三年级秋季班第13讲 三阶幻方302
三年级奥数教程第12讲三阶幻方
三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。
每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。
三年级 第9讲 三阶幻方
3. 用2、4、6、12、14、16、22、24、26编 制一个三阶幻方．
课后巩固练习
4. 将9个连续自然数填入3X3的方格内，使得每行、 每列以及每条对角线上的3个数的和都等于66.
5. 将图中的数重新排列，使得每行、每列以及每条、 对角线上的3个数的和都相等。
6. 一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的3 个数的和都等千300. 幻方中央是多少？为什么？
●●●● 随 堂 练 习 3
（1）如果 2、6 、10 、11 、15 、19 、20 、24 、28 可以组成一个三 阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？ 中央的那个数 是多少？
（1）用9个连续的自然数组成三阶幻方，是每一行、每一列、每条对角 线的和都是60.
【例 4】
【例4】图9-4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出 其他的数.
➢ 知识拓展
三阶幻方的历史. 幻方起源于中国 ．传说在大禹治水时有神龟在洛水出现 ， 背上有 图 ，称为“洛书”.宋代学者朱熹在所著的 《 周易本义 》 卷首画出 如下的洛书图 ，它与例（1）排列实际上是一样的 。
➢ 知识拓展
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定 的要求填上1-9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三 数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列成为三阶幻方，又称九宫格.
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究.他称 这种图为“纵横图”. 并总结出了构造三阶幻方的口诀：
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.
1
4
2
7
5
3
8
6
9
9
4
8
3
5
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
三年级下册数学课件思维拓展训练：简单的三阶幻方 全国通用 10页
2这篇文章用河神见海神的寓言故事说 明哲理 ，通篇 都是设 喻而这 些比喻 又是通 过奔放 新奇的 想象和 浓厚的 浪漫主 义情调 抒写出 来的。 庄子把 一切自 然事物 、神话 传说都 具体化 、人格 化。
3.河伯这一神话传说中的神便被庄子 任意驱 使为其 观点服 务，先 让河伯 因受环 境和习 见习闻 的限制 而自傲 ，然后 让河伯 从小圈 子里跳 出来， 看到了 大海而 对自己 以前的 自满羞 愧不已 。
先按从小到大的顺序排列。 注意是九个连续的自然数哦！
幻和=中心数×3 中心数=24÷3=8
5 12 7 10 8 6 9 4 11
第5个数
4、5、6、7、8、9、10、11、12
①②③④ ⑤⑥ ⑦ ⑧ ⑨
中心数=36÷3=12
11 20 12 18
19 4 13
C=12, D=36-12-6=18
1 32 4 86 75 12 10 11 9 13 15 14 16
1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16
1、在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复 也不遗漏的填上9个连续的自然数，使每行、每列、 每条对角线上的三个自然数的和均相等（这个相等的 和叫做幻和），通常这样的图形叫做三阶幻方。
1、简单的三阶幻方
这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将
连续的九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3 个数的和都相等。
请你动手填一填！
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45÷3=15 幻和
29 4
75 3 61 8
二四为肩，六八为足 上九下一，左七右三
第五讲 三阶幻方
第五讲、三阶幻方幻方起源于中国。
传说在大禹治水时,有只神龟在洛水中浮起,龟背上有奇特的图案，如右图。
人们称之为洛书。
如果将龟背上的数字翻译出来,如下图。
观察，你发现了什么？ 观察发现,上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3(三行三列）的正方形内,使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图。
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字,简称中心数。
三阶幻方的规律:（1）幻和= 九个数之和 ÷3; （2）中间数=幻和÷3(3)四个角上的数字 2=（3+1）÷2，8=（9+7）÷2例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21.例题2 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等.73 84 63 二、例题讲解 672159834巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里,使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法： 介绍公式法：19 1410 18 812口诀:九子斜列，上下对易，左右相更,四维挺出。
想一想还有没有其他填法:第一种：816 357 492第二种：618 753 294第三种:492357816第四种：294753618第五种:672159834第六种:834159672第七种：276951438第八种:438951276巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
小学思维数学讲义：幻方（一）-带详解
