材料力学杆的塑性变形第3节 圆轴扭转的塑性分析
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材料力学第三章 扭转 讲课用
dy
三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)
由图所示的几何关系得到
Me
Me
r l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经.
l
薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时, 扭 转角与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
T 2 πr 2
的线性关系.
r l
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
G
该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 O O
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ 对于各向同性材料,可以证明: E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
τ
dx
τ
x
z
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
T
d1
16
3
T
D3
16
(1 0.5 )
2
4
A空 A实
D
4
0.8
D 得： 1022 . d1 1.192
2
(1 0.5 )
0.8
2
d1
4
0.783
0.512
例6：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心 圆管，承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中的最大 切应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学课件第3-4章
L M x( x) d x
0 GIP (x)
28
3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件
二. 刚度条件
对等直轴:
d
dx
Mx GIP
单位长度的扭转角
等直圆轴扭转
max
M x max GIP
180
[ ](o /m)
对阶梯轴: 需分段校核。
max
M x max GIP
180
[ ](ο /m)
2. 给出功率, 转速
(kw)
Me = 9549
P n
(N. m)
(r/min)
5
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二.横截面上的内力
截面法求内力： 截，取，代，平
Mx 称为截面上的扭矩
Mx 0 Mx Me 0 即 Mx Me
按右手螺旋法：
指离截面为正，
M x 指向截面为负。
6
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
10
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一. 薄壁筒扭转实验
nm
t
实验观察 分析变形
x
r
nm l
mn没变 x = 0
x = 0
Me
nm
γ
Me
φ
x
r没变 = 0
= 0
nm
Me
nm
Mx
x
n m Mx
11
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
Me Mx
nm
Mx
n m Mx
由于轴为薄壁,所以认
为 沿t 均布.即 =C
max
M x max Wp
31.5 103 m
M x max d 3
16
材料力学力S03扭转
4M
2M
第三章
扭转
8
受扭杆件内力计算的例题
例1： ： 解： T1=M T2=2M T3=-2M 绘出扭矩图 最后总结规律： 最后总结规律： 左上右下” “左上右下” 自己证明。 自己证明。
M M 4M 2M
M
1 T1 1 M
M
2 T2
2
T3 3
2M
M
2M
3
T
第三章 扭转
−2 M
9
受扭杆件内力计算的例题
1.1 变形几何关系
通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后： 通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后：横截面仍 为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转； 为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转；横截面绕圆 心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。 心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。 这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。 这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。 平面假设
例2： ： 如图杆件，已知m，试绘制扭矩图。 如图杆件，已知 ，试绘制扭矩图。
Me
m
Me
l
第三章
扭转
10
受扭杆件内力计算的例题
例2： ： 解： 轴所受力系是连续分布的， 轴所受力系是连续分布的， 无须分段。默认坐标x轴起 无须分段。默认坐标 轴起 点左端，沿轴线向右。 点左端，沿轴线向右。 Me=ml/2 T=Me-mx=m(l/2-x) 该杆上的载荷力系关于杆中 截面对称 可以发现， 的 对称。 截面对称。可以发现，T的 分布关于杆中截面是反对称 分布关于杆中截面是反对称 的。
第三章
扭转
21
习题
• P84, 3-2 • P85, 3-5
第三章
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
第3章 扭转《材料力学》教学课件
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第3章 扭转
T M e A rd A 0 2 πrr td 2 π r2 t
由此得到，薄壁圆筒扭转的切应力公式为
Me 2πr 2t
(3-4)
3.3 薄壁圆筒的扭转
图3-8
3.3 薄壁圆筒的扭转
【例1-3】
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.2 切应力与互等定理
用相邻的两个横截 面和直径截面取出边长分 别为dx、d y和厚度为d z 的微小单元体，如图所示。
3.4 圆轴扭转时的应力
在图3-12(a)中，用相邻横截面m1—m1和n1—n1从轴中 截取长为dx的微段。设两截面间的相对扭转角为dφ，则根据
平面假设，横截面n1—n1像刚性平面一样，相对于m1—m1绕 轴线旋转角度dφ，半径O2C转至O2C′，如图3-12(b)所示。于
是，表面小矩形ABCD的CD边相对于AB边发生微小错动，错
(1)圆周线的形状、大小、间距不变，两圆周线发生相对 转动。
(2)各纵向线仍然平行，但都倾斜了一个微小角度，所有 微小矩形均变为同样大小的平行四边形，如图3-8（b）所示。
3.3 薄壁圆筒的扭转
