极限与导数的概念

1 O

y x

极限是微积分的基石 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n天剩余的木棒长度na(尺)，并分析变化趋势；（2）求前n天截下的木棒的总长度nb(尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n无限增大时，数列的项na无限趋近于某个常数A（即Aan无限趋近于0）。na无限趋近于常数A，意指“na可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要n充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点na

到A的距离Aan可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数A（即

Aan无限趋近于0），那么就说数列}{na的极限是A，记作

Aannlim

注：①上式读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于A”。“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思。Aannlim有时也记作当n∞时，naA ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，21，31，„，n1，„ ；（2）21，32，43，„，1nn，„； （3）－2，－2，－2，„，－2，„；（4）－0.1，0.01，－0.001，„，n)1.0(，„； （5）－1,1，－1，„，n)1(，„； 注：几个重要极限：

（1）01limnn （2）CCnlim（C是常数）

（3）无穷等比数列}{nq（1q）的极限是0，即 ：)1(0limqqnn 2、当x时函数的极限 （1） 画出函数xy1的图像，观察当自变量x取正值且无限增大时，函数值的变化情

况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x趋向于正无穷大时，函数xy1 2

的极限是0，记作：01limxx 一般地，当自变量x取正值且无限增大时，如果函数 )(xfy的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于正无穷大时，函数)(xfy的极

限是A，记作：Axfx)(lim 也可以记作，当x时，Axf)( （2）从图中还可以看出，当自变量x取负值而x无限增大时，函数xy1的值无限趋近于0，这时就说，当x趋向于负无穷大时，函数xy1的极限是0，记作：01limxx 一般地，当自变量x取负值而x无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于负无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim 也可以记作，当x时，Axf)( （3）从上面的讨论可以知道，当自变量x的绝对值无限增大时，函数xy1的值都无

限趋近于0，这时就说，当x趋向于无穷大时，函数xy1的极限是0，记作01limxx 一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim 也可以记作，当x时，Axf)( 特例：对于函数Cxf)(（C是常数），当自变量x的绝对值无限增大时，函数Cxf)(的值保持不变，所以当x趋向于无穷大时，函数Cxf)(的极限就是C，即 CCxlim

例2：判断下列函数的极限： （1）xx)21(lim （2）xx10lim

（3）21limxx （4）4limx 3

三、练习与作业 1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限

（1）1，41，91，„，21n，„ ；（2）7，7，7，„，7，„；

（3）,2)1(,,81,41,21nn； （4）2，4，6，8，„，2n，„； （5）0.1，0.01，0.001，„，n101，„； （6）0，,32,21„，11n，„； （7）,41,31,21„，11)1(1nn，„； （8）,51,59,54„，52n，„； （9）－2, 0，－2，„，1)1(n,„， 2、判断下列函数的极限： （1）xx4.0lim （2）xx2.1lim

（3）)1lim(x （4）41limxx （5）xx)101(lim （6）xx)45(lim （7）11lim2xx （8）5limx 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如oxxxxxxolim,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 对于函数极限有如下的运算法则：

如果BxgAxfooxxxx)(lim,)(lim，那么

BAxgxfoxx)]()([lim BAxgxfoxx)]()([lim

)0()()(limBBAxg

xf

oxx 4

也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.

说明：当C是常数，n是正整数时，)(lim)]([limxfCxCfooxxxx

nxxnxxxfxfoo)](lim[)]([lim

这些法则对于x的情况仍然适用. 三 典例剖析

例1 求)3(lim22xxx 例2 求112lim231xxxx 例3 求416lim24xxx 分析：当4x时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162xxy在定义域4x内，可以将分子、分母约去公因式4x后变成4x，由此即

可求出函数的极限.

例4 求133lim22xxxx 分析：当x时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：),(lim,lim*NkxxCCkokxxxxoo )(01lim,lim*NkxCCkxx

例5 求1342lim232xxxxx

分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x，就可以运用法则计算了。 三、练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）

（1）)32(lim21xx； （2）)132(lim22xxx 5

（3）)]3)(12[(lim4xxx； （4）14312lim221xxxx （5）11lim21xxx （6）965lim223xxxx （7）13322lim232xxxxx （8）52lim32yyyy 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx则)()(lim0xgxfxx＿＿＿

)().(lim0xgxf

xx＿＿＿＿，)()(lim0xgxfxx＿＿＿＿（B0）

二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim,limBbAannnn那么

BAbannn)(lim BAbannn)(lim

BAbannn.).(lim )0(limB

BAb

a

nn

n

推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若na，nb，nc有极限，则：nnnnnnnnnncbacbalimlimlim)(lim

特别地，如果C是常数，那么CAaCaCnnnnnlim.lim).(lim 二.例题： 例1.已知,5limnna3limnnb，求).43(limnnnba

例2.求下列极限： （1）)45(limnn； （2）2)11(limnn 例3.求下列有限： （1）1312limnnn （2）1lim2nnn 分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 6

例4.求下列极限： （1） )112171513(lim2222nnnnnn



（2）)39312421(lim11nnn 说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。 当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。 3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。 小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。 练习与作业：

1.已知,2limnna31limnnb，求下列极限

（1）)32(limnnnba； （2）nnnnabalim 3.求下列极限 （1）nnn1lim； （2） 23limnnn；

（3）2123limnnn； （4）1325lim22nnnn。 4.求下列极限: (1). 22321limnnn (2).11657limnnn

(3). 91lim2nnn （4）)1412lim(22nnnn

（5）nnn31913112141211lim （6）.已知,2limnna求nnnananlim