圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
三种圆锥曲线的弦长公式
三种圆锥曲线的弦长公式
介绍
圆锥曲线是椭圆以外的另一种类型曲线，其中有三种关键。
它们分别是锥形曲线、圆台曲线和高斯曲线。
这三种曲线使用了非常关键的弦长公式来进行计算。
首先，锥形曲线的弦长公式为L=2π√a2+b2-2a2cosθ，其中a和b分别代表锥形曲线的焦距和顶点角。
θ表示弦的角度。
其次，圆台曲线的弦长公式为L=2π(a2+b2-2abcosθ)，其中a和b分别代表圆台曲线的焦距和Fourier角。
θ 表示弦的角度。
最后，高斯曲线的弦长公式为L=4π√a2+b2-2abcosθ+2abcos2θ，其中a和b分别代表高斯曲线的焦距和穹角。
θ表示弦的角度。
以上就是三种圆锥曲线的弦长公式。
锥形曲线的公式表示弦的长度取决于顶点角和焦距，而圆台曲线的公式则表示弦的长度取决于Fourier角和焦距，最后，高斯曲线的公式则表示弦的长度取决于穹角和焦距。
这三种圆锥曲线的弦长公式在计算曲线上每点的坐标时都非常有用，有助于我们更好地理解图形。
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式是指一种求解圆锥曲线弦长长度的数学公式。
圆锥曲线是常见的椭圆锥这类参数方程曲线，表示一条从圆柱面出发在四个方向上均呈轻微弯曲，伸展出不同长度的弦曲线，它具有如下表达形式：
X^2 + Y^2 + z^2 / a^2 + 2z / c = 1
其中a为曲线的椭圆截面半径，c为曲线的焦点到原点的距离。
此外，圆锥曲线的弦长公式又有两种表达形式：积分形式和解析形式。
即：
积分形式：l= ∫ a,b √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2+ (dz/dt)^2] dz
解析形式：l= 2a ∫ 0,π/2 [1+ (z/c)^2] ^1/2 d θ
这两种形式分别由圆锥曲线弦长公式参数方程求得，分别通过积分、解析解轴，分别求得弦长长度。
应用上，圆锥曲线弦长公式有各种广泛的应用。
它被冶金、机械、建筑等工程学科广泛使用，主要处理伸缩性有限的形状问题，满足测量要求及计算曲线的长度的需要。
同时，它还被广泛应用于地球物理学领域，一种可以变成圆锥曲线的小球轨迹，可以用来研究宇宙物质的运动规律。
总而言之，圆锥曲线弦长公式具有可探索性广泛的应用，对于求解圆锥曲线弦长长度具有重要意义。
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的相交弦长公式是一类运用圆锥曲线的基本问题。
圆锥曲线可
以对比认为是一类极端复杂的二维曲线，而从数学角度出发，计算问题又被抽象为一个常见的的求解类型--求直线与曲线之间的相交点。
针对这种计算问题，已经有多种方法提供解决方案。
当一条直线与圆锥曲线相交时，首先要求出相交点将这条直线和这条曲线相连接，而相交弦长公式则介入此处以帮助理解相交点的交叉构造。
相交弦长公式的具体表达如下：假设L是一条直线，S是圆锥曲线，P是直线L与曲线S所形成的一
条弦，那么这条弦P的长度将可以用一下公式来表示：
P=∫_(α=α_1)^(α_2)∣∣r_α∥dα，其中α_1，α_2为直线L与曲线S之间
的两个起点和终点经度，r_α则是经度α处曲线S的切线方程。
借助相交弦长公式，我们可以得到直线L与曲线S之间的相交长度。
另外，应
用相交弦长公式，还可以用来解决如下两个典型问题：
（1）当某条弦长固定时，求两交点坐标；
（2）当某点在圆锥曲线上，以及其切线方程给出时，求其在直线上的坐标。
此外，相交弦长公式的应用可以不仅仅限于上述这两类求解问题，它可以被扩
展用于求解更复杂的数学模型和更加精确的函数调节问题。
由此可见，这一公式能够为我们解决不少圆锥曲线问题，并为理解复杂场景和真实系统提供强有力的助力。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
第2课 直线与圆锥曲线弦长的求法
直线与圆锥曲线弦长问题【学习目标】1．知识与技能：掌握求弦长的基本原理方法，理解与运用弦长的计算公式；2、过程与方法：能通过解方程组，解决直线与圆锥曲线的弦长问题。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力。
培养协作精神。
【知识点】【知识链接】两点间的距离公式221221)()(||y y x x AB -+-=【学习过程】这节课我们将研究直线与圆锥曲线相交时生成的弦长计算问题； 一、复习引入我们先从学过的直线与圆相交，直线与抛物线相交时弦长计算说起：1、圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于（ ）A.6B.225 C.1 D.52、斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，求弦|AB|的长；以上两题都相对比较特殊，推广到直线与圆锥曲线相交的一般情形怎样计算更简单呢？二、新知导学3、例：直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，（1）求弦长|A B |。
（2）求证：OA OB ⊥；法一（旧方法）：直接求出交点A 、B 的坐标；解：（1）联立方程y xy x y 消去,222⎩⎨⎧=-=并整理得： 解之得1x = ，2x =代入2y x =-得1y = ，2y =所以 221221)()(||y y x x AB -+-== =（2）=0（ ， ）， =0（ ， ）所以 =⋅00 =所以OA OB ⊥法二：利用弦长公式（新方法）解：（1）联立方程y xy x y 消去,222⎩⎨⎧=-=并整理得： 由根与系数的关系得：=+21x x ，=⋅21x x …………①设交点坐标为A ),(11y x ，B ),(22y x 两点因为两点都在直线上，所以有211-=x y 222-=x y221221)()(||y y x x AB -+-= =221221)22()(+--+-x x x x =]4)[(2)(221221221x x x x x x ⋅-+=-…………请思考为什么？把①式代入得：=||AB =(2) 因为=⋅B A 0021x x ⋅+21y y ⋅ =21x x ⋅+⋅-)2(1x )2(2-x = 把①式代入得：=⋅00 = 所以OA OB ⊥如果直线l 方程为b kx y +=，如果直线与圆锥曲线交于A ),(11y x ，B ),(22y x 两点， 则弦长221221)()(||y y x x AB -+-= ………… ②因为两点都在直线上，所以有b kx y +=11，b kx y +=22 …………③把上面③两式代入公式 ②推导出2212221221))(1()()(||x x k kx kx x x AB -+=-+-=说明：此公式在解答题中可以直接代入使用！三、弦长公式的应用4、直线2y x =-与椭圆14522=+y x 相交于A ，B 两点，求弦长|A B |。
