数列专题——数列与不等式(本人)
高中数学优秀讲义微专题57 放缩法证明数列不等式
微专题57 放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ） （2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
数列绝对值不等式
数列绝对值不等式数列是数学中一个重要的概念，它是由一串有顺序的数字组成的序列。
在数列的研究中，绝对值不等式是一种常见的数学问题。
本文将介绍数列绝对值不等式及其性质，并通过例题来解释其应用。
一、数列绝对值不等式的定义和性质数列绝对值不等式是指在一个数列中由绝对值组成的不等式。
数列绝对值不等式常见的形式有以下几种：1. |an|≤a，其中a为实数。
2. |an|≥a，其中a为正实数。
3. |an±bn|≤a，其中a为实数。
4. |an±bn|≥a，其中a为正实数。
在数列绝对值不等式中，|an|表示数列中的第n个数的绝对值，a和b为实数。
根据不等式的性质，我们可以得出以下结论：1. 若|an| ≤ a，则 -a ≤ an ≤ a。
2. 若|an| ≥ a，则an ≤ -a 或an ≥ a。
二、解决数列绝对值不等式的方法解决数列绝对值不等式的关键是确定数列中每个数的取值范围。
以下是一些常用的解题方法：1. 分情况讨论法当数列中的每个数的取值范围不同时，可以采用分情况讨论的方法。
具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，给出每个数的取值范围。
（2）将取值范围代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。
（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。
2. 取最大值和最小值法当数列中每个数的取值范围相同时，可以通过取最大值和最小值的方法求解。
具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，确定每个数的取值范围。
（2）将取最大值和最小值代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。
（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。
三、例题解析为了更好地理解数列绝对值不等式的求解过程，我们来看几个例题。
例题1：已知数列an=3n-2，试求满足绝对值不等式|an+2|≤5的n的取值范围。
解析：首先，我们根据数列an=3n-2，求得数列中每个数的取值。
当 n = 1 时，a1 = 3(1) - 2 = 1；当 n = 2 时，a2 = 3(2) - 2 = 4；当 n = 3 时，a3 = 3(3) - 2 = 7；...根据数列中每个数的取值，我们可以判断出：an+2 = 3(n + 2) - 2 = 3n + 4接下来，我们将an+2代入绝对值不等式中，得到：|3n + 4| ≤ 5根据绝对值不等式的性质，我们可以得到以下两种情况：1. 3n + 4 ≤ 5，即3n ≤ 1，解得n ≤ 1/3；2. -(3n + 4) ≤ 5，即 -3n ≤ 9，解得n ≥ -3。
2024届高三数学二轮专题复习教案数列
2024届高三数学二轮专题复习教案——数列一、教学目标1.知识目标掌握数列的基本概念、性质和分类。
熟练运用数列的通项公式、求和公式。
能够解决数列的综合应用题。
2.能力目标提高学生分析问题和解决问题的能力。
培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容1.数列的基本概念数列的定义数列的项、项数、通项公式数列的分类2.数列的性质单调性周期性界限性3.数列的求和等差数列求和公式等比数列求和公式分段求和4.数列的综合应用数列与函数数列与方程数列与不等式三、教学重点与难点1.教学重点数列的基本概念和性质数列的求和数列的综合应用2.教学难点数列求和的技巧数列与函数、方程、不等式的综合应用四、教学过程1.导入新课通过讲解一道数列的典型例题，引导学生回顾数列的基本概念、性质和求和公式，为新课的学习做好铺垫。
2.数列的基本概念（1）数列的定义：按照一定规律排列的一列数叫做数列。
（2）数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项。
（3）数列的项数：数列中项的个数。
（4）数列的通项公式：表示数列中任意一项的公式。
（5）数列的分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
3.数列的性质（1）单调性：数列的项随序号增大而增大或减小。
（2）周期性：数列中某些项的值呈周期性变化。
（3）界限性：数列的项有最大值或最小值。
4.数列的求和（1）等差数列求和公式：S_n=n/2(a_1+a_n)（2）等比数列求和公式：S_n=a_1(1q^n)/(1q)（3）分段求和：根据数列的特点，将数列分为若干段，分别求和。
5.数列的综合应用（1）数列与函数：利用数列的通项公式研究函数的性质。
（2）数列与方程：利用数列的性质解决方程问题。
（3）数列与不等式：利用数列的性质解决不等式问题。
6.课堂练习（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求证数列{a_n}为单调递增数列。
（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2n+1，求证数列{a_n}为等差数列。
求解数列不等式证明问题的方法
解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
数列的综合应用【十二大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习
数列的综合应用【十二大题型】【题型1 等差、等比数列的交汇问题】................................................................................................................3【题型2 数列中的数学文化问题】........................................................................................................................4【题型3 数列的实际应用问题】............................................................................................................................5【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】....................................................................................................7【题型5 数列中的不等式证明问题】....................................................................................................................8【题型6 子数列问题】............................................................................................................................................9【题型7 数列与函数的交汇问题】......................................................................................................................11【题型8 数列与导数的交汇问题】......................................................................................................................12【题型9 数列与概率统计的交汇问题】..............................................................................................................13【题型10 数列与平面几何的交汇问题】............................................................................................................14【题型11 数列中的结构不良题】........................................................................................................................16【题型12 数列的新定义、新情景问题】............................................................................................................17
