2017年国奥赛决赛模拟试题(1)-S版
世界青少年奥林匹克数学竞赛(YMO)(中国区)选拔赛全国总决赛高中一年级试卷(无答案)
第 1 页A.1B.2C.3D.46宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，则得到的旋转体的体积为（）A.3B.9C.72D.727、已知关于X的方程式ax3+bx²+cx+d=0有三个不同的实根，其中一个是0，则它的系数中不能是0的仅有（）A.a，cB.b，cC.a，dD.b，d8、已知等比数列{an}满足a1+ a2+ a3=1，并且公比q＜0，若令t= a1 a2 a3，则t的取值范围是（）A.（-∞，-1]B. （0，1]C.[-1,+∞）D. [-1,0）二、填空题。
把正确答案填在横线上。
每题3分，共24分.1、如图所示，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BCDA的顺序运动，得到以点P运动的路程x为自变量，△ABP面积y为函数的图像，如图3所示，则梯形ABCD的面积是。
2、如果sinacosb=21,则cosasinb的取值范围是。
3、已知f（n）=5+10+15+20+……+n，其中n是5的整数倍，则f（2019）=。
4、设f（x）=x²+x+4，集合M={y|y=f（n），1≤n≤100，n∈Z}，则M中偶数有个，M中3的倍数有个。
5、已知函数f（x）=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，则m的取值范围是，该零点为。
6、如图所示的程序框图的输出结果为。
开始K=1世界青少年奥林匹克数学竞赛（YMO ）（中国区）选拔赛全国总决赛高中一年级试卷（无答案）2 / 2第 2 页S=0？（k+2）S7、已知梯形ABCD 中，AB=8，BC=4，CD=5，BC ⊥AB ，AB ∥CD ，动点P 由B 点出发，沿BC ，CD ，DA 运动到A 点。
若用x 表示点P 运动的路程，f （x ）表示△ABP 的面积，则f （x ）= 。
8、已知三点：A(3，0)，B （2,1），C （4,3）则△ABC 的面积等于 。
又设点P 在△ABC 内，使△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积之比为2:1:1，则点P 的坐标是 。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年高考模拟试卷(1)参考答案
2017年高考模拟试卷(1)第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ． 2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ． 6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ． 7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ．8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ． 9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ． 10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ．11．已知正数x ，y 满足121x y+=，则22log log x y +的最小值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ．13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅ ，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．Read xIf 2x ≤ Then 6y x ← Else5y x ←+ End if Print y（第5题）()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+，2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点， 当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，结合图形知，实数k 的取值范围是()()5114-∞- ，，．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC 面积的为312，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB //DE ，BC //EF ． （1）求证：平面ABC //平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ．A FD CBy yxxOO1 1ABDMNC6分米12分米P（第17题）17．（本小题满分14分）如图，长方形ABCD 表示一张6 12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的取值范围.19．（本小题满分16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，．（1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m * ( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； xyO （第18题）（2）若34n a n =-，()12n n b -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．2017年高考模拟试卷(1)参考答案一、填空题1．()12，．A B = ()12，． 2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i iz i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为 222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76.8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π． 9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===--()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥．12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=，从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>， 2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=．14． 二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=，解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜，从而23C π=，即23C π=．（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ① 由三角形ABC 的面积331sin 2412ab ab C ==得，13ab =， ②由①②得，33a b ==．16． （1）因为AB //DE ，又AB ⊄平面DEF ， DE ⊂平面DEF ，所以AB //平面DEF ， 同理BC //平面DEF ， 又因为AB BC C = ， A B B C⊂，平面ABC ， 所以平面ABC //平面DEF . （2）因为CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A = ， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ， 又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE .17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NF EM PE=， 所以2121n m -=-，即211m n+=．欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn =最小．由212112m n m n =+⋅≥得，8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时，“=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．ABDMNC6分米12分米P （第17题）E F由（1）知，()()2122323223n m n m m n m n m n m n m n +=++=++⋅+=+≥，（当且仅当2n m m n =即22m =+，21n =+时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为3322-分米．18． （1）由椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）知，焦距为2212a -=， 解得2a =±，因为a ＞1，所以2a =. （2）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段长为ΑΡ， 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222120a k x a kx ++=， 解得10x =，222221a kx a k =-+．因此22212222111a k ΑΡk x x k a k=+-=⋅++． （3）因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（2）知，221122121=1a k k AP a k ++，222222221=1a k k AQ a k ++，则222211222222122121=11a k k a k k a k a k ++++， 所以22222222121212)1(2)0k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦（，因为1k ，20k >，12k k ≠，所以22222212121(2)0k k a a k k +++-=，变形得，()()22221211111(2)a a k k ++=+-，从而221+(2)1a a -＞，解得2a ＞， 则()221211c e a a ==-∈，．19． （1）因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，即()()()323222x a x b x c x ax bx c -+-+-+=----， 整理得，20ax c +=，所以0a c ==，从而3()2f x x bx =+，又函数()f x 图象过点(12)-，，所以4b =-． 从而3()24f x x x =-．（2）①32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，的导函数2()62f x x ax b '=++． 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值，所以(1)0(2)0f f ''==，， 即6202440a b a b ++=⎧⎨++=⎩，，解得912a b =-=，． ②由（1）得32()2912()f x x x x c c =-++∈R ，()6(1)(2)f x x x '=--． 列表：x 0 (0，1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3 ()f x ' + 0 - 0 + ()f xc单调增5 + c单调减4 + c单调增9 + c显然，函数()f x 在[0，3]上的图象是一条不间断的曲线．由表知，函数()f x 在[0，3]上的最小值为(0)f c =，最大值为(3)9f c =+． 所以当0c >或90c +<（即9c <-）时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0． 当50c -<<时，因为(0)(1)(5)0f f c c =+<，且函数()f x 在(0，1)上是单调增函数，所以函数()f x 在(0，1)上有1个零点．当54c -<<-时，因为(1)(2)(5)(4)0f f c c =++<，且()f x 在(1，2)上是单调减函数， 所以函数()f x 在(1，2)上有1个零点．当94c -<<-时，因为(2)(3)(4)(9)0f f c c =++<，且()f x 在(2，3)上是单调增函数，所以函数()f x 在(2，3)上有1个零点．综上，当0c >或9c <-时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0； 当95c -<-≤或40c -<≤时，零点个数为1； 当4c =-或5c =-时，零点个数为2；当54c -<<-时，零点个数为3． 