一元线性回归分析的应用：预测问题
01-一元线性回归模型的预测
3
第五节 一元线性回归模型的预测
在样本数据反映的经济变量之间的关系基本上没有变化的情况下， 可利用经过参数估计和检验的模型，由已知或事先测定的解释变量的 数 值，预测被解释变量的数值。
利用例2-3建立的消费函数模型，求家庭可支配收入为60000元时家庭平 均消费支出的预测值。
析： 将家庭可支配收入
代入样本回归函数
可得家庭平均消费支出的预测值为
90
二、总体均值 E（Y/ X0）的预测置信区间
Yˆ0
也可以表示为
Y（i i
1，2，，n）的线性组合，Yˆ 服从正态分布。 0
由于 可以证明
0
0
其中
SE（e）= 0
ˆ2[1
1 n
(X0 X )2
n
xi2
]
i 1
对于给定的显著性水平
P(
t
2
YS0 E（Yeˆ）0 0
t
2
) 1
由此可得，个别值 Y0 的置信度为1的预测置信区间为
[ Yˆ0t SE（e0），Yˆ0 t SE（e0）]
（2-51）
2
2
95
例2-9
以例2-3为例（假设一个由100个家庭构成的总体，并假设这100个家庭的月 可 支配收入水平只限于13000元、18000元、23000元、28000元、33000元、 38000 元、43000元、48000元、53000元、58000元10种情况，每个家庭的月可 支配收 入与消费数据如表2-1所示，要研究这一总体的家庭月消费支出Y与家 庭月可支 配收入X之间的关系，以便根据已知的家庭月可支配收入水平测算 该总体的家 庭月消费支出平均水平。）
回归分析预测方法
（3）
i 1
i 1
i 1
即对（3）求极值，有：
Q
n
a
2 ( yi
i 1
a bxi ) 0
（4）
Q
b
2
n i 1
( yi
a
bxi )xi
0
（5）
n
n
n
由（4）得： yi a bxi 0 yi na b xi
i 1
i 1
i 1
（6）
n
n
n
由（5）得： xi yi axi xibxi 0 xi yi a xi b xi2 （7）
有数值对应关系的确定依存关系。换句话说，当 自变量的确定值为x，与其对应值为y。这是回归 分析法预测的前提。 ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关分析的主 要目的和主要内容。 3、建立回归预测模型
就是依据变量之间的相关关系，用恰当的数 学表达式表示出来。
4、回归方程模型检验 建立回归方程的目的是预测，但方程用于预测
第一节 回归分析预测法概述
回归分析预测法是在分析因变量与自变量之间的相互关 系，建立变量间的数量关系近似表达的函数方程，并进行参 数估计和显著性检验以后，应用回归方程式预测因变量变化 的方法。回归分析预测法是市场预测的基本方法，目前，这 种方法发展的很成熟了，回归预测方法种类繁多，按回归方 程的变量分，有一元、多元回归方程；按回归性质分有线性、 非线性回归等。本章专门讨论一元和二元线性回归问题。
回归分析起源于生物学的研究。英国的著名生物学 家达尔文在19世纪末，发现了一个非常有趣的现象，父 亲身材高大的，其子也比较高大，父亲矮小的，其子也 比较矮小。即父亲的身高与儿子的身高之间有密切的关 系。在大量的研究资料中，又发现身高有一种向平均身 高回归的倾向，这种身高倾向平均数的现象称为回归 （Regression）。经济学家经研究发现，生物界的这种 现象，在经济领域中也存在这种现象，例如，证券市场 的任何一支股票，无论是牛市或熊市股票的价格都向着 平均价格回归。也正因为如此，回归分析在许多领域中 都得到了广泛的应用，并且取得了很好的效果。
一元线性回归分析
(n
2)
S2 ˆ0
2 ˆ0
:
2(n 2)
S 2 ˆ1
S2
n
（Xt X )2
t 1
(n
2)
S2 ˆ1
2 ˆ1
:
2(n 2)
所以根据t分布的定义，有
ˆ0 0 ~ t(n 2), ˆ1 1 ~ t(n 2)
Sˆ0
Sˆ1
进而得出了0的置信水平为1-区间估计为
et Yt Yˆt称为残差，与总体的误差项ut对应，n为样 本的容量。
样本回归函数与总体回归函数区别
1、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数 据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。
2、总体回归函数中的β0和β1是未知的参数，表现为常数。而样
本回归函数中的 ˆ0和是ˆ1 随机变量，其具体数值随所抽取
S 44.0632
Sef S
1 1 n
( X f X )2
n
45.543
( Xt X )2
t 1
所求置信区间为：(188.6565 97.6806)
回归分析的SPSS实现
“Analyze->Regression->Linear”
0
n
2 t1 Xt (Yt ˆ0 ˆ1 Xt ) 0
nˆ0
n
ˆ1
t 1