⼩学思维数学讲义：幻⽅（⼀）-带详解幻⽅（⼀）1. 会⽤罗伯法填奇数阶幻⽅2. 了解偶数阶幻⽅相关知识点3. 深⼊学习三阶幻⽅⼀、幻⽅起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正⽅形，因此纵横图⼜叫幻⽅．幻⽅起源于我国，古⼈还为它编撰了⼀些神话．传说在⼤禹治⽔的年代，陕西的洛⽔经常⼤肆泛滥，⽆论怎样祭祀河神都⽆济于事，每年⼈们摆好祭品之后，河中都会爬出⼀只⼤乌龟，乌龟壳有九⼤块，横着数是3⾏，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有⼏个点点，正好凑成1⾄9的数字，可是谁也弄不清这些⼩点点是什么意思．⼀次，⼤乌龟⼜从河⾥爬上来，⼀个看热闹的⼩孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于⼗五！”于是⼈们赶紧把⼗五份祭品献给河神，说来也怪，河⽔果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻⽅”，由于它有3⾏3列，所以叫做“三阶幻⽅”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻⽅．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》⾥有⼀段注解：“九宫者，⼆四为肩，六⼋为⾜，左三右七，戴九履⼀，五居中央．”这段⽂字说明了九个数字的排列情况，可见幻⽅在我国历史悠久．三阶幻⽅⼜叫做九宫图，九宫图的幻⽅民间歌谣是这样的：“四海三⼭⼋仙洞，九龙五⼦⼀枝连；⼆七六郎赏⽉半，周围⼗五⽉团圆．”幻⽅的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．⼆、幻⽅定义幻⽅是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的33?的数阵称作三阶幻⽅，44?的数阵称作四阶幻⽅，55?的称作五阶幻⽅……如图为三阶幻⽅、四阶幻⽅的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻⽅常⽤的⽅法⑴适⽤于所有奇数阶幻⽅的填法有罗伯法．⼝诀是：⼀居上⾏正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重⼀个样．⑵适⽤于三阶幻⽅的三⼤法则有：①求幻和：所有数的和÷⾏数（或列数）②求中⼼数：我们把幻⽅中对⾓线交点的数叫“中⼼数”，中⼼数＝幻和÷3．③⾓上的数=与它不同⾏、不同列、不同对⾓线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学⽬标数独简介：（⽇语：数独すうどく）是⼀种源⾃18世纪末的瑞⼠，后在美国发展、并在⽇本得以发扬光⼤的数学智⼒拼图游戏。
二年级秋季 第13课 简单幻方
816 357 492
幻方
每行、每列、斜对角线：和相等（幻和）
15
15 8 1 6
中间数（在幻方的中间） （在连续数的中间）
15 3 5 7
15 4 9 2
15 15 15 15
123456789 幻和是中间数的3倍
3行3列 3阶幻方
4行4列 4阶幻方
5行5列
......
5阶幻方
6、把7～15这九个数构成一个三阶幻方。
线三个数的和都相等，（每个各种的数字 互不相同）
幻和： 8×3=24
将1～9这九个数，填入下图中的方格中，使 每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等。
将0—8分别填入下面的方格中，使每行 、每列以及对角线上的三个数的和都相等。
6 7 8 9 10 11 12 13 14
在图的空格中填入不大于15且互不 相同的自然数，使每一横行、竖行和对角 线上的三个数之和都等于30。 中间数
6、把7～15这九个数构成一个三阶幻方。
感谢聆听
作业练习 1、下图是一个三阶幻方。求“？”是多少。
7
8 ？
2、下图是一个三阶幻方。求“？”是多少。
3、在空格中填数，使每一行，每一列、每条 对角线的和都等于30。
4、在空格中填数，使每一行，每一列、每条 对角线的和都等于30。
5、用5～13这九个数补全下图的方格，使得每 行每列及对角线上的三个数相等。
幻和： 10×3=30
作业练习 1、下图是一个三阶幻方。求“？”是多少。
7
8 ？
2、下图是一个三阶幻方。求“？”是多少。
3、在空格中填数，使每一行，每一列、每条 对角线的和都等于30。
4、在空格中填数，使每一行，每一列、每条 对角线的和都等于30。
第五讲 三阶幻方
第五讲、三阶幻方幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？ 观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数.三阶幻方的规律：（1）幻和= 九个数之和 ÷3； （2）中间数=幻和÷3（3）四个角上的数字 2=（3+1）÷2,8=（9+7）÷2例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
73 84 63 二、例题讲解 672159834例题2 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
19 1410 18 812介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：第一种：816 357 492第二种：618 753 294第三种：492357816第四种：294753618第五种：672159834第六种：834159672第七种：276951438第八种：438951276巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
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菁英三年级三阶幻方
姓名：________
【知识介绍】
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上3×3个连续的自然数，每
个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
通常这样的图形
叫做三阶幻方。
三阶幻方的一些基本规律：幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个：
【例题讲解】
例题1 在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24。
分析：解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，
就可以根据幻和求出第三个数。
例题 2 下图中，每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等，若
5
,
17
,
16
,4=
=
=
=h
d
l
a。
求b与f为多少？
例题3编出一个三阶幻方，使其幻和为27。
例题4将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数
的和都相等。
例题5 下图中，g
a~7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a”所代表的数字是多
少？
【三阶幻方练习】
1.用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。
2.用3～11这9个数补全下图中的幻方，并求幻和。
a b c
d e f
g h l
3.下图的三阶幻方中，填入了1～9的自然数，构成了大家熟知的三阶幻方。
现在另有一个三阶
幻方，请选择不同的自然数填入9个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，且每一行、
每一列、每一条对角线方格内的三个数的和都相等。
4.在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
5.在下图的空格里填入不大于15且不相同的自然数，使每一行、每一列和每一条对角线上的三
个数的和都等于30。
6.在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
7.在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
8.把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
9.使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。