赛参考答案一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共6 0分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B D D A A B B C B C B

1、D 由题意可知，aaa2，易得D选项 2、B 因为 )(xfy是函数aayx(＞0，且a≠1）的反函数，所以xxfalog)(

图象经过（aa,），aaalog21a，xxf21log)(。 3、D 53[,]42，所以1sin21sin2=cossincossin 2cos。正确答案为D。 4、D 因为两条切线0yx以及04yx平行，即它们的距离即为圆的

直径，所以242R，所以2R，圆心在直线0yx上，设圆心为),(aaP，

则点p到两条直线的距离等于半径，即222a，2242a，解得1a，固圆心为)1,1(，所以圆的标准方程为2)1()1(2yx 5、 A 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6 、A 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分面积为（2），

所以该几何体的体积为52213422。正确答案为A。 7 B 经计算32x。 8、B解答：函数y=)(xf的零点就是方程)(xf=0的根，当x≤0，令0322xx解得

x=-3或者x=1（舍去），当x＞0时，令-2+xln=0，解得2ex。 9、 C解析，由题知a⊥b，︱cos﹤b，c﹥︱=︱sin﹤a，b﹥︱，又︱a︱=︱c︱，︱b·c︱=︱b‖c‖cos﹤b，c﹥︱=︱b‖a‖sin﹤a，b﹥︱，故选 C 第 6 页

10、B 由函数的解析式可知，因为,11)1()1(11)(2222xxxxxfxf 所以1111(1)(2)(3)(2012)()()()()2342012ffffffff

21201111121

11、C 解析因为12a，21a，33a，44a，51a，63a，72a，81a，

91a，100a，111a，121a，130a，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故2012a=1． 12 B 解：(x+3)2+(y-4)2=142是以点C(-3,4)为圆心，半径为5的圆。设P为圆上任一点，则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=6-5=1。当点C、O、P共线时，等号成立，所以P到点O的最小值为1，故选B 二、填空题

13、 ]3,3[ 14、 2012 15、 [1，3] 16、 111 13、易知)(xf的定义域是8,5，且)(xf在8,5上是增函数，从而可知)(xf的值域

为]3,3[. 14、该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，第n行有n个数，所以第63行有63个数，即第63行，最后一个数为2016263)631(，第63行数如：…，2012,2013,2014,2015,2016。从左到右第59个数即为倒数第5个数即为2012. 15、解：22(1cos)(sin3)52(cos3sin)ab

=54sin()6 ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。 16、由题意，2bac，6log6abc，所以，66abc，故2636b，236ac．于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是236

的约数，故27a．进而，48c．所以，111abc．三、解答题（共6小题，满分80分解答必须写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 17、解：（1）因为A（3，4）、B(0,0)，所以5AB，当c=5时，5BC，