Xt
n
Yt
t 1
n
n
n
ˆ0
t 1
Xt
ˆ1
t 1
X
2 t
计量经济学考点整理
第一章计量经济学定义：统计学、经济理论和数学三者的结合。
正经济学中，我们用数学的函数概念表达对经济变量间的关系的看法。
计量经济学模型建立的步骤：一、理论模型的设计二、样本数据的收集三、模型参数的估计四、模型的检验计量经济学模型成功的三要素：理论 数据 方法计量经济学模型的应用：一、结构分析二、经济预测三、政策评价四、理论检验与发展第二章回归分析概述：是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。
回归分析与相关分析异同同：对变量间统计依赖关系的考察异：1。
相关分析适用于所有统计关系，回归分析仅对存在因果关系而言2．相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。
回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量），前者是随机变量，后者不一定是。
医院线性回归的基本假设：针对采用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS ）估计而提出的。
分为：1、关于模型关系的假设：1。
模型设定正确假设。
2线性回归假设i i i X Y μββ++=102、关于解释变量的假设：1。
确定性假设。
2．与随机项不相关假设 3．观测值变化假设4．无完全共线性假设5．样本方差假设：随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一有限常数∞→→-∑n Q n X X i ,/)(23、关于随机项的假设：1。
0均值假设 2．同方差假设3序列不相关假设4、随机项的正态性假设：正态性假设5、CLRM 和 CNLRM cov(,)0,1,2,,()0,1,2,,i i i i X i nE X i n μμ====()0,1,2,,i i E X i n μ==2(),1,2,,i i Var X i n μσ==(,,)0,,1,2,,,i j i j Cov X X i j n i j μμ==≠22~(0,)~(0,)i i N μσμσ→NID一、元线性回归模型的参数估计：一、参数的普通最小二乘估计（OLS ）二、参数估计的最大或然法(ML)三、最小二乘估计量的性质四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计一、参数的普通最小二乘估计（OLS ）：根据被解释变量的所有观测值与估计值之差的平方和最小的原则求得参数估计量 二、参数估计的最大或然法(ML)：基本原理：当从模型总体随机抽取n 组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n 组样本观测值的概率最大• 三、最小二乘估计量的性质：1准则：– 线性性(linear)，即它是否是另一随机变量的线性函数；– 无偏性(unbiased)，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； – 有效性(efficient)，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。
回归预测
回归预测第一节 基本原理及分类情况现在一般用回归两个字来表明一种现象伴随着另一种现象的变化而发生变化的现象。
根据某些影响因素的变动，来推测所研究对象的变化方向和程度，就是回归预测。
它是在定性研究的基础上，对实际调查的定量资料进行分析，找出事物发展的内部因素，确定自变量与因变量以及它们之间的相互关系，得到一个回归方程，然后利用回归方程进行预测。
它是一种利用事物发展变化的因果关系来预测未来发展趋势的一种方法，所以又称之为因果关系预测。
回归问题可以分为只有一个解释变量情况的一元回归问题和多个解释变量情况的多元回归问题。
又可以根据自变量和因变量之间的关系来进行分类，如果自变量和因变量是线性关系则为线性回归问题，否则为非线性回归问题。
这是两种不同的分类方法。
一元回归问题又可再详细的分为一元线性回归法、一元对数回归法、一元幂函数回归法、一元双曲线回归法、一元指数回归法，等。
其中后四种方法属于非线性的回归问题。
多元回归问题我们主要介绍多元线性回归和多元线性加权回归两种，同时对于多元线性回归根据选择自变量的不同，又可以分为强行进入法、向前选择法、向后剔除法和逐步回归法。
第二节 一元回归预测 一 概述一元回归预测也称单因素回归预测。
社会经济现象的发展变化是受许多因素影响的，任何一种经济现象的数量表现都与多种因素有关。
如果影响预测对象的诸多因素中有一个因素是基本的、起决定性的作用，那么就可以考虑应用一元回归模型来预测对象的发展变化规律，进而预测其未来发展趋势。