20．（1）依题意，11111166111111022a a a aa b b b a a ++=-=--≥ （当且仅当111a a =时，等号成立）．（2）易得()1342n n --=--，当n 为奇数时，()13420n n --=--<，所以43n <，又*n ∈N ，故1n =，此时111a b ==-； 当n 为偶数时，()13420n n --=-->，所以43n >，又*n ∈N ，故246n =，，，… 若2n =，则222a b ==，若4n =，则448a b ==， 下证：当6n ≥，且n 为偶数时，()1342n n --<--，即()12134n n --->-． 证明：记()12()34n p n n ---=-，则()()()112434(2)341()32322n n n p n n p n n n +----+-=⋅=>++--， 所以()p n 在6n ≥，且n 为偶数时单调递增， 从而17()(6)17p n p >=>．综上，124n =，，，所以m 的值为3． （3）证明：假设3m =，不妨123n n n <<，满足11n n a b =，22n n a b =，33n n a b =， 设1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，其中0q >，且1q ≠， 记11()(1)xb f x a x d q q=+--⋅， 则1()ln x b f x d q q q '=-⋅，()21()ln x b f x q q q''=-⋅， 由参考结论，知112()n n ξ∃∈，，1()0f ξ'=，223()n n ξ∃∈，，2()0f ξ'=， 同理，12()ηξξ∃∈，，()0f η''=，即()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅=， 这与()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅≠矛盾，故假设不成立，从而3m ≠．第Ⅱ卷（附加题，共40分）A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线． B ．因为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ， 所以11101122020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB ． 由逆矩阵公式得，1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ． C ．以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ． 则圆24sin 50ρρθ--=化为普通方程22450x y y +--=，即22(2)9x y +-=．直线π()3θρ=∈R 化为普通方程3y x =，即30x y -=．圆心(02)，到直线30x y -=的距离为302131d ⨯-==+，于是所求线段长为22942d -=． D ．由柯西不等式可得，()()22222234213)(4)5x x x x ⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦≤， （当且仅当234x x -=-，即16[34]5x =∈，时，“=”成立．） 22． （1）依题意，将(12)C ，代入22(0)y px p =>得，2p =； （2）因为 90BCA ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，其中2(122)CA a a =-- ，，2(122)CB b b =--，，从而22(1)(1)4(1)(1)0a b a b --+--=，化简得，51a b a +=-+；（3）易得直线AB 的方程为222()y a x a b a-=-+， 令5x =得，22(5)2251y a a a a a =-+=-+-++． 23．当2n =时，1，2，3排成一个三角形有：共有6种，其中满足12M M <的有如下4种：所以24263p ==；（2）设当n k =时，12k M M M <<⋅⋅⋅的概率为k p ，则当1n k =+时，121k k M M M M +<<⋅⋅⋅<的概率为1k p +， 而1k +排在第1k +行的概率为12(1)(11)22k k k k +=++++， 所以12(2)2k k p p k k +=+≥，即12(2)2k k p k p k +=+≥， 故3224p p =，4325pp =，5426p p =，…，121n n p p n -=+， 叠乘，得()22214n n p p n n -=+⨯⨯⋅⋅⋅⨯，其中24263p ==， 所以n p 2(1)!n n =+．12 31 3 22 1 32 3 1 3 1 2 32 1 1 2 31 3 22 1 32 3 1。
2017年全国高中数学联赛模拟试题02
2017全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中， 二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示）2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}n a 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a n a a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(≥n 。
4.21,F F 是椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF ∆的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则=a 5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(≠+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是6. 已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,,n b b b 满足(1) 1212n n a a a b b b n +++++++=;(2) 121212n n a a a b b b +=，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭的最大值为__________．7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设)1()(x x x g -=是定义在区间[]1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列{}n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221≥++=++++n n n S S S n n n ，已知,5,121==a a 求数列{}n a 的通项公式。
