集合知识点及经典例题

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集合知识点及经典例题
一、知识点整理
㈠集合有关概念

1、集合与元素的关系
元素与集合的关系：属于“”；不属于∉
2、集合中元素的三个特性：
⑴元素的确定性如：世界上最高的山
⑵元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
例题：①设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}abaPbQ，若{0,2,5}P，
}6,2,1{Q
，则P+Q中元素的有________个。 （答：8）
非空集合}5,4,3,2,1{S，且满足“若Sa，则Sa6”，这样的S共有__个（答：7）

⑶元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3、集合的表示：{ „ } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
⑴用英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
⑵集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：{a,b,c„„}
2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
例题：xyxlg|—函数的定义域；xyylg|—函数的值域；xyyxlg|),(—函数图象上的
点集，
例题：设集合{|2}Mxyx，集合N＝2|,yyxxM，则MN___（答：[4,)）；

⑶语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
⑷Venn图:
⑸常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数 C
4、集合的分类：
⑴有限集 含有有限个元素的集合
⑵无限集 含有无限个元素的集合
⑶空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
5、集合间的基本关系
⑴“包含”关系—子集：数学表达式：若对任意BxAx，则BA
注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
“真包含”关系—真子集：BA且ABAB
⑵“相等”关系：如果集合A与B的元素都相等，则称A=B
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证明方法：若BA且AB，则A=B
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
性质：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
名称 记号 意义 性质 示意图

子集
BA

（或)AB A中的任一元素都属
于B

(1)AA
(2)A
(3)若BA且BC，则AC
(4)若BA且BA，则AB

A(B)

或BA

真子集
AB （或BA） BA，且B中至少有一元素不属于A （1）A（A为非空子集）

(2)若AB且BC，则AC
BA

集合
相等
AB

A中的任一元素都属

于B，B中的任一元素
都属于A

(1)AB

(2)BA
A(B)

6、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
性质: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
例题：集合{|10}Axax，2|320Bxxx，且ABB，则实数a＝__.（答：10,1,2a）

重要结论：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n -1个真子集，2n -1个非空子集，2n -2个非
空真子集
7、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 设S是一个集合，A是S的
一个子集，由S中所有不属
于A的元素组成的集合，叫
做S中子集A的补集（或余
集）记作ACS，即
CSA=},|{AxSxx且
韦
恩
图
示

BA
B
A
3

性 质 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB (CuA)  (CuB)
= Cu (AB)
(CuA)  (CuB)
= Cu(AB)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．
集合的运算的重要结论：
⑴ABABA； ⑵ABBBA；
⑶ABuuAB痧； ⑷uuABAB痧；
⑸uABUABð； ⑹()UCABUUCACB；
⑺()UUUCABCACB.
例题：已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c，使

0)(cf
，求实数p的取值范围。 （答：3(3,)2）
解：∵至少存在一点C使f(c) 〉0, 也就是说 最大值 >0
二次函数看f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1开口向上
所以最大值在端点 取到
f(-1)=-2p² +p+1 f(1)=-2p² -3p+9
函数的对称轴为 （p-2）/4
当 （p-2）/4 ≥0 的时候 ， 即p≥2 函数的最大值为 f(-1) -2p² +p+1>0 在p≥2 无解
当 （p-2）/4 <0 的时候 ， 即p<2 函数的最大值为 f(1)
-2p² -3p+9>0 在p<2 的情况下 解为 -3 < p<3/2

例题：已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，
A∩C=Φ，求m的值
解：由题意可得：A={-4,2} B={2,3}
若B∩C≠Φ，A∩C=Φ 则3∈C且2不属于C且-4不属于C
则9-3m+m²-19=0 解得 m=5或-2
若m=5则 C={x|x²-5x+6=0}={2,3} 所以m=5不成立舍去
若m=-2则 C={x|x²+2x-15=0}={-5，3} 所以m=-2也成立
综上所述m=-2
例题：设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B⊆A，求实数a的取值范围．
解 ：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，因此A的子集分别为∅，{0}，{－4}，{0，－4}．
又B⊆A，若B＝∅， Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1；
若B＝{0}， －2a＋1＝0，a2－1＝0，解得a＝－1；
若B＝{－4}，－2a＋1＝－8，a2－1＝16，无解；
若B＝{0，－4}，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；
综上所述，实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.