这就需要对预测对象的影响因素进行比较认真的、全面的分析，从许多影响因素中选择一个最重要的、影响最大的、起决定性作用的因素作为自变量，如果随便采用任意一个因素作为自变量，就可能使预测结果准确性降低。
一元回归预测分为一元线性回归预测和一元非线性回归预测两类。
一元非线性回归主要包括：一元对数回归、一元幂函数回归、一元双曲线回归、一元指数回归、一元倒指数回归、一元S 型回归和一元多次回归，其中一元多次回归最常用的是一元二次回归、一元三次回归和一元四次回归。
人教A版高中数学选择性必修第三册同步课件第八章成对数据的统计分析第2节一元线性回归模型及其应用
归模型进行预测．
会进行线性回归分析．
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第八章 成对数据的统计分析
数学（选择性必修·第3册 RJA）
必备知识•探新知
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第八章 成对数据的统计分析
数学（选择性必修·第3册 RJA）
知识点1 一元线性回归模型
一元线性回归模型的完整表达式为YE＝eb＝x＋0，a＋Dee，＝σ2.其中 Y 称为 __因__变__量____或 __响__应__变__量____，x 称为自变量或___解__释___变量；a，b 为模 型的未知参数，e 是 Y 与 bx＋a 之间的__随__机__误__差____．
i＝1
i＝1
5
xiyi－5 x 得b^＝i＝1 5
xi2－5 x 2
y ＝1
319405－－55××55×2 50＝7，a^＝ y －b^ x ＝50－7×5＝15．
i＝1
故所求的回归直线方程是y^＝7x＋15．
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(3)根据上面求出的经验回归方程，当成交量突破 100 件(含 100 件)， 即 x＝^y－715≥100 时，y^≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为 715 次．
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[解析] (1)散点图如图所示．
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第八章 成对数据的统计分析
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(2)根据散点图可得，变量 x 与 y 之间具有线性相关关系．
5
5
根据数据可知，x ＝5，y ＝50， xiyi＝1 390， xi2＝145，代入公式
月份 月用电量(千瓦时)
一元线性回归分析例题
SPSS一元线性回归分析例题（体检数据中的体重和肺活量的分析）某单位对12名女工进行体检，体检项目包括体重(kg)和肺活量(L)，数据如下：X(体重：kg) 42.00 42.00 46.00 46.00 46.00 50.0050.00 50.00 52.00 52.00 58.00 58.00Y(肺活量：L) 2.55 2.20 2.75 2.40 2.80 2.813.41 3.10 3.46 2.85 3.50 3.00用x表示体重，y表示肺活量，建立数据文件。
利用一元线性回归分析描述其关系。
基本操作提示：Step 1 建立数据文件，并打开该数据文件。
Step 2 选择菜单Analyz e→Regressio n→Linear，打开主对话框。
在“Dependent”(因变量)列表框中选择变量“肺活量”，作为线性回归分析的被解释变量；在“Independent”(自变量)列表框中选择变量“体重”，作为解释变量。
Step 3 单击“Statistics”按钮，在打开的对话框中，依次选择“Estimates”(显示回归系数的估计值)、“Confidence intervals”、“Model fit”(模型拟合)、“Descriptives”、“Casewise diagnostic”(个案诊断)和“All Cases”选项。
选择完毕后，单击“Continue”按钮，返回主对话框。
Step 4 单击“Plots”(图形)按钮，在打开的主对话框中，选择“DEPENDENT”(因变量)作为y轴变量，“*ZPRED”(标准化预测值)作为x轴变量；并在“Standardized Residual Plots”(标准化残差图)中选择“Histogram”(直方图)和“Normal probabilityplot”(正态概率图，即P-P图)选项。
选择完毕后，单击“Continue”按钮，返回主对话框。