2017全国高中数学联赛模拟试题(卷)
2017 暑期培训课程-联赛模拟试卷________班_______号姓名________________第一试一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共 64 分1．不等式的解集是．答案：解：设，，则原不等式化为，即．结合得，于是．2．设为方程的一个虚根，则．答案：解：由题意知，又为方程的一个虚根，故，所以，即．而．3．设，且，则的最小值为．答案：解：令，由，知，则方程可化为，即，解得（舍去）．从而，所以，当且仅当，时取等号．4．在中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是．答案：解：设选取的三个数为，由知．对于给定的，可取，共种选择．因此，对所有满足条件的，三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为．所以，三数从小到排列后能成等差数列的概率为．5．已知某四面体的四个面都是边长为，，的三角形，则以该四面体六条棱的中点为顶点的八面体的体积是．答案：解：如图，矩形中，，，，容易验证四面体满足条件，此时，四面体六条棱的中点为顶点的八面体是．又易得，所以．6．锐角、、满足，则的值是．答案：解：由已知得，整理得，即，又 、 、 为锐角，所以 ， ，从而 ，又 ，所以 ，即．7．已知椭圆 的左右焦点分别为 与 ，点 在直线上．当 取最大值时， 与 的比值 等于．答案：解：由平面几何知，要使 最大，则过 ， ， 三点的圆必定与直线相切于点．直线交 轴于，则，即，从而 ⋯ ⋯ ①又由圆幂定理，⋯ ⋯ ②，而，，，从而有，．代入①、②得， ．8．若形如的五位数满足：、、均能被 37 整除，则满足条件的五位数的个数是． 答案： 解：注意到， ．设 ，，．则 ，，． 由于且，则若、 、 中有一个被整除，则其余两个也被整除．因此，所有满足题意的 的个数（即相应的 的个数）为 ．二、解答题：本大题共3 小题，共56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分 16 分） 证明：为直角三角形的充分必要条件是．证明：（必要性） 不妨设，．则．（充分性）证法一：若，则正弦定理得．故，即．因此，．同理，．若、、均为正，则⋯⋯①，，．由①得．因此，．矛盾．、、中有一个为．又由、、均非负，知证法二：．、、中有一个为，由、、均非负，知角．其所对应的角为直10．（本题满分20 分）求所有的函数，对于所有整数，满足，⋯⋯①且．解：将代入式①得．由此得或．的情形．先考虑将代入式①得，即．所以，，，．另一方面，将代入式①得．此时，对于推出的情形不成立．因此，不可能．再考虑的情形．用代替代入式①得对所有的成立．取，得．故对任一整数有．所以，此函数为偶函数．如前所述，将代入式①得．若为正整数，则由数学归纳法可证明，对所有的正整数，有是唯一的解（唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值）．因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数，有，且是满足式①的唯一函数．11．（本题满分20 分）在抛物线的图像上内接一个梯形，其中，，．对角线与交于点，设点到底边、的中点的线段长分别为、．求梯形的面积．解：如右图，由题意知．设，．则，．从而，，，．由、分另为边、的中点得，．而为梯形对角线的交点，易知、、三点共线（如可用塞瓦定理证明），即，且轴．令表示（或）与轴正向的夹角．于是，．过点作．则．所以，，，．则．设．则，．故，．则，．故．加试一、（本题满分40 分）设均为正实数，求的最小值．解：由知，同理，，所以；又（柯西不等式）所以的最小值为，当且仅当时取等号．二、（本题满分40 分）已知的内心为，三个内角的角平分线分别为、、，线段的中垂线分别与、交于点、．证明：、、、四点共圆．证明：要证、、、四点共圆，只需证：．如图，设线段的中点为，则下面只需再证设的外接圆与线段中垂线的交点为（位于不包含点的弧上）．于是．从而，．这表明，点位于的角平分线上。
2017年高考模拟试卷(1)参考答案
1 2017年高考模拟试卷(1)参考答案 一、填空题 1．12，．AB12，．
2．12． (2)(1)2i13.1i(1)(1)2iiizii，则复数z的实部为 12． 3．（-9，+∞）．函数5()log(9)fxx的单调增区间（-9，+∞）. 4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536． 5． 8．若613x，则1326x，不符；若513x，则82x． 6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为 222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245.
7． 7．函数()fx的周期4(3T)43，又Τ，所以的值为7. 8． ．依题意，2220aabb，又1ab，故1ab，则a与b的夹角为．
9． 11．11tantan25tantan111tantan12511． 10． 115，．因为不等式2 >0axbxc的解集为1 5，，所以(1)(5)>0axx，且0a，即245>0axaxa，则45baca，，则2 0cxbxa≤即为254 0axaxa≤，从而2541 0xx≤，故解集为115，．
11．3．由121xy得，02yxy，则22
2222222logloglogloglog22yyxyxyyy
22
4
log24log832yy≥．
12． 5．易得圆C：22(1)9xy，定点A(10)，，EAED，则3ECEAECED， 从而三角形AEC的周长为5． 13． 2027．易得数列nb：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，„，
2017年全国高中数学联赛模拟试题15