27汇编之数列与不等式综合汇编
高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）1. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证: （Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅. 解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时, 因为0<x<1时,1()1011xf x x x '=-=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)<f(k a )<f(1),即0<11ln 21k a +<-<.故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.————4分 又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<.综上可知10 1.n n a a +<<<————6分(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)=2ln(1)2x x x ++-, 0<x<1, 由2()01x g x x'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而21.2n n a a +<————10分(Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n nbb +12n +≥ ,所以1211211!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅≥⋅ ————①, ————12分由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n a a a a a aa a a --⋅< ,因为12a =, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a a a -<⋅ <112n n a -<2122n a ⋅=12n ————② . ————14分由①② 两式可知: !n n b a n >⋅.————16分2.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++< 解：⑴1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααα 又∵α为锐角 ∴42πα=∴1)42sin(=+πα x x x f +=2)(⑵ n n n a a a +=+21 ∵211=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02>n a ∴n n a a >+1⑶nn n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(11121∴11111+-=+n n n a a a ∴1322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1111211++-=-=n n a a a∵4321)21(22=+=a , 143)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12 ∴131>≥+a a n ∴21211<-<+n a∴2111111121<++++++<na a a 3.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈ 解：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a ……………………2分 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。
数列证明题的解题方法
n n(n 1) n 1
n
n(n 1) n 1 2 2 2
用放缩法证明数列中的不等式问题，判断 证明的方向是至关重要的，决定到解题的 思路和方向，因此一定要熟记常见的放缩 法证明的结论的特点，本题的要证明的结 论是一个等差数列前n项和的形式，所以放 缩应该放所为等差数列，请同学们结合下 面要将的方法仔细比较分析加以区别。
I
1 首项为1，公比为- 的等比数列是否为B -数列？请说明理由; 2 设S n是数列{x n }的前n项和。给出下列两组判断： ③数列{S n }是B -数列。 ④数列{S n }不是B -数列。
A组：①数列{x n }是B -数列。 ②数列{x n }不是B -数列。 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； ( Ⅲ )若数列{ an }是B 数列，证明：数列{ an 2 }也是B 数列。
祝大家新年快乐!
再见！
先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，
则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、 差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{an }满足条件an 1 an f n ）求和 或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和
2．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a，n N*，a 2，证明：a 2 n ( a )n ( a 1) a n； 1 （2）等比数列an 中，a1 ，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列． 2 an 2 1 设bn ，数列bn 前n项的和为Bn，证明：Bn 1 an 3
高考数学专题复习：数列与不等式中放缩法的运用的教案
数列与不等式中放缩法的运用数列与不等式在今后的高考中有越来越被重视的倾向，而放缩法是解决数列与不等式有关问题的最常用的方法之一，通过这堂课的学习，意在让学生体会放缩法的重要性，掌握运用放缩法的一般技巧。
一．引入以高中阶段所要求掌握的知识来判断，下列哪些数列的前n 项和可以计算结果，哪些数列我们计算不了？１．135n +++⋅⋅⋅+２．2222123n +++⋅⋅⋅+３．1(12)(123)(12)n ++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+４．1111122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+５．231222322n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯６．222111123n+++⋅⋅⋅+７．333111123n +++⋅⋅⋅+ ８．2233111132323232n n+++⋅⋅⋅+----在我们所接触的题目中，不能求和的数列会出现吗？ 如果出现了，一般会以什么样的形式来命题？ 需要我们采用什么手段来处理？ 二．常见数列的放缩１．求证2221111223n+++⋅⋅⋅+<从第二项起放缩为211(1)n n n <-２．若求证22211151233n +++⋅⋅⋅+<呢？从第二项起放缩为221114n n <-３．求证33311131232n +++⋅⋅⋅+< 从第三项起放缩为311111()(2)(1)2(2)(1)(1)n n n n n n n n<=------ ４．若求证33311151234n +++⋅⋅⋅+<呢？从第三项起放缩为311111()(1)(1)2(1)(1)n n n n n n n n <=--+-+ ５．求证2311114212121215n +++⋅⋅⋅+<++++ 从第三项起放缩为11212nn <+其实很多放缩并没有我们想象地那么简单，又如：６．求证111712!3!!4n +++⋅⋅⋅+<７．求证2221323n+++⋅⋅⋅+<８．求证2311115212121213n +++⋅⋅⋅+<----通过对这些例子的体会，对于放缩法的应用，我们最大的困难是什么？ 要能灵活地运用放缩法，要求我们要有一定的知识储备和一定的实战经验，还要有较强的计算能力． 三．常见的不等关系除了上述的这些例子以外，数列中还有一些常见的不等关系，如：１．222(3)n n n ≥+≥ ２．222(2)2nn n n +-≥≥３．13(2)2(1)nn n n -≥+≥４．1(1)(3)n n n n n +>+≥ ５．111(1)(1)(1)1n n n n n ++<+≥+ ６．2214(1)41n n n <≥-７．<-８．1-<<- 等等．这些不等关系看似复杂，但是我们还是能从中发现些许规律。