这些现象表明，当薄壁圆筒发生扭转时，横截面上没 有正应力σ，只有切应力τ。由于筒壁很薄，可认为切应力 沿壁厚均匀分布。又因同一圆周上各点的情况相同，故应力 也相同，如图3-8（c)所示。横截面上所有切应力τ组成力系 的合效果为该截面的扭矩T，即
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.3 切应变与剪切胡克定律
纯剪切单元体的相对两侧面将 发生微小的相互错动［见图3-10］， 使原来互相垂直的两棱边的夹角改 变了一个微量γ，即 切应变 。从图 3-8(b)可以看出，γ就是表面纵向线 变形后的倾角。若φ为圆筒两端的相 对扭转角，l为圆筒长度，则切应变 的计算公式为
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学第三章扭转
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上 0, 0
0 0
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
1、扭转变形：（相对扭转角）
d T
扭转变形与内力计算式
dx GI P
d T dx T dx
GI P
L GI P
扭矩不变的等直轴 Tl
GI p
扭转角单位： 弧度（rad）
各段扭矩为不同值的阶梯轴 Tili
GI pi
GIP—抗扭刚度。
d T
dx GI P
rad m ——单位长度的扭转角
Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。 AC=? 校核轴的刚度
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
1.1710-2
rad
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
dx dx
d
dx
d / dx－扭转角变化率
横截面上任意点的剪应变与该点到圆 心的距离ρ成比例
二、物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 弹性范围内
G → G
G
d
dx
材料力学课件第三章 扭转
对于薄壁圆筒：
§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和应变
1.簧杆横截面上的应力
F
螺旋弹簧如图所示。当螺旋
角 5 时，可近似认为簧
丝的横截面与弹簧轴线在同
一平面内，一般将这种弹簧
称为密圈螺旋弹簧。
由静力平衡可以得到
式中的FS为横截面上的剪 力；T为该截面的扭矩。
2R
对于由剪力引起的切应力，可 以认为在横截面上均匀分布。
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
其中：
扭矩 极惯性矩
抗扭截面系数
注意：上面的切应力公式只有在等直圆轴且处于弹 性范围时才能使用
现在的问题是如心轴 ：
对与空心轴 ：
注意:
三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 1、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
（比如：铸铁、粉笔）
由
得：
3、在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆 轴，可节省材料的百分比为多少? 解： 设实心轴的直径为 d1 ，由
得：
4、实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大
切应力是原来的 8 倍？圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
解：
两端固定的圆截面等 直杆AB，在截面C受外力 偶矩Me作用，试求:杆两端 的支座反力偶矩。 解： 静力平衡方程为：
变形协调条件为：
即： 由(1)、(2)得：
[例5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，
对于各向同性材料，有：
§3.4 圆轴扭转时的应力
先看实验
一、实验与假设
1、实验现象
﹢各圆周线的形状、大 小，两圆周线间的距离都 没有发生变化，但都绕轴 转过了不同的角度。
§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和应变
1.簧杆横截面上的应力
F
螺旋弹簧如图所示。当螺旋
角 5 时，可近似认为簧
丝的横截面与弹簧轴线在同
一平面内，一般将这种弹簧
称为密圈螺旋弹簧。
由静力平衡可以得到
式中的FS为横截面上的剪 力；T为该截面的扭矩。
2R
对于由剪力引起的切应力，可 以认为在横截面上均匀分布。
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
其中：
扭矩 极惯性矩
抗扭截面系数
注意：上面的切应力公式只有在等直圆轴且处于弹 性范围时才能使用
现在的问题是如心轴 ：
对与空心轴 ：
注意:
三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 1、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
（比如：铸铁、粉笔）
由
得：
3、在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆 轴，可节省材料的百分比为多少? 解： 设实心轴的直径为 d1 ，由
得：
4、实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大
切应力是原来的 8 倍？圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
解：
两端固定的圆截面等 直杆AB，在截面C受外力 偶矩Me作用，试求:杆两端 的支座反力偶矩。 解： 静力平衡方程为：
变形协调条件为：
即： 由(1)、(2)得：
[例5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，
对于各向同性材料，有：
§3.4 圆轴扭转时的应力
先看实验
一、实验与假设
1、实验现象
﹢各圆周线的形状、大 小，两圆周线间的距离都 没有发生变化，但都绕轴 转过了不同的角度。
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极限扭矩 TP ：
A
TP s dA 1.33T1 。 所以从开始出现塑性变形到极限状 态，扭矩增加了三分之一。
注意 在机器中轴类零件的破坏主要原因是疲 劳引起的，极限扭矩TP 只是扭矩沿一个方 向单调增加的极限值，所以实际意义是有 限的。
1、弹性阶段
圆轴扭转变形在弹性阶段时，横截面切应力为
T , IP
扭矩 T 增加，截 面边缘处的最大切 应力 max首先达到 屈服极限 s ，此时 对应的扭矩 T 即弹 性极限扭矩 T1 ：
max
T WP
(1)
1 3 T1 WP s r s 2
(2)
2、弹塑性阶段 若扭矩 T 增加，截面边缘处的部 分切应力相继达到屈服极限 s，塑 性屈服区逐渐扩大，而中间部分仍 处在弹性阶段的区域不断减小。 3、塑性极限状态 若扭矩 T 再增，横截面上的塑性 区将继续扩大，弹性区最后只剩下 圆心周围很小的一个圆，该圆内剪 力相对圆心的力臂很小，它对抵抗 外力矩的贡献甚小，所以可以认为 整个截面上切应力分布均匀，与此 相应的扭矩称为极限扭矩 TP 。
2 3 TP r s 3