（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()()23x x f x a a a =-+()01a a >≠且[]0,1a 2．在四棱锥中，已知四边形是矩形，且,P ABCD -ABCD 4,3,5AB BC PA PB PC PD ======与交于点，为边的中点，则与平面所成角为AC BD O M PC OM PBC 3．将中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和等于{}1,2,,9M =L S 4．已知曲线上任意一点到点与直线的距离之和等于，对于给定的点，在曲线上恰C ()0,1A 4x =5(),0B b 有三对不同的点关于点对称，则的取值范围是B b 5．设方程的三个实根是．则 3310x x --=()123123,,x x x x x x <<()()()323231x x x x x x -+--=6．已知正实数满足，则的最大值为,,x y z 3xyz xy yz zx x y z ++++++=()u xyz x y z =++7．设方程的个复根分别为，则 ()10101310x x +-=1210,,,x x x L 11221010111x x x x x x +++=L 8．将编号为的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编1,2,,9L 号之差的绝对值之和为，则取得最小值的放法的概率是T T 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知数列满足，．{}n a 12a =()()()()2*213512432n k k a n n nN k k k n n =+=∈++++∑证明：11n k ka =<<∑10.（本小题满分20分）设椭圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F 1F 的直线与椭圆交于点．若，且θl C ,A B 113cos ,355F A BF θ==u u u r u u u r 2380845ABF S =△⑴ 求椭圆的方程；C ⑵ 若是椭圆的有准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方程.,P Q C 10PQ =1F PQ △M 11.（本小题满分20分）设且，其中为给定(),1,2,,,2,,2i x R i n n m N m +∈=≥∈≥L 1n i i xT ==∑,,,k a m T 的正实数，求的值域1n i W ==（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，Rt ABC △CD AB 12,,I I I ,,ABC ADC BDC △△△于点，直线与，与，与分别交于点．IE AB ⊥E AI BC BI AC MN CD ,,N M Q 求证：(1)且；12QE I I ⊥12QE I I = (2) 且．//QE CI QE CI = 二、（本小题满分40分）设．试求的最大值和最小值（规定）. []()4,101,2,,i x i n ∈=L 111nn i i i i i i x S x x x ==+=++∑∑11n x x +=三、（本小题满分50分）个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九11个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．四、（本小题满分50分）对任意一个正整数，设其十进制表达为.M 12k a a a L 证明：存在，使得的十进制表达的前位是*n N ∈3nk 12k a a a L第一试参考解答（时间：8:00-9:20 满分：120）1．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()()23x x f x a a a =-+()01a a >≠且[]0,1a 2．在四棱锥中，已知四边形是矩形，且,P ABCD -ABCD 4,3,5AB BC PA PB PC PD ======与交于点，为边的中点，则与平面所成角为AC BD O M PC OM PBC3．将中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和等于{}1,2,,9M =L S 4．已知曲线上任意一点到点与直线的距离C ()0,1A 4x =之和等于，对于给定的点，在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，则的取值范围是5(),0B b B b5．设方程的三个实根是．则 0 3310x x --=()123123,,x x x x x x <<()()()323231x x x x x x -+--=6．已知正实数满足，则的最大值为,,x y z 3xyz xy yz zx x y z ++++++=()u xyz x y z =++7．设方程的个复根分别为，则 1700 ()10101310x x +-=1210,,,x x x L 11221010111x x x x x x +++=L 8．将编号为的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编1,2,,9L 号之差的绝对值之和为，则取得最小值的放法的概率是T T二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知数列满足，．{}n a 12a =()()()()2*213512432nk k a n n n N k k k n n =+=∈++++∑证明：11n k k a =<<∑10.（本小题满分20分）设椭圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F 1F 的直线与椭圆交于点．若，且θl C ,A B 113cos ,355F A BF θ==u u u r u u u r 2380845ABF S =△⑴ 求椭圆的方程；C ⑵ 若是椭圆的有准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方程.,P Q C 10PQ =1F PQ △M11.（本小题满分20分）设且，其中为给定(),1,2,,,2,,2i x R i n n m N m +∈=≥∈≥L 1ni i x T ==∑,,,k a m T 的正实数，求的值域1ni W ==2017年全国高中数学联赛模拟试题14加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，Rt ABC △CD AB 12,,I I I ,,ABC ADC BDC △△△于点，直线与，与，与分别交于点．