Step 5 单击“Save”(保存)按钮，在打开的主对话框中，在“Predicted Values”(预测值)选项区域中选择“Unstandardized”和“S. E. ofmean predictions”(预测值均数的标准误差)选项；“PredictionIntervals”(预测区间)选项区域中选择“Mean”和“Individual”选项；“Residuals”(残差)选项区域中选择“Unstandardized”选项。
线性回归在需求预测问题中的应用
ｔ 服从自 由度为ｎ２ 分布， ’ 的ｔ 取显著性水平为ａ ｔ）， ， ｂ ｔ则 若ｌ１ａ
回归系数 ｂ显 著。 取 ａ Ｏ ５ 得 ｔ ． ６ ３ ． ５ ３ ２ ０ － 因此 ， ＝， ， Ｑ ３ ， ３ ６２＞． ６ｔ ０ ２ ０ ５ ３ － ￣， 回归系 数显著。
一
∑（ ｘ） 一
ｒ ＝— 尸 — — — 一 －０９ ４ｌ ・９
＼ （） ＺＹ ／ ｘ （） ∑ 一＼ － ；／ Ｙ
由此可知 ， 因为 ｒ值接近 于 １ 说 明 国民经 济增 长对 钢材消 ， 耗具有高度的相关性 。
（ 显著性 检验 ４）
求出 回归系数后 ， 我们进行 回归系数 的显著性检验 ， 里我们 这
¨ ｂ ， 庐—Ｉ二— ＿ —
（Ｘ ｘ） 一 － 一
则可 以建立 一元 线性回归 方程 ：＝ ｏｂ ｉ５７６ １ Ｏ０ １ ８ ｙｂ＋ ￣＝ ．１ ８ ＋ ．９ ３： ｘ ｑ
３进 行检 验 ．
未来人才需求量预测 ， 是政府人事管理部 门在编制区域性人 才 规划 ， 实现人 才宏观管理的重要依据 ， 是社会 经济发展 规划 的重要 组成部分 ， 对社会 经济发展起 着重要 的作用。 在对人才的预测中 ， 有多种方法如 ： 多元线性 回 分析法 、 归 弹性 系数法 、 特尔菲法 、 状态转移法 、 专家估计法等多种预测方法。这 里 将主要介绍 回归分析法的应用 。 １ 测的前期准备 工作——参数 （ ． 预 自变量 ） 的确定 由于 区域性人才规划只是为 以后政府政策制定时 ， 提供数据依 据， 是宏观预测 ， 以并不过分要求预测 出数据的精确度 ， 所 而是主要 考察在众多影响人才发展规模 的因素哪些能起到更大的作用 ， 因此 选择参数 （ 自变量 ） 是人才预测 中一个很重要 的工作 。 根据某 市 “ 十五” 期间社会经济发展 的要求 ， 市人才资源的 对该 未来发展进行科学的预测 。通过考察该市历年人才发展规模及各项 社会经济统计指标 ， 发现未来时期人才资源 的需求量受经济增长率、 产业结构、 口增长、 人 劳动生产率和科学技术进步水平及政府政策导 向等诸多因素 的影响。 在对该市经济 、 社会和科学技术进步的发展趋 势进行科学分析的基础上 ，以及多元线性 回归分析方法等多种方法 对该市 “ 十五” 时期 至 ２ １ 年人才资源需求进行了合理的预测。 ００
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用来探究两个变量之间关系的统计方法。
它基于一个假设，即两个变量之间存在线性关系。
以下是一元线性回归分析的一般步骤：1. 数据收集：首先，需要收集所需的数据。
需要考虑收集的数据是否与研究目的相关，并确保数据的准确性和完整性。
2. 变量定义：定义自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
3. 数据探索：进行数据探索，包括数据的描述性统计和绘图。
这一步可以帮助我们了解数据的分布、异常值和离群点。
4. 模型选择：选择适当的线性模型。
这可以通过查看散点图、相关性分析和领域知识来完成。
通常，一个线性模型可以用以下方程表示：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
5. 模型估计：使用最小二乘法来估计回归系数。
最小二乘法的目标是找到最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
6. 模型评估：评估模型的拟合优度。
常用的指标包括R平方值和调整R平方值。
R平方值介于0和1之间，表示因变量变异性的百分比可以由自变量解释。
调整R平方值是对R平方值的修正，考虑了自变量的数量和样本量。
7. 模型解释：根据回归系数的估计值，解释自变量对因变量的影响。
根据回归系数的正负和大小，可以确定变量之间的关系是正向还是负向，并量化这种关系的强度。
8. 结果验证：验证模型的有效性和稳健性。
这可以通过对新数据集的预测进行测试，或使用交叉验证的方法来完成。
9. 结果解释：对模型结果进行解释，提供有关回归系数的结论，并解释模型对现实世界问题的意义。
总结来说，一元线性回归分析的方法步骤包括数据收集、变量定义、数据探索、模型选择、模型估计、模型评估、模型解释、结果验证和结果解释。
它们相互关联，构成了一元线性回归分析的完整过程。
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之