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数列专题——数列与不等式数列与不等式数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养．【示例1】►(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2.因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a .故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，从而，当a ＞0时，T n ＜1a 1；当a ＜0时，T n ＞1a 1. 本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力．【训练】 已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n ＜1. (1)解 由已知得⎩⎨⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1(n ≥2)． 故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3，∴a n ＝3n .(2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1.数列综合以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大．【示例2】►(2011·天津)已知数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n＋1，b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3的值；(2)设c n ＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列； (3)设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ≤n －13(n ∈N *)．(1)解 由b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N *，可得b n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，1，n 为偶数.又b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n ＋1，当n ＝1时，a 1＋2a 2＝－1，由a 1＝2，可得a 2＝－32； 当n ＝2时，2a 2＋a 3＝5，可得a 3＝8. (2)证明 对任意n ∈N *， a 2n －1＋2a 2n ＝－22n －1＋1，① 2a 2n ＋a 2n ＋1＝22n ＋1.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n －1＝3×22n －1，即c n ＝3×22n －1，于是c n ＋1c n ＝4.所以{c n }是等比数列．(3)证明 a 1＝2，由(2)知，当k ∈N *且k ≥2时，a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k －3)＝2＋3×2(1－4k －1)1－4＝22k －1，故对任意k ∈N *，a 2k －1＝22k －1.由①得22k －1＋2a 2k ＝－22k －1＋1，所以a 2k ＝12－22k －1，k ∈N *，因此，S 2k ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝k2. 于是，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝k －12＋22k －1.故S 2k －1a 2k －1＋S 2k a 2k ＝k －12＋22k －122k －1＋k 212－22k －1＝k －1＋22k 22k －k 22k －1＝1－14k －k4k (4k －1). 所以，对任意n ∈N *.S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1a 1＋S 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 3a 3＋S 4a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142－242(42－1)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －n 4n (4n －1)＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋242(42－1)－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋n 4n (4n －1)≤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112＝n －13.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大． 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，)1(2,11-+==n nS a a nn 。
（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别求出n a 、n S 的表达式；（2）设数列}1{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求证：4151<≤n T ；（3）是否存在自然数n,使得2009)1(322321=--++++n nS S SS n ？若存在，求出n 的值；若不存在,请说明理由。
又易知n T 单调递增，故n T 511=≥T ，得4151<≤n T (3)由)1(2--=n n na S n n 得12-=n nS n22321)1()12(531)1(32---++++=--++++n n n n S S S S n =12-n ……13分由200912=-n ，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.()()(){}()(){}112111111112121112S S (2)104001141 4.12234 1 n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S a S S S S S S S S S S S n S S n S S S n a S S a S S a +-+--+--+---≥-=---=-=≥=≠=≠≠=≥=-=⨯===证明：当时，，所以．又由，，可推知对一所以数列是等比数切正整数均有，由知等比数列的首项为，公比为，所以当时，列，又，所以．解析：21.34 2n n n -(=)⎧⎨⨯(≥)⎩()2122212111121122123493393434.343343414193338318373488241413n n nn n n n n n n n n n n n n n a a b a a a b a a n b T b n -+---------≥=⨯==(+)(+)⨯⨯⨯=(⨯+)(⨯+)(+)(+)==(+)(+)⎧(=)⎪⎪===<⎨⨯⎪(≥)⎪(+)(+)⎩证明：当时，，此时又，所以，，2212112222121113411241414141311()8414111717().4141841837880n n n n n n n n n n n n n n n n b T b b b n b T T T n T ----------⨯≥==-(+)(+)++=++⋯+=+-+⋯+++-=-<+≤<++>≥当时，，又因为对任意所以对于任意的正整数的正整数都有，所以单调递增，都有，即，成立．()*122112111211111()2(2)111111111n n n n n n n n n n n n n nn n n n na b n n b b b a a b b b b b b b b b a a a a b b b b b -+-+-++++=++⋯+≥∈=++⋯+=++⋯+++-=⇒=⇒N 证明：因为且，所以，以所，*111(2)n nn n a b n n a b +++=≥∈N 且．()()1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1n nn nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b b a a b a a a a a a b b b a b a b b b b b b b b a a ++++++++++⋯++++=⋅⋅⋯⋅+++=⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅=⋅=++⋯+++⋯+=++⋯+-++证明：由知，而，121111)(1)2()n na b b b ⋯+=++⋯+．111112123341112122121212112(),2121212111132111110(1)(11111112[()()()]212121212121111)(1).512()32313n k kk k k k k k k nn n n a a a k +++++++-≥=-(-)(-)<=-(-)(-)--++⋯+-<+++-+⋯+-----++⋯+--=+-<-<当，所以时，所以。