IE AB ⊥E AI BC BI AC MN CD ,,N M Q 求证：(1)且；12QE I I ⊥12QE I I = (2) 且．//QE CI QE CI =二、（本小题满分40分）设．试求的最大值和最小值（规定）. []()4,101,2,,i x i n ∈=L 111nn i i i i i i x S x x x ==+=++∑∑11n x x +=三、（本小题满分50分）个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九11个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．四、（本小题满分50分）对任意一个正整数，设其十进制表达为.M 12k a a a L 证明：存在，使得的十进制表达的前位是*n N 3n k 12k a a a L 证明：先证明一个引理．。
2017国赛A题
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题CT系统参数标定及成像CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。
一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。
X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。
对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。
对应于该模板的接收信息见附件2。
请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。
利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。
另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。
(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。
利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。
另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。
(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。
在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。
noip2017提高组试题（day1+day2）-Word版
noip2017提高组试题（day1+day2）-Word版全国信息学奥林匹克联赛（2017）复赛提高组 1（请选手务必仔细阅读本页内容）一．题目概况注意事项：1、文件名（程序名和输入输出文件名）必须使用英文小写。
2、中函数()的返回值类型必须是，程序正常结束时的返回值必须是 0。
3、全国统一评测时采用的机器配置为： () x2 240 ，2.8，内存 4G，上述时限以此配置为准。
4、只提供格式附加样例文件。
5、提交的程序代码文件的放置位置请参照各省的具体要求。
6、特别提醒：评测在当前最新公布的下进行，各语言的编译器版本以其为准。
【问题描述】1．小凯的疑惑()小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。
每种金币小凯都有无数个。
在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。
现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。
【输入格式】输入文件名为。
输入数据仅一行，包含两个正整数a 和b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。
【输出格式】输出文件名为。
输出文件仅一行，一个正整数N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
【输入输出样例 1】见选手目录下的 1 和 1。
【输入输出样例 1 说明】小凯手中有面值为3 和7 的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为1、2、4、5、8、11 的物品，其中最贵的物品价值为11，比11 贵的物品都能买到，比如：12 = 3 * 4 + 7 * 013 = 3 * 2 + 7 * 114 = 3 * 0 + 7 * 215 = 3 * 5 + 7 * 0……【输入输出样例 2】见选手目录下的 2 和 2。
【数据规模与约定】对于 30%的数据：1 ≤ a，b ≤ 50。
对于 60%的数据：1 ≤ a，b ≤ 10,000。
对于 100%的数据：1 ≤ a，b ≤ 1,000,000,000。
2017模拟一参考答案
2017高考数学模拟卷一参考答案南师大《数学之友》一、填空题1. {1,2}.2. ),0(∞+.3. 27.解：由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27． 4.21. 5. 2. 6. 3. 7. 3-.提示：)()(x f x f =- ，)4()4(ππf f =-∴，即得3-=a . 8. 322. 9.23. 10. 4)2()1(22=-++y x . 11. [2，3]. 12. 196.解：由题意cos A ，cos B ，cos C 均不为0，由sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，两式相比得tan A ＝tan B tan C ，又由cos A ＝13cos B cos C ，且cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin A sin B －cos A cos B ，所以sin A sin B ＝14cos A cos B ，所以tan B tan C ＝14．又tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B tan C )＝－tan A (1－tan B tan C )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196． 13. 2e -. 14. （3，4）.