第2课 直线与圆锥曲线弦长的求法
直线与圆锥曲线弦长问题【学习目标】1．知识与技能：掌握求弦长的基本原理方法，理解与运用弦长的计算公式；2、过程与方法：能通过解方程组，解决直线与圆锥曲线的弦长问题。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力。
培养协作精神。
【知识点】【知识链接】两点间的距离公式221221)()(||y y x x AB -+-=【学习过程】这节课我们将研究直线与圆锥曲线相交时生成的弦长计算问题； 一、复习引入我们先从学过的直线与圆相交，直线与抛物线相交时弦长计算说起：1、圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于（ ）A.6B.225 C.1 D.52、斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，求弦|AB|的长；以上两题都相对比较特殊，推广到直线与圆锥曲线相交的一般情形怎样计算更简单呢？二、新知导学3、例：直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，（1）求弦长|A B |。
（2）求证：OA OB ⊥；法一（旧方法）：直接求出交点A 、B 的坐标；解：（1）联立方程y xy x y 消去,222⎩⎨⎧=-=并整理得： 解之得1x = ，2x =代入2y x =-得1y = ，2y =所以 221221)()(||y y x x AB -+-== =（2）=0（ ， ）， =0（ ， ）所以 =⋅00 =所以OA OB ⊥法二：利用弦长公式（新方法）解：（1）联立方程y x y x y 消去,222⎩⎨⎧=-=并整理得： 由根与系数的关系得：=+21x x ，=⋅21x x …………①设交点坐标为A ),(11y x ，B ),(22y x 两点因为两点都在直线上，所以有211-=x y 222-=x y221221)()(||y y x x AB -+-= =221221)22()(+--+-x x x x =]4)[(2)(221221221x x x x x x ⋅-+=-…………请思考为什么？把①式代入得：=||AB =(2) 因为=⋅0021x x ⋅+21y y ⋅ =21x x ⋅+⋅-)2(1x )2(2-x = 把①式代入得：=⋅00 = 所以OA OB ⊥如果直线l 方程为b kx y +=，如果直线与圆锥曲线交于A ),(11y x ，B ),(22y x 两点， 则弦长221221)()(||y y x x AB -+-= ………… ②因为两点都在直线上，所以有b kx y +=11，b kx y +=22 …………③把上面③两式代入公式 ②推导出2212221221))(1()()(||x x k kx kx x x AB -+=-+-=说明：此公式在解答题中可以直接代入使用！三、弦长公式的应用4、直线2y x =-与椭圆14522=+y x 相交于A ，B 两点，求弦长|A B |。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线的标准方程推导
圆锥曲线的标准方程推导圆锥曲线是平面上各点与一个定点（称为焦点）和一个定直线（称为准线）的距离之比为定值的点的轨迹。
根据圆锥曲线的形状不同，可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将以直角坐标系下的圆锥曲线为例进行推导。
设圆锥的焦点为F(x₁, y₁)，准线为直线l，该直线与坐标轴交于原点O，与x轴正方向的交点为A，与y轴正方向的交点为B。
设坐标系上的任意一点P(x, y)，我们将推导出圆锥曲线的标准方程。
首先，假设P与焦点F的距离为r，与直线l的距离为d。
根据定义，我们可以得到以下两个关系式：1. 根据焦准定理，有：r/d = e （1）其中，e为圆锥曲线的离心率，满足0 < e < 1（对应椭圆），e = 1（对应抛物线），e > 1（对应双曲线）。
2. 根据直角三角形AOB，可得：r² = x² + y²（2）由式（1）和式（2）可得：(x² + y²) / d² = e²（3）接下来，我们将推导出不同类型圆锥曲线的标准方程。
一、椭圆：当0 < e < 1时，圆锥曲线为椭圆。
将式（2）带入式（3）中得：x² + y² = e²d²（4）由于直线l与x轴正方向相交于点A，所以直线l的方程为y = kx，其中k为直线l的斜率。
将y = kx代入式（4）中并整理得：x² + (kx)² = e²d²（5）化简式（5）得：1 + k² = e²（6）将方程（6）代入方程（5）得：x² + (kx)² = (1 + k²)d²（7）将方程（7）除以d²并整理得：(x²/d²) + (k²x²/d²) = 1 （8）令a² = 1/d²，b² = k²/d²，则方程（8）可以进一步简化为：(x²/a²) + (y²/b²) = 1 （9）方程（9）即为椭圆的标准方程。
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圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线bkxy代入曲线方程，化
为关于x的一元二次方程，设出交点坐标,,,,2211yxByxA利用韦达定理及弦长公式
]4))[(1(212212xxxxk
求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与
曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较
而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为
简捷.