解：)(x f 的草图如右，4,2743t N t M ==， 令()m x f =-1，则时，或t m m ==0当且仅当0)(=x g ，所以条件等价于方程和方程1)(=x f )(x f =1+t 共6个不同的实数根，由图知等价于t +<11位于M ，N 之间， 故得⎪⎩⎪⎨⎧<+>2741413t t t ，解得43<<t .二、解答题15. 已知ABC ∆为锐角三角形，向量,3sin ),3cos(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππA A m (),sin ,cosB B n =并且n m ⊥.（1）求的值B A -；（2）若,8,53cos ==AC B 求BC 的长. 解：（1）因为⊥，所以0)3cos(sin )3sin(cos )3cos(=-+=+++=⋅B A B A B A n m πππ. 因为2,0π<<B A , 所以6536πππ<-+<-B A ,所以623πππ=-=-+B A B A 即.（2）因为54sin 2,0,53cos =⎪⎭⎫⎝⎛∈=B B B 所以π, 所以10334215323546sin cos 6cos sin )6sin(sin +=⨯+⨯=+=+=πππB B B A , 由正弦定理334sin sin +=⨯=AC BABC .16．如图，在三棱锥P －ABC 中，已知平面PBC ⊥平面AB C ．(1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PB C ．PABC解．(1)因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面PBC ．因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB ．又因为CP ⊥PB ，且PB ∩AB ＝B ，AB ，PB ⊂平面PAB ， 所以CP ⊥平面PAB ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ． (2)在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ． 因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ， 所以PD ⊥平面ABC ． 又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．又l /⊂平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，所以l //平面PBC ．17. 小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x -25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）. （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出） 解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则),100(,50)]1(6[25N x x x x x x y ∈≤<--+-=， 即),100(,50202N x x x x y ∈≤<-+-=，由050202>-+-x x ，解得25102510+<<-x ， 而325102<-<，故从第三年开始运输累计收入超过总支出.（2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为)25(19)2519(1)]25([12xx x x x x y x y +-=-+-=-+=， 而925219)25(19=⋅-≤+-xx x x ，当且仅当5=x 时等号成立。
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2017年国奥赛决赛模拟试题（1）
（时间：90分钟；满分：150分）
准考证号 姓名 指导老师 得分
一、填空题。（每小题10分，共120分）
1.计算。9.0195105375.119484=。
2.计算。20173212017432432143232132212=。
3.用1克、2克、3克、8克、16克的砝码各一个（砝码只允许放在天平一边的托盘上），不能称出的不超过30
克的整数克数有____________种。
4.一个圆柱与一个圆锥的高的比是3:2，底面周长的比是4:5，圆柱的体积比圆锥的体积大94立方厘米。则圆锥
的体积是立方厘米。
5.某商场销售一批彩电，按25%的利润定价，当售出这批彩电的75%又36台时，除收回全部成本外，还获得预计
利润的20%，这批彩电共有台。
6.一个棱长为10厘米的正方体容器，盛有3厘米深的水。往容器中放一个棱长为6厘米的正方体铁块，则现在
的水深是。
7.已知，A、B、C三个整数，A、B的最小公倍数是180，A、C的最小公倍数是120，B、C的最小公倍数是72，
则A、B、C的最小公倍数是。
8.如图，两个边长为8厘米的正方形交叠在一起，其中一个正方形偏上2厘米，另一个正方形偏右3厘米。阴影
图形的面积是平方厘米。
（第8题）（第9题）
9.如图所示，从第二层（从下往上）起，每一个框中的数都等于它下方两个框中所填数的和。则最上面的空白数
是。
10.有两根长短粗细不同的蚊香，短的一根可燃8小时，长的一根可燃的时间是短的12 ，同时点燃两根蚊香，经
过3小时，它们的长短正好相等，未点燃之前，短蚊香比长蚊香短。（填分数）
11.自然数2016，最多能够写成种连续非零自然数的和。
12.两个装满糖水的桶，大桶内装有含糖4%的糖水60千克，小桶内装有含糖20%的糖水40千克，各取千克分别
放入对方桶内，才能使得它们的浓度相等。
二、解答题。（每小题10分，共30分）
13.要将一堆渣土运过桥，现在有两辆车可以使用。如果单用甲车来运送的话，需要15小时才能运送完；如果单
用乙来运送的话，需要20小时才能运完。现在规定要在12小时内完成全部的运送工作。如果两辆车同时运送，
对桥面的压力比较大，所以需要两辆车同时运货的时间尽可能少。那么甲、乙同时运货的时间最少是多少小时？
14.某黑心老板的计时钟比标准钟慢，他的计时钟按标准时间每72分钟分针与时钟重合一次，工人师傅要按照这
样的计时钟每天工作8小时，老板规定：8小时内的计时工资为4元，8小时外超时工资为原计时工资的2倍，
那么，工人师傅按这样的计时钟工作8小时，被这个黑心的老板扣了多少元？
15.罗老师周日登山锻炼，从山下登上山顶立即原路返回，用时2小时40分钟。如果把这次登山过程按时间平均
分成4段，每段40分钟，已知第一段40分钟比第四段40分钟少行1.6千米，第二段40分钟比第三段40分钟
少行0.4千米，上山速度是多少？