一、椭圆的焦点弦长
若椭圆方程为)0(12222babyax，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21cFcF，设过
1
F
的直线l的倾斜角为l,交椭圆于两点,,,,2211yxByxA求弦长AB.
解：连结BFAF22,，设yBFxAF11,，由椭圆定义得yaBFxaAF2,222，
由余弦定理得222)2(cos22)2(xacxcx，整理可得cos2cabx，同理可求
得cos2caby，则222222cos2coscoscaabcabcabyxAB；
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为2222sin2caabAB（a为长半轴，b为短
半轴，c为半焦距）.
结论：椭圆过焦点弦长公式：
).(sin2),(cos222222222轴上焦点在轴上焦点在yca
ab
x
ca
ab
AB
2 / 4
二、双曲线的焦点弦长
设双曲线,0,012222babyax其中两焦点坐标为)0,(),0,(21cFcF，过F1的直线l的
倾斜角为，交双曲线于两点,,,,2211yxByxA求弦长|AB|.
解： （1）当ababarctanarctan时，（如图2）
直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连BFAF22,，设,,11yBFxAF，
由双曲线定义可得ayBFaxAF2,222，由余弦定理可得
222222
)2()cos(22)2(,)2(cos22)2(aycycyaxcxcx
整理可得cos2cabx，cos2caby，则可求得弦长
;cos2coscos222222caabcabcabyxAB
（2）时或当ababarctanarctan0，如图3，
直线l与双曲线交点2211,,,yxByxA在两支上，连F2A,F2B,设,,11yBFxAF
3 / 4
则ayBFaxAF2,222，由余弦定理可得
222)2(cos22)2(axcxcx,222
)2(cos22)2(aycycy
,
整理可得，
则,cos,cos22acbyacbx
.cos2coscos222222acabacbacbxyAB
因此焦点在x轴的焦点弦长为
).arctanarctan0(cos2),arctan(arctancos222222222ababacabababcaabAB或
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
).arctan(arctan
sin2),arctanarctan0(sin222222222ababac
ab
ababca
ab
AB
或
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角.
三、 抛物线的焦点弦长
若抛物线)0(22ppxy与过焦点)0,2(pF的直线l相交于两点2211,,,yxByxA，若
l
的倾斜角为，求弦长|AB|.（图4）
解：过A、B两点分别向x轴作垂线AA1、BB1，A1、B1为垂足，yFBxFA,设，
则点A的横坐标为cos2xp，点B横坐标为cos2yp，由抛物线定
,2cos2,2cos2ypypxpxp义知
,cos1,cos1pypx即
,sin2cos12cos1cos122ppppyx则
4 / 4
同理)0(22ppxy的焦点弦长为
,sin22pAB
)0(22ppyx
的焦点弦长为,cos22pAB，所以抛物线的焦点弦长为
).(cos2)(sin222轴上焦点在，轴上焦点在ypxpAB
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.
圆锥曲线的弦长公式
一、椭圆
：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2|)K(12或|P1P2|=|y1-y2|)1/K(12{K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=Akxxxxk)1(]4))[(1(2212212
说明：后的根的判别式方程联立方程组消去分别是直线方程与曲线与yA
项的系数；余类似．及2x
二、双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2|)K(12或|P1P2|=|y1-y2|)1/K(12{K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=Akxxxxk)1(]4))[(1(2212212＝
三、抛物线：
(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²）{为弦AB的倾斜角}
)(1222所在直线的斜率为弦或ABkkkPAB
(2)设直线与抛物线交于P1( x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2|)K(12或|P1P2|=|y1-y2|)1/K(12{K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=Akxxxxk)1(]4))[(1(2212212＝